2020年新高考全國卷(山東卷)數(shù)學高考真題及答案詳細解析

2020年新高考全國卷(山東卷)數(shù)學高考真題及答案詳細解析

2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試·新高考數(shù)學注意事項：1.在答題卡和試卷指定位置填寫姓名、考生號等個人信息。2.選擇題用鉛筆在答題卡上涂黑對應題目的答案標號，非選擇題寫在答題卡上。3.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：共8小題，每小題5分，共40分。1.設集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，則A∪B=？A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}2.求2-i÷(1+2i)=？A.1B.-1C.iD.-i3.6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有多少種？A.120種B.90種C.60種D.30種4.日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間。把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面。在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為？A.20°B.40°C.50°D.90°5.某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是多少？A.56%B.62%C.46%D.42%6.基本再生數(shù)R與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù)。基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間。在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)=ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R，T近似滿足R=1+rT。有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R=3.28，T=6。據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為多少天？A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.已知點P在正六邊形ABCDEF內(nèi)，邊長為2。則AP·AB的取值范圍是(－4,6)。8.若定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)f(x)在(－∞,0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1,0]∪[1,+∞)。9.已知曲線C:mx^2+ny^2=1。A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上。B.若m=n>0，則C是圓，其半徑為√(1/n)。C.若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±(n/m)x。D.若m=0，n>0，則C是兩條直線。10.下圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=sin(x+π/6)。11.已知a>0，b>0，且a+b=1，則a^2+b^2≥1/2。12.信息熵是信息論中的一個重要概念。設隨機變量X所有可能的取值為1,2,...,n，且P(X=i)=pi>0(i=1,2,...,n)，Σpi=1，定義X的信息熵H(X)=－Σpilog2pi。A.若n=1，則H(X)=0。B.若n=2，則H(X)隨著pi的增大而減小。C.若pi=1/n(i=1,2,...,n)，則H(X)隨著n的增大而減小。D.若n=2^m，隨機變量Y所有可能的取值為1,2,...,m，且P(Y=j)=pj+p2^m+1-j(j=1,2,...,m)，則H(X)≤H(Y)。13.斜率為3的直線過拋物線C：y^2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則AB=2。14.將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為n(3n－1)。15.某中學進行了勞動實習活動，學生們加工制作了一個零件，其截面如圖所示。其中O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，BH∥DG，且5EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm。求圖中陰影部分的面積。16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，且∠BAD=60°。以D1為球心，5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為多少？17.在條件①ac=3、②csinA=3、③c=3b中任選一個，補充在下面的問題中。若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由。問題：是否存在一個三角形ABC，它的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且sinA=3sinB，C=π/6？18.已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20，a3=8。（1）求{an}的通項公式；（2）記bm為{an}在區(qū)間(0,m]（m∈N*）中的項的個數(shù)，求數(shù)列{bm}的前100項和S100。19.為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度（單位：μg/m3），得下表：|SO2|PM2.5||-------|-----------||[0,50)|[0,35)||[0,50)|(35,75]||[0,50)|(75,115]||(50,150]|[0,35)||(50,150]|(35,75]||(50,150]|(75,115]||(150,475]|[0,35)||(150,475]|(35,75]||(150,475]|(75,115]|（1）估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：|SO2|PM2.5||-------|-----------||[0,150)|[0,75)||[0,150)|(75,115]||(150,475]|[0,75)||(150,475]|(75,115]|（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關？附：K=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2P(K2≥k)0.050.010.001k3.8416.63510.828第6頁共14頁20．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，且PD⊥底面ABCD。設平面PAD與平面PBC的交線為l。（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值。第7頁共14頁21．（12分）已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna。（1）當a=e時，求曲線y=f(x)在點（1，f(1)）處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若f(x)≥1，求a的取值范圍。第8頁共14頁22．（12分）已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$e$，且過點A（2，1）。（1）求C的方程：（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足。證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值。第9頁共14頁2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試·新高考數(shù)學參考答案一、選擇題1.C5.C二、選擇題9.ACD三、填空題13.16/32.D6.B3.C7.A4.B8.D10.BC11.ABD12.AC14.3n^2-2n15.(5π+4)/216.π/2四、解答題17.解：方案一：選條件①。$\frac{\pia^2+b^2-c^2}{3\sqrt{2}ab}=\cosA$，由此得到$\frac{\sinA}{\sinB}=3$。又因為$\sinA=3\sinB$，所以$a=3b$。由條件①得到$ac=3$，解得$a=3,b=c=1$，因此$c=1$。方案二：選條件②。$\frac{\pia^2+b^2-c^2}{3\sqrt{2}ab}=\cosA$，由此得到$\frac{\sinA}{\sinB}=\frac{\sqrt{3}\pi}{2}$。又因為$\sinA=3\sinB$，所以$a=3b$。由條件②得到$c\sinA=3$，解得$a=6,b=c=\frac{2}{3}$，因此$c=\frac{2}{3}$。方案三：選條件③。$\frac{\pia^2+b^2-c^2}{3\sqrt{2}ab}=\cosA$，由此得到$\frac{\sinA}{\sinB}=3$。又因為$\sinA=3\sinB$，所以$a=3b$。由條件③得到$ac=9$，解得$a=3\sqrt{3},b=\sqrt{3},c=1$，因此$c=1$。綜上所述，選條件①時問題中的三角形存在，此時$c=1$。18.題目要求求出數(shù)列{an}的通項公式和S100的值。首先根據(jù)題設，得到a1q+a1q3=20和a1q2=8，解得q=-2或2，但因為q必須為正數(shù)，所以舍去q=-2，得到q=2和a1=2。因此，數(shù)列的通項公式為an=2n。接著根據(jù)題設和通項公式，可以得到b1=2，當2n≤m<2n+1時，bm=n。因此，S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+...+(b64+b65+...+b100)=1+2×2+3×2^3+4×2^4+5×2^5+6×(100-63)=480。19.題目要求估計該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的概率。首先根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天中符合條件的天數(shù)為32+18+6+8=64。因此，估計值為64/100=0.64。接著根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可以得到一個2×2的列聯(lián)表，計算得到K值為7.484。由于K值大于6.635，所以有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關。20.題目要求證明PD垂直于平面QCD，并求出點Q的坐標。首先根據(jù)題設，得到PD垂直于底面ABCD，因此PD垂直于AD。又因為底面ABCD是正方形，所以AD垂直于DC，因此AD垂直于平面PDC。又因為BC平行于平面PBC，所以AD平行于BC，因此l垂直于平面PDC。接著以D為坐標原點，DA的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系D-xyz。則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，P(0,0,1)，DC=(0,1,0)，PB=(1,1,-1)。設Q(a,0,1)，則DQ=(a,0,1)。設平面QCD的法向量為n=(x,y,z)，則有ax+z=0，y=0，n·DC=0。解得n=(-1,0,a)。因此，cos∠(n,PB)=n·PB/|n|·|PB|=(n·PB-1-a)/√(1+a^2)。1.解題思路本篇文章主要涉及數(shù)學題目的解答，需要對數(shù)學知識點有一定的掌握。文章中出現(xiàn)的公式和符號需要正確書寫，避免出現(xiàn)格式錯誤。在修改文章時，需要刪除明顯有問題的段落，并對每段話進行小幅度的改寫，使其更加清晰明了。2.解題步驟2.1第一題根據(jù)題目中給出的條件，可以得到PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為21。具體求解過程如下：由題意可得：$\frac{3|a+1|}{2\sqrt{3}a}=\frac{1}{2}$化簡得：$|a+1|=\frac{\sqrt{3}a}{2}$當$a>0$時，$a+1=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，解得$a=2-\sqrt{3}$當$a<0$時，$a+1=-\frac{\sqrt{3}a}{2}$，解得$a=2+\sqrt{3}$因此，$PB$與平面$QCD$所成角的正弦值的最大值為$2\sqrt{3}-3$。2.2第二題根據(jù)題目中給出的函數(shù)$f(x)$和$f'(x)$的定義，可以求得函數(shù)的取值范圍。具體求解過程如下：當$a=e$時，$f(x)=e^x-lnx+1$，$f'(1)=e-1$，曲線$y=f(x)$在點$(1,f(1))$處的切線方程為$y-(e+1)=(e-1)(x-1)$，即$y=(e-1)x+2$。直線$y=(e-1)x+2$在$x$軸，$y$軸上的截距分別為$-\frac{2}{e-1}$和$2$。當$a\in(0,e)$時，$f(1)=a+lna<1$。因為$f'(x)=ae^x-1/x^2>0$，所以$f(x)>f(1)$，即$f(x)\geq1$。當$a>1$時，$f(x)=ae^x-1-lnx+lna\geqe^x-1-lnx\geq1$。綜上，$a$的取值范圍是$[1,+\infty)$。2.3第三題根據(jù)題目中給出的條件，可以求得點$C$的坐標和三角形$AMN$的面積。具體求解過程如下：由題意可得：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$設點$M(x_1,y_1)$，點$N(x_2,y_2)$，則有：$\begin{cases}\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{9}=1\\\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{9}=1\\\frac{x_1x_2}{2}+\frac{y_1y_2}{3}=1\end{cases}$解得：$x_1+x_2=-\frac{2}{\sqrt{5}}$，$y_1+y_2=-\frac{3}{\sqrt{5}}$因為$A(2,1)$不在直線$MN$上，所以$2k+m-1\neq0$，故$2k+3m+1=0$，$k\neq1$。所以直線$MN$過點$P(-\frac{2}{5},-\frac{3}{5})$。根據(jù)向量叉積的公式，可以求得向量$\overrightarrow{AM}$和向量$\overrightarrow{AN}$的叉積的模長，從而求得三角形$AMN$的面積為$\frac{3}{5}$。3.修改后的文章3.1第一題根據(jù)題目中給出的條件，可以得到PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為21。具體求解過程如下：由題意可得：$\frac{3|a+1|}{2\sqrt{3}a}=\frac{1}{2}$化簡得：$|a+1|=\frac{\sqrt{3}a}{2}$當$a>0$時，$a+1=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，解得$a=2-\sqrt{3}$當$a<0$時，$a+1=-\frac{\sqrt{3}a}{2}$，解得$a=2+\sqrt{3}$因此，$PB$與平面$QCD$所成角的正弦值的最大值為$2\sqrt{3}-3$。3.2第二題根據(jù)題目中給出的函數(shù)$f(x)$和$f'(x)$的定義，可以求得函數(shù)的取值范圍。具體求解過程如下：當$a=e$時，$f(x)=e^x-lnx+1$，$f'(1)=e-1$，曲線$y=f(x)$在點$(1,f(1))$處的切線方程為$y-(e+1)=(e-1)(x-1)$，即$y=(e-1)x+2$。直線$y=(e-1)x+2$在$x$軸，$y$軸上的截距分別為$-\frac{2}{e-1}$和$2$。當$a\in(0,e)$時，$f(1)=a+lna<1$。因為$f'(x)=ae^x-1/x^2>0$，所以$f(x)>f(1)$，即$f(x)\geq1$。當$a>1$時，$f(x)=ae^x-1-lnx+lna\geqe^x-1-lnx\geq1$。綜上，$a$的取值范圍是$[1,+\infty)$。3.3第三題根據(jù)題目中給出的條件，可以求得點$C$的坐標和三角形$AMN$的面積。具體求解過程如下：由題意可得：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$設點$M(x_1,y_1)$，點$N(x_2,y_2)$，則有：$\begin{cases}\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{9}=1\\\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{9}=1\\\frac{x_1x_2}{2}+\frac{y_1y_2}{3}=1\end{cases}$解得：$x_1+x_2=-\frac{2}{\sqrt{5}}$，$y_1+y_2=-\frac{3}{\sqrt{5}}$因為$A(2,1)$不