. 微分方程的基本概念

安徽財經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics§10.1微分方程的基本概念Basicconceptofdifferentialequations三、微分方程的解一、問題的提出二、微分方程的定義微積分電子教案引例

一曲線通過點(diǎn)(1,2),且在該曲線上的任一點(diǎn)M(x,y)處的切線的斜率為2x,

求該曲線的方程。解：設(shè)所求曲線方程為：y=f(x)兩邊對x求積分：即

y=x2+C將x=1,y=2代入，得：2=1+C即

C=1故所求曲線為：y=x2+1一、問題的提出由題意得：定義1

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程。2.1、微分方程二、微分方程的定義定義1

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程。如：2.1、微分方程二、微分方程的定義未知函數(shù)是多元函數(shù)，即含有偏導(dǎo)數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程常微分方程定義2微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階。二階微分方程n階微分方程的一般形式為：F(x，y，y，y，…，y(n))=0一階微分方程二、微分方程的定義2.2、微分方程的階二、微分方程的定義2.3、微分方程的分類分類1:常微分方程,偏微分方程.一階微分方程高階(n)微分方程分類2:分類3:線性(未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次)非線性微分方程分類4:單個微分方程與微分方程組.定義3

若將某函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)代入微分方程,可使方程成為恒等式,則稱此函數(shù)為微分方程的解三、微分方程的解3.1、微分方程的解三、微分方程的解例1

驗(yàn)證下列函數(shù)都是微分方程y－2y+y=0的解.解:代入原方程∴

是原方程的解.代入原方程：∴

是原方程的解.三、微分方程的解例1

驗(yàn)證下列函數(shù)都是微分方程y

－2y+y=0的解.解:代入原方程：∴

是原方程的解.解的線性組合也是解y=0也是解。均為解，有何區(qū)別？⑴通解赤：微分黑方程逆的解魯中含宣有任意搞常數(shù)，這山些常骨數(shù)相觸互獨(dú)志立(即不備能合交并了)，且個數(shù)啊與微僑分方摩程的守階數(shù)圓相同，這畜樣的桂解稱雷為微拴分方序程的務(wù)通解著。3.土2、通迷解與旋特解三、弟微分煉方程陡的解⑵特解復(fù)：確定炎了通陣解中概任意邪常數(shù)出的解她。例1中：——通解——特解——既非分通解反，也追非特持解，佛是個冠解?！娼怦劊ǖ珳?zhǔn)不是治特解癢，不掙研究烤）通解鏟：通否用的貿(mào)解，鋼含有槐任意昏常數(shù)教；特貴解：慶特殊銷的解憐，不苦含有謠任意遼常數(shù)⑴通解漆：微分躍方程寶的解盟中含凝有任意李常數(shù)，這汁些常壯數(shù)相必互獨(dú)集立(即不散能合迫并了)，且個數(shù)尺與微婆分方籃程的舞階數(shù)甜相同，這微樣的要解稱久為微蠻分方鳴程的膨通解各。3.衰2、通帽解與音特解三、翅微分昨方程罷的解⑵特解梯：確定錢了通始解中向任意燥常數(shù)牙的解趣。特解脾可以樣從通界解中沃通過某個鋪條件求出回常數(shù)壩得到瞧特解稱為富定解控條件晨，也出稱為殖初始配條件一般眠地，n階微藝分方飼程就各有n個定卡解條晃件三、剖微分尚方程徐的解求特鹽解步氏驟：蛙先求防通解鋼，代容入初返始條漢件，穿確定臨通解控中任留意常禮數(shù)的伸值，川可得肆特解則。微分中方程微分舊方程會的通弄解定解網(wǎng)條件如引倉例求解商得：微分換方程罪的特趕解三、渡微分霧方程遣的解解的幫圖像:微分怒方程臘的積艷分曲有線.通解礎(chǔ)的圖素像:積分姑曲線邪族.3.遷3、微釋分方趙程解航的幾茶何意諷義過定術(shù)點(diǎn)的禽積分但曲線;一階:二階:過定端點(diǎn)且紅在定埋點(diǎn)的膚切線玩的斜負(fù)率為長定值團(tuán)的積遇分曲爽線.初值沾問題:求微針分方坊程滿即足初律始條默件的芬特解笨的問傷題.解例3

驗(yàn)證:函數(shù)是微分方程的解.并求滿足初始條件的特解.三、吸微分達(dá)方程博的解所求蘆特解亦為練習(xí)：為微咐分方犬程的特解.三、損微分盤方程踐的解函數(shù)是微分方程的解嗎？如是解，請問是什么解?安徽財經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics§1沿0.窩2度一階真微分晝方程Ba烈si辨c狼co共nc桐ep霸t稻of暮d種if慌fe莖re徐nt既ia襪l浩eq娛ua就ti該on顆s三、辱齊次盤方程一、軍一階拒微分殘方程聽的形眾式四、腫一階屢線性抗微分不方程微積分電子教案二、倡可分繁離變憐量的欄微分駕方程⑴一般測形式:F(x,y,y)繼=0⑵正規(guī)限型:⑶微分紐奉型:f(x,y)dx+g(x,y)dy=0正規(guī)型可化為如：下面樸只討跌論一禽階微美分方污程中寺最常宰見的緣瑞幾種勻類型鼻及解粉法,包括悄：可分束離變屬量的爬微分棄方程、齊次勵微分從方程、線性匪齊次禮微分嫁方程、線性潛非齊座次微劍分方違程。一、蹤蝶一階粒微分景方程疲的形甩式y(tǒng)=f(x,y)⑴形式拖：即變量x的函圣數(shù)和械微分與變量y的函肉數(shù)和逢微分已分狼離在湖等式彼兩邊戴（或逃已分年離開毀來）.⑵解法攻：直接武積分雪。例1、求通慣解：解：兩邊蘆積分故原拒方程飯的通梯解為揀：2.唐1、已值分離務(wù)變量尿的微隙分方栽程二、艘可分撫離變梳量的晝微分鄉(xiāng)豐方程例2求通呀解：解：兩侍邊積葛分得：二、浩可分盒離變祥量的鈔微分交方程故原鵝方程愚的通擋解為既：結(jié)論1:通解車既可席用顯慶函數(shù)彼表示,也可旁用隱炊函數(shù)聯(lián)表示.⑴形式溝：二、勢可分個離變拉量的麗微分至方程2.引2、可分麥離變工量的競微分沉方程⑵解法區(qū)：先分吵離變尿量，淺再兩貌邊積嚷分即秀可?；蚶?解微瞇分方檢程解:先分改離變海量，二、岡可分章離變緩量的賀微分部方程再兩悶邊積借分故原質(zhì)方程勒的通李解為二、肺可分吩離變跑量的里微分綱方程⑵若積欠分后午出現(xiàn)缸對數(shù),則可工將任約意常收數(shù)寫林成lnC的形覆式,以利雨化簡.說明:⑴在解微分方程時,對形如…積分,可直接得lnx,lny,…不必加絕對值；òdxx1òdyy1例3解題任過程冊可簡時化為低：先分飛離變狼量：再兩茅邊積漁分解：二、抓可分邁離變暫量的冶微分昌方程例4求方惰程滿足綢初始耐條件y(1濤)=葡2的特年解.分離賤變量積分夕得：故通埋解為:將x=1床,y=2代入勸通解故所吳求特夏解為：得：C=1辰0例5已知召某商服品的尸需求廊量Q對價訂格p的彈漁性為ep=-0.震02p,且該穿商品捏最大晃需求泄量為24漠0,求需宋求函砍數(shù)Q=Q(p).解:依題鉛意,得扭:二、光可分摧離變稿量的碧微分桑方程整理暮得：積分之得:將p=0揮,Q=2拴40代入,得:C=2終40故求府需求孩函數(shù)莫為：例6設(shè)f(x)在(-蜂∞，君+∞伏)連續(xù),且滿例足:求f(x).注：⑴積穿分方尿程求廳導(dǎo)后賣化為毒微分才方程;⑵注雕意隱側(cè)條件.二、寺可分漸離變洲量的刪微分碑方程ò+=xdttfxxf0)(2)(解：原方程對x求導(dǎo)：即：分離白變量之得：兩端量積分鄰得：由原掩方程逢可知蛇：f(0宅)=架0代入鞭通解C=2故解：⑴∵f(tx,ty)=向50澇(tx)(ty)2=5艷0t3xy2=t3f(x,姥y)故⑴是齊次挪函數(shù),且是3次齊次步函數(shù);故⑵是齊次投函數(shù),且是0次齊次尤函數(shù).三、探齊次然方程⑴復(fù)習(xí):證明函數(shù)⑴f(x,y)=50xy2;都是齊次函數(shù),并說明是幾次齊次函數(shù).yxyxyxf+-=),(⑵),(),(⑵yxfyxyxtytxtytxtytxf=+-=+-=3.殊1、齊稀次方垮程的挪引入3.紋2、齊季次方寺程及爐其解岡法⑷解法：①化標(biāo)準(zhǔn)形式；②變量替換；③分離變量；④求通解；⑤回代。⑵標(biāo)準(zhǔn)役形式峽：⑶常見椅形式酬：如三、蜻齊次鐮方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式⑴定義:微分方程

中,若為0次齊次函數(shù),則稱該方程為齊次微分方程,簡稱為齊次方程.⑴—關(guān)于y的微息分方黨程代入控原方飲程,得：⑵—關(guān)于u的微戴分方憲程分離穗變量,得：積分陸、整凡理得通解：回代得：是⑴的解釣。三、夏齊次腰方程解：分離飾變量財