2024年北京市順義第九中學數(shù)學高三上期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024年北京市順義第九中學數(shù)學高三上期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何體的表面積是（）A．B．C．D．2．《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“”表示一個陽爻，“”表示一個陰爻）．若從含有兩個及以上陽爻的卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中都恰有兩個陽爻的概率為（）A． B． C． D．3．已知甲盒子中有個紅球，個藍球，乙盒子中有個紅球，個藍球，同時從甲乙兩個盒子中取出個球進行交換，（a）交換后，從甲盒子中取1個球是紅球的概率記為.（b）交換后，乙盒子中含有紅球的個數(shù)記為.則（）A． B．C． D．4．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，當最小時，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．5．二項式的展開式中，常數(shù)項為（）A． B．80 C． D．1606．已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到次結(jié)束為止．某考生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學期望，則的取值范圍為()A． B． C． D．7．如圖，設(shè)為內(nèi)一點，且，則與的面積之比為A． B．C． D．8．復數(shù)的共軛復數(shù)為（）A． B． C． D．9．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，當時，，函數(shù)（），則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點的橫坐標之和為（）A．2 B．4 C．5 D．610．設(shè)過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是（）A． B．C． D．11．在復平面內(nèi)，復數(shù)z=i對應的點為Z，將向量繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對應的復數(shù)是（）A． B． C． D．12．射線測厚技術(shù)原理公式為，其中分別為射線穿過被測物前后的強度，是自然對數(shù)的底數(shù)，為被測物厚度，為被測物的密度，是被測物對射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241（）低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板的半價層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的吸收系數(shù)為（）（注：半價層厚度是指將已知射線強度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，，結(jié)果精確到0.001）A．0.110 B．0.112 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等邊的邊長為2，則在方向上的投影為________．14．已知函數(shù)，若的最小值為，則實數(shù)的取值范圍是_________15．已知為橢圓內(nèi)一定點，經(jīng)過引一條弦，使此弦被點平分，則此弦所在的直線方程為________________．16．在長方體中，，，，為的中點，則點到平面的距離是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關(guān)于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關(guān)）.年份年份代號年利潤（單位：億元）（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程，并預測該公司年（年份代號記為）的年利潤；（Ⅱ）當統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為級利潤年，否則稱為級利潤年.將（Ⅰ）中預測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機抽取年，求恰有年為級利潤年的概率.參考公式：，.18．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)是橢圓上且不在軸上的一個動點，為坐標原點，過右焦點作的平行線交橢圓于、兩個不同的點，求的值．19．（12分）設(shè)數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.20．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當時，解不等式；（2）設(shè)，且當時，不等式有解，求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期，我市教育局提出“停課不停學”的口號，鼓勵學生線上學習.某校數(shù)學教師為了調(diào)查高三學生數(shù)學成績與線上學習時間之間的相關(guān)關(guān)系，對高三年級隨機選取45名學生進行跟蹤問卷，其中每周線上學習數(shù)學時間不少于5小時的有19人，余下的人中，在檢測考試中數(shù)學平均成績不足120分的占，統(tǒng)計成績后得到如下列聯(lián)表：分數(shù)不少于120分分數(shù)不足120分合計線上學習時間不少于5小時419線上學習時間不足5小時合計45（1）請完成上面列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認為“高三學生的數(shù)學成績與學生線上學習時間有關(guān)”；（2）①按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分數(shù)不少于120分和分數(shù)不足120分的兩組學生中抽取9名學生，設(shè)抽到不足120分且每周線上學習時間不足5小時的人數(shù)是，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；②若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測數(shù)學成績不少于120分的學生中隨機抽取20人，求這些人中每周線上學習時間不少于5小時的人數(shù)的期望和方差.（下面的臨界值表供參考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式其中）22．（10分）已知△ABC三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a，b，c，且3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C．（1）求cosC的值；（2）若a＝3，c，求△ABC的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐，表面積為,故選D．2、B【解析】

基本事件總數(shù)為個，都恰有兩個陽爻包含的基本事件個數(shù)為個，由此求出概率.【詳解】解：由圖可知，含有兩個及以上陽爻的卦有巽、離、兌、乾四卦，取出兩卦的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（巽，乾），（離，兌），（離，乾），（兌，乾）共個，其中符合條件的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（離，兌）共個，所以，所求的概率.故選：B.【點睛】本題滲透傳統(tǒng)文化，考查概率、計數(shù)原理等基本知識，考查抽象概括能力和應用意識，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】分析：首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個數(shù)，對應的事件有哪些結(jié)果，從而得到對應的概率的大小，再者就是對隨機變量的值要分清，對應的概率要算對，利用公式求得其期望.詳解：根據(jù)題意有，如果交換一個球，有交換的都是紅球、交換的都是藍球、甲盒的紅球換的乙盒的藍球、甲盒的藍球交換的乙盒的紅球，紅球的個數(shù)就會出現(xiàn)三種情況；如果交換的是兩個球，有紅球換紅球、藍球換藍球、一藍一紅換一藍一紅、紅換藍、藍換紅、一藍一紅換兩紅、一藍一紅換亮藍，對應的紅球的個數(shù)就是五種情況，所以分析可以求得，故選A.點睛：該題考查的是有關(guān)隨機事件的概率以及對應的期望的問題，在解題的過程中，需要對其對應的事件弄明白，對應的概率會算，以及變量的可取值會分析是多少，利用期望公式求得結(jié)果.4、A【解析】

首先根據(jù)為上的減函數(shù)，列出不等式組，求得，所以當最小時，，之后將函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點的個數(shù)問題，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】由于為上的減函數(shù)，則有，可得，所以當最小時，，函數(shù)恰有兩個零點等價于方程有兩個實根，等價于函數(shù)與的圖像有兩個交點．畫出函數(shù)的簡圖如下，而函數(shù)恒過定點，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為．故選：A.【點睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識點有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中檔題目.5、A【解析】

求出二項式的展開式的通式，再令的次數(shù)為零，可得結(jié)果.【詳解】解：二項式展開式的通式為，令，解得，則常數(shù)項為.故選：A.【點睛】本題考查二項式定理指定項的求解，關(guān)鍵是熟練應用二項展開式的通式，是基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)題意，分別求出再根據(jù)離散型隨機變量期望公式進行求解即可【詳解】由題可知，，，則解得，由可得，答案選A【點睛】本題考查離散型隨機變量期望的求解，易錯點為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功7、A【解析】

作交于點，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出與的比例，再由與的比例，可得到結(jié)果.【詳解】如圖，作交于點，則，由題意，，，且，所以又，所以，，即，所以本題答案為A.【點睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合，三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題，作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵.8、D【解析】

直接相乘，得，由共軛復數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果【詳解】∵∴其共軛復數(shù)為.故選：D【點睛】熟悉復數(shù)的四則運算以及共軛復數(shù)的性質(zhì).9、B【解析】

由函數(shù)的性質(zhì)可得：的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱，函數(shù)（）的圖像也關(guān)于對稱，由函數(shù)圖像的作法可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關(guān)于直線對稱，則與的圖像所有交點的橫坐標之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿足，可得的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱，函數(shù)（）的圖像也關(guān)于對稱，函數(shù)的圖像與函數(shù)（）的圖像的位置關(guān)系如圖所示，可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關(guān)于直線對稱，則與的圖像所有交點的橫坐標之和為4.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.10、A【解析】

設(shè)坐標，根據(jù)向量坐標運算表示出，從而可利用表示出；由坐標運算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，其中，，即關(guān)于軸對稱故選：【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標運算、數(shù)量積運算；關(guān)鍵是利用動點坐標表示出變量，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算可整理得軌跡方程.11、A【解析】

由復數(shù)z求得點Z的坐標，得到向量的坐標，逆時針旋轉(zhuǎn)，得到向量的坐標，則對應的復數(shù)可求.【詳解】解：∵復數(shù)z=i（i為虛數(shù)單位）在復平面中對應點Z（0，1），

∴＝(0，1)，將繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，

設(shè)＝(a，b)，，則，即，

又，解得：，∴，對應復數(shù)為.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)題意知,，代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因為,所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點睛】本題主要考查知識的遷移能力,把數(shù)學知識與物理知識相融合;重點考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程；屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

建立直角坐標系，結(jié)合向量的坐標運算求解在方向上的投影即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意可知：，，，則：，，且，，據(jù)此可知在方向上的投影為.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，向量投影的定義與計算等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.14、【解析】

，可得在時，最小值為，時，要使得最小值為，則對稱軸在1的右邊，且，求解出即滿足最小值為.【詳解】當，，當且僅當時，等號成立.當時，為二次函數(shù)，要想在處取最小，則對稱軸要滿足并且，即，解得.【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，對每段函數(shù)先進行分類討論，找到每段的最小值，然后再對兩段函數(shù)的最小值進行比較，得到結(jié)果，題目較綜合，屬于中檔題.15、【解析】

設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點，利用點差法可求得直線的斜率，進而可求得直線的點斜式方程，化為一般式即可.【詳解】設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點，由于點為弦的中點，則，得，由題意得，兩式相減得，所以，直線的斜率為，所以，弦所在的直線方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查利用弦的中點求弦所在直線的方程，一般利用點差法，也可以利用韋達定理設(shè)而不求法來解答，考查計算能力，屬于中等題.16、【解析】

利用等體積法求解點到平面的距離【詳解】由題在長方體中，，，所以，所以，設(shè)點到平面的距離為，解得故答案為：【點睛】此題考查求點到平面的距離，通過在三棱錐中利用等體積法求解，關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），該公司年年利潤的預測值為億元；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）求出和的值，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求得和的值，進而可求得關(guān)于的線性回歸方程，然后將代入回歸直線方程，可得出該公司年年利潤的估計值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸直線方程計算出從年至年這年被評為級利潤年的年數(shù)，然后利用組合計數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【詳解】（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算可得，，，又，，，關(guān)于的線性回歸方程為.將代入回歸方程得（億元），該公司年的年利潤的預測值為億元.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知年至年的年利潤的估計值分別為、、、、、、、（單位：億元），其中實際利潤大于相應估計值的有年.故這年中被評為級利潤年的有年，評為級利潤年的有年.記“從年至年這年的年利潤中隨機抽取年，恰有年為級利潤年”的概率為，.【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，同時也考查了古典概型概率的計算，涉及組合計數(shù)原理的應用，考查計算能力，屬于中等題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）1【解析】

（Ⅰ）由題，得，，解方程組，即可得到本題答案；（Ⅱ）設(shè)直線，則直線，聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，由此即可得到本題答案.【詳解】（Ⅰ）由題可得，即，，將點代入方程得，即，解得，所以橢圓的方程為：；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，設(shè)直線，則直線，聯(lián)立，整理得，所以，聯(lián)立，整理得，設(shè)，則，所以，所以．【點睛】本題主要考查橢圓標準方程的求法以及直線與橢圓的綜合問題，考查學生的運算求解能力.19、（1）；（2）.【解析】

（1）令可求得的值，令時，由可得出，兩式相減可得的表達式，然后對是否滿足在時的表達式進行檢驗，由此可得出數(shù)列的通項公式；（2）求出數(shù)列的通項公式，對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，利用奇偶分組求和法結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】（1），當時，；當時，由得，兩式相減得，.滿足.因此，數(shù)列的通項公式為；（2）.①當為奇數(shù)時，；②當為偶數(shù)時，.綜上所述，.【點睛】本題考查數(shù)列通項的求解，同時也考查了奇偶分組求和法，考查計算能力，屬于中等題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）通過分類討論去掉絕對值符號，進而解不等式組求得結(jié)果；（2）將不等式整理為，根據(jù)能成立思想可知，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）當時，可化為，由，解得；由，解得；由，解得．綜上所述：所以原不等式的解集為．（2），，，，有解，，即，又，，實數(shù)的取值范圍是．【點睛】本題考查絕對值不等式的求解、根據(jù)不等式有解求解參數(shù)范圍的問題；關(guān)鍵是明確對于不等式能成立的問題，通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較問題.21、（1）填表見解析；有99