人教版九年級數(shù)學上冊212-解一元二次方程-課件

21.2解一元二次方程21.2.1配方法第一課時第二課時人教版數(shù)學九年級上冊第一課時直接開平方法返回預備知識

什么是平方根？一個數(shù)的平方根怎么樣表示？一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根.a(a≥0)的平方根記作：±x2=a(a≥0),則根據(jù)平方根的定義知，x=±導入新知如果方程轉化為x2=p,該如何解呢？求出下列各式中x的值，并說說你的理由.1.x2=92.x2=5

x=±=±3

x=±導入新知【思考】素養(yǎng)目標1.會把一元二次方程降次轉化為兩個一元一次方程.

2.運用開平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p≥0)的方程.

一桶油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？直接開平方法解：設正方體的棱長為xdm，則一個正方體的表面積為6x2dm2，可列出方程:10×6x2=1500，由此可得x2=25.開平方得x=±5，即x1=5，x2=－5.因棱長不能是負值，所以正方體的棱長為5dm．探究新知知識點1【試一試】解下列方程，并說明你所用的方法，與同伴交流.(1)

x2=4(2)

x2=0(3)

x2+1=0解:根據(jù)平方根的意義，得x1=2,x2=-2.解:根據(jù)平方根的意義，得x1=x2=0.解:根據(jù)平方根的意義，得x2=-1,因為負數(shù)沒有平方根，所以原方程無解.探究新知(2)當p=0時，方程(I)有兩個相等的實數(shù)根x1=

x2

=0；

(3)當p<0時,因為任何實數(shù)x，都有x2≥0，所以方程(I)無實數(shù)根.一般地，對于可化為方程

x2=p,

(I)

(1)當p>0時，根據(jù)平方根的意義，方程(I)有兩個不等的實數(shù)根

，；

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的根的方法叫直接開平方法.探究新知【歸納】

例1

利用直接開平方法解下列方程:(1)

x2=6；(2)

x2－900=0.解：（1）x2=6，直接開平方，得（2）移項，得x2=900.直接開平方，得x=±30，∴x1=30,x2=－30.

利用直接開平方解形如x2=p方程素養(yǎng)考點1探究新知鞏固練習1.解下列方程（分析:把方程化為x2=p

的形式）

(1)

(2)

解：移項，得系數(shù)化為1，得即解：移項，得系數(shù)化為1，得解：把x+3看做一個整體，兩邊開平方得

②對照前面方法，你認為怎樣解方程（x+3）2=5①？于是，方程（x+3）2=5的兩個根為鞏固練習由方程①得到②，實質是把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程，這樣就把方程①轉化為我們會解的方程了.例2

解下列方程：（1）（x＋1）2=2；

解析：本題中只要將（x＋1）看成是一個整體，就可以運用直接開平方法求解.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）∵x+1是2的平方根，∴x+1=

利用直接開平方法解形如(mx+n)2=p方程素養(yǎng)考點2探究新知解析：本題先將-4移到方程的右邊，再同第1小題一樣地解.（2）（x－1）2－4=0；即x1=3，x2=-1.解：（2）移項，得（x-1）2=4.∵x-1是4的平方根，∴x-1=±2.探究新知∴x1=

，

x2=(3)

12（3－2x）2－3=0.解析：本題先將－3移到方程的右邊，再兩邊都除以12，再同第1小題一樣地去解，然后兩邊都除以-2即可.解：（3）移項，得12（3-2x）2=3，兩邊都除以12，得（3-2x）2=0.25.∵3-2x是0.25的平方根，∴3-2x=±0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5探究新知解：移項x＋6=3，x＋6=－3,方程的兩根為x1=－3,x1=－9.解：方程的兩根為解方程.鞏固練習2.

（1）（2）解：方程的兩根為解：方程的兩根為例3

解下列方程：解需要利用完全平方公式轉化的一元二次方程素養(yǎng)考點3探究新知（1）（2）解方程x2+6x+9=2.x1=

x2=解：方程的左邊是完全平方形式，這個方程可以化為：（x+3）2=2進行降次得：鞏固練習3.

一元二次方程x2﹣9=0的解是

．解析:

∵x2﹣9=0，∴x2=9，

解得：x1=3，x2=﹣3．

故答案為：x1=3，x2=﹣3．連接中考鞏固練習x1=3，x2=﹣3

C.4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,

x1=;

x2=D.(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-4

1.下列解方程的過程中，正確的是（）A.x2=-2,解方程，得x=±B.(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4

D課堂檢測基礎鞏固題(1)方程x2=0.25的根是

.(2)方程2x2=18的根是

.(3)方程(2x-1)2=9的根是

.x1=0.5,x2=-0.5x1＝3,x2＝-3x1＝2,x2＝－12.

填空:課堂檢測基礎鞏固題3.

下面是李昆同學解答的一道一元二次方程的具體過程，你認為他解的對嗎?如果有錯，指出具體位置并幫他改正.①②③④解：解：不對，從②開始錯，應改為課堂檢測基礎鞏固題解方程解：方程的兩根為課堂檢測能力提升題直接開平方法概念步驟基本思路利用平方根的定義求方程的根的方法關鍵要把方程化成x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0).一元二次方程兩個一元一次方程降次直接開平方法課堂小結第二課時配方法返回化為一般式，得

x2+6x-16=0

要使一塊矩形場地的長比寬多6米，并且面積為16平方米，求場地的長和寬應各是多少？x(x+6)=16導入新知解：設場地寬為xm，則長為（x＋

6）m，根據(jù)長方形面積為16m2，列方程得

怎樣解這個方程？能不能用直接開平方法？2.探索直接開平方法和配方法之間的區(qū)別和聯(lián)系.

素養(yǎng)目標1.了解配方的概念，掌握用配方法解一元二次方程及解決有關問題.(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.2.下列方程能用直接開平方法來解嗎?1.用直接開平方法解下列方程:(1)

x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把兩題轉化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用開平方來解.配方法的定義探究新知知識點1你還記得嗎？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=(

)2；(2)a2-2ab+b2=(

)2.a+ba-b探究新知填一填（根據(jù)）配方時,等式兩邊同時加上的是一次項系數(shù)一半的平方.56你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？二次項系數(shù)都為1.探究新知【思考】

怎樣解方程:x2+6x+4=0（1）（1）方程(1)怎樣變成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0

x2+6x=-4移項

x2+6x+9=-4+9兩邊都加上9二次項系數(shù)為1的完全平方式：常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方.探究新知（2）為什么在方程x2+6x=-4的兩邊加上9？加其他數(shù)行嗎？

提示：不行，只有在方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，方程左邊才能變成完成平方x2+2bx+b2的形式.探究新知

像上面那樣，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法叫做配方法.配方是為了降次

，把一個一元二次方程轉化成兩個一元一次方程來解.配方法的定義探究新知例1

解方程：解：（1）移項，得x2－8x=－1,配方，得x2－8x+42=－1+42,(x－4)2=15由此可得素養(yǎng)考點1探究新知解二次項系數(shù)是1的一元二次方程1.

解方程x2+8x-4=0解：移項，得x2+8x＝4

配方，得x2+8x+42=4+42，

整理，得(x+4)2=20，

由此可得x+4=

，

x1＝

，x2＝.鞏固練習解二次項系數(shù)不是1的一元二次方程配方，得由此可得二次項系數(shù)化為1，得解：移項，得2x2－3x=－1,例2解方程素養(yǎng)考點2探究新知（1）移項和二次項系數(shù)化為1這兩個步驟能不能交換一下呢?配方，得

因為實數(shù)的平方不會是負數(shù)，所以x取任何實數(shù)時，上式都不成立，所以原方程無實數(shù)根．解：移項，得二次項系數(shù)化為1，得為什么方程兩邊都加12？即探究新知（2）思考1：用配方法解一元二次方程時，移項時要注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步驟.移項時需注意改變符號.①移項，二次項系數(shù)化為1；②左邊配成完全平方式；③左邊寫成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.探究新知一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉化成

(x+n)2=p.①當p>0時,則

,方程的兩個根為②當p=0時,則(x+n)2=0,x+n=0,開平方得方程的兩個根為

x1=x2=-n.③當p<0時,則方程(x+n)2=p無實數(shù)根.方法點撥探究新知2.解下列方程：鞏固練習解:

移項，得配方，得由此可得二次項系數(shù)化為1，得整理，得3x2+6x=4x2+2x=x2+2x+12=+12(x+1)2=即

x+1=±x1=

，

x2=（1）鞏固練習解:移項，得配方，得由此可得二次項系數(shù)化為1，得整理，得x1=

，x2=

4x2-6x=3x2-x=（2）鞏固練習解：移項，得∴x取任何實數(shù)，上式都不成立，即原方程無實數(shù)根．∵對任何實數(shù)x都有(x+1)2≥0配方，得x2+2x+1=-2+1整理，得x2+2x=-2(x+1)2=-1（3）鞏固練習解：去括號，得x2+4x=8x+12移項，得

配方，得

由此可得x-2=±4整理，得x2-4x=12(x-2)2=16x1=6,x2=-2x2-4x+22=12+22因此（4）例3

試用配方法說明：不論k取何實數(shù)，多項式

k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因為（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.利用配方法確定多項式或字母的值（或取值范圍）素養(yǎng)考點3探究新知方法點撥：證明代數(shù)式的值恒為正數(shù),需要利用配方法將代數(shù)式化成幾個非負數(shù)的和,利用非負數(shù)的性質說明代數(shù)式的值恒為正數(shù).例例4

若a,b,c為△ABC的三邊長，且

試判斷△ABC的形狀.解：對原式配方，得

根據(jù)非負數(shù)的性質得

根據(jù)勾股定理的逆定理可知，△ABC為直角三角形.

探究新知由此可得

即

鞏固練習1.方程2x2-3m-x+m2+2=0有一個根為x=0，則m的值為（）A.1B.1C.1或2D.1或-22.應用配方法求最大值或最小值.(1)求2x2-4x+5的最小值(2)-3x2+12x-16的最大值.C解：原式=2(x-1)2+3因為2(x-1)2≥0，所以2(x-1)2+3≥3因此當x=1時，原式有最小值3.解：原式=-3(x-2)2-4因為(x-2)2≥0，即-3(x-2)2≤0，所以-3(x-2)2-4≤-4因此當x=2時，原式有最大值-4.

類別解題策略1.求最值或證明代數(shù)式的值恒為正（或負）對于一個關于x的二次多項式通過配方成a(x+m)2＋n的形式后，由于x無論取任何實數(shù)都有(x+m)2≥0，n為常數(shù)，當a＞0時，可知其有最小值；當a＜0時，可知其有最大值.2.完全平方式中的配方如：已知x2－2mx＋16是一個完全平方式，所以一次項系數(shù)一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方構成非負數(shù)和的形式對于含有多個未知數(shù)的二次式的等式，求未知數(shù)的值，解題突破口往往是通過配方成多個完全平方式得其和為0，再根據(jù)非負數(shù)的和為0，各項均為0，從而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,則a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.配方法的應用探究新知鞏固練習1.

一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化為（）

A.(y+)2=1

B.(y-)2=1

C.(y+)2=D.(y-)2=連接中考B課堂檢測1.解方程：4x2-8x-4=0.

解：移項，得4x2-8x=4，基礎鞏固題二次項系數(shù)化為1，得x2-2x=1，配方，得x2-2x+1=1+1整理，得（x-1）2=2課堂檢測2.利用配方法證明：不論x取何值，代數(shù)式－x2－x－1的值總是負數(shù)，并求出它的最大值.

基礎鞏固題課堂檢測3.若

，求(xy)z

的值.解：對原式配方，得由非負數(shù)的性質可知基礎鞏固題4.如圖，在一塊長35m、寬26m的矩形地面上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路，剩余部分栽種花草，要使剩余部分的面積為850m2，道路的寬應為多少？

解：設道路的寬為xm,根據(jù)題意得（35-x)(26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合題意，舍去）,x2=1.答：道路的寬為1m.課堂檢測基礎鞏固題

已知a,b,c為△ABC的三邊長，且

試判斷△ABC的形狀.解：對原式配方，得由代數(shù)式的性質可知所以，△ABC為等邊三角形.

課堂檢測能力提升題配方法定義通過配成完全平方形式解一元二次方程的方法.步驟一移常數(shù)項；二配方[配上]；三寫成（x+n)2=p(p≥0);四直接開平方法解方程.特別提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化為x2+px+q=0的形式.應用求代數(shù)式的最值或證明.課堂小結課后作業(yè)作業(yè)內容教材作業(yè)從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習21.2解一元二次方程21.2.2公式法人教版數(shù)學九年級上冊解：移項，得配方由此可得利用配方法解一元二次方程導入新知

化：把原方程化成

x2＋px＋q=0的形式.移項：把常數(shù)項移到方程的右邊，如x2＋px=－q.配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.開方：根據(jù)平方根的意義，方程兩邊開平方.求解：解一元一次方程.定解：寫出原方程的解.用配方法解一元二次方程的步驟方程右邊是非負數(shù)x2＋px＋()2=－q＋()2(x+)2=－q＋()2【思考】如何用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)呢？導入新知3.會熟練應用公式法解一元二次方程.1.理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念.2.靈活應用△=b2－4ac

的值識別一元二次方程根的情況.素養(yǎng)目標ax2＋bx＋c=0(a≠0)公式法的概念探究新知知識點1一元二次方程的一般形式是什么？【思考】如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么這個根是不是可以普遍適用呢？用配方法解一般形式的一元二次方程

方程兩邊都除以a，得解:移項，得配方，得即探究新知一元二次方程的求根公式當探究新知

由上可知，一元二次方程的根由方程的系數(shù)a，b，c確定．因此，解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式 ，當時，將a，b，c代入式子，就得到方程的根，這個式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根.

當b-4ac

＜0

時，方程有實數(shù)根嗎？探究新知公式法的概念解：∵a=1，b=-4，c=-7,∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.

例1用公式法解方程：公式法解方程素養(yǎng)考點1（1）x2-4x-7=0；探究新知解：則方程有兩個相等的實數(shù)根：（2）2x2-2x+1=0；【思考】這里的a、b、c的值分別是什么？探究新知則方程有兩個不相等的實數(shù)根（3）5x2-3x=x+1解：原方程可化為探究新知方程無實數(shù)根.（4）x2+17=8x探究新知解：原方程可化為

方法點撥探究新知（1）當時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根.（2）當時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根.（3）當時，一元二次方程沒有實數(shù)根.用公式法解一元二次方程的一般步驟1.將方程化成一般形式，并寫出a，b，c的值.2.求出?的值.3.(1)當

?>0時，代入求根公式:

寫出一元二次方程的根.

(2)當?=0時，代入求根公式：

寫出一元二次方程的根.

（3）當?<0時，方程無實數(shù)根.

探究新知1.用公式法解方程：解：a=3,b=-6,c=-2?=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60

鞏固練習用公式法解下列方程：（1）x2＋x－1=0

（2）x2－2（3）2x2－2x＋1=0x＋3=0

觀察上面解一元二次方程的過程，一元二次方程的根的情況與一元二次方程中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項有關嗎？能否根據(jù)這個關系不解方程得出方程的解的情況呢？一元二次方程的根的情況知識點2探究新知【思考】不解方程，你能判斷下列方程根的情況嗎？⑴x2＋2x－8=0⑵x2=4x－4⑶x2－3x=－3（3）沒有實數(shù)根.

答案：（1）有兩個不相等的實數(shù)根；（2）有兩個相等的實數(shù)根；

【發(fā)現(xiàn)】b2－4ac的符號決定著方程的解.探究新知（2）當b2-4ac=0時，有兩個相等的實數(shù)根：（1）當b2-4ac＞0時，有兩個不等的實數(shù)根：（3）當b2-4ac<0時，沒有實數(shù)根.一般的，式子b2-4ac叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母“?”來表示，即?＝b2-4ac.一元二次方程的根的情況探究新知若已知一個一元二次方程的根的情況，是否能得到判別式的值的符號呢？當一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根時，

b2-4ac＞0當一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根時，

b2-4ac=0當一元二次方程沒有實數(shù)根時，b2-4ac＜0【注意】一元二次方程的根的情況探究新知例2

不解方程，判斷下列方程根的情況：解：a＝﹣1，b＝，c＝﹣6

△=b2-4ac

=24－4×（﹣1）×（-6）=0

該方程有兩個相等的實數(shù)根解：移項，得x2+4x-2=0a＝1，b＝4，c＝﹣2

△=

b2-4ac

=16-4×1×（-2）=24＞0

該方程有兩個不相等的實數(shù)根

利用判別式識別一元二次方程的根的情況素養(yǎng)考點2（2）x2+4x=2探究新知（1）（3）4x2+1=-3x解：移項，得4x2+3x+1=0，

a＝4，b＝3，c＝1∵△=b2-4ac

=9-4×4×1=-7＜0∴該方程沒有實數(shù)根解：a＝1，b＝-2m，c＝4（m-1）∵△=b2-4ac

=（-2m）2-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）

=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0∴該方程有兩個實數(shù)根（4）x2-2mx+4（m-1）=0探究新知（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實數(shù)根，那么總成立的式子是（）A.b2-4ac＞0

B.b2-4ac＜0C.b2-4ac≤0

D.b2-4ac≥0

（1）下列方程中，沒有實數(shù)根的方程是（）

A.x2=9

B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1

D.2y2+6y+7=0DD鞏固練習2.選一選.

例3m為何值時，關于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：（1）有兩個不相等的實數(shù)根？（2）有兩個相等的實數(shù)根？（3）沒有實數(shù)根？解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9

（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則b2-4ac＞0，即8m+9＞0∴m＞（2）若方程有兩個相等的實數(shù)根，則b2-4ac=0即8m+9=0∴m=（3）若方程沒有實數(shù)根，則b2-4ac＜0即8m+9＜0∴m＜∴當m＞

時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當m=時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當m＜時，方程沒有實數(shù)根

利用判別式求字母的值或取值范圍素養(yǎng)考點3探究新知

3.

m為任意實數(shù)，試說明關于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有兩個不相等的實數(shù)根.解：

∵不論m取任何實數(shù)，總有（m+5）2≥0∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0∴不論m取任何實數(shù)，上述方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

鞏固練習

1.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有兩個不相同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1鞏固練習連接中考D2.

解方程x2﹣2x﹣1=0．解：a=1，b=﹣2，c=﹣1，

△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，

方程有兩個不相等的實數(shù)根，

鞏固練習連接中考

1.方程x2－4x＋4＝0的根的情況是(

)

A.有兩個不相等的實數(shù)根

B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有一個實數(shù)

D.沒有實數(shù)根基礎鞏固題課堂檢測B2.

關于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個不等的實根，則k的取值范圍是（）A.

k>-1

B.

k>-1

且k≠0C.k<1

D.

k<1

且k≠0B課堂檢測基礎鞏固題

3.

已知x2＋2x＝m－1沒有實數(shù)根，求證：x2＋mx＝1－2m必有兩個不相等的實數(shù)根.證明：∵沒有實數(shù)根

4-4(1-m)<0,∴m<0對于方程

x2＋mx＝1-2m

，即

，∵，∴△>0∴x2＋mx＝1－2m必有兩個不相等的實數(shù)根.課堂檢測基礎鞏固題公式法定義把各系數(shù)直接帶入求根公式的解一元二次方程的方法.步驟

應用用判別式△=b2-4ac判定一元二次方程根的情況.課堂小結課后作業(yè)作業(yè)內容教材作業(yè)從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法人教版數(shù)學九年級上冊

1.

解一元二次方程的方法有哪些？2.

什么叫因式分解?把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式叫做因式分解，也叫把這個多項式分解因式.直接開平方法配方法x2=a(a≥0)(x+m)2=n(n≥0)公式法x=

（b2-4ac≥0）導入新知3.分解因式的方法有那些?（1）提取公因式法:（2）公式法:【思考】下面的方程如何使解答簡單呢？am+bm+cm=m(a+b+c).a2-b2=(a+b)(a-b),a2±2ab+b2=(a±b)2.x2+25x=0導入新知（3）十字相乘法:2.會應用因式分解法解一元二次方程并解決有關問題.3.會靈活選擇合適的方法解一元二次方程，并能解決相關問題.素養(yǎng)目標1.理解一元二次方程因式分解法的概念.

根據(jù)物理學規(guī)律，如果把一個物體從地面10m/s的速度豎直上拋，那么經過xs物體離地面的高度（單位：m）為提示：設物體經過xs落回地面，這時它離地面的高度為0，即【思考】根據(jù)這個規(guī)律求出物體經過多少秒落回地面？（精確到0.01s）因式分解法的概念探究新知知識點1解：配方法公式法解：a=4.9，b=－10，c=0b2－4ac=(－10)2－0=100探究新知因式分解如果a·

b=0，那么a=0或b=0.或降次，化為兩個一次方程解兩個一次方程，得出原方程的根探究新知這種解法是不是很簡單？可以發(fā)現(xiàn)，上述解法中，由①到②的過程，不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次.這種解法叫做因式分解法．【思考】以上解方程10x-4.9x2=0

的方法是如何使二次方程降為一次的？①②x(10-4.9x)=0

x=0或10-4.9x=0探究新知1.用因式分解法的條件是:方程左邊易于分解,而右邊等于零;2.關鍵是熟練掌握因式分解的方法;3.理論依據(jù)是“ab=0,則a=0或b=0

”.探究新知【提示】探究新知

歸納總結分解因式法解一元二次方程的步驟是:2.將方程左邊因式分解為A×B；3.根據(jù)“ab=0,則a=0或b=0”,轉化為兩個一元一次方程；4.分別解這兩個一元一次方程，它們的根就是原方程的根.1.將方程右邊化為等于0的形式；解：（1）因式分解，得于是得x－2＝0或

x＋1=0,x1=2，x2=－1.(2)移項、合并同類項，得因式分解，得

(2x＋1)(2x－1)=0.于是得2x＋1=0或2x－1=0,(x－2)(x＋1)=0.4x2-1=0x1=，

x2=-.探究新知例1

解下列方程：（1）x(x-2)+x-2=0（2）5x2-2x-=x2-2x+素養(yǎng)考點1

因式分解法解一元二次方程方法點撥右化零左分解

兩因式各求解一.因式分解法簡記歌訣：二.選擇解一元二次方程的技巧：1.開平方法、配方法適用于能化為完全平方形式的方程.2.因式分解法適用于能化為兩個因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法適用于所有一元二次方程.探究新知解下列方程：解：

因式分解，得（1）

x2+x=0

x(x+1)=0.于是得

x=0或

x+1=0，x1=0,x2=－1.解：因式分解，得（2）x2-2x=0x（x-2）=0

于是得

x=0或

x-2=0x1=0，x2=2鞏固練習1.解：將方程化為因式分解，得x2－2x+1=0.(x－1)(x－1)=0.于是得

x－1=0或

x

－1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.于是得

2x+11=0或

2x

－11=0，x1=-5.5，

x2=5.5.鞏固練習（3）（4）解：將方程化為因式分解，得6x2－x

－2=0.(3x

－2)(2x+1)=0.有

3x

－2=0或

2x+1=0，解：將方程化為因式分解，得(x

－4)2

－(5－2x)2=0.(x

－4－5+2x)(x

－4+5－2x)=0.(3x

－9)(1－x)=0.有

3x

－9=0或

1－

x=0，x1=3,x2=1.x1=，x2=-鞏固練習（5）（6）靈活選擇方法解一元二次方程

例2用適當方法解下列方程：(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.素養(yǎng)考點2

思路點撥：四種方法的選擇順序是：直接開平方法→因式分解法→公式法→配方法．探究新知(2)x2－6x－19＝0；

探究新知(3)移項，得3x2－4x－1＝0.∵a＝3，b＝－4，c＝－1，(4)移項，得y2－2y－15＝0.把方程左邊因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0.∴y－5＝0或y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；探究新知(5)將方程左邊因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0.∴(x－3)(4x－1)＝0.(6)移項，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0.∴(11x－8)(x＋12)＝0.(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.探究新知(1)x2－＝0；用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋红柟叹毩?.

解：原方程可變形為5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.鞏固練習(2)5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．1.已知x=2是關于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一個根，則k的值為

．連接中考鞏固練習連接中考﹣32.

解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．

連接中考鞏固練習連接中考1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程無解.解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.課堂檢測基礎鞏固題2.小華在解一元二次方程

x2－x＝0時，只得出一個根

x＝1，則被漏掉的一個根是（）

A．x＝4B．x＝3C．x＝2D．x＝0D課堂檢測基礎鞏固題我們已經學習了一元二次方程的四種解法：直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法．請從以下一元二次方程中任選一個，并選擇你認為適當?shù)姆椒ń膺@個方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我選擇______________________課堂檢測能力提升題解：答案不唯一．若選擇①，①適合公式法，x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，課堂檢測①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.能力提升題②適合直接開平方法，∵(x－1)2＝3，課堂檢測若選擇②，①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.能力提升題③適合因式分解法，x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0.解得x1＝0，x2＝3.若選擇③，課堂檢測①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.能力提升題④適合配方法，x2－2x＝4，x2－2x＋1＝4＋1＝5，即(x－1)2＝5.課堂檢測①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.若選擇④，能力提升題解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.【點撥】把(x2＋3)看作一個整體來提公因式，再利用平方差公式，因式分解.解：設x2＋3＝y(tǒng)，則原方程化為y2－4y＝0.分解因式，得y(y－4)＝0，解得y＝0，或y＝4.①當y＝0時，x2＋3＝0，原方程無解；②當y＝4時，x2＋3＝4，即x2＝1.解得x＝±1.所以原方程的解為x1＝1，x2＝－1.課堂檢測拓廣探索題ax2+c=0====>ax2+bx=0====>ax2+bx+c=0====>因式分解法公式法（配方法）2.公式法雖然是萬能的，對任何一元二次方程都適用，但不一定是最簡單的，因此在解方程時我們首先考慮能否應用“直接開平方法”、“因式分解法”等簡單方法，若不行，再考慮公式法（適當也可考慮配方法）3.方程中有括號時，應先用整體思想考慮有沒有簡單方法，若看不出合適的方法時，則把它去括號并整理為一般形式再選取合理的方法.1.直接開平方法因式分解法課堂小結課后作業(yè)作業(yè)內容教材作業(yè)從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關系人教版數(shù)學九年級上冊1.一元二次方程的求根公式是什么？【想一想】方程的兩根x1和x2與系數(shù)a、b、c還有其他關系嗎？2.如何用判別式b2-4ac來判斷一元二次方程根的情況？對一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根.b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根.b2-4ac<0時,方程無實數(shù)根.導入新知素養(yǎng)目標1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關系.2.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系解決問題.3.讓學生體會從特殊到一般的科學探究過程.填表，觀察、猜想

方程

x1,

x2

x1+

x2

x1.x2

x2-2x+1=0x2+3x-10=0x2+5x+4=0【思考】你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？①用語言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；②

x2+px+q=0的兩根x1,,x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

根與系數(shù)的關系探究新知知識點11,1212,-5-3-10-1,-4-54（1）若一元二次方程的兩根為x1,x2,則有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2為已知數(shù)）的兩根是什么？將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2與p,q之間的關系嗎？(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.探究新知【猜一猜】如果關于x的方程的兩根是x1

,x2

,則:如果方程二次項系數(shù)不為1呢?x1+x2=-p，x1·x2=q探究新知方程x1,

x2

x1+

x2

x1.x2

2x2-3x-2=03x2-4x+1=0問題：上面發(fā)現(xiàn)的結論在這里成立嗎？請完善規(guī)律.①用語言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；②

ax2+bx+c=0的兩根x1,,x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.探究新知

-1一元二次方程的根與系數(shù)的關系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=（韋達定理）【注意】能用根與系數(shù)的關系的前提條件為b2-4ac≥0常數(shù)項探究新知一次項系數(shù)二次項系數(shù)注意系數(shù)符號。學生活動：請同學用求根公式證明.一元二次方程的根與系數(shù)的關系的應用例1

利用根與系數(shù)的關系，求下列方程的兩根之和、兩根之積.

（1）x2+7x+6=0;解：這里a=1,b=7,c=6.Δ=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有兩個實數(shù)根.設方程的兩個實數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2=-7,x1x2=6.素養(yǎng)考點1探究新知（2）2x2-3x-2=0.解：這里

a=2,b=-3,c=-2.

Δ=b2

-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,

∴方程有兩個實數(shù)根.

設方程的兩個實數(shù)根是

x1,x2,那么

x1+x2=,x1x2=-1.探究新知不解方程，求方程兩根的和與兩根的積：

①x2+3x-1=0②2x2-4x+1=0解：①②原方程可化為：二次項不是1，可以先把它化為11.鞏固練習例2

已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值.解：設方程的兩個根分別是x1、x2，其中x1=2

.

所以：x1·x2=2x2=

即：x2=

由于x1+x2=2+=

得：k=－7.答：方程的另一個根是

，k=－7.利用根與系數(shù)的關系求字母的值或取值范圍素養(yǎng)考點2探究新知想一想，還有沒有別的做法？2.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,求它的另一個根及k的值.解：設方程的另一個根為x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解這方程，得k=-2由根與系數(shù)關系，得x1●2＝3k

即2x1

＝－6∴x1

＝－3答：方程的另一個根是－3,k的值是－2.鞏固練習例3

不解方程，求方程2x2+3x-1=0的兩根的平方和、倒數(shù)和.解：根據(jù)根與系數(shù)的關系可知：

利用根與系數(shù)的關系求兩根的平方和、倒數(shù)和素養(yǎng)考點3探究新知（1）x1+x2=

,(2)x1·x2=

,(3)