極值點(diǎn)偏移問題專題

極值點(diǎn)偏移問題專題（0）偏移新花樣（拐點(diǎn)偏移）例1已知函數(shù)f(X)二2lnx+X2+X，若正實(shí)數(shù)X],x2滿足f1x+f2f=4求證：X]…x2一2。證明：注意到f1尸2,f（X]）+覽）=2f（1f(X1(+f(X2)=2f(12=+2x ?I0X（（1）=0則（（（1）=0則（1,2）是f（圖像的拐點(diǎn)，若拐點(diǎn)（1,2）也是f（X的X=w2，f對稱中心，則有X1中X2=2，證明Xl+X2X則說明拐點(diǎn)發(fā)生了偏移，作圖如下想到了“極值點(diǎn)偏移”，想到了“對稱化構(gòu)造”，類似地，不妨將此問題命名為“拐點(diǎn)偏移”，仍可用“對稱化構(gòu)造”來處理.不妨設(shè)0叮X1乞1?_X2，要證X13x2__2X2.厶X]_1飩占fx2：__f2_X4-fiX1 ..fj2-X]j_&4一fx1f2?x1Fx—fxf2—x，x. 0,1!，則F.x=fx_f2-x(2 )f2 \乜 丿"X''丿gf41(gf41(X得F(x在(0,1]上單增，有f(xF1)=2+(1(，得證。2、極值點(diǎn)偏移PK拐點(diǎn)偏移常規(guī)套路1、極值點(diǎn)偏移(f'X0二0)2、拐點(diǎn)偏移f?xo二o-X-2x_x2一2一01-X2：2xofx1二.X]亠X?2xfX0f(f(x(+ (f(x2f)芻X12Xf*+f(吩((2f戸X2(( 0乞1Xx廣x2>2x極值點(diǎn)偏移問題專題(1)對稱化構(gòu)造(常規(guī)套路)例1(2010天津)已知函數(shù)f?x=xe^.(1)求函數(shù)f(X的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)已知函數(shù)g(X的圖像與fX勺圖像關(guān)于直線X1對稱，證明：當(dāng)>g(X；(3)如果Xi：川2，且f,xi?：二fx2.，證明:解：(1)F々)=「4—EF得/(刈在(YD」｝上/「在(L+X)上、，才(力有極大值f⑴二Z”刃珈H1；e2)pix)的團(tuán)像與川曰的圖像關(guān)于直錢對稱隈眩乂的解析式為y=/(2-x)構(gòu)適輔助囲數(shù)鬥丈2八x)-g(x］二于(刃-丁(2-工i尸(兮=尸(對+尹卩一對十(T+嚴(yán)d=d(4_$當(dāng)疋A1時(shí)tx—1>0t亡e >0片則Ix)>0t得F(￡在｛L"Rh)上單壇t有jF(x)>F(l)=0f即/(i)>g(jc).?［由子(西)=八對『結(jié)合的單調(diào)性可設(shè)讓吃「特也代入(2)中不等式得/(^)>/(2-3^),5t/(ai)=/(x0「SR/(J*tJ>/｛2-ii)r又再<1j2-Xj<1,f(x|在tTE=1|上單壇,故\>2—x2t兀*馮>2■來源：撤信公眾號中學(xué)數(shù)學(xué)研討都潘點(diǎn)評：該題的三問由易到難，層層遞進(jìn)，完整展現(xiàn)了處理極值點(diǎn)偏移問題的一般方法一一對稱化構(gòu)造的全過程，直觀展示如下：例1是這樣一個(gè)極值點(diǎn)偏移問題：對于函數(shù) f( X)二x，已知fi(X )二f(疥)，xi求x2,證明約+2X> 2再次審視解題過程，發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)XI，為的范圍(0<X］弍kx2)；(2)不等式f(X>f(2—xXx>1)；

(3)將色代入(2)中不等式，結(jié)合f:x的單調(diào)性獲證結(jié)論.把握以上三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，就可輕松解決一些極值點(diǎn)偏移問題.2(2016新課標(biāo)I卷)已知函數(shù)f(x)=(x-2(ex+(ax兒有兩個(gè)零點(diǎn).(1求a的取值范圍;(2設(shè)x^，x是f((1求a的取值范圍;(2設(shè)x^，x是f(的兩個(gè)零點(diǎn)，證明:xi一x2 二解:(1) -：二，過程略;(2)由(1)知f：x在-二，1上，在：，由f1x二f必二，0可設(shè)x1((2x構(gòu)造輔助函數(shù)Fx二fx-f,2-xF'(x)=f(x)+f(2-x二x-二x-當(dāng)exF'(x)=f(x)+f(2-x二x-二x-當(dāng)ex2a：-?1-x：e2-x2aex_e2-xx時(shí)，X1 0x2x，貝吒 _ue_e<0 F:(，得::-0F—JO上,1，又F(x)vO(x<1，即f(xXf(2-xx<1坷代入上述不等式中得 f(徑戸f(x2)Vf(2_]X),又x> 1，2x1，坷+x2v2.通過以上兩例，相信讀者對極值點(diǎn)偏移問題以及對稱化構(gòu)造的一般步驟有所了解.但極值點(diǎn)偏移問題的結(jié)論不一定總是 X1.x2...：：：2X0，也可以是，借鑒前面的解題經(jīng)驗(yàn)，我們就可給出類似的過程.求證:已知函數(shù)fx=xlnx勺圖像與直線y=m交于不同的兩點(diǎn)1舛》：—2-eax1，y，證明:(i)fx)=ln春1，得fx在(0門.e；當(dāng)°：：:X:::1時(shí),(x)‘<0；f((x)‘<0；f(1)=0；當(dāng)x>時(shí)，f(fX.r,于是fX的圖像如下，得?1''■^xj1>

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e'x/M> 1fEXl+——■Fex1(.=(1+lnX)j1 二^0<x<-Blrl+lnx<0.1-e-<0t則F,{x）>0『得F&）在9丄^0<x<-Blrl+lnx<0.1-eF(x)<F-[-0,BDVej（Hi）（Hi）將坷代入（心中不等式得*又f{Xx)=f(Xxjt故<1A_f/7劉在；-7+x:上/,故疋\e/T來源：微信公處導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)硏討瞬小結(jié)：用對稱化構(gòu)造的方法解極佳點(diǎn)偏移問題大致分為以下二步：stepl:求導(dǎo)，獲得fX的單調(diào)性，極值情況，作出fX的圖像，由fX］f,X2二得X］,X2的取值范圍（數(shù)形結(jié)合）;step2:構(gòu)造輔助函數(shù)（對結(jié)論xi+x2A（u）2x0，構(gòu)造F