數(shù)學(xué)中的反例答辯

指導(dǎo)教師：

論文題目:數(shù)學(xué)分析中的反例論文的結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容12345研究背景和意義反例在數(shù)學(xué)分析中的作用典型的反例 常用的構(gòu)造反例的方法如何利用反例解決常見問題1.研究背景和意義

背景縱觀整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域各學(xué)科的發(fā)展史可知，數(shù)學(xué)分析是其中一門十分重要的基礎(chǔ)課程，所謂基礎(chǔ)不牢，地動(dòng)山搖，所以這門課程的學(xué)習(xí)便顯得尤為的重要。因此，反例的研究及其應(yīng)用對(duì)于數(shù)學(xué)分析課程中數(shù)學(xué)思想的進(jìn)化有很大的推動(dòng)力?，F(xiàn)如今，通過對(duì)現(xiàn)存的國內(nèi)和國外的各種類型與數(shù)學(xué)分析和反例有關(guān)的文獻(xiàn)研究發(fā)現(xiàn)：這其中的大部分都是針對(duì)反例的作用及其構(gòu)造方法的研究，然而這其中又有相當(dāng)大的一部分反例幾乎是沒有經(jīng)過比較正規(guī)系統(tǒng)的總結(jié)，它們大都是繁雜而凌亂的。所以，通過對(duì)反例的學(xué)習(xí)以及一些常見問題的分析概括，總結(jié)反例的構(gòu)成與使用方法，并以此為基礎(chǔ)嘗試著自己構(gòu)造反例解決問題，這對(duì)于我們的學(xué)習(xí)成果將會(huì)產(chǎn)生很大的影響，大多數(shù)時(shí)候這些影響都是好的方面。

意義

數(shù)學(xué)分析這一課程是大學(xué)數(shù)學(xué)必不可少的一門課，且其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的地位也是舉足輕重的，所以學(xué)好數(shù)學(xué)分析是很具有挑戰(zhàn)性的，這其中反例又發(fā)揮著不可小覷的作用，這里所說的反例是指在數(shù)學(xué)領(lǐng)域使某數(shù)學(xué)命題不成立的例子。在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中，反例的存在是證明并修改錯(cuò)誤的一種方法，通過引入合適的反例能使我們對(duì)基本概念及性質(zhì)的理解更加透徹。反證法就是一種很好地利用了舉反例的方法，堪稱反例應(yīng)用的經(jīng)典，也是最能體現(xiàn)反例價(jià)值及意義的。學(xué)會(huì)如何構(gòu)造反例是一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)技能，能幫助我們深入理解知識(shí)解決問題,誘發(fā)創(chuàng)造力開闊思維，打破思維定勢(shì)。該論文主要從反例在數(shù)學(xué)分析中所起的作用出發(fā)，講述一些典型的和常用的反例，還有構(gòu)造反例的方法和技巧，以及怎樣利用反例使問題變得簡(jiǎn)單。2.反例在數(shù)學(xué)分析中的作用反例在概念學(xué)習(xí)中的作用幫助掌握基本定理1幫助加深對(duì)概念的理解2能夠準(zhǔn)確把握概念之間的聯(lián)系3揭示概念的內(nèi)涵反例有助于說明公式、法則使用條件的嚴(yán)密性

幫助培養(yǎng)逆向思維提高判斷力2.1反例在概念學(xué)習(xí)中的作用反例幫助加深對(duì)概念的理解

概念本身就是極具抽象性的，大多數(shù)的時(shí)候我們是很難能夠從直觀的角度去理解其含義的，此時(shí)若以感性認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)對(duì)概念進(jìn)行理解分析，就能進(jìn)一步深層地得剖析概念的本質(zhì)意義。往往通過列舉或構(gòu)造反例的方式進(jìn)行說明，能夠準(zhǔn)確地區(qū)分開相似并且容易混淆在一起的概念，并且去除掉那些模糊不清的認(rèn)識(shí)，更加準(zhǔn)確地把握概念的本質(zhì)，而能夠在更深層次上理解概念的內(nèi)涵。當(dāng)涉及到某某性質(zhì)時(shí)，同樣反例會(huì)發(fā)揮很大的作用，幫助我們加深對(duì)性質(zhì)的理解和使用。能夠準(zhǔn)確把握概念之間的聯(lián)系數(shù)學(xué)分析中的概念繁多,通過列舉反例的方式能夠明確地區(qū)分它們彼此之間的區(qū)別和聯(lián)系,看透其本質(zhì)，據(jù)此能夠提高我們的學(xué)習(xí)能力和理解能力，并且方便記憶和使用。

揭示概念的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)分析中很多重要的概念或定義都是以抽象化的數(shù)學(xué)語言形式化來描述的，這樣就導(dǎo)致了我們很難從直觀的角度直接理解其內(nèi)涵。假如用常規(guī)的方式去死記硬背而不能夠充分理解，那么在應(yīng)用的時(shí)候?qū)?huì)因?yàn)楫a(chǎn)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，而得不到正確的解題結(jié)果。很多時(shí)候若機(jī)械地從正面去學(xué)習(xí),但卻不能準(zhǔn)確把握概念的內(nèi)涵,即使對(duì)一個(gè)概念重復(fù)記憶再多次，也不能發(fā)揮其最佳效果。對(duì)于模糊不清甚至是不正確的認(rèn)識(shí)和理解,此時(shí)以反例去糾正將會(huì)得到意想不到的結(jié)果。2.2幫助掌握基本定理在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中大多數(shù)的基本定理很多時(shí)候是在指定的條件下和范圍內(nèi)才成立的，而這些有時(shí)在書中并沒有對(duì)它們給出十分確切的說法，往往都是以抽象的而又簡(jiǎn)單的語言總結(jié)給出，這會(huì)在學(xué)習(xí)的時(shí)候比較困難，不能準(zhǔn)確的理解。重視反例可以增加我們對(duì)定理的理解，在學(xué)習(xí)命題時(shí)，使用恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚撟C錯(cuò)誤的命題是非常簡(jiǎn)潔、有效的一種方法，這對(duì)那些初學(xué)者來說是非常簡(jiǎn)潔明了的,更容易理解和把握定理及其基本性質(zhì)，也能使我們養(yǎng)成嚴(yán)密推理、重視條件的習(xí)慣。除此之外在學(xué)習(xí)中常把由歸納總結(jié)的命題誤認(rèn)為是定理,為了糾正這種錯(cuò)誤,運(yùn)用反例是最為有效的一種方法。3典攻型的繭反例處處比連續(xù)映而處浙處不施可導(dǎo)謊函數(shù)在數(shù)系學(xué)分席析中奔，通視常情蜻況下欺一元細(xì)函數(shù)底在某投一點(diǎn)逆處連驚續(xù)但意是不夢(mèng)一定府可導(dǎo)草，而攏在這嫌整個(gè)午的發(fā)寶展歷牛程里意，數(shù)嫂學(xué)家箭們一佳直猜貝想：朵連續(xù)酒函數(shù)遞在其澤定義隱區(qū)間愁上，遣至多系除去柄可列迫個(gè)點(diǎn)籌外都治是可紫導(dǎo)的踢也就濫是說梁，連延續(xù)函果數(shù)的彈不可潮導(dǎo)點(diǎn)推至多央是可劫列多移個(gè)。膊隨著洗級(jí)數(shù)象理論喂的發(fā)償展，圾函數(shù)限的表陶示方融式被貪不斷寇地?cái)U(kuò)耳展，落數(shù)學(xué)戴家們樹漸漸站地掌睬握了倍用函步數(shù)項(xiàng)鄉(xiāng)豐級(jí)數(shù)泰來表譽(yù)示更臺(tái)廣泛葉的函蝕數(shù)類。在1景87驕2年we希ie淹rs屆tr貴as書s利用松函數(shù)悄項(xiàng)級(jí)奸數(shù)第腰一次漂構(gòu)造柱出了山一個(gè)宏處處努連續(xù)另而處藏處不廉可導(dǎo)冊(cè)的函減數(shù)，辰至此己該函共數(shù)成黃為數(shù)購學(xué)分晌析中餓一個(gè)絲式典型哭的例雙子。4常楊用的招構(gòu)造嚷反例最的方豪法特例泳構(gòu)造哀法性質(zhì)絲式構(gòu)造穿法類比蜓構(gòu)造浸法特殊登函數(shù)懂構(gòu)造開法4.補(bǔ)1利欄用特叨例來縱構(gòu)造胞反例利用組特例吼來構(gòu)斃造反跳例的賺方法段實(shí)際司上就草是對(duì)趴那些塘經(jīng)典怒且特乞別的太例子按，根誦據(jù)我貸們的端需要糾進(jìn)行雄重組懇或者晃改變瞇部分賓內(nèi)容裙，使左之與急題目晨的要諸求相累呼應(yīng)喚，繼柿而以慌此構(gòu)緊造出萍的新系反例露來解票決問真題。例1更是勉否能燙夠確傘定間晝斷函潑數(shù)的撐平方斯依舊婆是間藝斷函震數(shù)。眾所冬周知幫絕對(duì)認(rèn)值相行同而遠(yuǎn)符號(hào)慣相反向即互健為相夾反數(shù)緩的的耽兩個(gè)違數(shù),櫻它們抽的平灘方是堅(jiān)相等傷的。抽我們矩知道摧狄利聞克雷壺函數(shù)聾是處貧處不德連續(xù)偉的,贏利用犬這個(gè)蓄特殊岡的函該數(shù)將從其在錯(cuò)無理頸數(shù)點(diǎn)搬處的斤函數(shù)粘值改簽為-梯1。由此直得到躬了所爛要的幸反例拍，簡(jiǎn)痕潔明壞了的簡(jiǎn)證明征間斷蕉函數(shù)翠的平哥方不格一定狡是還哭間斷換函數(shù)輩。很多研時(shí)候睡特例射反例墳構(gòu)造房誠法是襯非常頸好用將的一籮種證昏明、奇解題趟方法懶，也迎是我里們用寧的最唇多的柜方法長(zhǎng)，理婚解和釋使用親起來暢很方氧便，蠢解決閘問題禾的速傷度快名，在鮮做選樸擇判隨斷題委時(shí)能漆夠節(jié)鼠省很怪多時(shí)黨間。4.悔2利紡用性良質(zhì)來利構(gòu)造迫反例利用炭性質(zhì)坊來構(gòu)晃造反喉例的嗽方法詠是我氣們比墓較常淘用，炭能夠稱熟練掉運(yùn)用教的一潛種方苗法，羽就是菊根據(jù)項(xiàng)命題饅、定釀理、廚結(jié)論肢等的塘不同愛性質(zhì)禾構(gòu)造狠出有墳實(shí)際舞意義尿的反池例，糠有一部定的煙方法揭和技鋒巧可岡循，期對(duì)我退們很木有幫濃助。我4.革3利妄用類澡比的福方法鋒構(gòu)造屆反例通過帶類比般法構(gòu)臭造反驢例的蜓關(guān)鍵蠢在于瘦仔細(xì)鐘觀察逃命題鴉的成初立條白件及棵結(jié)論擋，以棚其所大表現(xiàn)神出來趕的特抄點(diǎn)聯(lián)裕系逆倦向思聯(lián)維的聲思考努方式安，構(gòu)腹造出逃與之洗相反梁卻類腿似的總例子政，這獨(dú)就是億類比呼構(gòu)造噴法。3我4.軟4利顛用特價(jià)殊函知數(shù)來過構(gòu)造鼻反例特殊斃函數(shù)菊一般最是指舊數(shù)學(xué)展分析捧中的室一些染特殊婦的函謊數(shù)，朗例如暑取整蘿、對(duì)溝數(shù)、盛指數(shù)予、三盡角函桐數(shù)等青，我會(huì)們正凱是利求用這弟些函抬數(shù)的述特殊仗性構(gòu)享造出書符合睬要求棄的反泡例達(dá)島到目臺(tái)的?？偨Y(jié)文章銅中研勾究的催反例勵(lì)，是旗在已雜有理饞論和輪邏輯會(huì)推理業(yè)的基哨礎(chǔ)上襖建立芝的。反通過遼對(duì)反駛例的思學(xué)習(xí)云增加撕了我熊們對(duì)座知識(shí)這的理駝解，囑并且盜拓寬柱了解白題思框路，稼活躍繪了思堅(jiān)維，原同時(shí)然也提談高了弄自身診的學(xué)俊習(xí)、挑分析棍與解檔決問脊題的糧能力鞏。數(shù)隙學(xué)分臘析學(xué)慮習(xí)中革通過蘆反例笨，可卡以使襲我們者對(duì)某婆些概躍念、國性質(zhì)紹及定倒理的貌模糊信認(rèn)識(shí)思變得電更加噸清晰腫，賄加深渡對(duì)教凡材內(nèi)做容的查理解溉，篩熟悉鼻某些內(nèi)重要來命題嶺的條雞件，蓋糾正伏理解橋上的灰偏差至。熟久練的獻(xiàn)使用感反例毀可以幕使一酷些疑褲難問扛題能表夠輕援松解絹決，捐尤其翠考試勁的時(shí)俊候能飽夠節(jié)狡省時(shí)哀間。廣本文筑較為蛾系統(tǒng)鞭的概忽括了濫數(shù)學(xué)吃分析扇中一史些典肢型的卷反例透的應(yīng)言用，貝反例掌的構(gòu)呢造方覽法。拋因?yàn)楸嗽趯W(xué)儉習(xí)時(shí)漁我們模往往全對(duì)一曉些基劣本概正念和夾定理昌的掌仔握不疑夠精蓬確，聚理解桿的不站夠徹捉底，頂致使傭計(jì)算習(xí)或證眨明的膝時(shí)候粘出現(xiàn)導(dǎo)錯(cuò)誤滋，通欄過反第例能襲夠很修大程旁度上葛避免桐這一溉現(xiàn)象燦。因之此，么通過博反例樂的引烘入、這構(gòu)造緞和使招用，綢能夠雄很好哲的解則決這姜類的鐘問題肢，并餓且反厘例應(yīng)映該是市經(jīng)過茶挑選液的，憐既要蛋簡(jiǎn)潔孩明了申又能晚夠一錘針見擋血的撈說明重問題壺。文章甩中研爪究的憑反例劇，是斥在已狂有理窩論和凈邏輯渣推理屋的基盒礎(chǔ)上參建立匪的?；钔ㄟ^沙對(duì)反副例的拌學(xué)習(xí)柴增加睡了我覆們對(duì)朵知識(shí)涉的理商解，橫并且垮拓寬涌了解博題思易路，草活躍沸了思雪維，鉤同時(shí)剃也提工高了訂自身憐的學(xué)氧習(xí)、獅分析勺與解溜決問斤題的商能力暫。數(shù)莫學(xué)分銹析學(xué)竄習(xí)中居通過猜反例摩，可初以使蚊我們濟(jì)對(duì)某賓些概搬念、留性質(zhì)挺及定妨理的屈模糊楊認(rèn)識(shí)貫變得泉更加貼清晰趟，承加深隙對(duì)教勵(lì)材內(nèi)煌容的素理解螞，齡熟悉代某些篩重要索命題慰的條聰件，駝糾正蒙理解優(yōu)上的當(dāng)偏差桌。熟醫(yī)練的化使用狐反例乒可以鋒使一全些疑猴難問陷題能和夠輕積松解記決，忙尤其況考試撿的時(shí)單候能柔夠節(jié)裂省時(shí)物間。餡本文捏較為譜系統(tǒng)搬的概別括了樂數(shù)學(xué)弄分析惠中一撞些典蘿型的殿反例她的應(yīng)獲用，吸反例序的構(gòu)席造方防法。威因?yàn)榫湓趯W(xué)雅習(xí)時(shí)筆我們排往往波對(duì)一芽些基收本概酬念和綿定理溜的掌恢握不么夠精振確，飽理解競(jìng)的不重夠徹姑底，捏致使涂計(jì)算舍或證殖明的社時(shí)候鞋出現(xiàn)無錯(cuò)誤均，通灰過反越例能傘夠很止大程黎度上殿避免資這一征現(xiàn)象寨。因厚此，魔通過慣反例風(fēng)的引份入、做構(gòu)造悅和使肺用，直能夠阻很好聽的解旗決這圾類的彎問題怠，并生且反售例應(yīng)略該是激經(jīng)過堡挑選誼的，遺既要竄簡(jiǎn)潔烈明了耍又能凍夠一柱針見歷血的湖說明喂問題瓣。大學(xué)左本科填的學(xué)淹習(xí)生