二類曲線與曲面積分

第十章 第二類曲線與曲面積分§1.1第二類曲線與曲面積分網(wǎng)絡圖b5E2RGbCAP概念第二類曲線.積分性質(zhì)計算曲線積分與路徑無關(guān)性概念第二類曲面.積分性質(zhì)計算第二類曲線與曲面積分格林公式各類積分的聯(lián)系高斯公式斯托克斯公式功應用環(huán)流量流量散度場論旋度§1.2內(nèi)容提要與釋疑解難一、第二類曲線積分定義若矢量函數(shù)Ax,y,zPx,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z與曲線AB上點(x,y,z>處切線地00單位矢量Tcos,cos,cos(且T地方向AB指定地方向一致>地點乘積在AB上地第一類曲線積分AT0.p1EanqFDPw存在該積分值稱為Ax,y,z沿曲線從A到B地第二類曲線積分.AT0ds地物理意義是：當流體流速為A沿閉合曲線指定地方向通過地環(huán)流量.注：由定義知第二類曲線積分是特殊地第一類曲線積分.若把A.T0看成數(shù)量函數(shù),這個積分也具有第一類曲線積分地性質(zhì) .DXDiTa9E3d由定義容易得到下面兩個性質(zhì)性質(zhì)1 AT0ds AT0dsAB BA注：等式左右兩邊地 T0正好相差一個符號 .性質(zhì) 2 若有向曲線 AB 是由有向曲線 AC , CB 首尾相接而成,則AB AT0ds

AC AT0ds

CB AT0ds.記0cos,cos,cos,,.dsTdsdsdxdydz注：cosdsxdx是ds在x軸上地有向投影,當為銳角,dx0,當為鈍角,dx0,,dx0,dy,dz是ds分別在y軸,z軸上地有向投影,而從而第二類曲線積分五種形2式之一出現(xiàn)： RTCrpUDGiTAT0dsPcosQcosRcosdsABABAdsPx,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdzABABPx,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz.ABABAB而常常以形式ABPx,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz出現(xiàn)地較多,如果是直接計算,不論是給哪一種形式出現(xiàn),都需化成Px,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz地形式<最后一種形式AB和上面形式實際上是相同地）5PCzVD7HxAxxt若曲線AB:yyt,為光滑曲線且起點A對應地參數(shù)為tA,終點B對應地參數(shù)為tB,則zztPx,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdzABtB,yt,ztxtQxt,yt,ztytRxt,yt,ztztdt.PxttA必須注意,公式中地tA,tB一定要與曲線地起點A終點B相對應.即化成t函數(shù)地定積分時,積分地下限必須是起點A對應地參數(shù),積分地上限必須是終點B對應地參數(shù),至于上下限誰大誰小不受限制,這一點與第一類曲線積分化為一元函數(shù)定積分時,下限一定小于上限地限制是不同地.jLBHrnAILg而平面上地第二類曲線積分,是空間第二類曲線積分地特殊情況,這是,r,PPx,y,QQx,y,即為Px,ydxQx,ydy.2 AB格林<Green）公式若函數(shù)Px,y,Qx,y在有界閉區(qū)域D上具有連續(xù)地一階偏導數(shù),則PdxQdyQPdxdy,這里為區(qū)域D地邊界曲線,并取正向.xHAQX74J0XDxy格林公式也可借助行列式來記憶PdxQdyxydxdy.DPQ注意：這里與Q乘積指地是QQ.xxx定義沒有洞地平面區(qū)域,稱為平面單連通區(qū)域,有洞地連通區(qū)域稱為復連通區(qū)域.定理設在單連通區(qū)域D內(nèi),P,Q具有連續(xù)地一階偏導數(shù)且PQ,則環(huán)繞同一些洞<如圖10-yx1）地任何兩條閉曲線<取同方向）上地曲線積分相等.LDAYtRyKfE平面曲線積分與路徑無關(guān)性定理設DR2是平面單連通區(qū)域,若函數(shù)Px,y,Qx,y在區(qū)域D內(nèi)具有連續(xù)地一階偏導數(shù),則以下四個條件等價：<1）沿D中一按段光滑地閉曲線L,有PdxQdy0；L<2）對D中任一按段光滑曲線,曲線積分PdxQdy與路徑無關(guān),只與地起點和終點有關(guān)；圖10-1<3）PdxQdy是D內(nèi)某一些函數(shù)ux,y地全微分,即在D內(nèi)存在一個二元函數(shù)ux,y,使duPdxQdy即uP,uQ；,xy<4）在D內(nèi)每一點處,有PQ.x斯托克斯<Stokes）公式設光滑曲面S地邊界曲線L是按段光滑地連續(xù)曲線,若Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在S<連同L）上具有連續(xù)地一階偏導數(shù),則Zzz6ZB2LtkPdxQdyRdzRQdydzPRdzdxQPdxdy.LSyzzxxy其中S地側(cè)面與L地方向按右手法則確定由定理地證明過程可知,只要以L為邊界且符合定理條件地曲面S,結(jié)論都成立,從而我們在利用Stokes公式時,尋找以L為邊界地較簡單曲面S,比如平面上地圓面,橢圓面,三角形平面或球面等等,以利于解決問題.dvzfvkwMI1定義若空間區(qū)域V中任意地封閉曲線L,都可以找以L為邊界地曲面SV,則V為線單連通區(qū)域.空間曲線積分與路徑無關(guān)性定理設 R3為空間線單連通區(qū)域 ,若函數(shù)P、Q、R在 上具有連續(xù)地一階偏導數(shù) ,則以下四個條件是等價地：<1）對于內(nèi)任一按段光滑地封閉曲線L,有PdxQdyRdz0；L<2）對于內(nèi)任一按段光滑地曲線,曲線積分PdxQdyRdz與路徑無關(guān),僅與起點、終點有關(guān)；<3）PdxQdyRdz是內(nèi)某一函數(shù)地全微分,即存在內(nèi)地三元函數(shù)ux,y,z,使duPdxQdyRdz,即uP,uQ,uR；xyz<4）PQ,QR,RP在內(nèi)處處成立.yxzyxz即rotA0,x,y,z其中Ax,y,zPx,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z.,二、第二類曲面積分定義若矢量函數(shù)Ax,y,zPx,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z與曲面S在曲面上點x,y,z處單位法向量n0cos,cos,cos<n0地方向與曲面S指定地方向相同）地點乘積在S上地第一類曲面積分An0dS存在,該積分值稱為Ax,y,z沿定側(cè)曲面S上地第二類曲面積S分.rqyn14ZNXIAn0dS地物理意義是當流速為A地不可壓縮流體,通過封閉曲面S沿指定側(cè)地S流量.S由定義知第二類曲面積分是特殊地第一類曲面積分,若把An0看成一個數(shù)量函數(shù),這時為第一類曲面積分,也具有第一類曲面積分地性質(zhì) .EmxvxOtOco由定義知第二類曲面積分具有下面兩條性質(zhì)性質(zhì)1An0dSAn0dS.SS性質(zhì)2An0dSAn0dSAn0dS.SS1S2其中S1,S2地側(cè)與曲面S地側(cè)相同且S=S1+S2,S1,S2只有公共邊界.設dSn0dScos,cos,cosdSdydz,dzdx,dxdy,其中dxdycosrdS,稱為dS在Oxy平面上地有向投影,當r為銳角時,dxdy0,當r為鈍角時,dxdy0,當r時,dxdy0.2我們可以證明cosrsgnrcosr.事實上,當r為銳角時,cosr0,sgnr1,知22cosrsgnrcosr,當r為鈍角時,cosr0,sgnr1,知cosrsgnrcosr,222當r為時,cosr0,sgnr0,知cosrsgnrcosr.222從 而 dxdy cosrdS sgn r cosrdS sgn rd . 同 理 可 知2 2cossgncos,cossgn2cos,且21,x0,dydzsgnd,dzdxsgn2d.其中sgnx0,x0,21,x0.第二類曲面積分常常以下面五種形式之一出現(xiàn)：An0dSPcosQcosRcosrdSSSAdSPx,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdySSPx,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdy.SSS如果是直接計算,無論是以哪一種形式給出,一定要化下面形式Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdy來計算,而且每一項要分別計算再相加,我SSS們以計算Rx,y,zdxdy為例.S要求光滑曲面S一定要表示成zzx,y:x,yxy<其中xy是曲面S在Oxy平面上地投影區(qū)域）,且要求曲面S上每一點<x,y,z）處地法向量與Oz軸地夾角或者全是銳角或者全是鈍角<曲面上個別曲線地法向量可以為）或者全是.如果做不到上述要求,需把S分成幾塊,使得每一塊22能做到上述要求,然后根據(jù)第二類曲面積分性質(zhì),把S上地第二類曲面積分化為小塊曲面上地第二類曲面積分,計算之再相加之即可.SixE2yXPq5現(xiàn)假設S符合上述要求,即S:zzx,y,x,yxy,且r全是銳角或全是鈍角或全是2,此時sgnr為一常數(shù),則2Rx,y,zdxdyRx,y,zcosrdSRx,y,zsgnrcosrdSSSS2Rx,y,zx,ysgnrdsgnrRx,y,zx,yd.6xy22xy即r全為銳角時Rx,y,zdxdyRx,y,zx,yd.Sxy即r全為鈍角時Rx,y,zdxdyRx,y,zx,yd.Sxy即r全為時Rx,y,zdxdy0.2S注：r2時,dxdycosds0.換句話說如果S在Oxy平面上地投影面積為零時,有r,22此時Rx,y,zdxdy0.S同理可知計算Rx,y,zdydz時,要求S:xxy,z,y,zyz<S在Oyz平面上地投影區(qū)S域）全是銳角或全是鈍角或全是2,此時,Px,y,zdxdzsgn2Pxy,z,y,zd.Syz計算Qx,y,zdzdx時,要求S:yyz,x,z,xzx<S在Ozx平面上地投影區(qū)域）全是銳S角或全是鈍角或全是,此時,Qx,y,zdzdxsgn2Qx,yz,x,zd.6ewMyirQFL2Szx高斯<Gauss）公式設空間區(qū)域V由分片光滑地閉曲面S圍成,若函數(shù)P,Q,R在V上具有連續(xù)地一階偏導數(shù),則PdydzQdzdxRdxdyPQRdv,其中S取外側(cè).kavU42VRUsSVxyz注：以上關(guān)于不論是第二類曲線積分或第二類曲面積分地定理都要求P,Q,R具有連續(xù)地一階偏導數(shù),這一條件要引起大家地重視.y6v3ALoS89三、場論設Ax,y,zPx,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z,且P,Q,R偏導數(shù)存在,稱函數(shù)PQR為x y z向量函數(shù)A在點M<x,y,z,記作divAx,y,z.即divAxyzQR.且散度具有）地散度,,Pxyz線性運算法則,即divABdivAdivB.其中,為常數(shù),A,B為向量函數(shù),利用散度地概念,高斯公式可寫成下列簡潔形式AdsdivAdv.M2ub6vSTnPSV若Mx,y,zv,有divA0,稱A為無源場,并有下面兩個推論.推論1若在封閉曲面S所包圍地區(qū)域V中處處有divA0,則AdS0.S推論2如果僅在區(qū)域V中某些點<或子區(qū)域上）divA0或divA不存在,其它點都有divA0,則通過包圍這些點或子區(qū)域<稱為洞）地V內(nèi)任一封閉曲面積分<物理意義為流量）都是相等地,即An0dsAn0ds.其中S1,S2是包圍之同地任何兩個封閉曲面,且法方向沿同側(cè).0YujCfmUCwS1S2定義設APx,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z,且P,Q,R具有一階偏導,稱矢量函數(shù)RQPRQP為矢量函數(shù)A在點M<x,y,z）處地旋度,記作rotA,即y,zx,yzxijkrotARQ,PR,QP或者形式可寫成rotAxy以便記憶,yzzxxyzPQR旋度也具有線性運算法則,即rotABrotArotB.此時斯托克斯公式可寫成AdsrotAdS.LS§1.3解題基本方法與技巧一、第二類曲線積分計算地方法1．Px,ydxQx,ydy其中L是平面上簡單封閉曲線.L<1）若能找到一個單連通區(qū)域D,使LD,而P,Q在D上具有連續(xù)地一階偏導數(shù),且QP,x,yD由平面曲線積分與路徑無關(guān)性知Px,ydxQx,ydy0.eUts8ZQVRdx,yL<2）若L包圍地區(qū)域為,P,Q在上具有連續(xù)地一階偏導,但QP此時可用格林公式,有xyPx,ydxQx,ydyQPd.當L沿正向,取“+”號,沿負向取“一”Lxy號.sQsAEJkW5T<3）若L包圍地區(qū)域QP有洞,在這些洞上,P,Q或者偏導數(shù)不連續(xù)或者,但在其余xy點,P,Q具有連續(xù)地偏導數(shù)且QPL1與L環(huán)繞同一些洞且方向一致x,此時可找一簡單封閉曲線y則由前面給出地復連通區(qū)域上地定理知Px,ydxQx,ydyPx,ydxQx,ydy.而L1LL1容易化成參數(shù)方程且轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)定積分后,容易計算.GMsIasNXkA<4）若L容易化成參數(shù)方程且轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)定積分后,容易計算,也可直接化成一元函數(shù)積分.2．Px,ydxQx,ydy.其中AB是非封閉地平面曲線,起點Ax0,y0,終點Bx1,y1.AB<1）若能找到一個單連通區(qū)域D,使ABD,P,Q在D上具有連續(xù)地一階偏導數(shù),且QPPx,ydxQx,ydyx1y1x,該曲線積分與路徑無關(guān),則Px,y0dxQx1,ydy.yABx0y0<2）若P,Q偏導數(shù)連續(xù),但 Q P,x,yx y

AB,且 AB化成參數(shù)比較方程困難或者化成參數(shù)方程轉(zhuǎn)化一元函數(shù)定積分很難計算 ,且加一個簡單曲線 <比如直線段）構(gòu)成封閉曲線 ,則可加一個簡單曲線L,減一個簡單曲線 L,即原式TIrRGchYzgPdxQdyPdxQdyQPdxdyPdxQdyABLLxyL而二重積分與在L上地第二曲線積分都容易計算.<二重積分前地“”號,由曲線ABL方向確定）<3）若AB容易化成參數(shù)方程,且第二類曲線積分轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)定積分以后容易計算,也可直接轉(zhuǎn)化.3．Px,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz,其中L為空間簡單封閉曲線.L<1）若找到一個線單連通區(qū)域V,使LV,P,Q,R在V上具有連續(xù)地一階偏導數(shù),且rotA0,x,y,zVAP,Q,R則由曲線積分與路徑無關(guān)性知PdxQdyRdz0.L<2）若P,Q,R偏導數(shù)連續(xù),但rotA 0,x,y,z L.可找一個以 L為邊界曲線地簡單曲面 ,由斯托克斯公式知RQPRQP.PdxQdyRdzdydzdzdxdxdyLyzxzxy要求第二類曲面積分容易計算.7EqZcWLZNX<3）若L容易化成參數(shù)方程,且第二類曲線積分化成一元函數(shù)定積分后容易計算,也可直接計算.4．Px,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz,其中AB為空間曲線,起點Ax0,y0,z0,終點ABBx1,y1,z1.<1）若找到一個線單連通區(qū)域V,使ABV,P,Q,R在V具有連續(xù)地一階偏導數(shù),且rotA0,x,y,zV,則該積分與路徑無關(guān),則PdxQdyRdzx1dxy1z1x1,y1,zdz.Px,y0,z0Qx1,y,z0dyABx0y0z0<2）若該積分與路徑有關(guān),但AB容易化成參數(shù)方程,且轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)定積分后容易計算,可直接計算.5．第二類曲線積分有時也可轉(zhuǎn)化為第一類曲線積分 ,利用第一類曲線積分來計算 .以上方法請大家靈活使用 .二、關(guān)于原函數(shù)1．在一元函數(shù)里,若fx連續(xù),則fx必有原函數(shù),即使Px,y,Qx,y連續(xù),Px,ydxQx,ydy也不一定存在ux,y,使duPdxQdy.若P,Q在單連通區(qū)域D上具QP,x,yD,則ux,yxy有連續(xù)地一階偏導,且Px,y0dxQx,ydyC,使xyx0y0duPdxQdy.即uP,uQ,其中x0,y0D<定點）lzq7IGf02Exy2．同理若P,Q,R在空間某線單連通區(qū)域V上具有連續(xù)地一階偏導數(shù),且xyzrotA0,x,y,zV,則ux,y,zx0Px,y0,z0dxy0Qx,y,z0dyRx,y,zdzc,z0使duPdxQdyRdz,即uP,uQ,uR.其中x0,y0,z0V.xyz3．若曲線積分Px,ydxQx,ydy與路徑無關(guān),P,Q中含有待求地字母常數(shù),且P,Q具有L連續(xù)地偏導數(shù),由曲線積分與路徑無關(guān)地四個等價條件知QP,從中求出待求字母常x y數(shù).zvpgeqJ1hk4、利用平面封閉曲線上地第二類曲線積分計算平面圖形地面積：在格林公式中,令Py,Qx,有ydxxdy11dxdy2S,因此S1是有ydxxdy.其中D2界閉區(qū)域 D地邊界,沿正向.NrpoJac3v15．第二類曲線積分地牛頓一萊布尼茲公式若dux,yPx,ydxQx,ydy,則Px,ydxQx,ydyBx1,y1ux1,y1ux0,y0.dux,yABAx0,y0若dux,y,zPx,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz,則Px,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdzBx1,y1,z1ux1,y1,z1ux0,y0,z0.dux,y,zABAx0,y0,z0三、第二類曲面積分計算方法1．Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdy<1）若P,Q,R在包圍地立體區(qū)域V具有連續(xù)地一階偏導數(shù),則PdydzQdzdxRdxdyPQRdv,曲面沿外側(cè)取“+”號,曲面沿內(nèi)側(cè)取“-”xyzV號.要求右邊三重積分容易計算.<2）若曲面包圍地立體V內(nèi)有洞,而在洞外面,P,Q,R具有連續(xù)偏導數(shù),且divA0,AP,Q,R,利用推論2轉(zhuǎn)化為與包含同一些洞地曲面1上地第二類曲面積分,而且沿同一側(cè)方向,即PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy,要求1是簡單地曲1面,且右邊或者直接計算或者化成第一類曲面積分計算.1nowfTG4KI<3）若曲面本身也比較簡單,也可直接計算或者化成第一類曲面積分計算.2．Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdy,其中S是非封閉地光滑曲面.S<1）若直接計算比較困難,而加一個簡單曲面S1構(gòu)成封閉曲面,且符合高斯定理條件,則PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdySSS1S1PQRdvPdydzQdzdxRdxdyVxyzS1“”由曲面法線方向地側(cè)確定,要求右邊地三重積分容易計算,后面一項第二類曲面積分直接容易計算.<2）也可直接計算或轉(zhuǎn)化為第一類曲面積分來計算 .例1在變力Fxyizxjxyk地作用下,質(zhì)點由原點沿直線運動到橢球面x2y2z21上第一象限地點M,,,問,,取何值時,力F所作地功W最大？并求出a2b2c2W地最大值.fjnFLDa5Zo解直線段OM:xt,yt,zt,t從0到1,功W為Wyzdxzxdyxydz1t2dt.OM30222下面求W,,在條件b2c210,0,0下地最大值.a2222令F,,,1b2c2.a2F0,2,a2222222F221.于是得由0,得,從而2b2c2,即得a2b2c2ba3F0,2,c2a,b,c.由問題地實際意義知Wmax3abc.3339例2設位于點<0,1）地質(zhì)點A對質(zhì)點M地引力大小為k<k>0為常數(shù),r為質(zhì)點A與M之間地r2距離）,質(zhì)點M沿曲線y2xx2自B(2,0>運動到O(0,0><圖10-2）.求在此運動過程中質(zhì)點A對質(zhì)點M地引力所作地功.tfnNhnE6e5解由圖10-1MA0x,1y,rMAx21y2.引力f地方向與MA一致,故fkx,1y.從而,引力所作地r3功Wkxdx1ydyk11.BOr35注：因線積分與路徑無關(guān) ,故取沿BO積分得出結(jié)果 .例 3 計算 y2dx z2dy x2dz, 為球面 x2 y2 z2 a2與圓柱面 x2 y2 ax交線<z0,a0）,從Ox軸正向看去,曲線按逆時針方向,圖10-3）.22解將交線改寫成參數(shù)形式,由圓柱面方程xay2a,22令xaacost,yasint.并代入球面方程,得zasint.2222于是,得地參數(shù)方程為xacos2t,yasint,zasint,0t2.222代入積分式,得y2dxz2dyx2dz2asint2acostacos2t20asintasintacostdt22222222333asin3tasin2tcostacos5tdt082222a32tcostdta32a3sin.02cos2tdt22404例4計算y2dxxyxR2x2dy其中沿上半圓周IcR2x242ln,Cx2y2R2y0從點A<-R,0）到點B<R,0）<圖10-4）解考慮有向直線段BA,令y2I1dx4x2ylnxBAR2x2由Green公式<注意曲線方向?。?,得QPPDx,其中y

R2x2dy,圖10-3y2R2x2R2,Q4x2ylnx,D為半圓域x2x2y2R2,y0.因為在x軸上y=0,dy=0,所以I1=0.故IQPdxdyDxy2y2yx2dxdy122D4R2x2R2D4dxdy42R2R.注：如將曲線C表為yR2x2或xRcost,yRsint直接計算是很麻煩地,一個曲線積分PdxQdy,如果較難直接計算應先算一下QP如果QP地表達式較簡單,就可C,xy,xy用加一個簡單曲線<一般為直線段）,減一個該曲線.HbmVN777sL例5計算I12xyeydxcosyxeydy,其中AOB為由點<-1,1）沿曲線yx2到點AOBO<0,0）再沿直線y=0到點B<2,0）地路徑.V7l4jRB8Hs解積分路徑見圖10-4.Ieydxcosyxeydy12xydx.AOBAOB右端第一個積分滿足QeyP故積分與路徑無關(guān).xy,圖10-420Idxcosyeydy12xydx12xydx11AOOB3sin1e10x2dx2sin1e23x401sin1e1.12x12x0dx10例6計算Ixydxxy2dy,其中L是點A<-a,0）經(jīng)上半橢圓Lx2y2x2yx2y21y0到B<a,0）地弧段<圖10-6）.a2b2解Pxy,Qxy.x2y2x2y222圖10-5當x,y0,0時,Pyx2xyQ.<1）x2yy22x設D是去掉原點地上半面地區(qū)域,則D是單連通區(qū)域,P,Q在D內(nèi)有連續(xù)地偏導數(shù)并且<1）式成立,故積分與路徑無關(guān).取C為點A<-a,0）經(jīng)上半圓x2y2a2y0到B<a,0）地弧段,并將C表為xacos,yasin起點A對應的,終點B對應的0,便有IxydxxydyCx2y20acosasinasinacosasinacosa2d注：不可取C為點<-a,0）經(jīng)下半圓x2y2a2y0到B<a,0）地弧段,即取C為xacos,yasin0.這是因為,在曲線L與下半圓周圍成地區(qū)域內(nèi),函數(shù)P,Q沒有連續(xù)地偏導數(shù)<在點<0,0）偏導數(shù)不存在）.或者說,P,Q是在全平面除去原點這個復連通區(qū)域內(nèi)有連續(xù)地偏導數(shù),就全平面而言,不能保證積分與路徑無關(guān).83lcPA59W9此例,也可將L表示為xacos,ybsin0而直接計算,但比較麻煩.例7計算Ix4ydyxydxx24y2,其中C為單位圓周地正向.C解法一將曲線C表為參數(shù)方程xcos,ysin02,則I2cos4sincoscossinsind.分項積分,并利用函數(shù)地周斯性、奇偶022cos4sind3sincos性,得Idcos24sin2cos24sin22d221d.cos24sin24tg2cos2021令utg,便得I2duarctg2u.14u222Pxy,Qx4y2.Qx24y28xyP解法二x24y2x24yxx24y22.(x.y)(0.0)y設l為橢圓x24y21地正向即11sin4x,y（起點為0，終點為2，）在以C與l為邊界地復連42通區(qū)域D上有連續(xù)地偏導數(shù).由復連通區(qū)域上地定理知mZkklkzaaPIx4ydyxydx22lx4y1cossin1cos1cos1sin1sin1224242d21d.0024注：從該題可看出還是用解法二方便.例8計算xdyydx,其中L是以點<1,0）為中心,以RR1為半徑地圓周,方向取逆時針方L4x2y2向.解P4x2yy2,Q4x2xy2.Qy24x22P,x,y0,0.<1）x4x2y2y當R<1時,P,Q在以L為邊界地圓域上有連續(xù)地偏導數(shù),由關(guān)系式<1）可知I=0.當R>1時,取正數(shù)a用C表示橢圓4x2y2a2,則P,Q在以L,C為邊界地區(qū)域上有連續(xù)地偏導數(shù),由關(guān)系式<1）可知Ixdyydx,這里積分沿逆時針方向.AVktR43bpwC4x2y2橢圓C地參數(shù)方程是xacos,yasin.故2aacosasinasincos2I22d.0a2例9計算Iydxx1dy其中C為,1）圓周222xy2xy2y地正向；Cx12y2）曲線地正向.解Py,Qx1Qx12y2x12y2.x1xx1

22y2P.<1）22yy1）在圓周 x2 y 12 1上與該圓地內(nèi)部 ,函數(shù) P,Q均有連續(xù)地偏導數(shù) ,故由 Green公式QPdxdy0.Dxy2）C地圖形見圖10-6.函數(shù)P,Q及其偏導數(shù)在C地內(nèi)部有間斷點<1,0）.以點<1,0）為中心,在C地內(nèi)部作圓周l:x2y22.1由關(guān)系式<1）可知Iydxx1dyl22.x1yl地參數(shù)方程是x1cost,ysint0t2,故I2sintsintcostcostdt2dt2.圖10-7002注：用Green公式計算曲線積分,必須十分注意“函數(shù)P,Q在區(qū)域具有連續(xù)地偏導數(shù)這一樣條件.如果P,Q在閉曲線QP.而積分PdxQdyC圍成地內(nèi)部除一點外,有連續(xù)地偏導數(shù),且xyC直接計算較難,可以適當選用閉曲線 L<不一定是圓）,將原積分化成易于計算地積分PdxQdy.ORjBnOwcEdL例10研究曲線積分xlnx2y21dxylnx2y21dy<1）在區(qū)域AB1x2y2內(nèi)是否與路徑無關(guān)？解：函數(shù)Pxlnx2y21與Qylnx2y21在復連通區(qū)域1x2y2內(nèi)有連續(xù)地偏導數(shù),并且Q2xy1P.<2）xx2y2y在復連通區(qū)域1x2y2內(nèi)任取簡單閉曲線C.1）如果原點在C地外部,則整個圓域x2y21也在C地外部,則C地內(nèi)部全含于區(qū)域1x2y2內(nèi).因P,Q在C上及C內(nèi)滿足等式<2）.故由Green公式2MiJTy0dTTPdxQdyDQPdxdy0.Cxy2）如果原點在C地內(nèi)部,則整個圓域x2y21都在C地內(nèi)部,取正數(shù)R足夠大,使曲線C含于圓域x2y2R2地內(nèi)部,則以C與圓x2y2R2為邊界地閉區(qū)域含于區(qū)域1x2y2地內(nèi)部,由<2）式與Green公式可知gIiSpiue7AIxlnx2y21dxylnx2y21dyxlnx2y21dxylnx2y21dy.Cx2y2R2設xRcost,yRsint則I2RcoslnR21RsintRsintlnR21costdt0.0tR由1）,2）可知,對區(qū)域1x2y2內(nèi)地任意閉曲線C,都有xlnx2y21dxylnx2y21dy0.故積分<1）在區(qū)域1x2y2內(nèi)與積分路C徑無關(guān).例11設曲線積分Cxy2dxyxdy與路徑無關(guān),其中x具有連續(xù)地導數(shù),且00.計算1,12dxyxdy地值.xy0,0,2,,PQ,得2解由,PxyxyQxyyxyx2xyyx,xxC.再由00,得C=0,故xx2.所以1,1xy2dxyxdy1,1xy2dxx2ydy.0,00,0沿直線y=x從點<0,0）到點<1,1）積分,得1,1xy2dxyxdy13dx1.0,002x2例12設函數(shù)Qx,y在xoy平面上具有一階連續(xù)偏導數(shù),曲線積分L2xydxQx,ydy與路徑t,1Qx,ydy1,t2xydxQx,ydy,求Qx,y.無關(guān),并且對任意t恒有2xydx0,00,0解由曲線積分與路徑無關(guān)地條件知Qy2xy2x.于是,Qx,yx2Cy,其中xCy為待定函數(shù).t,12xydxQx,ydy1Cydyt21t2Cydy,0,0001,t2xydxQx,ydytCydytt0,012Cydy.0021t.兩邊對t求導,得2t1Ct,Ct2t1.由題設知tCydyt00從而Cy2y1,所以Qx,yx32y1.例13求原函數(shù)u,使dux22xyy2dxx22xyy2dy并解方程x22xyy2dxx22xyy2dy0.解由Px22xyy2,Qx22xyy2Q2x2y,P2x2y都連續(xù)且QP,x,yR2,選取0,0R2,于是xyxyux2dxy2xyy2dyC1x3x2yxy21y3Cxx20033且方程地解為1x3x2yxy21y2C.33例14計算1,1,1x22yzdxy22xzdyz2xydz.0,0,0解法一設Axy,zx2yzy2xzz2xy經(jīng)驗證roAt0,,,zR3.即曲線,2,2,xy積分與路徑無關(guān).故原式112dy12dz11121.x2dxyz2000333解法二由于dux2dxy2dyz2dz2yzdxxzdyxydzdx3y3z32xyz.3知u1x2y2z22xyz.由第二類曲線積分地牛頓----萊布尼茲公式知3原式=12y2z22xyz1,1,11.x0,0,03例15利用第二類曲線積分計算雙紐線x2y22a2x2y2所圍區(qū)域地面積<a>0）.解<如圖10-8所示知）由雙紐線關(guān)于兩個坐標軸對稱,因此只需計算第一象限地面積乘以4即可.利用極坐標變換xrcos,yrsin,則雙紐線方程為r2a2cos2,或racos2xacoscos2,yasincos2,OAABO,在OA上,由方程y0,有ydxxdy0,于是S41ydxxdy41ydxxdy24a2cos2a2.22ABO0圖10-8例16計算曲線積分Icydxzdyxdz,其中由線C是以A1<a,0,0）,A2(0,a,0>,A3<0,0,a）為頂點地三角形,a>0,<如圖10-9所示知）方向是由A1經(jīng)A2、A3,再回到A1.uEh0U1Yfmh解取以C為界地三角形塊為S,其側(cè)與C地正向構(gòu)成右旋轉(zhuǎn)系,以cos,cos,cos記S上單位法向量n,則有coscoscos3,又因Py,Qz,Rx,故3圖10-9由斯托克斯公式得IsRQcosPRcosQPcosdSyzzxxy3111dS3dS3SAAA33a2.S3S122例17計算曲線積分zydxxzdyxx2y21,從z軸Cydz,其中C是曲線xyz2,正向往z軸負向看C地方向是順時針地.解法一令xcos,ysin,則z2xy2cossin,所以zydxxzdyxydz02sincos2cos21d2.2C解法二 設S是平面x y z 2上以C為邊界地有限部分 ,其法向量與 z軸正向地夾角為鈍角,Dxy為S在xoy面上地投影域 ,記F z yi x zj x yk,則IAg9qLsgBXi j krotF 2k.由斯托克斯<Stokes）公式,x y zz y x z x yFdlrotFdS2dxdy2dxdy2.CSSDxy例18計算ydxzdyxdz,其中C為圓周x2y2z2a2,xyz0,若從x軸正向C看去,這圓周是依反時針地方向進行地.,即3x2x2解法一由yxz,得x2xz2z2a22za2,令22x2acost,zxasint,則zasintx與yxz得曲線C地參數(shù)方程為32222x2acost,yasintcost,zasintcost.當t從0增加到2,11時它描出32323了曲線C地反向,故ydx2zdyxdzC0

asint1cost2asint233asint1costacost1sint2acostacost1sintdt,被積函2323323數(shù)中含有sintcost地項積分222sintcostdt0.因此,只剩下含有sint地項,即0ydxzdyxdz2a2C0

11sin2t211cos2tdt32333a2 20

3dt 3a2.2解法二 利用Stokes公式coscoscosydxzdyxdzdScoscoscosdS,其中,S為CSxyzSyzx平面xyz0上以圓周C為邊界地圓域,并且S地法線與x軸成銳角.因此1cos cos cos .故原式

3dS3dS3a2.S3S注：從解題過程可知解法二簡單 .例19計算yzdxzxdyxydz,其中C為橢圓Cx2y2a2,xz1a0,h0,若從Ox軸正向看去,此橢圓是順著反時針方向前進地.ah解橢圓如圖10-10所示,把平面xz1上C所包圍地區(qū)域記為S,則S地法線方向為h,0,a,ah注意到S地法線和曲線C地方向是正向聯(lián)系地,可知S地法線與z軸正向夾角為銳角,因此,WwghWvVhPEn0h,0,a,于是,由斯托克斯公式知h2a2h2a2yzdxzxdyxydzc2 dydz dxdz dxdy 2 cos cos cos dSS S

圖10-9hahahah22Sa2h2a2h2dS2a2h2SdS2a2h2x2y2a21a2d.例20計算y2z2dxx2z2dyx2y2dz,式中C是曲線Cx2y2z22Rx,x2y22rx0rR,z0.此曲線是順著如下方向前進：由它所包圍在球面x2y2z22Rx上地最小區(qū)域保持在左方<圖10-11）.asfpsfpi4k解注意到球面地法線地方向余弦為cosxR,cosy,coszR,由斯托克斯公式,有RR原式2yzcoszxcosxycosdSS2x1zxyzdS2zydS,圖10-11yzxySRRRS由于曲面S關(guān)于Ozx平面對稱,y關(guān)于y是奇函數(shù),有ydS0.于是S原式2zdS2RcosrdS2Rdxdy2Rd2r2R.SSSy22rxx2例 21 計算曲面積分 I 2xzdydz yzdzdx z2dxdy,其中 是由曲面 z x2 y2與z2x2y2所圍立體地表面外側(cè).解由高斯公式I2zz2zdvzdxdydz24sincosd2d0r3dr.002例22設為曲面222333xyz,Ixdydzydzdxzdxdy.1地外側(cè)計算曲面積分解由高斯公式,并利用球面坐標計算三重積分,得12.I3x2y2z2dv<是由所圍成地區(qū)域）3dsind1r2r2dr20005例23設對于半空間x0內(nèi)任意地光滑有向封閉曲面S,都有xfxdydzxyfxdzdxe2xzdxdy0,其中函數(shù)fx在0,內(nèi)具有連續(xù)地一階導數(shù),且Slimfx1.求fx.x0解由題設和高斯公式得0xfxdydzxyfxdzdxe2xzdxdySxfxfxxfxe2xdv,其中V為S圍成地有界閉區(qū)域,當有向曲面S地法向量指向V外側(cè)時,取“+”號,當有向曲面S地法向量指內(nèi)側(cè)時,取“一”.由S地任意性,知ooeyYZTjj1xfxfxxfxe2x0,x0,即fx11fx1e2x,x0按一階線性非齊次微xx11dx12x11dxex12xx分方程通解公式,有fxexexdxCxedxCexexxexexC.由于limfxlime2xCex1,故必有l(wèi)ime2xCex0,從而C=-1.于是xx0x0xx0fxexex1.x例24設空間區(qū)域由曲面za2x2y2與平面z0圍成,其中a為正常數(shù),記表面地外側(cè)為S,地體積為V.證明x2yz2dydzxy2z2dzdxz1xyzdxdyV.S證由高斯公式知x2yz2dydzxy2z2dzdxz1xyzdxdy12xyzdxdydzSV2xyzdxdydz.因關(guān)于xoz坐標面對稱,xyz是域上關(guān)于y地奇函數(shù),故有xyzdxdydz0.所以,欲證等式成立例25求曲面積分Iyzdzdx2dxdy,其中是球面x2y2z24外側(cè)在z0地部分.解取曲面片1:x2y24,其法向量與z軸負向相同.z0,設和1所圍成地區(qū)域為,則由高斯公式有Iyzdzdx2dxdyzdxdydz.1而yzdzdx0,zdxdy2dxdy8,11x2y24zdxdydz2d/2d2r2dr4.I4812.所以00sin0rcos例26計算由面積分Ix3az2dydzy3ax2dzdxz3ay2dxdy,其中為上半球面za2x2y2地上側(cè).解記S為平面z0x2y2a2地下側(cè),為與S所圍成地空間區(qū)域.Ix3az2dydzy3ax2dzdxz3ay2dxdySx3az2dydzy3ax2dzdxz3ay2dxdy3x2y2z2dvay2dxdySx2y2a232dsindr4dr2asin2dr3dr6a51a529a5./2aa000005420例27計算曲面積分I8y1xdydz21y2dzdx4yzdxdy,其中是由曲線zy1,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成地曲面,<如圖10-12所示知）它地法向x1y30圖10-12量與y軸正向地夾角恒大于 .2解取圓片1:x2z22,其法線方向與y軸正向相同.y3,設和1所圍成地區(qū)域為,則由高斯公式,得I8y14y4ydv8y1xdydz21y2dzdx4yzdxdydv121y2dzdx3y1dy16dzdx1y2y133223234.1x2z2221例28計算axdydzza2dxdy其中為下半球面za2x2y2地上側(cè),a為大x2y2z21/2,于零地常數(shù).解法一Iaxdydzza2dxdy1axdydzza2dxdy.補一塊有向平面x2y2z21/2ax2y2a2,S:0,其法向量與z軸正向相反,從而得到zI1axdydzz2dxdydxdydzza2aadxdySs13a2zdva2dxdy,aD圖10-13其中為S圍成地空間區(qū)域,D為z=0上地平面區(qū)域x2y2a2.12a4a41a42a0a3于是I2zdv20d0rdra2r2zdzaa2注：先化簡,后計算是很重要地,請讀者給予足夠地重視.解法二12.Iaaxdydzzadxdy記I11axdydzza2y2z2dydz,其中Dyz為yoz平面上地半圓：aDyzy2z2a2,z0.利用極坐標計算,得I12aa2r2rdr2a3,2d031a2dxdy1a2x22I2zay2dxdyaaDxy12a22aa2r2r2rdra3,d2aa006因此II1I2a3.2例29計算Iydzdxz1dxdy,其中S是圓柱面x2y24被平面xz2和S0所截出部分地外側(cè),<如圖10-14所示知）解法一設S,S1,S2,,D1如圖所示,記I1ydzdxz1dxdy,S1I2ydzdxz1dxdy,I3ydzdxz1dxdy,則II3I1I2.S1SS1S2而I1ydzdxz1dxdyz1dxdy.S1S1S12x1dxdy12D1I2ydzdxz1dxdydxdy4.S2S2D1又由高斯公式有I311dv0.故II3I1I28.解法二設S,D2如上圖所示,則圖10-14Iydzdxz1dxdyydzdx024x2dzdxSSD222x4x2dz22428.2dx02x4x2dx4x2dx222例30計算曲面積分2xzdydzzdxdy,其中S為有向曲面zx2y20z1,其法S向量與z軸正向夾角為銳角.解法一以S1表示法向量指向z軸負向地有向平面z1x2y21,D在S1在xoy平面上地投影區(qū)域,則2xzdydzzdxdydxdy.S1D設 表示由S和S1所圍成地空間區(qū)域 ,則由高斯公式知2112xzdydzzdxdy21dv30d0rdrr2dzSS1rr3dr6113.610242因此,2xzdydzzdxdy31.S22解法二設Dyz,Dxy分別表示S在yoz平面,xoy平面上地投影區(qū)域,,則2xzdydzzdxdy2zy2zdydz2zy2zdydzSDyzDyzx2y2dxdy4zy2dydzx2y2dxdy,DxyDyzDxy21124123其中2zydydz1dyy2zydz301ydyDyzysint4/24tdt431;x2y2dxdy2d12rdr.cosr3034224Dxy002所以2xzdydzzdxdy42.S42例31計算曲面積分xdydzz2dxdy,其中S是由曲面x2y2R2及兩平面Sx2y2z2zR,zRR0所圍成立體表面地外側(cè),<如圖10-15所示知）解設S1,S2,S3依次為S地上、下底和圓柱面部分,則xdydzxdydz0.Sx2y2z2Sx2y2z212設S1,S2在xoy面上投影區(qū)域為Dxy,則z2dxdyR2d(R)2d0.S1S2