河南省洛陽市欒川縣第三高級中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

河南省洛陽市欒川縣第三高級中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知過點（﹣2，0）的直線與圓O：x2+y2﹣4x=0相切與點P（P在第一象限內(nèi)），則過點P且與直線x﹣y=0垂直的直線l的方程為（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x+y﹣2=0 D．x+y﹣6=0參考答案：B【考點】J7：圓的切線方程．【分析】求出P的坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程為x+y+c=0，代入P，求出c，即可求出直線l的方程．【解答】解：由題意，切線的傾斜角為30°，∴P（1，）．設(shè)直線l的方程為x+y+c=0，代入P，可得c=﹣4，∴直線l的方程為x+y﹣4=0，故選B．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．2.直線x=，x=2，y=0，及曲線y=所圍圖形的面積為（）A． B． C． D．2ln2參考答案：D【考點】定積分在求面積中的應(yīng)用．【專題】計算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】用定積分表示出圖形的面積，求出原函數(shù)，即可求得結(jié)論．【解答】解：由題意，直線x=，x=2，y=0，及曲線y=所圍圖形的面積為=lnx=ln2﹣ln=2ln2故選：D．【點評】本題考查定積分知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.已知集合A={x|＞0}，B={x|lg（x+9）＜1}，則A∩B=（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，1） C．{0} D．{﹣1，0，1}參考答案：A【考點】交集及其運算．【分析】解不等式求得集合A，求函數(shù)定義域得集合B，根據(jù)交集的定義寫出A∩B．【解答】解：集合A={x|＞0}={x|（1﹣x）（1+x）＞0}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|lg（x+9）＜1}={x|0＜x+9＜10}={x|﹣9＜x＜1}，則A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）．故選：A．4.如圖是一建筑物的三視圖（單位：米），現(xiàn)需將其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆千克，則共需油漆的總量為A．千克 B．千克C．千克 D．千克參考答案：B5.已知函數(shù)f（x）=ln（﹣3x）+1，則f（lg2）+f（lg）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2參考答案：D【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值．

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】判斷函數(shù)y=ln（﹣3x）的奇偶性，然后求解函數(shù)值即可．【解答】解：因為函數(shù)g（x）=ln（﹣3x）滿足g（﹣x）=ln（+3x）=﹣ln（﹣3x）=﹣g（x），函數(shù)是奇函數(shù)，g（lg2）+g（﹣lg2）=0，所以f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（﹣lg2）=0+1+1=2．故選：D．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查計算能力．6.某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為（）A． B． C． D．3參考答案：A考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是三棱柱與三棱錐的組合體，結(jié)合圖中的數(shù)據(jù)，求出它的體積．解答：解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是下部為直三棱柱，上部為直三棱錐的組合體；如圖所示：∴該幾何體的體積是V幾何體=V三棱柱+V三棱錐=×2×1×1+××2×1×1=．故選：A．點評：本題考查了利用空間幾何體的三視圖求體積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．7.已知函數(shù)f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有兩個零點x1，x2，則x1?x2的取值范圍是（）A．[4﹣2ln2，+∞） B．（，+∞） C．（﹣∞，4﹣2ln2] D．（﹣∞，）參考答案：D【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】由題意可知：當(dāng)x≥1時，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），當(dāng)x＜1，f（x）=1﹣＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，則x1x2=et（2﹣2t），t＞，設(shè)g（t）=et（2﹣2t），t＞，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間，即可求得x1x2的取值范圍．【解答】解：當(dāng)x≥1時，f（x）=lnx≥0，∴f（x）+1≥1，∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），當(dāng)x＜1，f（x）=1﹣＞，f（x）+1＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），綜上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，則f（x）+1=e﹣m，f（x）=e﹣m﹣1，有兩個根x1，x2，（不妨設(shè)x1＜x2），當(dāng)x≥1是，lnx2=e﹣m﹣1，當(dāng)x＜1時，1﹣=e﹣m﹣1，令t=e﹣m﹣1＞，則lnx2=t，x2=et，1﹣=t，x1=2﹣2t，∴x1x2=et（2﹣2t），t＞，設(shè)g（t）=et（2﹣2t），t＞，求導(dǎo)g′（t）=﹣2tet，t∈（，+∞），g′（t）＜0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞減，∴g（t）＜g（）=，∴g（x）的值域為（﹣∞，），∴x1x2取值范圍為（﹣∞，），故選：D．8.已知函數(shù)（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B9.已知直線平行，則實數(shù)的值為（）．

A．

B．

C．或

D．參考答案：A10.若函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍為(

)A. B. C.(0,+∞) D.參考答案：D【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在上的單調(diào)性，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，且，即可判斷其沒有零點，不符合條件；當(dāng)時，在上先減后增，有最小值且小于零，再結(jié)合冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長速度大小關(guān)系，即可判斷當(dāng)趨于時，趨于，由零點存在性定理即可判斷其必有零點，符合題意，從而確定的范圍.【詳解】因為函數(shù)，所以令，因為，當(dāng)時，，所以所以在上為增函數(shù)，則，當(dāng)時，，所以，所以在上為增函數(shù)，則，所以在上沒有零點.當(dāng)時，即，因為在上為增函數(shù)，則存在唯一的，使得，且當(dāng)時，，當(dāng)時，；所以當(dāng)時，，為減函數(shù)，當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，因為，當(dāng)趨于時，趨于，所以在內(nèi)，一定存在一個零點.所以，故答案選D.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點存在性問題中的應(yīng)用，屬于難題.對于零點存在性問題，有兩種思考方向：（1）直接利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，討論函數(shù)零點的情況；（2）先將函數(shù)零點問題等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點問題，再利用導(dǎo)數(shù)，并結(jié)合函數(shù)圖像討論兩函數(shù)交點情況，從而確定函數(shù)零點的情況.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域內(nèi)可導(dǎo)，若，且當(dāng)時，，設(shè)，則的大小關(guān)系為

參考答案：12.定義一個對應(yīng)法則，現(xiàn)有點與，點是線段上一動點，按定義的對應(yīng)法則，當(dāng)點在線段上從點的開始運動到點結(jié)束時，則點的對應(yīng)點所形成的軌跡與x軸圍成的面積為

參考答案：413.已知函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，=

；參考答案：略14.已知函數(shù)，若不等式，當(dāng)時恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

參考答案：已知函數(shù)，若不等式，當(dāng)時恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

15.已知是圓上的動點，則點到直線的距離的最小值為（

）A

B

C

D

參考答案：A略16.已知，則=____________.

參考答案：略17.設(shè)定義域為R的函數(shù)，若關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3個不同的整數(shù)解x1，x2，x3，則x12+x22+x32等于

．參考答案：5考點：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；根的存在性及根的個數(shù)判斷．專題：計算題；數(shù)形結(jié)合；分類討論．分析：根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，我們可以畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象我們可以判斷出關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3個不同的整數(shù)解x1，x2，x3時，x1，x2，x3的值，進而求出x12+x22+x32的值．解答： 解：函數(shù)的圖象如圖所示：由圖易得函數(shù)的值域為（0，+∞）令t=f（x）則方程f2（x）+bf（x）+c=0可化為t2+bt+c=0，若此方程無正根，則方程f2（x）+bf（x）+c=0無根若此方程有一個非1的正根，則方程f2（x）+bf（x）+c=0有兩根；若此方程有一個等1的正根，則方程f2（x）+bf（x）+c=0有三根；此時t=f（x）=1，x1=0，x2=1，x3=2，x12+x22+x32=5若此方程有兩個非1的正根，則方程f2（x）+bf（x）+c=0有四根；若此方程有一個非1，一個等1的正根，則方程f2（x）+bf（x）+c=0有五根；綜上x12+x22+x32=5故答案為：5點評：本題考查的知識點是分段函數(shù)的解析式及其圖象的作法，根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象我們可以判斷出關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3個不同的整數(shù)解x1，x2，x3時，所滿足的條件是解答醒本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知中心在原點的橢圓的右焦點坐標(biāo)為，離心率等于．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準方程；（Ⅱ）證明斜率為1的所有直線與橢圓相交得到的弦的中點共線；（Ⅲ）圖中的曲線為某橢圓的一部分，試作出橢圓的中心，并寫出作圖步驟．參考答案：(I)(II)(III)見解析【知識點】直線與橢圓H5（Ⅰ）依題意，得，所以，所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）設(shè)直線：，：，分別交橢圓于及，弦和的中點分別為和．由得，令，即．又所以，．即．

………….6分同理可得．

………….7分所以直線所在的直線方程為．

………….8分設(shè)：是斜率為1且不同于的任一條直線，它與橢圓相交于，弦的中點為同理可得由于，故點在直線上．

所以斜率為1的直線與橢圓相交得到的所有弦的中點共線．

（Ⅲ）①任作橢圓的兩條組平行弦∥，∥，其中與不平行．②分別作平行弦的中點及平行弦的中點．③連接，，直線，相交于點，點即為橢圓的中心．…【思路點撥】由已知條件可求出橢圓的幾何量，再列出橢圓方程；設(shè)出斜率為1的直線方程，再求出中點所在的方程；找出平行弦垂直平分線的交點即可找到橢圓的中心.19.如圖（1），在平面四邊形ABCD中，AC是BD的垂直平分線，垂足為E，AB中點為F，，，，沿BD將折起，使C至位置，如圖（2）.（1）求證：；（2）當(dāng)平面平面ABD時，求直線與平面所成角的正弦值.參考答案：（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）折疊過程中，保持不變，又由線面垂直，從而得證線線垂直。（2）由兩平面垂直可得兩兩垂直，以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點坐標(biāo)，求出平面的法向量，由線面角的向量法求解。【詳解】（1）∵，∴平面，而平面，∴。（2）由（1）知是二面角平面角，又平面平面ABD，∴，即，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，在四邊形中，∵，∴，，，∴，是中點，∴，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，則，，，∴直線與平面所成角的正弦值為。【點睛】本題考查線線垂直的證明，考查求直線與平面所成的角，證明線線垂直，要先證線面垂直；而求直線與平面所成角可建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求角，這樣可以只要計算，不需要作圖與證明。20.設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2﹣ax+2（x∈R，a＜0），關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素．（1）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=f（n）（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式；（2）記bn=（n∈N*），則數(shù)列{bn}中是否存在不同的三項能組成等比數(shù)列？請說明理由．參考答案：考點：數(shù)列的應(yīng)用；二次函數(shù)的性質(zhì)．分析：（1）由題設(shè)條件知a2﹣4×2=0?a=﹣2，故f（x）=（x+）2．a(chǎn)n=Sn﹣Sn﹣1=2n+2﹣1，所以an=．

（2）求出數(shù)列{bn}的通項，假設(shè)數(shù)列{bn}中存在不同的三項構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，建立等式，即可得出結(jié)論．解答： 解：（1）∵關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，∴二次函數(shù)f（x）=x2﹣ax+2（x∈R，a＜0）的圖象與x軸相切，則△=（﹣a）2﹣4×2=0，∵a＜0，∴a=﹣2．∴f（x）=x2+2x+2=（x+）2，∴數(shù)列{an}的前n項和Sn=（n+）2（n∈N*）．

于是，當(dāng)n≥2，n∈N*時，an=Sn﹣Sn﹣1=（n+）2﹣[（n﹣1）+]2=2n+2﹣1，當(dāng)n=1時，a1=S1=（1+）2=3+2，不適合上式．所以數(shù)列{an}的通項公式為an=．

（2）由（1）知，Sn=n2+2n+2（n∈N*）．

∵bn=，∴bn===n+2．假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項bp，bq，br（正整數(shù)p，q，r互不相等）成等比數(shù)列，則bq2=bp?br，即（q+2）2=（p+2）（r+2），整理，得（pr﹣q）2+2（p+r﹣2q）=0．

因為p，q，r都是正整數(shù)，所以，于是pr﹣（）2=0，即（p﹣r）2=0，從而p=r與p≠r矛盾．故數(shù)列{bn}中不存在不同的三項能組成等比數(shù)列．點評：本題主要考查數(shù)列通項公式的求解及等比數(shù)列性質(zhì)的研究．第（1）問由不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，得到Sn=f（n），然后由此求出數(shù)列{an}的通項公式，由Sn求通項an時注意檢驗初始項a1是否滿足；第（2）問判斷數(shù)列{bn}中是否存在不同的三項能組成等比數(shù)列，基本方法是先假設(shè)它們成等比數(shù)列，再證明問題是否有解．21.已知函數(shù)f（x）=3x，f（a+2）=18，g（x）=λ?3ax﹣4x的義域為[0，1]．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題．【分析】（1）由條件f（a+2）=18建立關(guān)于a的等量關(guān)系，求出a即可；（2）將第一問的a代入得g（x）=λ?2x﹣4x，g（x）在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，可利用函數(shù)單調(diào)性的定義建立恒等關(guān)系，分離出λ，求出2x2+2x1的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知得3a+2=18?3a=2?a=log32（Ⅱ）此時g（x）=λ?2x﹣4x設(shè)0≤x1＜x2≤1，因為g（x）在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)減函數(shù)所以g（x1）﹣g（x2）=（2x2﹣2x1）（﹣λ+2x2+2x1）≥0成立∵2x2﹣2x1＞0∴λ≤2x2+2x1恒成立由于2x2+2x1≥20+20=2