山東大學(xué)算法與設(shè)計重點

23.1-5證明:設(shè)C=v0,v1,…,vk是一個圈,其中邊e=(v0,vk)是權(quán)值最重的邊。只需要構(gòu)造一棵不包含e=(v0,vk)的MST即可。設(shè)T是一棵包含e=(v0,vk)的MST，則刪除e會使T變成兩個連通分支V1，V2，v0V1，vkV2。依次檢測頂點v1,…,vk，找到第一個在V2中的頂點vi(這樣的vi一定能找到，因為vkV2)，從而e’=(vi-1,vi)是穿過割(V1,V2)的一條邊，并且w(v0,vk)

w(vi-1,vi)。則T’=T-e+e’是一棵新的MST。23-4(a)證明:設(shè)T中的邊按照權(quán)值非遞減順序依次為e1,e2,…,en-1,即算法依次保留邊e1,e2,…,en-1。設(shè)邊集Ai={e1,e2,…,ei}，1in-1則只需要證明每個Ai

都是某棵最小生成樹的子集。用歸納法證明。i=1時，設(shè)T’是一棵最小生成樹，如果(u,v)=e1T’,結(jié)論自然成立。如果e1T’，則在T’中存在u到v的路徑p。因為刪除e1會使圖不連通，即刪除e1會使頂點集合V劃分為兩個子集V1和V2，其中uV1，vV2。則路徑p中存在1條邊(x,y)滿足xV1，yV2，并且(x,y)已經(jīng)被刪除了，否則如果p中所有邊都沒被刪除，刪除e1不會使圖不連通。既然(x,y)已經(jīng)被刪除了，根據(jù)算法是按照權(quán)值由大到小的順序刪邊的，所以w(x,y)

w(u,v)。則T’’=T’-(x,y)+(u,v)必然是一棵最小生成樹。Continued設(shè)對邊集Ai時結(jié)論成立，現(xiàn)在證明邊集Ai+1也是某棵最小生成樹的子集。設(shè)Ai={e1,e2,…,ei}是最小生成樹T’的子集，如果(u,v)=ei+1T’,結(jié)論自然成立。如果ei+1T’，則在T’中存在u到v的路徑p。因為刪除ei+1會使圖不連通，即刪除e1會使頂點集合V劃分為兩個子集V1和V2，其中uV1，vV2。則路徑p中存在1條邊(x,y)滿足xV1，yV2，并且(x,y)已經(jīng)被刪除了，否則如果p中所有邊都沒被刪除，刪除e1不會使圖不連通。既然(x,y)已經(jīng)被刪除了，根據(jù)算法是按照權(quán)值由大到小的順序刪邊的，所以w(x,y)

w(u,v)。則T’’=T’-(x,y)+(u,v)必然是一棵最小生成樹?，F(xiàn)在只需要證明T’’包含Ai={e1,e2,…,ei+1}中的所有邊，因為T’’與T’只有1條邊不同，所以只需要證明(x,y)Ai，這顯然是成立的，因為(x,y)已經(jīng)被刪除了，而{e1,e2,…,ei}是沒被刪除的。證明完畢！23-4(c)證明：算法實際上是在圖G中刪除一些圈上權(quán)值最重的邊，最后得到一棵MST。設(shè)刪除的邊依次為e1,e2…,em-n+1，剩余的圖依次是G0,G1,…,Gm-n+1，其中G=G0，Gm-n+1=T，m=|E|，n=|V|。我們證明Gi+1的MST同時也是Gi的MST即可。前面23.1-5已經(jīng)證明了存在Gi+1的MSTT’同時也是Gi的MST，而Gi+1的所有MST的大小與T’一樣的，所有它們都與Gi的MST的大小一樣，所以他們都是Gi的MST。從而Gm-n+1必然是Gm-n,…,Go的MST。Exercises22.3-222.3-6(DFS棧實現(xiàn))DFS(G)1foreachvertexuV[G]2do

color[u]WHITE3[u]NILtime

0StackS

6foreachvertexuV[G]7doif

color[u]=WHITE8ThenS.push(u)9WhileS10do

color[S.top]GRAY11d[S.top]

time

time

+112ifexistsvAdj[S.top]&&

color[v]=WHITE13then

[v]

S.topS.push(v)15else16uS.pop()17color[u]BLACK18f[u]

time

time

+1SinglyConnected:forallverticesu,vV,

ifuv,thenthere

isatmostonesimplepathfromu

tov.idea:DFS-VISIT(u)可以發(fā)現(xiàn)u可達的所有頂點,即u到這些點都有路徑。前向邊和交叉邊（搜索過程中遇到黑點）意味著什么呢？u到某個點有多于1條路徑。這只是u到其它點的情況，單連通要分析任意的頂點對，所以需要分析每個點到其它所有點的情況。即從每個點開始，都做一次DFS-VISIT()。SinglyConnected:forallverticesu,vV,

ifuv,thenthere

isatmostonesimplepathfromu

tov.idea:DFS-VISIT(u)可以發(fā)現(xiàn)u可達的所有頂點,即u到這些點都有路徑。前向邊和交叉邊（搜索過程中遇到黑點）意味著什么呢？u到某個點有多于1條路徑。這只是u到其它點的情況，單連通要分析任意的頂點對，所以需要分析每個點到其它所有點的情況。即從每個點開始，都做一次DFS-VISIT()。TheAlgorithmTopologicallysortallverticesinG.Assumingthattheverticesarev1,v2,…,vi,…,vj,…,vnintheirtopologicalorder,wheres=vi,t=vj.Initializep[v]0,v1vvn.p[vj]1.For

kj-1downtoiforeach

vAdj[vk]do

if

vvjaccordingtotheirtopologicalorderthen

p[vk]p[vk]+p[v].return

p[vi].posrutyvwznqnqposrutyvwz43111100Thereare4distinctpathsfromptov.An稍ot妄he厘r奪ex嚼am獎pl帳eabcdefghijklmabcdefghijklm16884+4442+221+12111Thereare16distinctpathsfromatom.An切ot晉he咬r賄ex星am撐pl絲式eabcdefghijklmabcdefghijklm16884+4442+221+12111Thereare16distinctpathsfromatom.22兄.4齡-3Gi將ve縫n散an券a撫lg評or候it賢hm晚t汪ha悶t此de澤te毅rm擋in堡es值w級he例th備er然o刻r痕no樂t額a挎gi辣ve名n泉un犧di烈re拼ct聯(lián)ed賽g譜ra哭ph險G謹=(重V,仔E)井c炊on質(zhì)ta索in冊s憤a谷cy疏cl墾e.O(V被),陸i甩nd歷ep堆en尿de監(jiān)nt免o循f凳|E編|.DF依S,返s暮to恥ps顧w漠he倦ne厲ve摧r減en閘co忙un沖te亞rs磚a惕n賄ba線ck印e筒dg緩e.22環(huán).4優(yōu)-5No命te艦:首先迅要計蹦算每譯個點她的入件度。O(V且+E千)當刪瞎一個腦點時歡，其區(qū)鄰接貞點的躺入度饅要減1。O(V講+E劍)記錄錦入度飄為0的點.22忙.4挑-5具P劃ro版of婚o違f圓Co做rr竄ec籮tn沾es贊sIn層du尤ct哭io柿n掩on直|長V|暫.約|V登|=踩2,索o怎nl卡y需on嚇e上ed短ge雅,棚tr給iv礎(chǔ)ia界l.Su腰pp稱os屆e裂it啄i眉s興tr隔ue膚f鴨or撤|嶄V|筆<n射.Wh雨en松|股V|頃=n宴.坡Se歉le克ct職a排v日er繁te掃x中s沫of鍋i易n-膏de呢gr華ee搭z董er帆o.(m狗us額t枝ex堡is絞t.宇O鮮th裁er監(jiān)wi給se渡,萄al狀l躬ve綢rt染ic耀es嬸h幼av殲e愁no勇n-瓶ze扇ro含i魔n-仗de英gr銀ee歪s.搞S訂ta械rt杯f調(diào)ro尾m扣a納ve嶄rt饑ex疲a票nd敬b遷ac悅kt鎖ra很ck掛a岸lo招ng鉗i歲n-魄ed罷ge尋s.濕S拌in調(diào)ce陡V耗i饑s鴨li允mi成te晨d,棒t嚷he察p霉ro耍ce寶du據(jù)re勿m刃us曬t忙en聯(lián)d選at口a歪n竿in浙-e慰dg服e搏wh躍ic芒h儀le塵av濕es器a茶v隨er嗎t(yī)e干x仁al疼re部ad草y跪en銳co絕un咳te糧re璃d,遭t市hu墻s口im口pl丑ie湖s容a們cy本cl甚e胸).Ac弱co帥rd棍in鉛g屠to均o切ur解a棗lg遺or匙it光hm翁,憲s邀wi晶ll膝b訓(xùn)e犧at失t涌he遙m討os澆t孔le緣瑞ft檢o修f楊th士e甘li昏st掏L修.已An鼠d勒th序e嫌ot燈he播r芳pa謙rt安L棍’蒜of良t矩he滾l凈is蘋t虛is肉e奏xa盼ct棒ly薪t告he費l謹is聞t洽of家t事he減g表ra查ph厭G前’們ob訓(xùn)ta掏in婦ed妹b邁y組de今le暮ti淘ng她s結(jié)a麥nd較t滑he剝e釣dg來es崗l廳ea楊vi暮ng型i猜t.才B窄y憐in頑du劍ct查io省n單hy仰po僵th筐es宏is閱,待al盒l(wèi)識ed仇ge章s認in膽G齒’頃po攏in滴ti腔ng諒f物ro帥m弄le討ft啟t多o誼ri瞎gh收t綠in鴿t槐he舉l要is狀t景L’盲(t里hu辜s襖al不so獻i蝕n暴L)擦.貸Co幕ns貌id徑er潤in轟g映th斷at灣a們ll變e陣dg心es談i效n俯G職ar勁e靠ei鹽th劉er階t柴ho杜se除i撤n滅G’伐o序r旁th敘os耕e嗚le托av晶in武g粘s,恐w宮e誕co崗mp圾le匙te委s鍵th恩e賣pr捆oo劣f.fo脅r從an嫂y座(u,v)E漲,風(fēng)th烘e商in憲-d燭eg瞧re爺e宜ofvca利n嘗no降t這be遵z珠er利o六be衫fo便re櫻d幸el至et副in瀉gu,茶wh認ic暈h銳im多pl頃ie延suap拼pe漁ar鑰s圓in森f面ro季nt心o惱fv.Di姥jk歐st畢ra’s血Al膛go袋ri框th軍mPr胡ob踏le貴m珍so看lv滾edCo右rr島ec賺tn圖es閱sTi賞me竊c逝om閣pl惠ex劑it冷ySi漆mi懸la費ri刑ti銳es奶t鋤o棕BF摸S樸an溪d森PR萄IMPr仁ob姐le解m園So內(nèi)lv曠ed陜b款y澤Di凝jk特st限r(nóng)a恢’sSi特ng跨le旁-s楚ou明rc踐e誤sh喝or享te號st猛-p貝at鏡hs爺p牧ro丙bl汽emEd燦ge飯w餐ei赴gh石t>=嘗0In革pu榆t:兇A搬g塞ra侮phG=(V,E)黎an編d羨a霸so遞ur拐ces,醫(yī)an喚d愿a堂no抹nn陰eg盆at洋iv背e仗fu術(shù)nc案ti固onw:ER+Ou仇tp詢ut糧:宮Fo恢r終ea蒜ch做v拼er域te羽xv,耐sh貪or賺te赴st零p拍at站h史we孔ig憶htd(s,v),雜a筑nda瘦sh絮or蹦te捕st復(fù)p閥at竊h正if儉e此xi拾st蜂s.Th國e呀Di辣jk務(wù)st醉ra紛A夫lg禽or單it懼hmDI色JK激ST柏RA浮(G擦,w漂,s孫)In問it財ia綱li辛ze敏-S請in塑gl攻e-膨So腔ur佳ce法(G呈,s掩)SQ猴V[糟G]wh捷il泥e驚Qdo臘u劉E蘋XT付RA烤CT洲-M頸IN裂(Q場)S印S{u}fo燭r稿ea策ch優(yōu)vAd鞭j[掀u]doRE失lA芹X(鏈u,繁v,霞w)Di依jk誰st戴ra’s劃Al浙go據(jù)ri毛th到m孝-Op決er請at季io匯nSis伐n蛋ow{s,最x眠,倉y,秤u}Pr劑e-匹de顏ce穴ss堪or朱s寒sh沖ow萬s魄ho摩rt單es狡t隨pa嶄th祝s背su稼b-益gr框ap姜hCo雀rr鵝ec關(guān)tn依es后s蠅of賢D索ij釀ks抓tr鈔a’sTh姿eo長re甩m良24曉.6Di衛(wèi)jk巴st想ra’s臟al亞go尸ri匆th亮m,眠r鉛un描o厘n談a曠we傷ig扁ht架ed劣,d嫩ir栽ec夠te胸d熔gr東ap疏hG=(V,E),拜w腹it鵲h請no傍n-變ne禮ga活ti謙ve貢w擔(dān)ei沃gh佩t耗fu藏nc數(shù)ti誕onwan佩d讀so燦ur淡ces,群te從rm哄in防at裁es質(zhì)w越it熟hd[u]=d(s,u)fo校r敲al戚l魂ve粥rt渠ic央esuV.Pr拜oo債f(b躲y解co夫nt握ra予di湖ct納io柱n)Si腔nc殺eS=Vin隱t斃he佳e株nd介,損we堡o僑nl找y東ne巧ed腳t點o程pr難ov桃e君th漏at狗f得or悠e棕ac蹈h粘ve益rt嗓exvad矛de棕d口toS,遲th右er閘e蜻ho炊ld惰sd[v]=d(s,v)管wh導(dǎo)envis幫a轎dd平ed殘t耽oS.Su捎pp撥os謊e巧th清atuis炊t條he尿f廉ir患stve梳rt劈燕ex淹f獲or污w灶hi束chd[u]1d(s,u)稍wh復(fù)en位i躁t疤wa潑s煌ad盤de溉d折toSNo堂teu音is尿n察ot擦s姓b農(nóng)ec陷au從sed[s]古=事0=d(s,s)Th渡er延e熊mu誤st芳b撒e趨a便pa匹ths?..瓦.?u,腸si稿nc掙e株o彼th嗽er琴wi業(yè)sed[u]=d(s,u)=￥.Si膽nc司e甘th暴er奸e’s佛a洪pa嶼th串,費th攏er慰e勢mu把st效b輩e敏a癥sh旺or育te潔st盛p躍at傻h天(n久ot泳e可th換er蓮e女is茫n咱o挨ne虹ga胳ti蘆ve緊c仔yc禽le贊).Di辣jk愧st茄ra’s已Al噴go寸ri粱th紐奉m螺-Pr的oo魄fLe織ts?x?y?ube甚a死s云ho救rt崗es量t索pa明th基f辣ro源mstou,wh胞er某eat賊t瓣he們m永om潛en悲tuis吐c職ho伍se泡n粉toS,xis粒i則nSan秤dyis屯t鋪he院fi妹rs犁t蛾ou誓ts含id頃eSWh抵enxwa醋s松ad偶de袍d館toS,d[x]=d(s,x)Ed默gex?ywa腐s肯re盆la厚xe己d恩at六t請ha鍋t濾ti饅me養(yǎng),積s肥o孕at廚t販im甜e睬u別is僚c曲ho狐se弊n,d[y]=d(s,y)Di碎jk滔st惱ra’s住Al榴go置ri攔th儀m層-Pr令oo棒fSo箱,描d[繪y]絮=d(s,y)￡d(s,u)￡d[u]Bu蹤蝶t,鏡w章he再n淹we聲c牙ho巨seu,bo悄thuan悔dyar拖e放inQ,sod[u]￡d[y](o翻th廚er信wi壺se景w孟e嗓wo艙ul卵d蔬ha志ve面c窗ho愚se辜ny)Th勵us蝕t郊he塘i系ne炒qu紗al濱it奴ie巧s料mu清st巧b塘e帆eq教ua穗li抽ti霧esd[y]=d(s,y)=d(s,u)=d[u]An捕d巨ou愧r兵hy那po蒼th迫es循is踐(d[u]1d(s,u))濕is北c將on凍tr美ad萄ic軋te今d!1.柄Wh送y供th舅ere你din神eq腹ua逗li秘ty秧h舅ol撲ds遵?路Ho朱w莖ab鹿ou帆t聰ne彼ga費ti蟲ve脅e放dg倒es煙e清xi灰st耀?2.捧Wh爆enuis貧a悠dd筒ed秧t服oS,芬a提sh始or鏈te壟st核p躲at微h蓄suin怠S加i慰s底fo屋un富d.Di膀jk冰st秀ra’s擇Al莖go情ri動th摩m漢-Ti爛me縣C別om咱pl績ex賞it蟲yLi歷ke理t廟ha太t疊of咬P騾RI藏M’sIf喝u制si趁ng麗a捷rr誤ay勺sO(脊V2)Us饑in視g亭sp斧ec標ia副l良da屆ta賣s盒tr算uc預(yù)tu尤reO(支Vl續(xù)gV橋+E倘)留or貝l秀es羊sCo呢mp鳥ar頂ed爐t歐o襯BF耕SDI冒JK播ST響RA踩(G斥,w斜,s縱)IN沈IT傾IA菜LI確ZE愧-S份IN皮GL嬸E-襪SO推UR糊CE券(G羽,s猛)SQV末[G積]wh抓il活e辰Qdo鍵uEX