正多邊形 全國(guó)公開課一等獎(jiǎng)

這個(gè)美麗圖案的主體部分由一些多邊形構(gòu)成.你發(fā)現(xiàn)這些多邊形有什么特別之處嗎？3.7正多邊形問題1:什么樣的圖形是正多邊形？定義：各邊相等,各角也相等的多邊形是正多邊形.根據(jù)正多邊形的邊數(shù)的不同，分別把它們叫做正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形等.問題2：日常生活中,我們經(jīng)常能看到正多邊形的物體,利用正多邊形,我們也可以得到許多美麗的圖案,你還能舉出一些這樣的例子嗎?練習(xí)1.矩形是正多邊形嗎?菱形呢?正方形呢?為什么?矩形不一定是正多邊形.因?yàn)樗臈l邊不一定都相等;菱形不一定是正多邊形.因?yàn)樗膫€(gè)角不一定都相等;正方形是正多邊形．因?yàn)樗臈l邊都相等，四個(gè)角都相等.活動(dòng)42.各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎?各角都相等的圓內(nèi)接多邊形呢?如果是,說(shuō)明為什么;如果不是,舉出反例.各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.多邊形A1A2A3A4…An是⊙O的內(nèi)接多邊形,且A1A2=A2A3=A3A4=…=An－1An,∴多邊形A1A2A3A4…An是正多邊形.A２A７An·A1A３A４A５A(chǔ)６O∴弧A1A2=弧A2A3=弧A3A4=…=弧An－1An=弧AnA1,∴弧A2A3An=弧A3A4A1=弧A4A5A2=…=弧A1A2An-1，例1已知一個(gè)正多邊形的內(nèi)角為176.4°，這個(gè)正多邊形是幾邊行？有沒有內(nèi)角為100°的正多邊形？1．如果正多邊形的一個(gè)外角等于45°，那么它的邊數(shù)為 (

)A．6

B．7C．8 D．9【練一練】A．正十二邊形 B．正十邊形

C．正八邊形 D．正六邊形CB2．一個(gè)正多邊形它的一個(gè)外角等于內(nèi)角的14，則這個(gè)多邊形是

(

)

3．正三角形外接圓的半徑為R，則三角形邊長(zhǎng)為 (

)A4．正八邊形如圖所示，點(diǎn)A，B，C是它的頂點(diǎn)，則∠ABC＝___________.22.5°你知道正多邊形與圓的關(guān)系嗎？做一做：課本99頁(yè)探索：1.如圖，已知正三角形，用直尺和圓規(guī)作它的外接圓.2.如圖，已知正方形，用直尺和圓規(guī)作它的外接圓.正多邊形的外接圓

我們把經(jīng)過(guò)一個(gè)正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓，這個(gè)正多邊形叫做圓內(nèi)接正多邊形.探索：

任何正多邊形都有一個(gè)外接圓.

正多邊形和圓的關(guān)系非常密切,只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧,就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形,這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓.探索：A２A７An·A1A３A４A５A(chǔ)６O

如圖,把⊙O分成相等的5段弧,依次連接各分點(diǎn)得到五邊形ABCDE.∴AB=BC=CD=DE=EA,∴∠A=∠B.·ABCDEO同理∠B=

∠C=

∠D=

∠E.又五邊形ABCDE的頂點(diǎn)都在⊙O上,∴五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形,⊙O是五邊形ABCDE的外接圓.我們以圓內(nèi)接正五邊形為例證明.∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA，∵弧BCE=弧CDA，正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.O·中心角半徑R邊心距r我們把一個(gè)正多邊形的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.中心到正多邊形的距離叫做正多邊形的邊心距.3.分別求出半徑為R的圓內(nèi)接正三角形，正方形的邊長(zhǎng)，邊心距和面積.解：作等邊△ABC的邊BC上的高AD,垂足為D.連接OB，則OB=R.在Rt△OBD中，∠OBD=30°,邊心距＝OD=在Rt△ABD中，∠BAD=30°,·ABCDO由勾股定理，求得AB=第一種方法：如圖，以2cm為半徑作一個(gè)⊙O，用量角器畫一個(gè)等于 的圓心角，它對(duì)著一段弧，然后在圓上依次截取與這條弧相等的弧，就得到圓的6個(gè)等分點(diǎn)，順次連接各分點(diǎn)，即可得出正六邊形．·60°O90018060120利用這種方法可以畫出任意的正n邊形.怎樣畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正六邊形？第二種方法：如圖，以2cm為半徑作一個(gè)⊙O，由于正六邊形的半徑等于邊長(zhǎng)，所以在圓上依次截取等于2cm的弦，就可以將圓六等分，順次連接各分點(diǎn)即可．·O由此,你能畫出正三角形,正十二邊形嗎?例有一個(gè)亭子,它的地基是半徑為4m的正六邊形,求地基的周長(zhǎng)和面積(精確到0.1m2).解:如圖，由于ABCDEF是正六邊形,所以它的中心角等于，△OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的半徑.因此,亭子地基的周長(zhǎng)l=4×6=24(m).在Rt△OPC中,OC=4,PC=利用勾股定理,可得邊心距亭子地基的面積OABCDEFRPr生活中數(shù)學(xué)：幾個(gè)正多邊形的邊長(zhǎng)與半徑的關(guān)系：a3=a4=a6=R探究活動(dòng)我們來(lái)探索正多邊形的軸對(duì)稱性和中心對(duì)稱性。1.正三角形和正方形都是軸對(duì)稱圖形嗎？都是中心對(duì)稱圖形嗎？