第三章轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定律

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體平動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體.（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng).剛體的各種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)都可以看成是這兩種運(yùn)動(dòng)的合成。平動(dòng)：若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)比較復(fù)雜，我們只研究定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上各點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，而直線本身在空間的位置保持不動(dòng)的一種轉(zhuǎn)動(dòng)。這條保持不變的直線稱為轉(zhuǎn)軸。x一.

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度z參考平面q(t)wwDt

dtw

=

lim

Dq

=

dqDt

fi

0角坐標(biāo)q

=q(t)約定r

沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)q

>0r

沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)q

<0角位移Dq

=q(t

+Dt)

-q(t)角速度矢量w

方向:

右手螺旋方向參考軸角加速度dtd

b

=

w1）

每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；2）

任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)均相同，但不同；3）

運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo).Dq,w

,

bv,

a定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一維轉(zhuǎn)動(dòng)）的轉(zhuǎn)動(dòng)方向可以用角速度的正負(fù)來表示.www

>

0w

<

0zz質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)v

=

v

0

+

atw

=

w

0

+

btx

=

x

+

v

t

+

1

at

20

0

2q

=

q

+

w

t

+

1

bt

20

0

2v2

=

v2

+

2a(x

-

x

)0

0w

2

=

w

2

+

2b(q

-q

)0

0二.

勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng).剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比三.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)的速度和加速度

v

=

r

w

e

twetna

t

=

rba

=

rw

2ta

v

an

r2

a

=

rbet

+

rw

endtw

=

dq2dt

d2tb

=

dw

=

d

qa飛輪30

s

內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度=

75

π

rad2

·(-

π

6)-

(5

π)22bw

2

-

w

2q

=

0

==

0

-

5

π

rad

s-1

=

-

π

rad

s-230

6tb

=

w

-w

0例1

一飛輪半徑為

0.2m、轉(zhuǎn)速為150r·min-1，

因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)

30

s

停止轉(zhuǎn)動(dòng)

.

試求：（1）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動(dòng)開始后

t=6s時(shí)飛輪的角速度；（3）t=6s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度

.s-1

,=

5π

rad解（1）w

0t

=30

s

時(shí)，w

=0.設(shè)

t

=

0

s

時(shí)，q0

=

0

.飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)0（2）t

=6s

時(shí)，飛輪的角速度πw

=

w

+

bt

=

(5

π-

·6)rad

s-1

=

4

π

rad

s-16（3）t

=6s

時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小v

=

rw

=

0.2

·

4π

m

s-2

=

2.5

m s-2該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度t6πa

=

rb

=

0.2

·(-

)m

s-2

=

-0.105

m

s-2轉(zhuǎn)過的圈數(shù)2

π 2

π=

75π

=

37.5

rN

=

qP*OF

q

zM

rdM

=

Fr

sinq

=

Fdd

:力臂平面內(nèi),剛體繞O

z

軸旋轉(zhuǎn),力Fr

為由點(diǎn)O

到力的作用在剛體上點(diǎn)P

,且在轉(zhuǎn)動(dòng)M

=

r

·FF

對(duì)轉(zhuǎn)軸Z

的力

矩作

用點(diǎn)P

的徑矢.

Fi

=

0

,

Mi

=

0

Fi

=

0

,

Mi

?

0

-

F

FF-

F—

力矩M力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量zkOrM

z

k

=

r

·

F^FzFF^討論1）若力F不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂M

z

=

rF^

sinq2）合力矩等于各

分力矩的矢

量和M

=

M1

+

M2

+

M3

+q力矩直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)

分量F

=

Fz

+

F^其中Fz

對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故

F

對(duì)轉(zhuǎn)軸的

Mij

=

-M

jirjri

ijFijFjidOMij3）

剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消MjirmzFFtqFn2Mej

+

Mij

=

Dmjrj

b質(zhì)量元受外力

F

，內(nèi)力

Fej

ijMO軸剛性連接Ft

=

mat

=

mrbM

=

rF

sinq二 轉(zhuǎn)動(dòng)定律1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)m

與轉(zhuǎn)外力矩

內(nèi)力矩2M

=

mr

b2）剛體tM

=

rF

=

mr

2

bOzjDmrjFejFij剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比.b2j

jijejDm

r

M

+

M

=jj

jMij

=

-M

ji

\

Mij

=

0j2ej

j

j

M=

(

D

m

r

)b轉(zhuǎn)動(dòng)定律M

=

Jbj

j

jDm

r

2J

=定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2J

=

r

dmOzrjFejDmjFijr

2dm2

j

jjDm

r

,

J

=J

=三 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量+22

22

2=

m

r

+m

rDm

rJ

=j

j

1

1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法j質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量j22

j

jDm

r

=

r

dmJ

=：質(zhì)量元dm：質(zhì)量線密度

對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：dm

=ldll

對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：dm

=sdSs

：質(zhì)量面密度

對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：dm

=rdVr

：質(zhì)量體密度dm

：質(zhì)量元質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量jj

j22Dm

r

=

r

dmJ

=l解設(shè)棒的線密度為l

，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′

為r處的質(zhì)量元dm

=ldrl02r

drJ

=

ldr302

1

12l

/

2llr

dr

=J

=

2l13ml

2=O

rO′例

一質(zhì)量為過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.m、長為l的均勻細(xì)長棒，求通drl

2-

l

2O′O12=

1

ml

2dJ

=

r

2dm

=

lr

2dr如轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)垂直于棒RR403π

RRs22π

sr

dr

=J

=drO

r例3

一質(zhì)量為

m

、半徑為

R

的均勻圓盤，求通過盤中心

O

并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

.解在盤上取半徑為r，寬為dr設(shè)圓盤面密度為s

，s

=

m

π

R

2而的圓環(huán)圓環(huán)質(zhì)量

dm

=

s

2π

rdr2J

=

1

mR2所以圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dJ

=

r

2

dm

=

2π

sr

3drCJ

=

J

+

md

2P轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)軸的位置.四 平行軸定理Cdm

O注意2PJ

=

1

mR2

+

mR2圓盤對(duì)P

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量RO

m定理表述：剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JC

加上剛體質(zhì)

量與兩軸間的距離平方的乘積：體B上.滑輪與繩索間沒有滑動(dòng)，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì).問：（1）兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體B

從的m物B量為

的m圓C柱形滑輪

C，并系在另一質(zhì)量為靜止落下距離y時(shí)，其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設(shè)它們間的摩擦力矩為

M

f

再求線加速度及

繩的張力.例4

質(zhì)量為

mA

的物體

A靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過一半徑為

R、質(zhì)ACmAmB

BCmABCmmBFT1mCFT￠2PAOFT1xFNAAmFT￠2OmBPB

y解（1）隔離物體分別對(duì)物體A、B及滑輪作受力分析，取坐標(biāo)如圖，運(yùn)用牛頓第二定律、轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程.FT1

=

mA

amB

g

-

FT2

=

mBaRFT2

-

RFT1

=

Jba

=

RbT2FFT￠1PCCFmB

gmA

+

mB

+

mC

2a

=m

m

gmA

+

mB

+

mC

2FT1

=

A

B

T2FmA

+

mB

+

mC

2=

(mA

+

mC

2)mB

g如令mC

=

0，可得T1

T2mA

+

mB=

mA

mB

gF

=

F（2）

B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率2mB

gymA

+

mB

+

mC

/

2v

=

2ay

=AmACC

mT1FFT￠2mB

B（3）

考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩Mf

，轉(zhuǎn)動(dòng)定律結(jié)合（1）中其它方程fFT1

=

mA

amB

g

-

FT2

=

mBaRFT2

-

RFT1

-

M

=

Jaa=

RaRFT2

-

RFT1

-

M

f

=

JbFT2￠PBmBPAT1FNFmAFT2FT￠1MfT1F=

mA

(mB

g

-

Mf

/

R)T2FmA

+

mB

+

mC

2mA

+

mB

+

mC

/

22)

g

+

Mf

R]=

mB

(mA

+

mCmA

+

mB

+

mC

/

2mB

g

-

Mf

Ra

=AmACC

mT1FFT￠2mB

BFT1

=

mA

amB

g

-

FT2

=

mBaRFT2

-

RFT1

-

Mf

=

Jaa

=

Ra例題：設(shè)電風(fēng)扇的電機(jī)力矩恒定為M，風(fēng)葉所受空氣阻力矩為Mf=－Kω，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J求（1）通電后t時(shí)刻的角速度ω；(2)穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度；（3）穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)斷開電源，風(fēng)葉還能繼續(xù)轉(zhuǎn)多少角度？dt解：M

-Kw

=J

dw=t00wM

-

Kw

dw

dt

JJKM-

K

t(1-

e

)w

==0時(shí).為電扇的穩(wěn)定速度mmKfi

M或M

-Kwt

fi

￥

w(3)：-

Kw

=

J

dw

dq

=

Jw

dwdt

dq

dqqwm-

Kdq

=

Jdw00q

=

I

w

JMK

m

=

K

2例題如圖所示，一均勻細(xì)棒，可繞通過其端點(diǎn)并與棒垂直的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知棒長為l，質(zhì)量為m，開始時(shí)棒處于水平位置。令棒由靜止下擺，求