不可壓縮理想流體的平面規(guī)律運(yùn)動(dòng)

不可壓縮理想流體的平面規(guī)律運(yùn)動(dòng)

是指整個(gè)流場(chǎng)中流體速度都平行于某一平面，且流體各物理量在與該平面垂直的方向上沒(méi)有變化的流動(dòng)。例如空氣橫向繞過(guò)塔設(shè)備、高樓等的流動(dòng),可視為垂直于柱體的平面流動(dòng)。在工程實(shí)際中，常見(jiàn)的是不可壓縮理想流體的平面運(yùn)動(dòng)。

研究不可壓縮理想流體的平面流動(dòng)，首先要建立運(yùn)動(dòng)微分方程，然后結(jié)合邊界條件求解。流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析

在流體流動(dòng)時(shí)，流體微團(tuán)除了平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)之外，還伴有變形運(yùn)動(dòng)。在對(duì)流體微團(tuán)進(jìn)行變形運(yùn)動(dòng)分析時(shí)，不是看其變形量的大小，而是看其變形速度的大小。分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本量：線變形速度剪變形速度平均旋轉(zhuǎn)角速度一、線變形速度首先看一維情況。t時(shí)刻，在x軸上取一微小流體線段AB=?x，A點(diǎn)的速度為vx，按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，B點(diǎn)的速度可表示為ABA?B?x?xvx?t(vx+(dvx/dx)?x)?ttt+?t經(jīng)過(guò)?t時(shí)間后，AB運(yùn)動(dòng)到A?B?，其長(zhǎng)度的改變量為：ABA?B?x?xvx?t(vx+(dvx/dx)?x)?ttt+?t則單位長(zhǎng)度在單位時(shí)間內(nèi)長(zhǎng)度的改變量為：把εx叫做線段AB在x軸的線變形速度。εx正值負(fù)值拉伸壓縮對(duì)于三維空間，流體微團(tuán)的速度是空間坐標(biāo)的函數(shù)，即則有下標(biāo)x,y,z表示變形發(fā)生的方向。這就是不可壓縮流體的連續(xù)方程。

對(duì)于不可壓縮流體，在變形過(guò)程中，體積不發(fā)生改變，則有二、剪變形角速度ABCDvxvyvx?txyαβ

經(jīng)?t時(shí)間后，流體微團(tuán)發(fā)生變形，AB邊轉(zhuǎn)過(guò)的角度為α，BC邊轉(zhuǎn)過(guò)的角度為β。則則定義剪變形角速度為即單位時(shí)間內(nèi)直角改變量的一半。同理對(duì)三維空間可寫(xiě)出

剪變形角速度是流體微團(tuán)中某一直角的減小速度的一半。三、平均旋轉(zhuǎn)角速度yxI(α+β)/2βαD?C?B?DCBAI?

虛線是初始位置，經(jīng)過(guò)?t時(shí)間后，流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)到AB?C?D?。由幾何關(guān)系則單位時(shí)間內(nèi)角平分線轉(zhuǎn)過(guò)的角度為對(duì)于三維問(wèn)題同理可得出yxI(α+β)/2βαD?C?B?DCBAI?矢量式為有旋運(yùn)動(dòng)和無(wú)旋運(yùn)動(dòng)

一般來(lái)說(shuō)，粘性流體的流動(dòng)是有旋的，而理想流體的流動(dòng)可能是無(wú)旋的，也可能是有旋的。流動(dòng)究竟是有旋還是無(wú)旋，是根據(jù)流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)來(lái)確定的，而不是根據(jù)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是否彎曲來(lái)判定。根據(jù)旋度的概念：速度場(chǎng)的旋度與平均旋轉(zhuǎn)角速度相比較:

所以平均旋轉(zhuǎn)角速度不僅是分析流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的特征量，同時(shí)也是判斷流體的運(yùn)動(dòng)是有旋運(yùn)動(dòng)還是無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)。

流體運(yùn)動(dòng)中的有旋運(yùn)動(dòng)與剛體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是兩個(gè)完全不同的概念。流體的有旋與無(wú)旋不是通過(guò)宏觀上流體運(yùn)動(dòng)的特征來(lái)判斷。也就是說(shuō)，宏觀上作圓周運(yùn)動(dòng)的流場(chǎng)可能是無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，而宏觀作直線運(yùn)動(dòng)的流場(chǎng)也可能是有旋的。例：如圖一維剪切流動(dòng)中，流體速度分布為其中c為常數(shù)。判斷流動(dòng)是否無(wú)旋？v0vxyx由判斷條件故運(yùn)動(dòng)是有旋的。例：圖示為流體質(zhì)點(diǎn)繞某一圓心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。已知流體速度分布為其中c為常數(shù)，試判斷流動(dòng)有旋還是無(wú)旋？r在極坐標(biāo)系下的判斷條件為代入速度分布可得故該流動(dòng)是無(wú)旋的。不可壓縮理想流體平面勢(shì)流的基本方程

工程上有許多問(wèn)題可簡(jiǎn)化為理想流體的無(wú)旋流動(dòng)問(wèn)題，如流體機(jī)械內(nèi)的流動(dòng)。利用無(wú)旋流動(dòng)的特性，可建立線性運(yùn)動(dòng)方程來(lái)求解流體的速度分布，從而避開(kāi)求解歐拉方程的困難。速度勢(shì)函數(shù)

對(duì)于無(wú)旋流動(dòng)，速度的旋度為零，即此時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)都要滿足以下條件由數(shù)學(xué)分析，上面的三個(gè)方程是成為某一函數(shù)的全微分的充分必要條件，該函數(shù)記為φ(x,y,z,t)。當(dāng)以t為參數(shù)時(shí)，該函數(shù)的全微分是所以有按矢量分析有函數(shù)φ稱(chēng)為速度勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)速度勢(shì)。速度勢(shì)的梯度就是流場(chǎng)中的速度。

當(dāng)流體作無(wú)旋流動(dòng)時(shí)，不論其是否可壓縮，總有速度勢(shì)存在，所以無(wú)旋流動(dòng)又稱(chēng)為有勢(shì)流動(dòng)。對(duì)于不可壓縮流體，有下式存在稱(chēng)為拉普拉斯方程。?稱(chēng)為拉普拉斯算子。推導(dǎo)在平面極坐標(biāo)中，速度和速度勢(shì)之間的關(guān)系是拉普拉斯方程為速度勢(shì)函數(shù)的意義：

在勢(shì)流中，如果已知速度勢(shì)函數(shù)φ，則可根據(jù)速度與速度勢(shì)之間的關(guān)系很容易地計(jì)算出速度矢量分量，從而將求解速度場(chǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解速度勢(shì)函數(shù)φ的問(wèn)題。例題：已知一個(gè)平面不可壓縮定常有勢(shì)流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)為求在點(diǎn)(2.0,1.5)處速度的大小。練習(xí)：不可壓縮流體平面流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)試確定：1.該平面流動(dòng)的速度場(chǎng)。2.該流動(dòng)有旋還是無(wú)旋？3.該流動(dòng)是否滿足連續(xù)性方程?vx=2x+1,vy=-2y無(wú)旋滿足關(guān)于速度勢(shì)φ的重要性質(zhì)：1）等勢(shì)面與流線垂直

將流場(chǎng)中速度勢(shì)相等的點(diǎn)連接起來(lái)，形成一個(gè)空間曲面，稱(chēng)為等勢(shì)面。在平面流中，稱(chēng)為等勢(shì)線。即因?yàn)閐l是等勢(shì)面上的有向線段，所以等勢(shì)面與流線垂直。2)速度勢(shì)在任何方向上的偏導(dǎo)數(shù)，等于速度在該方向上的投影

根據(jù)數(shù)學(xué)上方向?qū)?shù)的概念，φ在任意方向l上的方向?qū)?shù)為3)速度勢(shì)與積分的關(guān)系

在勢(shì)流場(chǎng)中，沿任意曲線的速度的線積分等于終點(diǎn)和起點(diǎn)的速度勢(shì)之差。AB7.3.2流函數(shù)

在平面流動(dòng)中，對(duì)不可壓縮流體，由微分形式的連續(xù)性方程得該式是

成為某一函數(shù)ψ(x,y)全微分的充要條件，即因此有平面流動(dòng)的流線方程為所以在流線上有在每條流線上函數(shù)ψ都有不同的值，故ψ被稱(chēng)為流函數(shù)。在引出流函數(shù)時(shí)，并未涉及到流體的粘性和是否為有勢(shì)流動(dòng)，只要是不可壓縮流體的平面流動(dòng)，就必然存在流函數(shù)。在三維流動(dòng)中一般不存在流函數(shù)，軸對(duì)稱(chēng)流動(dòng)除外。關(guān)于流函數(shù)的物理意義

經(jīng)A、B兩點(diǎn)的實(shí)線為流場(chǎng)中的兩條流線，虛線AB與流場(chǎng)中的所有的流線正交，現(xiàn)求通過(guò)虛線AB的流量。oIIIvyvxdydxBAyx流線dl

在虛線AB上取一微元弧段dl，顯然，vxdy是經(jīng)dl從區(qū)I進(jìn)入?yún)^(qū)II的流量，vydx是經(jīng)dl從II區(qū)進(jìn)入I區(qū)的流量，那么經(jīng)dl從I區(qū)進(jìn)入II區(qū)的凈流量為對(duì)虛線積分可得到兩條流線之間的總流量

流函數(shù)的物理意義是：平面流動(dòng)中兩條流線之間通過(guò)的流體流量，等于兩條流線上流函數(shù)的差。而且，沿流線全長(zhǎng)兩流線之間的流量保持不變。

在不可壓縮流體的平面有勢(shì)流動(dòng)中，必然同時(shí)存在速度勢(shì)和流函數(shù)。由無(wú)旋流動(dòng)的條件將速度與流函數(shù)的關(guān)系式代入上式有因此，流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程。φ與ψ的關(guān)系：由速度與速度勢(shì)及流函數(shù)的關(guān)系可得上式表明，等勢(shì)線與流線相互正交。流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)的求解方法例：設(shè)平面流動(dòng)的速度分布為

求:(1)是否滿足連續(xù)性方程(2)勢(shì)函數(shù)(3)流函數(shù)解：(1)所以滿足連續(xù)性方程。（2）是無(wú)旋流動(dòng)，存在勢(shì)函數(shù)積分路徑如圖。所以o(x,y)(x,0)yx(3)因?yàn)闈M足連續(xù)方程，所以存在流函數(shù)積分路徑同上，則練習(xí)試求下面不可壓縮流場(chǎng)的流函數(shù)及速度勢(shì)：其中k為常數(shù)。－－7.4簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流及其疊加一、直均流

所謂直均流，就是流體質(zhì)點(diǎn)以相同的速度相互平行地作等速直線運(yùn)動(dòng)。如圖，流動(dòng)方向?yàn)閤軸。其速度分布為xyv0因?yàn)樗允菬o(wú)旋運(yùn)動(dòng)，存在速度勢(shì)在極坐標(biāo)系中將速度分布函數(shù)帶入連續(xù)性方程，因?yàn)闈M足所以存在流函數(shù)ψ在極坐標(biāo)系中

因直均流(平行流)中各點(diǎn)的速度相同，由伯努利方程得如果忽略重力的影響，則有即在流場(chǎng)中各處的壓強(qiáng)都相等。二、源或匯

流體從平面一點(diǎn)均勻地向四周流出，一直流向無(wú)窮遠(yuǎn)處，這樣的流動(dòng)稱(chēng)為平面點(diǎn)源。流體流出的點(diǎn)稱(chēng)為源點(diǎn)，單位時(shí)間流出的體積流量稱(chēng)為源強(qiáng)，用qv表示。將坐標(biāo)原點(diǎn)取在源點(diǎn)處，得極坐標(biāo)系中速度分布yx

滿足勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的存在條件的證明：勢(shì)函數(shù)存在的條件為無(wú)旋流動(dòng)，在該平面流場(chǎng)中所以存在勢(shì)函數(shù)。而流函數(shù)存在的條件為連續(xù)性方程只有兩項(xiàng)的平面流。極坐標(biāo)系下連續(xù)性方程為該流場(chǎng)顯然滿足要求，因此存在流函數(shù)。勢(shì)函數(shù)為流函數(shù)為

流函數(shù)的等值線是θ為常數(shù)的射線族。匯是流體從無(wú)窮遠(yuǎn)處均勻地流向一點(diǎn)。，是源，是匯yx如果xoy面是無(wú)限大的水平面，由伯努利方程有式中，p∞是在r→∞時(shí)的壓強(qiáng)，該處速度為零。將速度表達(dá)式帶入上式y(tǒng)x可見(jiàn)，壓強(qiáng)隨著半徑的減小而降低，設(shè)r=r0時(shí)，p=0，則三、簡(jiǎn)單平面勢(shì)流的疊加

在勢(shì)流理論中，經(jīng)常通過(guò)解拉普拉斯方程或利用流場(chǎng)疊加的方法得到速度勢(shì)，再利用速度勢(shì)求速度和壓強(qiáng)場(chǎng)，最后求得流體對(duì)物體的作用力。用疊加法求速度勢(shì)的基本點(diǎn)是要保證滿足所求問(wèn)題的內(nèi)外邊界條件。要滿足內(nèi)邊界條件，就必須形成一條流線與物體表面完全重合。這條流線的作用與物體表面完全相同。下面舉例說(shuō)明疊加法的基本思想。例1：如圖為理想流體在寬為H的渠道中流動(dòng)，求流場(chǎng)的速度勢(shì)。Hvyx

顯然這是直均流，在該流場(chǎng)中，相距為H的兩條流線的作用與渠道兩壁的作用完全相同，因此所求的速度勢(shì)就是直均流的速度