有衰減擴(kuò)散問題的偏微分模

有衰減擴(kuò)散問題的偏微分模型引言物質(zhì)的擴(kuò)散問題，在石油開采、環(huán)境污染、疾病流行、化學(xué)反應(yīng)、新聞傳播、煤礦瓦斯爆炸、農(nóng)田墑情、水利工程、生態(tài)問題、房屋基建、神經(jīng)傳導(dǎo)、藥物在人體內(nèi)分布以及超導(dǎo)、液晶、燃燒等諸自然科學(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域，十分普遍地存在著。凡與反映擴(kuò)散有關(guān)的現(xiàn)象，大都能由線性或非線性拋物型偏微分方程作為數(shù)學(xué)模型來定量或定性地加以解決。問題的提出設(shè)有一擴(kuò)散源，某物質(zhì)從此擴(kuò)散源向四周擴(kuò)散，沿x，y，z三個方向的擴(kuò)散系數(shù)分別為常數(shù)，衰減(例如吸收、代謝等)使質(zhì)量的減少與濃度成正比，擴(kuò)散前周圍空間此物質(zhì)的濃度為零，估計(jì)物質(zhì)的分布。理想假設(shè)設(shè)u(x,y,z,t)是t時刻點(diǎn)(x,y,z)處某物質(zhì)的濃度。任取一個閉曲面S,它所圍的區(qū)域是0。模型的建立由于擴(kuò)散，從t到t+At時刻這段時間內(nèi)，通過S流入0的質(zhì)量為TOC\o"1-5"\h\z=ft+Atff(a2色cosa+b2竺cosp+c2色cosy)dSdt

t dx dy dz其中a2其中a2，b2,由高斯公式z方向的擴(kuò)散系數(shù)。c2分別是沿x，yM=ft+Atfff(a1td2u ,dM=ft+Atfff(a1t2 +b2 +c2 )dxdydzdtdx2dy2 dz20由于衰減，0內(nèi)的質(zhì)量減少為=ft+AtIffk2udxdydzdtt0其中k2為衰減系數(shù)。由物質(zhì)不滅定律，在t到t+At時刻間0內(nèi)由于擴(kuò)散與衰減的合作用，積存于0內(nèi)的質(zhì)量為M-M。12換一個角度看，在t到t+At時刻間0內(nèi)由于濃度的變化引起的質(zhì)量增加為M=fff[u(x,y,z,t+At)—u(x,y,z)]dxdydz =30=ft"呻dydzdt0顯然，M3=M1-M2，即0=ft+Atfff(a2d2u+b2d2u+c2d2u一k2uWdydzdtt dx2 dy2 dz20由At，t，0的任意性得：du d2u d2u d2u=a2 +b2 +c2 一k2udt dx2 dy2 dz2上述方程是常系數(shù)線性拋物型方程，它就是有衰減的擴(kuò)散過程的數(shù)學(xué)模型。定解條件的提法設(shè)擴(kuò)散源在點(diǎn)(x,y,z)處，則此擴(kuò)散問題滿足Cauchy問000題：du d2u7d2u d2u7——=a2 +b2+c2一k2U<dt dx2dy2 dz2u(x,y,z,0)=m3(x-x)5(y-y)6(z-z)000其中M為擴(kuò)散源的質(zhì)量。方程的解析解用傅立葉變換可求得Cauchy問題的解析解為( 八 M I(x-x)2(y-y)2(z-z)2u(x,y,z,t)= 嚴(yán)exp$— 0-o-”o-k2t卜8Ktabcy/F [ 4a2t 4b2t 4c2t ‘但值得注意的是，在實(shí)際應(yīng)用中，參數(shù)a，b，c，k往往是很難獲得的，通常都是利用觀測取樣值進(jìn)行估計(jì)，從而得出u(x,y,z,t)的近似表達(dá)式。參數(shù)估計(jì)：目的是對上式中出現(xiàn)的參數(shù)a，b，c，k進(jìn)行估計(jì)。已知條件：①點(diǎn)源(擴(kuò)散源)的質(zhì)量M；點(diǎn)源(擴(kuò)散源)的位置：(x,y,z)；ooot0時刻的觀測取樣值(x,y,z,m)，m為t時刻(x,y,z)iiiiio iii處物質(zhì)的濃度，i二1,…。n首先考慮取樣時刻。事實(shí)上，取樣時刻是未知的，但若設(shè)取樣時刻為t，o作變量替換t=t「則有t=t/1，從而oodududt du= =tdtdtdtodt即dud2ud2ud2u=ta2 +1b2 +1c2 一tk2udtodx2ody2odz2o上式仍然是常系數(shù)線性拋物型方程，與有衰減的擴(kuò)散過程的數(shù)學(xué)模型形狀完全一致，故可令觀測取樣值的取樣時刻為t=1。于是，(x,y,z,m)滿足o iiii( [、M J(x-x)2(y-y)2(z-z)272u(x,y,z,1)= —exp]— 0-o- 0-k28兀tabgFt [ 4a2 4b2 4c2 ‘其次考慮參數(shù)估計(jì)。對上式兩端取對數(shù)，有

a 1 1s=ln(M、-ln(abc)-k2則有關(guān)系式：W=lnu(x,y,z,1)=aX+RY+yZ+s由于我們獲得的觀測取樣值(x,y,z,m)可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的觀測取樣值iiii+(z-z+(z-z0)24c2+k2(X-x)20-4(y一yo)2(Z-Zo)2(X,Y,Z,W)，于是利用多元回歸分析可以求出a、隊(duì)丫、s的估計(jì)值，從而得iiii到參數(shù)a，b，c，k的