第一篇三帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動講義

微專題4帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動

【命題規(guī)律】1.命題角度：（1）帶電粒子在組合場中的運(yùn)動；（2）帶電粒子在疊加場中的運(yùn)動.

2.常用方法：分段分析法，建立運(yùn)動模型3?？碱}型：計算題.

考點(diǎn)一帶電粒子在組合場中的運(yùn)動

1.帶電粒子的“電偏轉(zhuǎn)”和“磁偏轉(zhuǎn)”的比較

垂直進(jìn)入磁場（磁偏轉(zhuǎn)）垂直進(jìn)入電場（電偏轉(zhuǎn)）

一々

情景圖

回

or

Ffi=qv（）B,好大小不變，方向變化，F(xiàn)E=qEk,尸E大小、方向均不變，

受力

方向總指向圓心，F(xiàn)B為變力凡為恒力

類平拋運(yùn)動

勻速圓周運(yùn)動Eq

Vx=V0Vy=^t

運(yùn)動規(guī)律mvo2nmf

「一Bq'T-Bq

x=vot,丫=景

2.常見運(yùn)動及處理方法

牛頓運(yùn)動定律、

.變速直線|求法運(yùn)動學(xué)公式

?電場中1魚------。動能定理|

帶

電

子

粒

T常規(guī)分解法］

分

在

的

離類平拋（類型T特殊分解法I

場

電斜拋）運(yùn)動

場

磁q功能關(guān)系］

的

中

動

運(yùn)磁場中勻速圓周

.求法I員1周運(yùn)動公式、牛頓運(yùn)

運(yùn)動動定律以及幾何知識

3.“5步”突破帶電粒子在組合場中的運(yùn)動問題

要清楚場的性質(zhì)、方向、強(qiáng)弱、范留等

帶電粒子?依次通過不同場區(qū)時，由受力

情況確定粒子在不同區(qū)域的運(yùn)動情況

正確地畫出粒子的運(yùn)動軌跡圖

根據(jù)區(qū)域和運(yùn)動規(guī)律的不同.將粒子

運(yùn)動的過程劃分為兒個不同的階段，對

不同的階段選取不同的規(guī)律處理

要明踴帶電粒子通過不同場區(qū)的交界處

時速度大小和方向關(guān)系.上一個區(qū)域的

末速度往往是下一個區(qū)域的初速度

例1(2021?全國甲卷25)如圖，長度均為/的兩塊擋板豎直相對放置，間距也為/,兩擋板上

邊緣尸和M處于同一水平線上，在該水平線的上方區(qū)域有方向豎直向下的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)

度大小為￡;兩擋板間有垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可調(diào)節(jié)的勻強(qiáng)磁場.一質(zhì)量為m,

電荷量為g(g>0)的粒子自電場中某處以大小為。。的速度水平向右發(fā)射，恰好從P點(diǎn)處射入磁

場，從兩擋板下邊緣。和N之間射出磁場，運(yùn)動過程中粒子未與擋板碰撞.已知粒子射入磁

場時的速度方向與PQ的夾角為60。，不計重力.

(1)求粒子發(fā)射位置到尸點(diǎn)的距離；

(2)求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的取值范圍；

(3)若粒子正好從QN的中點(diǎn)射出磁場，求粒子在磁場中的軌跡與擋板MN的最近距離.

2

小注=ylTimva(3—J3)nruo2mvo39—10\/3

答案-⑵以⑶一^/

解析(1)由題可知，粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，進(jìn)入磁場時速度方向與尸。的夾角為60。,

設(shè)粒子在尸點(diǎn)時豎直方向上的速度為vyf由幾何關(guān)系得tan60°=^(D

=

由運(yùn)動學(xué)公式可得vYcit@

根據(jù)牛頓第二定律有qE=ma③

聯(lián)立①②③解得粒子在電場中運(yùn)動的時間/="〃?)④

3q匕

則粒子在水平方向的位移x=tv=中*)⑤

3q匕

豎直方向的位移)，=空尸靄⑥

則粒子發(fā)射位置到P點(diǎn)的距離為

公廝=^4)

(2)設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動的速度為。，結(jié)合題意及幾何關(guān)系可知，。=焉不=唔，。⑧

oil1J

粒子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，

則有qoB—nv^

…小。2y[3mvo^

解得B=—=

qrV3qr@

磁感應(yīng)強(qiáng)度最大時，粒子由。點(diǎn)射出，粒子軌跡如圖甲所示，設(shè)此時的軌跡圓圓心為。1,

半徑為門，由幾何關(guān)系可知n挈,對應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度51=警2⑩

LU5Dc<<,

磁感應(yīng)強(qiáng)度最小時，粒子由N點(diǎn)射出，粒子軌跡如圖乙所示，設(shè)此時的軌跡圓圓心為。2,半

徑為廣2.過。2作尸。的垂線與尸。的延長線交于點(diǎn)A,由幾何關(guān)系有。2人=勺，故。2。=坐，,2

?

結(jié)合PB=QB=｝，

在△。2尸8中，由勾股定理有

（冽2+密+冬2）f2?

解得尸2=（小+1）/

對應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度82=0-曾—。?

故磁感應(yīng)強(qiáng)度的取值范圍為0―曾“°°<8」貸?

（3）由題意可知，粒子正好從QV的中點(diǎn)射出磁場，畫出粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖丙所示,

設(shè)此時軌跡圓圓心為。3,半徑為廠3,

由幾何關(guān)系可知尸。=專,

PD_51

cos(0+3(H=4小一2

設(shè)尸為軌跡與擋板MN最近處的點(diǎn)，。3尸J-PQ,且與尸。相交于點(diǎn)E.

由幾何關(guān)系可得。3芯=于3,

故EF=$3

F到MN的最近距離為dm\n=/—1r3—44^^,

考點(diǎn)二帶電粒子在疊加場中的運(yùn)動

1.三種典型情況

(1)若只有兩個場，所受合力為零，則表現(xiàn)為勻速直線運(yùn)動或靜止?fàn)顟B(tài).例如電場與磁場疊加

滿足＜?E=*B時，重力場與磁場疊加滿足時，重力場與電場疊加滿足〃?g=qE時.

(2)若三場共存，所受合力為零時，粒子做勻速直線運(yùn)動，其中洛倫茲力尸=卬8的方向與速

度。垂直.

(3)若三場共存，粒子做勻速圓周運(yùn)動時，則有mg=qE,粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周

運(yùn)動，即qvB=m—.

2.當(dāng)帶電粒子做復(fù)雜的曲線運(yùn)動或有約束的變速直線運(yùn)動時，一般用動能定理或能量守恒定

律求解.

3.分析

例2(2022?廣東高州市二模)如圖所示，在區(qū)域I有與水平方向成45。角的勻強(qiáng)電場，電場方

向斜向左下方.在區(qū)域H有豎直向下的勻強(qiáng)電場和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，電場強(qiáng)度大小

為E2=等，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為氏質(zhì)量為〃八電荷量為一4的粒子從區(qū)域I的左邊界P點(diǎn)由靜

止釋放，粒子沿虛線水平向右運(yùn)動，進(jìn)入?yún)^(qū)域H,區(qū)域II的寬度為".粒子從區(qū)域H右邊界的

。點(diǎn)離開，速度方向偏轉(zhuǎn)了60。.重力加速度大小為g.求：

⑴區(qū)域I的電場強(qiáng)度大小￡,；

(2)粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域II時的速度大小;

(3)粒子從P點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)的時間.

a安“、啦〃％C季qBd2-^qBdmn

答案⑴q⑵癡⑶3,ng+碰

解析(1)粒子在區(qū)域I受重力和靜電力，做句加速直線運(yùn)動，6=45。，如圖所示

故有sin

qE\

料付Ei-gsind-q

(2)設(shè)粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域H的速度為粒子受豎直向下的重力和豎直向上的靜電力，且qE2=mg

V2

則所受的洛倫茲力提供向心力，有quB=〃q

速度方向偏轉(zhuǎn)了60。，則對應(yīng)圓心角為60。,

有sin60o=',寐立解得°=2個譽(yù)

(3)設(shè)粒子在區(qū)域I沿虛線水平加速的加速度大小為4,有〃=；zH=g,由速度公式有0=M

idn<z

可得加速時間為力=嚓警

粒子在區(qū)域n做勻速圓周運(yùn)動的周期為

?2nr2nm

/=T=謫

則做勻速圓周運(yùn)動的時間為。2=翡^7=與"

則粒子從P點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)的時間為

高考預(yù)測

（2022?山西省一模）如圖所示，以兩豎直虛線M、N為邊界，中間區(qū)域I內(nèi)存在方向豎直向下

的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為E,兩邊界M、N間距為d.N邊界右側(cè)區(qū)域H中存在磁感應(yīng)強(qiáng)

度大小為8、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場.M邊界左側(cè)區(qū)域IH內(nèi)，存在垂直于紙面向外

的勻強(qiáng)磁場.邊界線M上的O點(diǎn)處有一離子源，水平向右發(fā)射同種正離子.已知初速度為

。。的離子第一次回到邊界M時恰好到達(dá)O點(diǎn)，電場及兩磁場區(qū)域足夠大，不考慮離子的重

力和離子間的相互作用.

X

X

⑴求離子的比荷；

（2）初速度為空的離子第二次回到邊界M時也能恰好到達(dá)0點(diǎn)，求區(qū)域in內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)

度大小.

答案（1

解析（1）由題可知，離子在區(qū)域I和n中的運(yùn)動軌跡如圖所示，離子在區(qū)域I由o運(yùn)動到A

過程中，水平方向以速度內(nèi)做勻速直線運(yùn)動，有d=rv

XX

豎直方向做勻加速直線運(yùn)動，有y\=^at1

又qE=ma

設(shè)離子運(yùn)動到A點(diǎn)時的速度方向與邊界N的夾角為仇則離子運(yùn)動到A點(diǎn)速度為

離子在區(qū)域H中做勻速圓周運(yùn)動

解得片品

由幾何關(guān)系可知AC=2rsin夕二等2

從。點(diǎn)運(yùn)動到。點(diǎn)過程，豎直方向有

y2=zat-t+^at2=^ai1

又AC=yi+y2

qvovo

聯(lián)立可得。--A/--------

m~dEB

(2)當(dāng)初速度為，時,離子運(yùn)動軌跡如圖所示.

從。點(diǎn)射出到進(jìn)入?yún)^(qū)域n中，豎直方向有=/

水平方向有d=^t'

可得yi'=4>'i

設(shè)離子運(yùn)動到A'點(diǎn)時的速度方向與邊界N的夾角為夕，則運(yùn)動到A點(diǎn)速度為v

f2，的

為：齊，在區(qū)域n中有的,n=~i-,則/0

2qBsin6'

從進(jìn)入?yún)^(qū)域II到射出區(qū)域H,弦長4'C=2/sin/=~~

再次進(jìn)入?yún)^(qū)域I中，豎直分位移為

13

*f

52一

所以yi+yi=4(yi+y2)=4AC

在區(qū)域III中的弦長。/=2/'sineu

u2

又w〃B',v"=、.：()〃

/r2sin0

"?0o

所以0F=

由幾何關(guān)系可知。尸=yi'-A'F

+y2'C'=C}D

聯(lián)立解得B'=y.

專題強(qiáng)化練

1.（2022?山東省名校聯(lián)盟高三期末）如圖所示，在xOy坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向

的勻強(qiáng)電場，在第四象限內(nèi)存在垂直坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場.一質(zhì)量為〃八電荷量為q的

帶正電粒子（粒子所受重力不計）從坐標(biāo)原點(diǎn)O射入磁場，其入射方向與x軸的夾角。=30。，

第一次進(jìn)入電場后，粒子到達(dá)坐標(biāo)為（2小L+LL）的尸點(diǎn)處時的速度大小為。、方向沿x軸

正方向.求：

OXXX

XXX

XXXXXX

（1）粒子從O點(diǎn)射入磁場時的速度大小Vo:

（2）電場的電場強(qiáng)度大小E以及磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；

（3）粒子從。點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)的時間/.

答案⑴事⑵需暗

解析（1）由題意知，粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，由于洛倫茲力不做功，粒子經(jīng)過。點(diǎn)時的速

度大小也為優(yōu)，根據(jù)對稱性，粒子經(jīng)過。點(diǎn)時的速度方向與x軸正方向的夾角也為仇粒子

進(jìn)入第一象限后，沿X軸方向做勻速直線運(yùn)動，沿），軸方向做勻減速直線運(yùn)動，根據(jù)幾何關(guān)

.V

系有;7=cos0

解得V()=

（2）對粒子從。點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)的過程，根據(jù)動能定理有

-qEL^mv2-^^

tnv2

解得“福

設(shè)粒子從Q點(diǎn)運(yùn)動到尸點(diǎn)的時間為小有

O+^osin0

2?h=L

解得A=凈

粒子從Q點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)的過程中沿x軸方向的位移大小為

XQP=Vt\

解得XQP=2，§L

則OQ=2yj3L+L~xQp=L

設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為R,

根據(jù)幾何關(guān)系有0Q=2Rsin9

解得R=L

02

根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvoB=nr-^~

2事mv

解得B=七廠

(3)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期7=誓

根據(jù)幾何關(guān)系，在粒子從0點(diǎn)運(yùn)動到。點(diǎn)的過程中，運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角為90。一仇

90°-8

故粒子在該過程中運(yùn)動的時間會=飛喬-7

解得，2=鑼

又t=ti+t2

正如+⑵

解得/=

6v

2.(2022?河北唐山市高三期末)如圖，頂角為30。的“V”字形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外的

勻強(qiáng)磁場.OM上方存在電場強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場，方向豎直向上.在OM上距離。點(diǎn)

3L處有一點(diǎn)4,在電場中距離A為"的位置由靜止釋放一個質(zhì)量為優(yōu)、電荷量為q的帶負(fù)電

的粒子，經(jīng)電場加速后該粒子以一定速度從A點(diǎn)射入磁場后，第一次恰好不從ON邊界射出.不

計粒子的重力.求：

(1)粒子運(yùn)動到4點(diǎn)時的速率vo;

(2)勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；

(3)粒子從釋放到第2次離開磁場的總時間.

答案a寸用血解⑶3目味I翁

解析(1)帶電粒子由靜止開始到達(dá)A點(diǎn)時，由動能定理可得qEd=^mv(r

解得。。=、用

(2)根據(jù)題意作出粒子在磁場中完整的運(yùn)動軌跡圖如圖所示

粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡的圓心為。1,軌跡與ON邊界相切于。點(diǎn)，設(shè)軌跡半徑為r,由幾

何關(guān)系可得sin30。=——

解得r=L

2

設(shè)勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,由洛倫茲力提供向心力可得8卯(尸牛

W……nmVQ1l2Edm

聯(lián)五解得

(3)帶電粒子從靜止加速到A點(diǎn)所用時間為

2d12md

帶電粒子在磁場中運(yùn)動的周期

帶電粒子第一次在磁場中運(yùn)動時間為力=稱

帶電粒子再次進(jìn)入電場再返回磁場所用時間h=2t\

再次返回磁場由幾何關(guān)系可知，以O(shè)點(diǎn)為圓心繼續(xù)做圓周運(yùn)動至ON邊界離開，則再次做圓

30°T

周運(yùn)動的時間為白=的廣丁=行

所以總時間為

...-I2md,7nLIm

t=h+及+B+y3、下+'硝.

3.(2022?河北張家口市一模)如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xOy的第一象限存在垂直于xOy平

面向里的勻強(qiáng)磁場，第二象限存在沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為E.一質(zhì)量為小

電荷量為q的帶正電粒子在x軸上的4一40)點(diǎn)沿y軸正方向射入電場區(qū)域，粒子第一次經(jīng)

過y軸時的速度方向與>'軸正方向的夾角為60°,之后每相鄰兩次經(jīng)過y軸時的位置間距相

等.不計粒子重力.求：

y

XXXX

XXXX

XXXX

E:芬占XX

XX

XXXX

XXXX

XXXX

xxxxX一

A0

(1)粒子的初速度的大小優(yōu)；

(2)勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B；

(3)粒子從4點(diǎn)運(yùn)動到第n次經(jīng)過y軸的時間.

答案。寸驟⑵停⑶見解析

解析(1)粒子進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，沿?zé)o軸方向的加速度大小。=誓

從A點(diǎn)第一次運(yùn)動到y(tǒng)軸的過程，x軸方向有

v}=2ad

第一次經(jīng)過y軸時有tan60。="

聯(lián)立解得。。=寸梁

(2)粒子第一次經(jīng)過)，軸時的速度大小『i：油

粒子在磁場中運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力有

V2

qvB=nr^

由幾何關(guān)系可知，粒子每次進(jìn)入磁場到離開磁場的過程中沿y軸方向運(yùn)動的距離

L=2rsin60°

之后粒子每次從)，軸進(jìn)入電場到離開電場，運(yùn)動的時間40=

切時間內(nèi)，粒子沿y軸方向運(yùn)動的距離為y=a)f()

由題意可知y=L

聯(lián)立解得8=住

(3)設(shè)粒子從A點(diǎn)第一次運(yùn)動到)，軸的時間為t\,則有最小2=d

解得,尸yw

粒子第一次經(jīng)過y軸到第二次經(jīng)過y軸，在磁場中做勺速圓周運(yùn)動，由幾何關(guān)系可知粒子在

磁場中運(yùn)動的時間為

T

粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期

e271771

T=HB

粒子第二次經(jīng)過)，軸到第三次經(jīng)過)，軸，在電場中運(yùn)動的時間

即粒子從A點(diǎn)運(yùn)動到第三次經(jīng)過)，軸時的時間為6+/2+八=3"+攵

所以粒子從A點(diǎn)運(yùn)動到第八次經(jīng)過y軸時的時間

t=nh+^Y-t2=悔4D"+〃J^^^(”=I,3,5,7,—)

t'=("-l)fi+?2=(穹5+"-l)y^("=2,4,6,8,…)

4.(2022?安徽省江南十校一模)如圖所示，豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy,