湖北省二十一所重點中學2022屆高三下學期第三次聯(lián)考數(shù)學試題（含答案與解析）

2022屆湖北省二十一所重點中學高三第三次聯(lián)考

數(shù)學(時間：120分鐘分值：150分)注意事項：.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上..回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效..考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1設集合A={a|mxeR,優(yōu)=log“x(a>l)},=Vx>0,xy>ln(V2x+V2x2+1)},下列說法正確的是()A.AcB B.BcA C.Br>A=0 D.8nA/02.七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具.如圖，邊長為4的七巧板左下角為坐標原點，其中各點的橫、縱A坐標均為整數(shù).當函數(shù)丫二人《孤勿+⑼+人(04。(凡g區(qū)2)經(jīng)過的頂點數(shù)最多時，二的值為3.2022已知?.71828是自然對數(shù)底數(shù)‘設"礪，b3.2022已知?.71828是自然對數(shù)底數(shù)‘設"礪，b20232022'4045下列說法正確的b<a<c<dB.c<b<d<ab<d<c<aD.b<a<d<c如圖，在半徑為e的半圓弧AB上取一點P,以AP為直徑作半圓，則圖中陰影部分為月牙AP,在A3上取24個點/…，，將圓弧2Z+1等分，設月牙A/A；…,A%面積的平均值為S…若對于^^：￡1<均有4<5一則/I的最大值為（1A.—1A.—71D.IB.—

n.在卡方獨立性檢驗中，5二寸4,也）一,其中為列聯(lián)表中第i行/列的實際頻數(shù)，叫j為假定獨%立情況下由每行、每列的總頻率乘以總頻數(shù)得到的理論頻數(shù)，取〃=q=2時，如表所示，則有:4I=0.3x0.4x10=1.2,B、2=1.8,B2A=2.8,B22=4.2,因此:z2空至.(27.8)2+(3-28)2z2空至.(27.8)2+(3-28)2+(4-4.2)、9與課本公式爐=631.21.82.84.2n(ad-be)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)等價，故以下2x3列聯(lián)表的/最小值為（）38A.—1138A.—11c130B. 33-376C. 77-520D. 12112P=0.334P=0.7P=0AP=0.6(n=10)5x(xeN*jy303025455=200).南北朝時期的偉大數(shù)學家祖唯在數(shù)學上有突出貢獻，他在實踐的基礎上提出祖咂原理：“事勢既同，則積不容異”.其含義是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積總是相等，則這兩個立體的體積相等.如圖，兩個半徑均為1的圓柱體垂直相交，則其重疊

部分體積為（）.小林同學喜歡吃4種堅果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5種顏色的“每日堅果”袋.每個袋子中至少裝1種堅果，至多裝4種堅果.小林同學希望五個袋子中所裝堅果種類各不相同，且每一種堅果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（）A.20160 B.20220 C.20280 D.20340二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分..函數(shù)/（%）= 」（。（0）在[-2萬,2句上的大致圖像可能為（）sinx10.已知數(shù)列｛《,｝的前〃項和為s“，且S“+%=1對于V〃€“恒成立，若定義S/=S”,='Sff（kN2）,則以下說法正確的是（）i=lA.m｝是等差數(shù)列 B.#）=上^一/TOC\o"1-5"\h\zA*+l 2021c.S.（=）一Sf）=百端 D.存在〃使得si2024=J（女+1）! ” 2022!.已知向量aA=(見右m),BC=(n,-y/3m)(m,n>0),且|麗'|=1,AM=xAC^其中x=l-2cos—，下列說法正確的是（）9- JIA.4月與北所成角的大小為§ B.x3-3x2+1^OC.當|AB|=Vi二？■時，IABI+I8CI取得最大值 D.IA8I+IBCI的最大值為3—x.雙曲線C:二-￡=l（a,6>0）的虛軸長為2,耳，名為其左右焦點，尸,。,/?是雙曲線上的三點，過Pab-作。的切線交其漸近線于A3兩點.已知△PE用的內(nèi)心/到y(tǒng)軸的距離為i.下列說法正確的是（）A.aABK外心M的軌跡是一條直線.當。變化時，aAQB外心軌跡方程為q2y2=（、：C.當P變化時，存在Q,R使得aPQR的垂心在。的漸近線上D.若X,Y,Z分別是PQ,QR，依中點，則aXIZ外接圓過定點三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分..定義4*2wC,Z]十Z2=；（|Z]+Z2「-|Z|-Z2F）,Z[③4=Z]十Zz+i（Z]十iz?）.若Z]=3+4i,z2=1+40i,則IZ|8Z21=.2 2.過點P(L1)作斜率為女僅20)的直線交橢圓E：三+二=1于A8兩點，若E上存在相異的兩點4 2ICA\I/YdIIP4ICD使得叫=*高=篇，則aCDP外接圓半徑的最小值為I1I"81I產(chǎn)81.在一棱長為6正四面體密閉容器內(nèi)部有一半徑為Y5的球體自由運動.則容器內(nèi)部未被球所掃過的體4積為.(結果保留到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：72?1.41,73?1.73,?3.14,cos70.5°?).某同學從兩個筆筒中抽取使用筆，藍色筆筒里有6支藍筆，4支黑筆，黑色筆筒里有6支黑筆，4支藍筆.第一次從黑筆筒中取出一支筆并放回，隨后從與上次取出的筆顏色相同的筆筒中再取出一支筆，依此類推?記第"次取出黑筆的概率為匕，貝|」匕=,Zw-；)(q-；)=.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟..已知aABC的外心為0，M,N為線段AB,AC上的兩點，且。恰為MN中點.(1)證明：4Vl-|NC|5(2)若|A0|=6，|=1,求個典的最大值.3VAec.象棋屬于二人對抗性游戲的一種，在中國有著悠久的歷史，由于用具簡單，趣味性強，成為流行極為廣泛的棋藝活動.馬在象棋中是至關重要的棋子，“馬起盤格勢，折沖千里余.江河不可障，颯沓入敵虛”將矩形棋盤視作坐標系xOy,棋盤的左下角為坐標原點，馬每一步從(x,y)移動到(x±l,y±2)或(x±2,y±l).(1)若棋盤的右上角為(4,4),馬從(0,0)處出發(fā)，等概率地向各個能到達(不離開棋盤)的方向移動，求其4步以內(nèi)到達右上角的概率.(2)若棋盤的右上角為(16,15),馬從(1,0)處出發(fā)，每一步僅向+%+y方向移動，最終到達棋盤右上角，若選擇每一條可行的道路是等概率的，求馬停留在線段丁=》-1(24x416)上次數(shù)X的數(shù)學期望..坐落于武漢市江漢區(qū)的漢口東正教堂是中國南方唯一的拜占庭式建筑，象征著中西文化的有機融合.拜占庭建筑創(chuàng)造了將穹頂支承于獨立方柱上的結構方法和與之相呼應的集中式建筑形制，其主體部分由一圓柱與其上方一半球所構成，如圖所示.其中。是下底面圓心，A,8,C是。。上三點，A，耳，G是上底面對應的三點.且A,O,C共線，AC1OB.CE=EC,BlF=-FB,衣與麗所成角的余弦值為上叵.3 65(1)若E到平面ABC的距離為上，求。。的半徑.3(2)在(1)的條件下，已知尸為半球面上的動點，且AP=2jIU，求尸點軌跡在球面上圍成的面積..已知正項數(shù)列{4},{〃}的前〃項和分別為S“,7；,且在平面直角坐標系中點(4,暮已)到(1,1)的距離差為2.證明：(1)對于任意〃eN*，均存在實數(shù)X,y使得X47；4y且|X—y區(qū)〃.(2)若有整數(shù)乂人33)使得s*=l,則存在實數(shù)X,y使得X47；4y且I-!■一區(qū)士.XI2k.已知點A(-2,0),8(2,0),位于x軸上方的點“是橢圓(7:5+《=13>6>0)上的動點，且直線a"M4與直線MB的斜率之積為-L.動直線/與直線M4的傾斜角互補，交。于尸(%,%),。(々，%)兩點4(%>%)，設。關于x軸的對稱點為點N.(1)求橢圓。的標準方程；(2)過點M,N分別作橢圓C的切線《4交于點/.若當點M,P,Q移動時，始終保持sinNMPQ=芋,證明：/在一條定直線上..已知函數(shù)/(x)=(x+l)e'-L(x>0),g(x)=xe*+alnx(aeR),且/(%)=()(1)若a=l,且g(x(i)=0,試比較蒞與公的大小關系，并說明理由;(2)若”=一1,且(無2+l)/(W)=g(X2)，證明:5 5⑴尸<%；(ii) >三生“ 3-2%

(參考數(shù)據(jù)：In3?1.098,In5=1.609,-?0.368)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合A={a|3xw/?,優(yōu)=log“x(a>l)},B={y|Vx>0,xy>ln(x/2x+72x2+1)}(下列說法正確的是()A.AcB B.BcA C.8cA=0 D.BQA^0【答案】D【解析】【分析】利用因為y=a'與y=log“x互為反函數(shù)，所以，互相關于丁=%對稱，得至iJa'Wx，進而得出集合A的范圍；對于集合8,化簡得(歷+[2「+1),設g0)=ln(缶+，2.+1),進而利用X X導數(shù)求出g(x)的最值，得出集合B的范圍，即可求解【詳解】對于集合A={a|2xeR,a"=log“x(a)l)},因為y=a*與y=log“X互為反函數(shù)，所以，互相關于y=x對稱，而3xeR,優(yōu)=log“x,所以，只需要"Wx即可，因為。>1,所以，xlna<lnx，所以,一,Inxe“、Inx加“、1-lnx<Ina<——,設/(x)=——，得((x)=——XXXxe(0,e),f'(x)>0,f(x)單調遞增；xe(e,+oo),f'(x)<0,xlna<lnx，所以,1.(11/(幻蟲=/(e)=—，得到］所以，A=Le'；e ~ k.對于集合5={y|VxN0,孫21n(、&+JFi)}，化簡得y2螞叵地立12,設g(x)=IM&x+Jzfg(x)=IM&x+Jzf+l)Xg'(x)=5 / -ln(\/2x+42x2+T)J2/+1因為f>0>B m\—I --B m\—I --ln(\Plx+2x~+1)可設網(wǎng)力=55777x2—lyp2x~,h'(x)=--—、/, <°(2x+l)v2x"+1單調遞減，又"0)=0,所以，當x>0時，〃(x)<0,A(x)<0,.?.g，(x)<0,g(x)單調遞減，利用洛必達法則,2xx->0時,..In(&x+2xx->0時,..In(&x+j2f+l)hm -0 x..ln(V2x+V2x2+l/=hm x—>0 fV24--1= =lim一恒五

xtO J=>/2所以，y=g(x)N夜，所以，B=[V2,+oo);由于A=(l,：),B=[V2,+oo),所以，D正確故選：D.七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具.如圖，邊長為4的七巧板左下角為坐標原點，其中各點的橫、縱坐標均為整數(shù).當函數(shù)y=4sin(5+°)+/7 巴g區(qū)2)經(jīng)過的頂點數(shù)最多時，土的值為b()A.1 B.2 C.1或g D.1或2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圖像，列出各點坐標，然后，判斷y=Asin(ox+°)+力的范圍即可求解

如圖，各點的橫、縱坐標均為整數(shù)，因此，0(0,0),A(l,1),92,0),C(3,l),D(4,0),E(4,2),F(4,4),G(3,3),HQ,2),函數(shù)y=Asin(<yx+e)+/?(0?。4萬,|力區(qū)2)的最大值為A+b,最小值為A-b,所以，4—bWyWA+萬且|b區(qū)2,因為要盡可能多地經(jīng)過以上九個點，所以，卜的范圍最大就是04y?4,因此，可令，，八，進而可求得r=i[A-b-0 b故選：A2022 2023 4045 \.己知e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)，設。=上空，b=—,。=竺三，”一「六，下列說法正確的2021 2022 4043a-e是()A.b<a<c<d B.c<b<d<aC.b<d<c<a D.b<a<d<c【答案】C【解析】【分析】/(x)=l+g,根據(jù)單調性可以判斷。>6,再作差可判斷。>c,C>b；再構造〃x)=e*-x-l(x>0),根據(jù)單調性可判斷d>b.【詳解】根據(jù)題意，設/(x)=l+g,易知當x>0時，/(x)=l+：遞減;a=%，即/(2021)；/>=—,即為“2022),所以〃2021)>/(2022),即a>b；2c^21 ^^(^2240452022c-a40452022c-a- 40432021 8170903 <0,即。>c,故A錯，故D錯;c_fo=4045_20238174946404320228174946構造函數(shù)"x）=e*-x-l（x>0）,所以/'（力=/-1>0恒成立,（0,（0,+8）單調遞增，所以=e版12022e痂,型"，所以d>b；2022故選：C..如圖，在半徑為正的半圓弧AB上取一點尸，以AP為直徑作半圓，則圖中陰影部分為月牙AP，在A8上取2A個點6,6，“.，段將圓弧2左+1等分，設月牙面積的平均值為&,若對于VZeN*均有義<S*,則；I的最大值為（）TOC\o"1-5"\h\zz 1A.— B.— C.y D.1萬 萬 之【答案】B【解析】【分析】利用對稱性知月牙的面積等于月牙的面積，然后求面積平均值&,根據(jù)定積分定義將所求轉化為定積分問題，然后可得.【詳解】由對稱性可知月牙人外出一.的面積等于月牙的面積，因為TOC\o"1-5"\h\zS.ABP=-ABOPisin^AOPi=2sin-7^--AP；+BP^=AB2=8,月牙面積=半圓面積-弓形面積，而’2 2k+1弓形面積二扇形面積-三角形面積，所以月牙AE、8匕的面積之和為-［（理）2+（生了一（萬一2sin-^-）=2sin-^―,所以22 2 2k+V2k+\cR?i兀 cG乃.〃r a2>sin 2>——sin z 、c 2Z+1 ￡2k2Z+12j. 2（ 吟2,因為對于VAcN*均有Sk=-LJ =—LJ >-sinx=-cos0-cos-=—2k n n*7ry 2Jn2所以丸的最大值為一.故選：B

5.在卡方獨立性檢驗中，犬二寸與'，，其中為列聯(lián)表中第i行/列的實際頻數(shù)，叫,為假定獨d;立情況下由每行、每列的總頻率乘以總頻數(shù)得到的理論頻數(shù)，取，=g=2時，如表所示，則有:4[=0.3x0.4x10=1.2,2=1.8,1=2.8,B、、=4.2,因此:7：7：*+*+密+令磊與課本公式人證等價’故以下2x3列聯(lián)表的/最小值為()c130B. 33c130B. 33-376C. 77D.52072?12P=0.334P=0.7P=0.4P=0.6(n=10)5x(xwN*)y303025455=200)【答案】C【解析】【分析】由已知，不全2x3列聯(lián)表，并分別計算出每行、每列的實際頻數(shù)，然后帶入公式列出關系式，借助5x+y=70(xeN*)的關系即可完成最值得求解.【詳解】由已知，可將上述2x3列聯(lián)表補充完整，N*)y3023025452

5x+30200y+2520075200(n=200)5x+y+30=100,所以5x+y=70(xcN),- 15x4-302八5x4-30d,?=一? ?200= ,J2200 24,2」比.200=4,2」比.200=工22001752八75—? e200=—；220022200- 15x+30…5x+30a,=-? -200= -- 2200 21y+25 y+25員,3工200=豈2200x25x4-302)2一+y+252￥ (30-y)2——F +75T5x+302')2(25-^^一+ 2y+252￥(45-員,3工200=豈2200x25x4-302)2一+y+252￥ (30-y)2——F +75T5x+302')2(25-^^一+ 2y+252￥(45-務——F 755x-30225x+3022+25

23+一+25x-30、2y-2522(5x-30)21(y-25)25元+30y+25+3,5x+3022+25

23+—2由5x+y=70(xeN"),設5x+30=m(meN*),y+25=〃(〃wN*),所以.36002500~36002500、帶入①式得：m+n+ + 122= + +336002500w 、( + )(m+n)=3+—^ 昆 =3+125/3600”2500/n.6100+( + )〃2125令上=t,設函數(shù)/?)=3600/+型2，該函數(shù)為對勾函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間m t單調遞減，在區(qū)間(,,+8)單調遞增，而因為所以當m=70,〃=55時最接近最小值，故m=70,〃=55時,inn252x=8,y=30時①式取得最小值，為%-+二+370 5537677故選：C..南北朝時期的偉大數(shù)學家祖胞在數(shù)學上有突出貢獻，他在實踐的基礎上提出祖咂原理：“事勢既同，則積不容異”.其含義是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積總是相等，則這兩個立體的體積相等.如圖，兩個半徑均為1的圓柱體垂直相交，則其重疊部分體積為（4A.-34A.-3D16B.—34C.一713【答案】B【解析】【分析】分析幾何體的每層截面都是正方形，計算正方形的在上下距離中心〃截面面積，再根據(jù)正方形的特點想到頂點在中心的正四棱錐（上、下兩個），計算正四棱錐的上下距離中心萬截面面積，通過發(fā)現(xiàn)面積之間的關系，結合祖晅原理即可求解.之間的關系，結合祖晅原理即可求解.（左） （中） （右）重疊部分的幾何體的外接正方體如上圖（左）所示，在距離中心人處的截面正方形的邊長是：2/=2正_外,所以距離中心〃處截面面積是S=（2/p =4（7?2_/?）,而從同一個正方體的中心位置，與底面四點連線構成的正四棱錐的示意圖如上圖（中）所示,Lh在距離中心6處的截面正方形的邊長是：—=不，MQOQ因為內(nèi)切球的半徑等于正方體棱長一半，所以，MQ=OQ=R,所以4）=h,在距離中心〃處的截面正方形的邊長是：2/。=2人，以距離中心h處截面面積是5=(2/0)2=4/z2,又因為正方體的水平截面面積為：(2/?『，所以(2/?)2-4〃2=4(/?2-〃2),所以剩余部分的截面面積如上圖(右)“回”形面積為4(配2),因此根據(jù)祖隨原理：“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積總是相等”，可得：左圖幾何體的體積加上中間圖上下椎體的體積等于正方體的體積，即有：V+2x-(2/?)2/?=(27?)3,TOC\o"1-5"\h\z解得V=3r3=3xF=3,3 3 3故選：B..函數(shù)/(x)=lnx-ox+l有兩個零點再,々(西<々)，下列說法錯誤的是()1 八 1 , 2A.0<<1 B.Xj%2— C.%2—F> 1D.f+x2V—_a "a _q【答案】B【解析】【分析】將問題轉化為y=a與y=52■有兩個交點，數(shù)形結合即可判斷A選項并求出演,々的范圍；X由/(3)=/(工2)=。表示出。，結合分析法即可判斷D選項；由占+々=2=.(為受)<2即可判斷b選aa項；由々=上3>■!■結合/范圍即可判斷c選項.aa【詳解】對于A,因為函數(shù)/(x)=lnx-ar+l有兩個零點<*2)，所以lnx-ax+1=0有兩個根，即。=---,即、=。與丫=―--有兩個交點，設g(x)=---(x>0),所以g(x)=—產(chǎn)，當g'(x)>0時，解得0<x<l,函數(shù)g(x)單調遞增;當g'(x)<0時，解得x>l,函數(shù)g(x)單調遞減，所以g(x)"皿=g(l)=l,當XT+oo時，g(x).0,當x.0時，g(x)f-oo,畫出函數(shù)圖象如下圖所示：

結合圖象可得當0<。<1時，y=a與丁=也口有兩個交點，即函數(shù)/(x)=lnx-d+1有兩個零點，x故A正確；0c 1 [inx,-ax,+1=0 Inx,-Inx,=0,結合圖像可知一<x<1<%,因為< = ! ,要證明e [Inx2-ax2+1=0 Xj-x22Xy+%2V—，一a即證明(X即證明(X+押嚴；匚?&<2,工+1整理得上一2_]X2<1,令，=土，所以) X22(1)lnr<-^——Lr+1設g")=lnr_生二ll(o<r<i),所以g，⑺= 2V>o(o<r<i)恒成立，所以g⑺在(0,1)單調z+1 r(z+l)遞增,所以g(r)<g(l)=。，即lnr<2"l)(0<f<l),故D正確;f+1對于B,TOC\o"1-5"\h\zInx—ax.+1=0 / \ \ 2對于B,=>a(x+x2)=2+ln(xx7),又x+.v—，0<a<l,則lnx2-ax^+1=0 a2+1”中2)2 <-fa即中2<1成立，又L>1，所以X/2<L故B不正確:a a對于C,因為卜=1+>>>L1<%1<1<^）可得一百>一1,可得％-%>,一］,故C選項正確.

aae a故選：B.【點睛】解決函數(shù)零點問題時通?？梢圆捎脜⒆兎蛛x，將問題轉化為兩個簡單函數(shù)的交點問題，借助導數(shù)確定函數(shù)的單調性，進而得到函數(shù)圖像，數(shù)形結合即可解決；有時也可借助單調性及函數(shù)零點存在定理加以解決..小林同學喜歡吃4種堅果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5種顏色的“每日堅果”袋.每個袋子中至少裝1種堅果，至多裝4種堅果.小林同學希望五個袋子中所裝堅果種類各不相同，且每一種堅果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（）A.20160 B.20220 C.20280 D.20340【答案】A【解析】【分析】設出核桃、腰果、杏仁、榛子為凡Y,X,Z,分類討論求出分堆情況，再進行排列，求出最后答案.【詳解】依次記核桃、腰果、杏仁、榛子為H，Y,X,乙則每個字母出現(xiàn)2次或4次，分類計算分堆可能：⑴“，H；Y,Y；X,X；Z,Z.若是“8=4+1+1+1+1”，則其中的“4"必須是“XXZ,故1種可能；若是“8=3+2+1+1+1”，則考慮（HYX）小※）（:※）（:※），故有=12種可能；若是“8=1+1+2+2+2”，則考慮（Z）（X）（ZX）?！ā?），故有C；度=12種可能；小計：1+12+12=25；（2）諸如“H,H,H,H；Y,K；X,X；Z,Z'類型若是“10=4+3+1+1+1”，則四個“無論怎么安排，都會出現(xiàn)某兩個袋僅放”，故0種可能；若是“10=4+2+2+1+1”，則“1+1”中有一個是“，“4+2+2”中各一個“，“2+2”中除了一個，外，另一個互異，故有C；=3種可能；若是“10=3+3+2+1+1”，則“1+1”中各有1個〃，“3+3+2”中各一個〃，可以考慮含※模式，（宗※※）（://※※）（//※）（X）（4），故有&=6種可能；若是“10=3+2+2+2+1”，則可用下表進一步分類，有1+C；+C；C；=10種可能；YXZ//※H//※※//※月※X盛※※H若是T0=2+2+2+2+2”,則四個，至。己有兩個出現(xiàn)搭配1目同，故0種可能；小計：5(0+3+6+10+0)=76；(3)諸如“〃，H,H,H；Y,Y,Y,匕X,X；Z,Z'類型若是“12=4+4+2+1+1”，貝廠4+4”必然重復，故0種可能；若是“12=4+3+3+1+1”,則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)僅(HYXZ)(HYZ)(HEX)(Z)(X)可能：若是“12=4+3+2+2+1”，則考慮(〃K￥Z)(H丫※)(:※X)(※※)(:※)或(//YXZ)(XZX)(:※※)(:※X)(:※)，故有C；C；=4種可能；若是“12=3+3+3+2+1”，則有(//FX)(HYZ)(ZXH)(〃丫)(丫)或(HYX)(bYZ)(ZXK)(WK)(H)都成立，有2種可能：若是“12=3+3+2+2+2”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)(HYX)(HYZ)(HY)小※)(丫※)，有2種可能.小計C：x9=54；諸如““，H,H,H；Y,Y,Y,K；X,X,X,X；Z,Z'類型若是“14=4+4+*+*+*”，貝1-4+4”必然重復，故0種可能；若是“14=4+3+3+3+1”，則“4+3+3+3”中至少有3個Z,故0種可能；若是“14=4+3+3+2+2"，貝『2+3+3”至少有2個Z,考慮(HYXZ)(HYX)“※※)(:※※)(※※:)，其中Z※※有C；=3種可能，故此小類有3種可能；若是“14=3+3+3+3+2”，則“3+3+3+3”中至少有3個Z,故0種可能；小計3C：=12；(5)“H,H,H,H；Y,Y,Y,匕X,X,X,X；Z,Z,Z,Z'只有"16=4+3+3+3+3”的搭配，有1種可能；綜上：共有25+76+54+12+1=168個分堆可能，故不同的方案數(shù)為1688=168x120=20160種.故選：A【點睛】比較復雜一些的排列組合問題，要結合分類加法原理和分步乘法原理進行求解，特別是分類標準，要做到不重不漏，本題中，應用的是把8,10,12,14,16分為5個數(shù)(從1到4)的和的分類標準，可以做到不重不漏.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.9.函數(shù)/(x)= △340)在［-2萬,2%］上的大致圖像可能為()sinx

【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)。的取值分類討論，研究函數(shù)性質后判斷圖象【詳解】①當。=0時，f(x)為奇函數(shù)，由X-0時/(幻-8,x=±l時f(x)=O等性質可知A選項符合題意②當a<0時，令g(x)=ln|x|,/z(x)=-or,作出兩函數(shù)圖象，研究其交點數(shù)形結合可知在(-1,0)內(nèi)必有一交點，記橫坐標為號,此時/(/)=0,故排除D選項-2i<x</時，g(x)—h(x)>0；/<尤<0時，g(x)-h(x)<0若在(0,2萬)內(nèi)無交點，則g(x)-/z(x)<0在(0,2萬)恒成立，則/5)圖象如C選項所示，故C選項符合題意若在(0,2幻內(nèi)有兩交點，同理得B選項符合題意故選：ABC

10.已知數(shù)列的前〃項和為s“，且S“+a“=l對于v〃wN*恒成立，若定義SN=S”,5*=￡＞產(chǎn)）（心2）,則以下說法正確的是（）（=1A.｛嗎是等差數(shù)列 B.，。）=士產(chǎn)蔣。5;⑵一^二舒木 D.存在“使得邑32）=蠱【答案】BC【解析】【分析】利用退位相減法可得數(shù)列的通項及S”即可判斷A選項，按照給出的定義求出S?（3）即可判斷B選項，數(shù)學歸納法和累加法即可判斷C、D選項.【詳解】當〃=1時，4=S|=—,2當〃22時，由S“+%=1,得S“_1+a,T=l,故a“+a“一為一=0,即a“=ga“_|.所以數(shù)列｛《,｝為等比數(shù)列，首項6=；,公比q=；,故2 2 12/A選項錯誤;

當A=1時，sf)-S?2 i-n-1+(O+n-l)n1當A=1時，sf)-S?2 i-n-1+ —+1 = ,B選項正確；A'"+i假設當心機時，邑(2-5/=帶5rM%成立,當左=m+1時，由5,*=邱1)+sff+…+S.1g)+S，)=5?y+S*)可得SW+3)_$(m+,)=sW+3)+s(w+2)_(s('"+。+SW))=S(m+3)_s(w+0+s(切+2)_s(M_S(/w+3)q(m+l) 「m+1ni||g(?t+3)g(m+l)_q(/n+3)g(wt+l).=J〃-1 —%T+J+m-l9人」— =J”-2 —%-2 +J+tn-290 (m+3)q(m+1)_q(m+3) < (m+1)「小+l|q(m+3)q(/n+l)_q(m+3)q(m+1),「，”+l久-2一°n-2 =J〃-3一 十。〃+m-39 9 33 —°3 =°2 O2十5+2,S2g3)_sjm”)=S〃+3)一sf+l)+CM；,將上式相加可得sJE-sy”)M'EjsjE+d+c鬻+…+c*_2+c&t，又s*=h(i)=sf),則s=+3)_s『叫=0,故s“s_s.E)=c：：!+c;*+...+c：：3+(CLy：+/："??+c^_2+c：：3am+2 A=C：：^+c：：；+.??+C：l_2+=C：1：^=-^-= ■即左=m+l時也成立，(機+2)! ++故S“("+2)_，(")=/苛，c選項正確；D選項，當〃=1時，由§團=1(1)=耳°)=4>—!—知不成立，當〃22時，由當〃22時，由C選項知:c：;3,貝U*=c[=c：：E5y-5*)=d_3=*3,l,kJsF)=c3=c：；3sF)-sF)=C=c：2,上式相加得s產(chǎn)+sf叫=s”⑵+s“⑴+cy+c：：+.??*￡+c：;L,，又由上知，5尸+5/)=〃-1+、)+>(￡)=〃'則s"(*2)+s*=〃+c*牖+??;久+c：;3=-c：：+…C-=c：;；+c：：*..cj+c：z=c：3可得鏟2)+s*)=c =("2020囂,20!9H又由s〃(")=s〃_*+s$),s『)>o可得s*>s,]J),S(2022)+$(2021)=(〃+2020)(〃+2019)?一〃<2s(2022),即“ “ ― 2021! ”S皿>(〃+2網(wǎng)("2。⑼…”上二〉"一4,D選項錯誤；〃 2x2021! 2x2021!2022x2021!2022!故選：BC.【點睛】本題關鍵在于C、D選項的判斷，C選項通過數(shù)學歸納法和累加法以及組合數(shù)的性質即可求解；D選項借助C選項的結論，通過累加法以及組合數(shù)的性質進行判斷即可.11.已知向量= BC=(n,-y/3m) 且|麗^=1,AM=xAC<其中44 ... …，x=l-2cos—,下列說法正確的是()9- jiA.A月與衣所成角的大小為] B.1?-3/+140C.當|.|=忘/時，|AB|+|BC|取得最大值D.|AB|+|BC|的最大值為3-x【答案】AD【解析】【分析】利用向量夾角定義和模的求法即可選定A選項，利用正弦倍角公式和積化和差公式可以排除B選項，根據(jù)均值不等式和余弦定理結合選項B中得出的結論即可判斷C選項和D選項的正誤.【詳解】對于A選項：因為= = 百〃?)所以有：AC=(m+n,O)[AB-AC=m2+mnJ 彳號1AB-AC=|AB|?|AC|?cosAB,AC)= ?7(w+n)2-cos(AB,AC)'''cos<AB,AC>=—,2冗所以A月與恁所成角的大小為§；, ,一 44對于B選項：x=l—2cos——=1—2cos80=1—2sinl0,9因為2[2(2sinl0cos10)cos20]cos40=sin80"=cos10°,所以sin10cos20cos40=-,8結合cos20cos40=1[cos(20+40)-cos(20—40)]得8sin310-6sin10+1=0.—x將sinio=L，代入化簡，得2x'+3x2—1=0?故B選項錯誤；對于C選項和D選項：以3點為圓心，建立平面直角坐標系，則由血=（見6m）可設|A同=，△AA仍使用余弦定理得：BM2=AB2+AM2-2ABAMcos60當且僅當2m=Jn2+（73nz）2即加=〃時等號成立,結和公式1=（2機）2+［（加+〃）幻2-2-2力（加+〃口,，以及選項B中的丁+3*2一1=0,可知當|4目=忸［=*^時，4卻+怛。|取得最大值3-%，而此時土^=JT丁平方后化為一元二次方程后/<0無解，因此D選項正確，C選項錯誤.4故選：AD.212.雙曲線C:=-1?=l（a,6>0）的虛軸長為2,耳，咒為其左右焦點，P,Q,R是雙曲線上的三點，過Pa~b~作C的切線交其漸近線于A8兩點.已知△P"鳥的內(nèi)心/到y(tǒng)軸的距離為1.下列說法正確的是（）A.△A3g外心M的軌跡是一條直線B.當。變化時，aAOB外心的軌跡方程為爐+42y2=宜可4C.當P變化時，存在Q,R使得aPQR的垂心在。的漸近線上d.若x,y,z分別是p。,。/?,*?中點，則aXkz的外接圓過定點【答案】AD【解析】

【分析】根據(jù)圓的性質，結合雙曲線的漸近線方程、直線斜率的公式，通過解方程（組）、運用夾角公式逐一判斷即可.【詳解】因為已知△尸耳鳥的內(nèi)心/到>軸的距離為1,雙曲線c：0-4=13/>0）的虛軸長為2,a"b.所以鳥的內(nèi)心/橫坐標I力=1=2。=| 網(wǎng)=1Xo+c-(c-Xo)|=|2%|=2,a=l,雙曲線方程：x2-y2=l,6（一加,0）,鳥（、歷,0）,漸近線y=±x.設尸k，%）,Aa，x）,8（x2，y2）,Q（w，%），R（x4，y4）.2 2當點夕（4,九）在雙曲線+—方=1（。>0,8>0）上時：設直線丫=設直線丫=丘+切與雙曲線「CTy2立=1(a>0,b>0)交兩點任,X',%')b2x2-a2y2-ab2x2-a2y2-a2b2=0y=kx+m=>(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2(m2+從)=0b2-a2k1h0△=4k2加2/+4(〃一a2k2)a2{nr+b2)=4a2b2(b2-a2k2+m2)>0.,2a2kmN+x2=-H~ITTb-ak.y；+y>2=k(x；+x2j+2m=2b2mb2-a2k2當直線與雙曲線相切時八二。?！?。2A2+加2=。，此時切點。（%,%）滿足:%=2_crkm-nra2kni=>〈mb2rn= %%=y'+y；2_b2m-m2k=理:yoa'切線y=H+m<=>y="子_2<=>■一駕■=]yoa'y0aa-設直線y=H+m與漸設直線y=H+m與漸近線二a-y2=0交兩點A3%）網(wǎng)",y；）b2x2-a2y2=Oy=kx+m=>(b2—a2k2)x2-2a2hnx-a2m2=0AB°：AB°：線段A3中垂線是y-%=-a%中垂線與y軸交于點，且|酬=|用.工紗=1\x=—^— / , ,、a2b2一bx0-ay0 (a'hair1 ) =>可設A , 2 ab- {bx0-ay0bx^-ay^Jy~xy="ia [如)一研—, cib1 』一八、e i-diJa2bcab2一方面’5fbC仇av)；另一方面’線段中點是卬不一--+-,—~~—ab-c{t>^-ayQ) (2bx0-2a%22bx0-2ay(ab2yQc2_2bx「2ay()一"算_加^2(肛打―2*u/a2b+c a2by+ch2(bxQ-ay0)2bx0-2ay02_ab2田-c?(2也--2ay；)_aE-c?(2血%-2a?y；)AF1仃a2b-c(bx0-ay0)a2b3+cb2(bx0-ay0) a4b2-c2(bx0-aya)2考慮到[a?//_c?{2abxny0-2a2y^)]+[a%2-c2(Zzx0-ay0)-=0???■?%=-1。9_1收。|砌=院||Z4|=|7B|=|7^|,點丁確系aA8鳥之外心M!其軌跡是直線x=0.選項A正確!依(1)設A七一研為一研線段。4、08中點是a2a2、-a-a24依(1)設A七一研為一研線段。4、08中點是a2a2、-a-a24-2a%'2x0-2ny0)(2/+2伙2xn+2aya)線段。4中垂線是, …2x0-2ay0x 2x0-2ay0,即與一研=線段。8中垂線是y+2x0+2a%=(%+研)(%一研)i+a22(x+y,即△。鉆外心的軌跡方程為x?_￡=a2(1+").故選項B錯!/ 、 M-VaV,+V/ X,-XA（3）對aPQR來講，若垂心在漸近線上可設坐標是（“,“），進而T2--25產(chǎn)?=一+工/l/g用 （飛%+%電）+（工0%+%4%）（與Z+%丁4）一（工0%3+%%）化簡得”-）、）=（…Hi）M=（%%+%七）+（%”+以必）=（-%+以4）+（七乂+七%）=（.”+乂陽）+伍/+匕％）（匕+%）+（七+月） （、4+%）+（入。+%） （七+%）+（不+%）u=（*抵+必％）一（2+%%）=（%為+%%）一（匕電+乂%）=（環(huán)+%%）一（入0匕+%”）（5+%）-（玉+%） （玉+%）-（七+乂） （七+%）一（與+%）u=（%丫4+工4%）一（力丫4+、4丫3）=（-y,+yoxJ+ljya+zyB）=%%+%工4（￡+%）-（%+%） （七+%）+（$+%） W+%.“一X。%+%% X。%+》3%.》3乂+/%"F+%x$+以內(nèi)+%七+%把,%”+七%

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U加人「（―+乂％）-（七%+%%）（匕+乂）-（玉+、3）并化簡得:（%一%）［（毛一，3）_（七_乂）］=0考慮到〃（王（）,九）不在漸近線上得（%一%）x。，故七-必=々-”.??3言=1'這不可能！垂心不能在kX上，同理不能在尸T上，選項C錯誤;（4）設0（0,0）,X4玉%+%）y（t+X4%+/）2（X4+1必+%）tanZ.ZXY=tanNR=%二如1+%k1TAQRaPRb~ 4-x4 X3+X4^QR=~°~- -a %+M %+”b2x）+x4_x0+x4kPR=~*~；-=~；-。%+%%+”玉+*4tanZZXK=%+M%+%],X3+X4X0+X4%+%%+”（X3+X4）（%+34Hx0+z）（%+H）（%+”）（%+”）+（七+/）（%+》4）tanZZOY=k（）Y~k°x1_i_ .k1丁^OY“QZ%+%%+”X3+X4 X0+X4=（/+七）5+”）—?+5）（%+%）11%+% ％+” （丫3+以）（%+”）+（七+天）（公+工4）x3+x4xo4-x4tanZZYK+tanNZOY=OoNZXY+NZOy=乃00,乙乂，丫共圓！△X〉Z的外接圓過定點原點，選項D對.故選：AD【點睛】關鍵點睛：正確地進行數(shù)學運算，應用夾角公式是解題的關鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.定義z”Z2eC,Z]十z?=；（|Z]+Z2『-|Z|-z2『），4Oz?=4十z2+i（4十iz?）.若4=3+4i,z2=1+4Jii,則IZ]G）z21=.【答案】35【解析】【分析】根據(jù)所給定義、復數(shù)代數(shù)形式的運算法則以及復數(shù)模的計算公式計算可得；【詳解】解：因為4=3+4i,z2=l+4百i,所以4+Z2=4+（4+4G）i,z,-z2=2+（4-4>/3）i,則Z|十Z2=；（|Z|+Z2『-|Z|-Z2『）=；4?+（4+46丫_22_（4_46）[=3+166iz2=（l+4Gi）i=T>/5+i,Z1+iz2=（3-46）+5i,z,-iz2=（3+4>/3）+3i,所以4十iz2=；（|Z|+iz2|2_|Z1_iz2|2）=；[（3—46y+52_（3+4仃）2_32=4_1273,所以4（8>Z2=4十Z2+i（4十iz2）=（3+166）+（4—126）i,所以忸0z,|=J（3+16x/3）：+（4-12^）：=35;故答案為：35TOC\o"1-5"\h\z2 214.過點P（1,D作斜率為女優(yōu)NO）的直線交橢圓E:土+匕=1于A8兩點，若E上存在相異的兩點4 2I（3411/141IPA\C,D使得焉=；=[—；,則外接圓半徑的最小值為 .|I\DB\I尸81【答案】亞10【解析】【分析】根據(jù)題意可知C,O,P在同一個阿氏圓上，可設設P為線段AB的外分點，由此可根據(jù)外接圓的直徑為IPP'I,列出等量關系，并表示出外接圓半徑，設直線A8的參數(shù)方程，聯(lián)立橢圓的方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義，進行化簡，可得答案.r2v2 \PA\【詳解】由題意知點P(1，D在橢圓E:工+上-=1內(nèi)，故需H1，4 2 I物不妨設2>1,則可設0=也=儂=不妨設2>1,\CB\\DB\\PB\故可知CO,P在同一個阿氏圓上，設其半徑為廣，不妨設AB位置如圖:

則由阿氏圓的定義可知，P為線段A8的分比為4的內(nèi)分點，設尸，為分比為；則由阿氏圓的定義可知，P為線段A8的分比為4的內(nèi)分點，設尸，為分比為；I的外分點,則|9|=冏依|,|『川=附夕3],則\P'A\-\PA\=]PP'|=2r,\BP\+\BP'\=\PP'\=2r,故/l|P'例一|AP|=2r,即院(2一|PB|)-|PA|=2r,? |PAMPB|?收r— :\PA\-\PB\fx=l+rcosez 乃設直線AB的方程為4 . （t為參數(shù)，。為傾斜角，0工?！垂ぃ琹+，sina 2代入到—=1中得到：(1+sin2a)t2+2(cosa4-2sina)t—1=0,4 2A>0,設其兩根為乙4，「I 2(cosa+2sina) 1=|…|=144|= ]撞，。為銳角,\PA\-\PB\||^|-|/21||Zj+r212(cosa撞，。為銳角,由于2(cosa+2sina)=2>/5sin(a+⑼，其中sin方半,cos-故941+o<萬+9,當a+en]時，2(cosa+2sina)取到最大值2石，故廠的最小值為一,2a/5 10當力<1時，同理可解得『的最小值為立,10故答案為：立1015.在一棱長為6的正四面體密閉容器內(nèi)部有一半徑為漁的球體自由運動.則容器內(nèi)部未被球所掃過的體4積為.（結果保留到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：72?1.41,73?1.73,^-?3.14,cos70.5° ）3【答案】7【解析】【分析】首先從直觀上分析容器內(nèi)部的哪些區(qū)域是小球永遠不可能接觸到的，容易看到是四個角（頂點附近）的區(qū)域，因此，最終要就是研究小球被卡住的位置，也就是小球與同一頂點的三個側面都相切時的位置先考慮小球在一個角時的情形，如圖，記小球的半徑為"，r=作面AgG〃面ABC,與小球切于4點。，則小球球心。為正四面體P-A4G的中心，/>。_1面48。1于。，且。為4G的中心，所以，Vp.ac=-S3PD=4VO,RC=-S'皿400，r-?3A/IfD|V| O一/1|D|C?3故PD—4OD=4r,PO=3r；再考慮小球與正四面體的一個面（不妨取為△PA4）相切的情形，設球與面尸A片切于點片，。《=「，所以，Pq=59產(chǎn)一產(chǎn)=2&r記正四面體必與G的棱長為。，作用0LPA于M,因為△PA4為正三角形,M心中點，NMP[=30°,所以，MR=B，PM=瓜，PA,=2咽,所以，=^（2>/6r）2sin60c=6y/3r2,%.A鼻G=gs“A屈g.P0=；x6G/.4廠=86，；小球體積匕因為「=手所以，整個容器內(nèi)部未被球所掃過的體積為

,, or;i4 , 95/2>/6v=Vp-AtBlcl-V；=8V3r--nr=- -tv>外六條棱不能觸及的部分，每三條棱和球最大截面所構成的立體圖形為三棱錐減去圓柱的體積，由六條棱組成的立體圖形，它們的高均為6-3=3,兩個這樣的立體圖形的體積為v-Fl3V23V2 ? （V6?J27百9匕=2x—x x x—x3—71x—x3= jr,2 2 2 2 2 4J4 4共計不能接觸到的體積為：X+匕=9及+276—18+、萬X74 8故答案為：7.某同學從兩個筆筒中抽取使用筆，藍色筆筒里有6支藍筆，4支黑筆，黑色筆筒里有6支黑筆，4支藍筆.第一次從黑筆筒中取出一支筆并放回，隨后從與上次取出的筆顏色相同的筆筒中再取出一支筆，依此類推.記第〃次取出黑筆的概率為K，則匕=,ZC-3（《-：）=.【答案】 ①.A+_L）②.（5）（1,）2 5" 384【解析】【分析】第〃次取出黑筆的概率為匕，則取出藍筆的概率為1-月，進而根據(jù)題意建立遞推關系nwN：3再結合nwN：3再結合《=一得數(shù)列為等比數(shù)列，公比為！，首項為,，進而得

5 10+1,再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】解：第〃次取出黑筆的概率為E，則取出藍筆的概率為1-乙，所以第〃+1次取出黑筆的概率為巴用，可能有兩種情況，即第〃次取出的是黑筆或藍筆,3 2 1 2所以第〃+1次取出黑筆的概率為匕+1=［匕+］（1-匕），即匕7=1匕+g，〃eN*，因為"I，J，〃gN.所以數(shù)列［匕|為等比數(shù)列，公比為:，首項為白，INJ D IU所以叫不出=3（丁所以只斗出4-

255哈＞住)11 X-646(1-5一”)(255哈＞住)11 X-646(1-5一”)(1-5~)384綜上，Pn綜上，Pn=1+一，2384故答案為：%+1);—2 5" 384四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟..已知aABC的外心為。，M,N為線段A5,AC上的兩點，且。恰為MN中點.(1)證明：S(2)若|AO|=6,|OM|=1,求―的最大值.?VA8C【答案】(1)證明見解析⑵-9【解析】【分析】(1)設AM=%i，BM=y,4V=w，CN=%，利用余弦定理求得cos/AMO,cosNBMO,再根據(jù)cosNAMO+cosNBMO=0,化簡，可求得王,，同理可求得W力，即可得證；(2)利用余弦定理求得8SNAQW,cosNAQN,再根據(jù)cos/4OM+cosNAON=0結合(1)求得V+x22,設〃=土〃=三，可求得義+〃，再根據(jù)三角形的面積公式結合基本不等式即可得出答案.【小問1詳解】證明：設AM=X1,BM=y,AN=X2，CN=y2,cosZ.BMO=y^+OM--BO2

2%OM1a.?>. , /cccosZ.BMO=y^+OM--BO2

2%OM由余弦定理知：cosZAMO='2xQM由。是aABC外心知AO=BO=CO,而8sNWO+cosNBMO=0,+OM2-AO2y；+OM2-BO2n所以 +— =0,2x「OM 2yoM即(%y+OM2-AO?)(占+X)=0,而占+yxO,因此=AO?-om?,同理可知工2%=AO2-ON2,因此xji=x2y2,所以；【小問2詳解】解：由(1)知=七丫2=2,rhdmir小工田4n AO~+OM~-x{' ..AO~+ON~-x^TOC\o"1-5"\h\z由余弓玄定理知：cosZAOM= -.cosZAON= -,2AOOM 2AOON代入cosZAOM+cosZAON=0得x：+x22=8,設〃=±，丸='，則〃+4=工+工=4,yty2 2 2S,-AMBM.0一1 .1J因此S?abcabac(〃+DU+l)1+5-1+59,M4當且僅當〃=4=2時取到等號，因此裂”的最大值為之\abc 918.象棋屬于二人對抗性游戲的一種，在中國有著悠久的歷史，由于用具簡單，趣味性強，成為流行極為廣泛的棋藝活動.馬在象棋中是至關重要的棋子，“馬起盤格勢，折沖千里余.江河不可障，颯沓入敵虛”將矩形棋盤視作坐標系xOy,棋盤的左下角為坐標原點，馬每一步從(x,y)移動到(x±l,y±2)或(x±2,y±l).(1)若棋盤的右上角為(4,4),馬從(0,0)處出發(fā)，等概率地向各個能到達(不離開棋盤)的方向移動，求其4步以內(nèi)到達右上角的概率.(2)若棋盤的右上角為(16,15),馬從(1,0)處出發(fā)，每一步僅向+x,+y方向移動，最終到達棋盤右上角，若選擇每一條可行的道路是等概率的，求馬停留在線段y=x-l(24x416)上次數(shù)X的數(shù)學期望.【答案】(1)3144193(2)——63【解析】【分析】(1)先求出從(0,0)出發(fā)4步以內(nèi)到達(4,4)且不出棋盤的走法共有8種，利用分步乘法原理求概率即可；(2)先求出馬共走的步數(shù)，根據(jù)題意求解即可.【小問1詳解】從(0,0)出發(fā)4步以內(nèi)到達(4,4)且不出棋盤的走法共有8種，其中4種為:另外4種與以上4種關于直線丁=%對稱.對于以上4種，記第i種路線的概率為匕，則:12626144 22646288jWL-L,kIxWL-L2646288 2646288因此總概率為2x(1一+3x」一戶上-.144 288144【小問2詳解】設馬有機步從(x,y)走到(x+l,y+2),〃步走到(x+2,y+l).771+272=16-12，，+〃=15-?！獾眉瘩R共走了10步，總路徑數(shù)為C器=252.路徑上經(jīng)過的點可能在線段上的有(4,3),(7,6),(10,9),(13,12),(16,15),共5個.因此X=1,2,3,4,5.因此P(X6等總”=2)=遼若34P(X=3)=2x(22x4)+22：4+2x2、2H,相:4)=力』,Go 7 Go63P(X=5)號吟.Go63所以馬停留在線段y=x-l(2<x<16)上次數(shù)X的分布列為：X12345P]_929271663863因此X的數(shù)學期望EX=1xL+2x4+3x4+4x*+5x—=^~9 9 7 63 6363

19.坐落于武漢市江漢區(qū)的漢口東正教堂是中國南方唯一的拜占庭式建筑，象征著中西文化的有機融合.拜占庭建筑創(chuàng)造了將穹頂支承于獨立方柱上的結構方法和與之相呼應的集中式建筑形制，其主體部分由一圓柱與其上方一半球所構成，如圖所示.其中。是下底面圓心，A,3,C是。。上三點，4,81，G是上底面對應的三點.且A。,。共線，AC1OB,CE=EC,fi,F=-FB,正與赤所成角的余弦值為孑叵3 65（1）若E到平面A8C的距離為漢I,求。。的半徑.3（2）在（1）的條件下，已知P為半球面上的動點，且AP=2jiU，求P點軌跡在球面上圍成的面積.【答案】（1）2（2）87（1一毛）【解析】【分析】（1）取上的點N,M.連接。.過N作于，，由OM〃AE,得到瓦目與弧所成的角，設。。的半徑為「，M=h,然后由cos/尸OM=2叵結合故N到面AB。的65距離是2叵求解;3（2）設上底面圓心為0,則Of=2,根據(jù)4尸=2所，設。。2與?！旱膴A角為6,由9R|麗H初+*1=2可，求得cos6=fY2,設弧AG旋轉一周所得到的曲面面積為SL弧尸尸得到1々—=l-cos^s的為邑，由，的為邑，由，S,=—x4^r2I12【小問1詳解】解：如圖，取B8rCE上的點N,M.連接OM,OR月修.過N作NH-LAB于出，則OM〃AE,由題意知cosZFOM=，65設。。的半徑為r,44=/?,由勾股定理知0/=J,+2力2,OM=Jr2+—h2,FM=j2r2+-/i2,V16 \ 16 V4OP1+OM2一FM2由余弦定理知cos/FOM= -代入解得h=2r,2xOFxOM因為EN〃BC,硒0面ABC,所以EN〃面45C,故N到面A,BC的距離是正,3因為3CLAB,BCLAA,,/U1nAB=A,所以8C_L面A48,BCLNH,因為7VH_L8C,NHIA,B,A}BlBC=B,所以NW上面ABC,NH^—3NHAR2G&r和"ABB產(chǎn)麗=即；:2解得r=2，力=4,EP。。的半徑為2.【小問2詳解】解：設上底面圓心為。-則0/=2,RO?與的夾角為。，所以所以|麗|=|通"+印|=j20+4+8&cos6=2廂>解得cos6=RL59尺過P作「。2LAa于。2，則02P=0fsine=￡^，所以點。的軌跡是以。2為圓心，以乎為半徑的圓，因此可作出幾何體被面aoa所截得到的截面，如圖所示.p'p'設弧AG旋轉一周所得到的曲面面積為S1,弧尸p得到的為邑,⑸1 A—=l-cos^則，S則，,因此SzuZir/a-cosOMMa-Si=—x4^r2I'2

因此P點軌跡在球面上圍成的面積為87（1-2叵）20.已知正項數(shù)列{4},{￡}的前〃項和分別為7；,且在平面直角坐標系中點S,,,：吟1）至IJ（T，T），（U）的距離差為2.證明:（1）對于任意〃eN*，均存在實數(shù)x,y使得X47；4y且|X-Y|4〃.（2）若有整數(shù)*（AM3）使得s*=l,則存在實數(shù)X,y使得且I1?一工區(qū)上.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設》="，y=巴士，結合兩點間的距離公式即可證得結論；TOC\o"1-5"\h\zI /（2）取X=&-L,Y=-^—,結合不等式的性質即可證得結論.k2+l【小問1詳解】證明：設x=6“，y=. 2由題意知|J（x+l）2+（y+l]-7（x-l）2+（y-l）21=2,整理得孫=L,因此々='； 22 1+4,因此0<么<1,0<7；<n.故x=。，y=〃符合題意.【小問2詳解】公^x=k--,y=T—,下面證明其符合題意.k2+l因為6”竺)=_L^_(1—竺)=4(1-4)2N0,' 2i+a,2 22(1+a,2)所以《一伙一3)no,(nA-g(K—2kdj—1)(1—kciy(&(K—2kdj—1)(1—kciy(&2+1)2(1+《2)因為2—5(4—)—；—'a2+l)21kk2+\243 k3所以n+E⑸一I,(D21<1k(k—g)2k。(D21<1k(k—g)2k。2k--而—k'2(T)R左3因此存在X=A-―, 符合題意.k2+\2 221.己知點A(-2,0),8(2,0),位于x軸上方的點M是橢圓C:=+4=l(a>b>0)上的動點，且直線cTb~與直線MB的斜率之積為.動直線/與直線M4的傾斜角互補，交。于P(x”X),。(々，必)兩點4(%>%)，設。關于X軸的對稱點為點N.(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點M,N分別作橢圓。的切線《J?交于點/.若當點M,P,Q移動時，始終保持sin/MPQ=?Z,證明：/在一條定直線上.【答案】(1)—+/=14(2)證明見解析【解析】【小問1詳解】設M(x,y)(x#±2), kMB=-^r-TOC\o"1-5"\h\zx+2 x—21 V2由或《?%