數(shù)學建模微分方程模型

關于數(shù)學建模微分方程模型第1頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三動態(tài)模型

描述對象特征隨時間(空間)的演變過程.

分析對象特征的變化規(guī)律.

預報對象特征的未來性態(tài).

研究控制對象特征的手段.

根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系確定函數(shù).微分方程建模

根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設.

按照內在規(guī)律或用類比法建立微分方程.第2頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三1目標跟蹤問題

設位于坐標原點的甲艦向位于x軸上點A(1,0)處的乙艦發(fā)射導彈，導彈頭始終對準乙艦．如果乙艦以最大的速度v0(常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導彈的速度是5v0，求導彈運行的曲線方程．乙艦行駛多遠時，導彈將它擊中？第3頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三由(1),(2)消去t,整理得模型:第4頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三解法二(數(shù)值解法)1．建立M文件eq1．m

functiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2．取x0=0，xf=0．9999，建立主程序如下：

x0=0，xf=0．9999[x,y]=ode15s('eq1',[x0xf],[00]);plot(x,y(:,1),’b．')holdony=0:0．01:2;plot(1,y,’b*')

結論:導彈大致在（1，0．2）處擊中乙艦.令y1=y,y2=y1’，將方程（3）化為一階微分方程組．第5頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三結果見圖導彈大致在（1，0．2）處擊中乙艦，與前面的結論一致．返回

結論：時刻t=0．21時，導彈在（1，0．21）處擊中乙艦．第6頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三背景

年份1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況

年份19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長2如何預報人口的增長做出較準確的預報建立人口數(shù)學模型第7頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三指數(shù)增長模型——馬爾塞斯1798年提出常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口(相對)增長率r

是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長.與常用公式的一致?第8頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三指數(shù)增長模型的應用及局限性

與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合.

適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代.

可用于短期人口增長預測.

不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律.

不能預測較長期的人口增長過程.19世紀后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)第9頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三阻滯增長模型——Logistic模型人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)第10頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三dx/dtxOxmxm/2txOx增加先快后慢xmx0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)指數(shù)增長模型Logistic模型的應用

經濟領域中的增長規(guī)律(耐用消費品的售量).

種群數(shù)量模型(魚塘中的魚群,森林中的樹木).S形曲線第11頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù)r或r,xm.模型的參數(shù)估計、檢驗和預報

指數(shù)增長模型阻滯增長模型由統(tǒng)計數(shù)據(jù)用線性最小二乘法作參數(shù)估計例：美國人口數(shù)據(jù)(百萬)t186018701880…19601970198019902000x31.438.650.2…179.3204.0226.5251.4281.4第12頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三r=0.2022/10年，x0=6.0450模型的參數(shù)估計、檢驗和預報

指數(shù)增長模型阻滯增長模型r=0.2557/10年，xm=392.0886年實際人口計算人口(指數(shù)增長模型)計算人口

(阻滯增長模型)17903.96.03.918005.37.45.0…………1960179.3188.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.32000422.1指數(shù)增長模型阻滯增長模型第13頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三用模型計算2000年美國人口誤差約2.5%與實際數(shù)據(jù)比較(2000年281.4)=274.5模型的參數(shù)估計、檢驗和預報

為作模型檢驗在參數(shù)估計時未用2000年實際數(shù)據(jù)加入2000年數(shù)據(jù)重估模型參數(shù)r=0.2490，xm=434.0x(2010)=306.0

預報美國2010年人口美國人口普查局2010年12月21日公布：截止到2010年4月1日美國總人口為3.087億.預報誤差不到1%！第14頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三場景3如何施救藥物中毒兩位家長帶著孩子急匆匆來到醫(yī)院急診室.訴說兩小時前孩子一次誤吞下11片治療哮喘病、劑量100mg/片的氨茶堿片，已出現(xiàn)嘔吐、頭暈等不良癥狀.按照藥品使用說明書，氨茶堿的每次用量成人是100~200mg，兒童是3~5mg/kg.過量服用可使血藥濃度(單位血液容積中的藥量)過高，100μg/ml濃度會出現(xiàn)嚴重中毒,200μg/ml濃度可致命.醫(yī)生需要判斷：孩子的血藥濃度會不會達到100~200μg/ml；如果會達到，應采取怎樣的緊急施救方案.第15頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三調查與分析轉移率正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥物體外認為血液系統(tǒng)內藥物的分布，即血藥濃度是均勻的，可以將血液系統(tǒng)看作一個房室，建立“一室模型”

.藥量x(t)藥量y(t)血液系統(tǒng)對藥物的吸收率(胃腸道到血液系統(tǒng)的轉移率)和排除率可以由半衰期確定.半衰期可以從藥品說明書上查到.第16頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三通常，血液總量約為人體體重的7%

~8%，體重50~60kg的成年人有4000ml左右的血液.目測這個孩子的體重約為成年人的一半，可認為其血液總量約為2000ml.調查與分析血藥濃度=藥量/血液總量

口服活性炭來吸附藥物，可使藥物的排除率增加到原來（人體自身）的2倍.臨床施救的辦法：

體外血液透析，藥物排除率可增加到原來的6倍，但是安全性不能得到充分保證.第17頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三模型假設

1.胃腸道中藥物向血液的轉移率與x(t)成正比，比例系數(shù)λ(>0)，總劑量1100mg藥物在t=0瞬間進入胃腸道.2.血液系統(tǒng)中藥物的排除率與y(t)成正比，比例系數(shù)μ(>0)，t=0時血液中無藥物.3.氨茶堿被吸收的半衰期為5h，排除的半衰期為6h.4.孩子的血液總量為2000ml.胃腸道中藥量x(t),血液系統(tǒng)中藥量y(t)，時間t以孩子誤服藥的時刻為起點（t=0）.第18頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三模型建立x(t)下降速度與x(t)成正比(比例系數(shù)λ),總劑量1100mg藥物在t=0瞬間進入胃腸道.轉移率正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥物體外藥量x(t)藥量y(t)y(t)由吸收而增長的速度是λx，由排除而減少的速度與y(t)成正比(比例系數(shù)μ),t=0時血液中無藥物.第19頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三模型求解

藥物吸收的半衰期為5h藥物排除的半衰期為6h只考慮血液對藥物的排除第20頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三血液總量2000ml血藥濃度200μg/ml結果及分析胃腸道藥量血液系統(tǒng)藥量血藥濃度100μg/mly(t)=200mg嚴重中毒y(t)=400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到達醫(yī)院前已嚴重中毒，如不及時施救，約3h后將致命！y(2)=236.5第21頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三施救方案

口服活性炭使藥物排除率μ增至原來的2倍.

孩子到達醫(yī)院(t=2)就開始施救，血液中藥量記作z(t)λ=0.1386(不變)，μ=0.1155×2=0.2310第22頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三施救方案

t=5.26z=318

施救后血液中藥量z(t)顯著低于y(t).z(t)最大值低于致命水平.

要使z(t)在施救后立即下降，可算出μ至少應為0.4885.若采用體外血液透析，μ可增至0.1155×6=0.693，血液中藥量下降更快；臨床上是否需要采取這種辦法，當由醫(yī)生綜合考慮并征求病人家屬意見后確定.第23頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三偏微分方程與數(shù)學模型2023/7/2濟南大學數(shù)學科學學院24第24頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三偏微分方程偏微分方程（PartialDifferentialEquations）指在物理學、力學、工程技術以及其他自然科學、技術科學、管理科學、甚至社會科學等的研究中歸納出來的一些含有未知函數(shù)及其偏導數(shù)的方程2023/7/2濟南大學數(shù)學科學學院25第25頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三什么是偏微分方程？

2023/7/2濟南大學數(shù)學科學學院26物理量(如位移、溫度等)----時間、空間位置

---------------物理量的變化規(guī)律(偏微分方程)第26頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三

例子

2023/7/2濟南大學數(shù)學科學學院27第27頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三研究內容

2023/7/2濟南大學數(shù)學科學學院28一般規(guī)律+定解條件(初始條件、邊界條件)定解問題定解問題的適定性：存在性（Existence）唯一性（Uniqueness）穩(wěn)定性（Stability）+附加條件方程第28頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三4人口預測和控制年齡分布對于人口預測的重要性.只考慮自然出生與死亡，不計遷移.人口發(fā)展方程第29頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三人口發(fā)展方程一階偏微分方程第30頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三人口發(fā)展方程p0(r)~已知函數(shù)(人口調查)f(t)~生育率(控制人口手段)0tr第31頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三生育率的分解~總和生育率h~生育模式0第32頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三人口發(fā)展方程和生育率~總和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密正反饋系統(tǒng)滯后作用很大第33頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時刻出生的人，死亡率按(r,t)計算的平均存活時間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制N(t)不過大控制(t)不過高第34頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三5

煙霧的擴散與消失現(xiàn)象和問題炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴散，形成圓形不透光區(qū)域.不透光區(qū)域不斷擴大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失.建立模型描述煙霧擴散和消失過程，分析消失時間與各因素的關系.問題分析無窮空間由瞬時點源導致的擴散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化.觀察到的煙霧消失與煙霧對光線的吸收、以及儀器對明暗的靈敏程度有關.第35頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三模型假設1）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風的影響；擴散服從熱傳導定律.2）光線穿過煙霧時光強的相對減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強.3）穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定.模型建立1）煙霧濃度的變化規(guī)律熱傳導定律：單位時間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比.第36頁，講