成對力保守力勢能

關于成對力保守力勢能第1頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

在元位移

中，重力所做的元功是

第2頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

由此可見，重力作功僅僅與物體的始末位置有關，而與運動物體所經歷的路徑無關。

設物體沿任一閉合路徑運動一周，重力所作的功為：第3頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

表明：在重力場中物體沿任一閉合路徑運動一周時重力所作的功為零。第4頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

如用矢量點積的方法描述重力的功，則更方便。

此式表明重力的功只決定于作功的起點和終點而與作功的路徑無關。dAmgdydr===P·(+mgj).(dxidyj)yx0yyaabbdrPmgdyyy==()Aabmgmgybya沿任意閉合路徑一周

保守力作功為零：第5頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三2.彈性力的功

彈簧勁度系數(shù)為k

，一端固定于墻壁，另一端系一質量為m的物體，置于光滑水平地面。XOXxbOxax設

a、b

兩點為彈簧伸長后物體的兩個位置，xa

和

xb

分別表示物體在a、b

兩點時距

0

點的距離。ab第6頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三XxbOxax

由此可見，彈性力作功也僅僅與質點的始末位置有關，與具體路徑無關。第7頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三3.

萬有引力的功

兩個物體的質量分別為M和m，它們之間有萬有引力作用。M靜止，以M為原點O建立坐標系，研究m相對M的運動。第8頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三MmrrGabF=2rFmrabM第9頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三MmrrGabθF==dA2Fdr.rdrFmrdrabM第10頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三cosMmMmrrrGGabsinθθF====()dA22FFdr.90+0θrdrFMmrdrab第11頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三cosMmMmMmMmrrrrGGGGabsinθθF=====()))(([]dAA2222FFdr.90+0θdr==rraabbdrrGMmGMmrrrdrFMmrdrab第12頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三萬有引力的功

由此可見，萬有引力作功也僅僅與質點的始末位置有關，與具體路徑無關。第13頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三重力、萬有引力、彈性力都是保守力摩擦力不是保守力記住

保守力的判據(jù)是：第14頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三二、成對力的功

設有兩個質點1和2，質量分別為和，為質點1受到質點2的作用力，為質點2受到質點1的作用力，它們是一對作用力和反作用力。第15頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三由此可見，成對作用力與反作用力所作的總功只與作用力及相對位移有關，而與每個質點各自的運動無關。表明：任何一對作用力和反作用力所作的總功具有與參考系選擇無關的不變性質。第16頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

保守力的普遍定義：在任意的參考系中，成對保守力的功只取決于相互作用質點的始末相對位置，而與各質點的運動路徑無關。

表明：任何一對作用力和反作用力所作的總功具有與參考系選擇無關的不變性質。第17頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三根據(jù)這一特點，就可以按下述方法計算一對力的功：例如，質量為m的物體在地面以上下落高度h時，重力及其反作用力所做的功為mgh.認為一個質點靜止而以它所在的位置為坐標原點，再計算另一個質點在此坐標系中運動時它所受的力所做的功。這樣用一個力計算出來的功，也就是相應的一對力所做的功之和。第18頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三每對內力所做功并不一定為零

有人認為作用力和反作用力大小相等、方向相反，因此，系統(tǒng)內力的功的代數(shù)和必等于零，這是錯誤的！第19頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

勢能：質點在保守力場中與位置相關的能量。它是一種潛在的能量，不同于動能。三、勢能幾種常見的勢能：重力勢能彈性勢能萬有引力勢能第20頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

涉及重力勢能時，一定要將地球列入系統(tǒng)。重力勢能是指質量為m的物體與地球所組成的系統(tǒng)擁有的重力勢能，而不屬于其中個別的物體。并設質量為m的物體在地球表面時，系統(tǒng)的重力勢能為零。注意上述公式的適用條件：第21頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三設彈簧為原長時彈性勢能為零。彈性勢能即:式中x代表彈簧的絕對變形量.第22頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三萬有引力勢能上述公式成立條件：兩物體質量分別為M和m，兩者間的距離為r,并設兩者間的距離為無窮遠時引力勢能為零。第23頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三此時的引力勢能應等于把質點m從目前位置移動到無窮遠處(引力勢能為零處)萬有引力所做的功。第24頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三注意

萬有引力勢能是由質量分別為M和m兩物體組成的系統(tǒng)所共同擁有的。第25頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三保守力的功

上式的意思是，系統(tǒng)在由位置a

改變到位置

b時，成對保守內力的功等于系統(tǒng)勢能的減少（或勢能增量的負值）。第26頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三注意：

（1）勢能既取決于系統(tǒng)內物體之間相互作用的形式，又取決于物體之間的相對位置，所以勢能是屬于物體系統(tǒng)的，不為單個物體所具有。（2）物體系統(tǒng)在兩個不同位置的勢能差具有一定的量值，它可用成對保守力作的功來衡量。（3）勢能差有絕對意義，而勢能只有相對意義。勢能零點可根據(jù)問題的需要來選擇。第27頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三勢能屬于保守力相互作用系統(tǒng),是由相對位置決定的函數(shù).上式的意思是，系統(tǒng)在由位置a

改變到位置

b時，成對保守內力的功等于系統(tǒng)勢能的減少（或勢能增量的負值）。第28頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三空間某點的勢能是相對零勢能點的,數(shù)值上等于由該點移動到勢能零點時,保守力所作的功.令b點的勢能為零第29頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三CalculationoftheforcefrompotentialenergyTheworkdonebytheconservativeforceonanobjectcanbemeasuredasthedecreaseofthepotentialenergyoftheobjectintheconservativefield:dW=F?dr

=Fxdx+Fydy+Fzdz=–dUThemathematicalexpressionofthetotaldifferentiationofthepotentialenergy第30頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三4.勢能曲線重力勢能彈性勢能引力勢能第31頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三勢能曲線的作用：

（1）根據(jù)勢能曲線的形狀可以討論物體的運動。

（2）利用勢能曲線，可以判斷物體在各個位置所受保守力的大小和方向。設系統(tǒng)內的物體在保守力F的作用下，沿x軸發(fā)生位移dx時，保守力作功第32頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三勢能曲線的作用：

（1）根據(jù)勢能曲線的形狀可以討論物體的運動。

（2）利用勢能曲線，可以判斷物體在各個位置所受保守力的大小和方向。

表明：保守力沿某坐標軸的分量等于勢能對此坐標的導數(shù)的負值。第33頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例題3-1

一質量為m=1kg的物體，在保守力F（x）的作用下，沿x軸正向運動（x>0）。與該保守力相應的勢能是式中x以m為單位，勢能以J為單位a=1J·m2,b=2J·m

。a）畫出物體的勢能曲線；b）設物體的總能量E=-0.50J保持不變，這表明物體的運動被引力束縛在一定范圍之內。試分別用作圖和計算的方法求物體的運動范圍。第34頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例題3-1一質量為m=1kg的物體，在保守力F（x）的作用下，沿x軸正向運動（x>0）。與該保守力相應的勢能是式中x以m為單位，勢能以J為單位a=1J·m2,b=2J·m

。（a）畫出物體的勢能曲線；（b）設物體的總能量E=-0.50J保持不變，這表明物體的運動被引力束縛在一定范圍之內。試分別用作圖和計算的方法求物體的運動范圍。解（a)

根據(jù)取下列數(shù)據(jù)來畫出勢能曲線第35頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三x/mEp(x)/J0.20.51.501-1.0-0.75-0.55-0.44234現(xiàn)在，用式（3-8）求物體的平衡位置令F=0,解得x=1m

，這就是物體的平衡位置，在該點，勢能有極小值，如圖所示。-10121234x/mEP/J第36頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三（b）當物體的總能量E=-0.50J保持不變時，令Ep(x)