二輪復(fù)習(xí)梳理糾錯預(yù)測學(xué)案八排列組合二項式定理（理）

專題8排列組合、二項式定理

1.排列組合的考查主要以實際生活為背景，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，在解答題中，

通常還會與概率結(jié)合進行考查，難度中等.

2.二項式定理主要以選擇題或者填空題的形式進行考查，?？嫉膬?nèi)容為，求展開式中特

定項的系數(shù)，或者已知特定項的系數(shù)求參數(shù)，以及運用賦值法求特定項系數(shù)和的問題.

考點清單

1.排列、組合的定義

按照一定的順序排成一列，叫做從幾個不同元素中取出小個

排列的定義從n個不同元素中取

元素的一個排列

出m(m<n)個兀素

組合的定義合成一組，叫做從九個不同元素中取出HI個元素的一個組合

2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)

排列數(shù)組合數(shù)

從n個不同元素中取出小(瓶<

定從幾個不同元素中取出Wmm,九WN*)個

n,m,n6N*)個元素的所有不同排

義元素的所有不同組合的個數(shù)

列的個數(shù)

="（〃一1）（〃一2）（H-m+1）

公_女_〃（"_1）（"一2）（〃一加+1）

nl

式"一A廠加

（n-m）!

性

「0-1

=n!,0!=1un--1->upmn-_urn-m>Grmn'?urmn-1—_cpnm+l

質(zhì)

正確理解組合數(shù)的性質(zhì)

(1)神=鏟:從n個不同元素中取出TH個元素的方法數(shù)等于取出剩余n-m個元素的方法

數(shù).

(2)C$+C7T=C^I：從n+1個不同元素中取出m個元素可分以下兩種情況：①不含特殊

元素4有C/種方法；②含特殊元素力有C=T種方法.

3.二項式定理

(1)二項式定理：(a+b)"=第屋+盤…+制心-上塊+…+C的n(neN*)。；

nkk

(2)通項公式：Tk+1=C^a-b,它表示第k+1項；

(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)為碎，碎，…，C落

4.二項式系數(shù)的性質(zhì)

(I)①項數(shù)為幾+1.

②各項的次數(shù)都等于二項式的號指數(shù)叫即a與b的指數(shù)的和為n.

③字母a按降舞排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升幕排列，從第一項

起，次數(shù)由零逐項增1直到上

(2)二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別

二項式系數(shù)是指廢，最，…，陰，它只與各項的項數(shù)有關(guān)，而與a,b的值無關(guān)；而項的系數(shù)

是指該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關(guān)，而且也與a,b的值有關(guān).如(a+

取產(chǎn)的二項展開式中，第k+1項的二項式系數(shù)是以，而該項的系數(shù)是制m-k/當(dāng)然，在某

些二項展開式中，各項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的.

.???F精題集訓(xùn)???.(70分鐘)

Q經(jīng)典訓(xùn)練題

一、選擇題.

1.在＜xj的展開式中，N的系數(shù)為。

A.-15B.15C.-20D.20

【答案】C

【解析】由二項式定理得ixj的展開式的通項

人=晨仁廠，1)=禺產(chǎn)”(_1),

IXJ,

令12-3r=3,得r=3,

所以北=。"3(_1)3=—20%3,所以％3的系數(shù)為-20,故選C.

【點評】二項式定理類問題的處理思路：利用二項展開式的通項進行分析.

(21丫

2.在I尤1的展開式中，除常數(shù)項外，其余各項系數(shù)的和為。

A.63B.-517c.-217D,一⑺

【答案】B

。江3.仔)+C^x-Cl(--(-1)4+(-1)6=581

【解析】常數(shù)項是,

令％=1求各項系數(shù)和，(1+2—1)6=64,

則除常數(shù)項外，其余各項系數(shù)的和為64-581=-517,故選B.

【點評】本題主要考查了二項式定理及其通項公式的應(yīng)用.

3.為了落實“精準(zhǔn)扶貧”工作，縣政府分派5名干部到3個貧困村開展工作，每個貧困村至少

安排一名干部，則分配方案的種數(shù)有0

A.540B.240C.150D.120

【答案】C

【解析】根據(jù)題意分派到3個貧困村得人數(shù)為3,1,1或2,2,1,

當(dāng)分派到3個貧困村得人數(shù)為3,1,1時，有Cj4g=60種;

生^^=90

當(dāng)分派到3個貧困村得人數(shù)為2,2,1時，有2種，

所以共有60+90=150種，故選C.

【點評】本題考查了兩個計數(shù)原理和簡單的排列組合問題，屬于基礎(chǔ)題.

4.高三畢業(yè)時，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)站成一排合影留念，其中戊站在正中間，則甲

不與戊相鄰，

乙與戊相鄰的站法種數(shù)為0

A.4B.8C.16D.24

【答案】B

【解析】由題可知，戊站在正中間，位置確定，則只需排其余四人即可，

則甲不與戊相鄰，乙與戊相鄰的站法有廢x&x朗=8（種），故選B.

【點評】本題主要考查了分布分類計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.

5.甲、乙、丙、丁四人分別去云南、張家界、北京三個地方旅游，每個地方至少有一人去，

且甲、乙兩人

不能同去一個地方，則不同分法的種數(shù)0

A.18B.24C.30D.36

【答案】C

【解析】先計算4人中有兩名分在一個地方的種數(shù)，可從4個中選2個，和其余的2個看作3

個元素的全排列共有廢用種，再排除甲乙被分在同一地方的情況共有“種，

所以不同的安排方法種數(shù)是盤&-題=36-6=30,故選C.

【點評】本題考查了排列組合的綜合運用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化與劃歸的能力，屬于

中檔題.

6.2020年我國實現(xiàn)全面建設(shè)成小康社會的目標(biāo)之年，也是全面打贏脫貧攻堅戰(zhàn)之年.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)

為了了解本鎮(zhèn)脫貧攻堅情況，現(xiàn)派出甲、乙、丙3個調(diào)研組到4、B、C、D、E等5個村去，

每個村一個調(diào)研組，每個調(diào)研組至多去兩個村，則甲調(diào)研組到4村去的派法有0

A.48種B.42種C.36種D.30種

【答案】D

【解析】甲只去1村，則方法為盤廢，甲去2個村調(diào)查，則方法數(shù)有盤底腐，

，總方法數(shù)為C：廢+G廢掰=30,故選D.

【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是確定完成事件的過程方法，

根據(jù)完成事件的方法選擇分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理.

7.如圖所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)E域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個區(qū)域中涂色，有四種

顏色可供選擇.要求每個區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種

數(shù)為()

A.56B.72C.64D.84

【答案】D

【解析】分兩種情況：

(1)A、C不同色(注意：B、。可同色、也可不同色，。只要不與A、C同色，

所以D可以從剩余的2中顏色中任意取一色)：有4x3x2x2=48種；

(2)A、C同色(注意：B、。可同色、也可不同色，。只要不與A、C同色，

所以。可以從剩余的3中顏色中任意取一色)：有4x3x1x3=36種，

共有84種，故答案為D.

【點評】(1)本題主要考查排列組合的綜合問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分

析推理能力.

(2)排列組合常用方法有一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象

優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.

8.2019年10月1日，中華人民共和國成立70周年，舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個

數(shù)字按照任意次序排成一行，拼成一個6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個數(shù)為()

A.72B.84C.96D.120

【答案】B

【解析】先選擇一個非0數(shù)排在首位，剩余數(shù)全排列，共有戲?用=96種，

其中1和0排在一起形成10和原來的10有重復(fù)，

考慮1和。相鄰時，且1在0的左邊，和剩余數(shù)字共有1=24種排法，

其中一半是重復(fù)的，故此時有12種重復(fù).

故共有96-12=84種，故選B.

【點評】本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

9.《九章算術(shù)》中有一分鹿問題：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共獵得五

鹿.欲以爵次分之，問各得幾何.”在這個問題中，大夫、不更、簪裊、上造、公士是古代五

個不同爵次的官員，現(xiàn)皇帝將大夫、不更、簪梟、上造、公士這5人分成兩組（一組2人，

一組3人），派去兩地執(zhí)行公務(wù)，則大夫、不更恰好在同一組的概率為（）

J_23J_

A.5B.5c.5D.10

【答案】B

【解析】皇帝將大夫、不更、簪梟、上造、公士這5人分成兩組（一組2人，一組3人），派去

兩地執(zhí)行公務(wù)，基本事件總數(shù)n=CjCj=20,

大夫、不更恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)m=廢0度+廢廢廢用=8,

m82

p=—=——=—

所以大夫、不更恰好在同一組的概率為n205,故選B.

【點評】本題考查了概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，

是基礎(chǔ)題.

（-^=一加］＜2）

10.（多選）已知（J*J的展開式中第3項的二項式系數(shù)為45,且展開式中各

項系數(shù)和為1024,則下列說法正確的是（）

A.。=1B.展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為512

C.展開式中第6項的系數(shù)最大D.展開式中的常數(shù)項為45

【答案】BCD

C：=△——^=45

【解析】由題意，2，所以n=10（負值舍去），

又展開式中各項系數(shù)之和為1024,所以（l-a）】°=1024,所以a=-l,故A錯誤；

-x2'°=-xl024=512

偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為22，故B正確；

、10

1,2

不+X

7展開式的二項式系數(shù)與對應(yīng)項的系數(shù)相同,

所以展開式中第6項的系數(shù)最大，故C正確;

、10

"-5

+X--(10-r)

2r

7的展開式的通項4+1-x52

牝-5=0,

令2,解得r=2,所以常數(shù)項為0*=45,故D正確,

故選BCD.

【點評】本題主要考查了二項式基本定理及其通項，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題.

11.記a，b,c,d,e,f為匕213)4,5,6的任意一個排列，則(a+b)(c+d)(e+/)為偶數(shù)的

排列的個數(shù)共有.

【答案】432

【解析】根據(jù)題意，a,b,c,d,e,f為I,2,3,4,5,6的任意一個排列，

則共有公=720個排列，

若(a+0)(c+d)(e+/)為偶數(shù)的對立事件為"3+0)(c+4)(e+/)為奇數(shù)”，

(a+b)、(c+d)、(e+/)全部為奇數(shù)，有6x3x4x2x2x1=288,

故(a+》)(c+d)(e+/)為偶數(shù)的排列的個數(shù)共有720—288=432,

故答案為432.

【點評】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，考查分析解決問題的能力，

屬于中檔題.

12.現(xiàn)有10個不同的產(chǎn)品，其中4個次品，6個正品.現(xiàn)每次取其中一個進行測試，直到4

個次品全測完為止，若最后一個次品恰好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)，則該情況出現(xiàn)的概率是

2

【答案】105

【解析】現(xiàn)有10個不同的產(chǎn)品，其中4個次品，6個正品.

現(xiàn)每次取其中一個進行測試，直到4個次品全測完為止，最后一個次品恰好在第五次測試時

被發(fā)現(xiàn)，

基本事件總數(shù)〃=隹，

最后一個次品恰好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)包含的基本事件為：

優(yōu)先考慮第五次（位置）測試.這五次測試必有一次是測試正品，有,；種，

4只次品必有一只排在第五次測試，有0：種，

那么其余3只次品和一只正品將在第1至第4次測試中實現(xiàn)，有用種.

于是根據(jù)分步計數(shù)原理有廢。；4：種.

一煤，2

???最后一個次品恰好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)的概率PU。105,

2

故答案為105.

【點評】本題考查概率的求法，涉及到古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、

運算求解能力，是中檔題.

13.現(xiàn)有排成一排的7個不同的盒子，將紅、黃、藍、白顏色的4個小球全部放入這7個盒

子中，若每個盒子最多放一個小球，則恰有兩個空盒相鄰且紅球與黃球不相鄰的不同放法共

有種.（結(jié)果用數(shù)字表示）

【答案】336

【解析】先不考慮紅球與黃球不相鄰，則4個小球有用種排法，再安排空盒，有鬣朗種方法;

再考慮紅球與黃球相鄰，則4個小球有“鹿種排法，再安排空盒，有C；鹿種方法，

m也小十號,土9貼4&一A；用=336

因此所求放法種數(shù)為45*23*24*2.

【點評】本題考查排列組合應(yīng)用，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.

14.在二項式I胃）的展開式中，含"3廠x的項的系數(shù)為；各項系數(shù)的最小值為

.（結(jié)果均用數(shù)值表示）

【答案】15,-20

【解析】因為二項式I,所以V7x)

當(dāng)r=2時，則△=15正，含正的項的系數(shù)為15;

T=-20-2

當(dāng)r=3時，則〃一“Xr,此時系數(shù)最小，最小值為-20,

故答案為15,-20.

【點評】本題考查二項式定理展開式的系數(shù)問題，是基礎(chǔ)題.

?高頻易錯題

一、填空題.

1.12本相同的資料書分配給三個班級，要求每班至少一本且至多六本，則不同的分配方法共

有種.

【答案】25

【解析】先分組，再排序，12本書分三個班級，且每班至少一本且至多六本，

可能有1、5、6;2、4、6;2、5、5;3、3、6;3、4、5;4、4、4共6中情況，

一個班分5本，一個班分6本，不同的方法有6=6種；

當(dāng)一個班分1本，

一個班分4本，一個班分6本，不同的方法有a=6種；

當(dāng)一個班分2本，

-4=3

一個班分本，一個班分本，不同的方法有&種；

當(dāng)一個班分2本，55

A=3

一個班分3本，一個班分6本，不同的方法有否種；

當(dāng)一個班分3本，

一個班分4本，一個班分5本，不同的方法有用=6種；

當(dāng)一個班分3本，

4=1

一個班分4本，一個班分4本，不同的方法有㈤種；

當(dāng)一個班分4本，

所以一共有6+6+3+3+6+1=25,故答案為25.

【點評】本題考查了排列組合，此種情況解題的關(guān)鍵是先分組，再排序，屬于中檔題.

?精準(zhǔn)預(yù)測題

一、選擇題.

2TI“。，/

1.展開式中x-2y3項的系數(shù)為160,則￡1=()

C.-2D.-2V2

【答案】C

【解析】二項式(1+ayA展開式的通項為7>+1=星x16-r(ay)『=C^aryr,

令r=3可得二項式(1+ay>展開式中,的系數(shù)為牖。3,

卜-3](1+⑥『

.,A*)展開式中x-2y3的系數(shù)為(_i)得&3=160,

可得。3=-8,解得。=-2,故選C.

【點評】本題主要考查了二項式定理及其通項，屬于基礎(chǔ)題.

X>1

”2

I?7x+V<4

2.已知隨機變量X服從二項分布I2人其期望E(X)=2,當(dāng)I)一時，目標(biāo)函數(shù)2=

%一'的最小值為九則(a+bx)5的展開式中各項系數(shù)之和為()

B.25C.3s

【答案】B

E(X)=ax—=2

【解析】根據(jù)二項分布期望的定義，可知2,得Q=4,

x>i

■”2

畫出不等式組〔"+'<4表示的區(qū)域，如圖中陰影部分所示,

Jy/

其中4(2,B。，2),C（l,3）,

平移直線2=%-%當(dāng)直線經(jīng)過點。(1,3)時，z取最小值，即卜=2?^,

于是(a+=(4-2x>,

令x=l,可得展開式的各項系數(shù)之和為25,故選B.

【點評】本題把二項式定理與線性劃結(jié)合以及二項分布考查，屬于中檔題.

3.某人連續(xù)投籃6次，其中3次命中，3次未命中，則他第1次、第2次兩次均未命中的概

率是0

11

A.2B.10C.4D,5

【答案】D

【解析】由題可得基本事件總數(shù)n=ClCl=20,

第1次、第2次兩次均未命中包含的基本事件個數(shù)m=ClClCl=4,

p_—_m—__4—_1

所以他第1次、第2次兩次均未命中的概率是〃2°5,故選D.

【點評】本題考查計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確求出基本事件個數(shù).

4.某校高一開設(shè)4門選修課，有4名同學(xué)選修，每人只選1門，恰有2門課程沒有同學(xué)選修,

則不同的選課方案有。

A.96種B.84種C.78種D.16種

【答案】B

【解析】先確定選的兩門C=6,再確定學(xué)生選42-2=14,

所以不同的選課方案有6X14=84,故選B.

【點評】本題主要考了分步分類計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.

5.甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)

分站的位置，

則不同的站法總數(shù)是0

A.90B.120C.210D.216

【答案】C

【解析】因為甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，且每級臺階最多站2人，

所以分為兩類：第一類，甲、乙、丙各自站在一個臺階上，共有：盤題=120種站法；

第二類，有2人站在同一臺階上，剩余1人獨自站在一個臺階上，共有：ClCl=90種站法;

所以每級臺階最多站2人,同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置的不同的站法總數(shù)是120+90=

210,

故選C.

【點評】本題主要考查排列組合的應(yīng)用以及分類計數(shù)原理的應(yīng)用，還考查了分析求解問題的

能力，屬于中檔題.

6.2020年5月22日，國務(wù)院總理李克強在發(fā)布的2020年國務(wù)院政府工作報告中提出，2020

年要優(yōu)先穩(wěn)就業(yè)保民生，堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，努力實現(xiàn)全面建成小康社會目標(biāo)任務(wù).為響

應(yīng)黨中央號召，某單位決定再加派五名工作人員甲、乙、丙、丁、戊去所負責(zé)的A,B,C,D

四個村小組幫助指導(dǎo)貧困戶脫貧，每個村小組至少派一人，為工作方便，甲不去A小組，乙

去8小組，則不同的安排方法有0

A.24B.42C.120D.240

【答案】B

【解析】當(dāng)甲、乙在同一小組時，即都在B小組時，則不同的安排方法有：A；=3x2xl=6；

當(dāng)甲、乙不在同一小組時，根據(jù)題意可以分成廢-1=9組，乙所在的小組去B小組，甲有2

種方法，剩下的兩人有2種方法，

因此有不同的安排方法有：9x2x2=36,

因此符合題意的不同的安排方法有6+36=42種方法，故選B.

【點評】本題考查了排列組合的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)分析問題能力，屬于中檔題.

二、填空題.

卜-12

7.1X）的展開式中常數(shù)項為_________.

【答案】-3

（3-3（1+村=3（1+行（1+村

【解析】VX）X

3-Cf=3-6=-3

展開式中常數(shù)項為x,故答案為-3.

【點評】（1）二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所

給出的條件（特定項）和通項公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時要注意二項式系數(shù)中〃和，?的隱

含條件，即〃，r均為非負整數(shù)，且“》廣，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等）；第二

步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項.

(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解.

8.數(shù)列｛。耳｝中，g=1,an+1=2an+1(neN,),貝lj

C；%+C\a2+Cja3+C,a4+C；%+C：4=

【答案】454

【解析】因為a“+i+1=2an+2=2(an+1),

所以Sn+1｝以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以a4+l=2x2nT=2n,所以斯=2九一1,

則eg%+C^a2+Cja3+C^a4+C^a5+C^a6

=C^X2+C；X22+C；X23+C；X24+C；X25+GX26-C+C+《+C；+C；+C^)