黑龍江省哈爾濱市光華中學2022-2023學年高三數(shù)學理月考試題含解析_第1頁
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黑龍江省哈爾濱市光華中學2022-2023學年高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.設,,,則a,b,c的大小關系為(

)A.

B. C.

D.參考答案:A2.下列命題中正確命題的個數(shù)是(

)(1)對于命題,則,均有;(2)是直線與直線互相垂直的充要條件;(3)已知回歸直線的斜率的估計值為1.23,樣本點的中心為(4,5),則回歸直線方程為=1.23x+0.08(4)曲線與所圍成圖形的面積是

A.2

B.3

C.4

D.1參考答案:A略3.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過區(qū)域,則a的取值范圍是(

A.

B.

C.

D.參考答案:C略4.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A.12B.16C.D.參考答案:A5.已知圓x2+y2﹣4x﹣6y+9=0與直線y=kx+3相交于A,B兩點,若,則k的取值范圍是()A.[﹣,0] B.[﹣,] C.[﹣,] D.[﹣,0]參考答案:B【考點】J9:直線與圓的位置關系.【分析】當時,求得圓心到直線的距離,列出不等式,由此求得k的范圍.【解答】解:圓x2+y2﹣4x﹣6y+9=0即(x﹣2)2+(y﹣3)2=4,當|AB|=2時,圓心(2,3)到直線y=kx+3的距離為d====1,故當|AB|≥2時,d=≤1,求得﹣≤k≤,故選:B.6.已知直線(不全為),兩點,,若,且,則直線(

)A.與直線不相交

B.與線段的延長線相交C.與線段的延長線相交

D.與線段相交參考答案:B略7.若函數(shù)在(0,1)上為增函數(shù),則a的取值范圍為( )A.

B.

C.

D.參考答案:D依題意可得對恒成立.令().即對恒成立.設,.當時,解得.當時,∵,,∴對恒成立.綜上,的取值范圍為.

8.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是A. B.C. D.參考答案:B略9.數(shù)列的首項為3,為等差數(shù)列且若b3=-2,b2=12,則a8=

A.0

B.3

C.8

D.11參考答案:B10.已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個圖象之一,且其導函數(shù)y=f′(x)的圖象如右圖所示,則該函數(shù)的圖象是參考答案:B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.展開式中不含項的系數(shù)的和為

.參考答案:012.直線與圓相交于點、,則||=

.參考答案:略13.已知三邊a,b,c的長都是整數(shù),且,如果,則符合條件的三角形共有

個(結(jié)果用m表示).參考答案:14.已知雙曲線的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A,B兩點,AF2,BF2分別交y軸于P,Q兩點,若的周長為16,則的最大值為

.參考答案:由題意,△ABF2的周長為32,∵|AF2|+|BF2|+|AB|=32,∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a,|AB|=,∴=32﹣4a,∴,∴,令,則,...........................令m=,則當m=時,的最大值為故答案為:

15.已知集合參考答案:,,所以16.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(x+5)=16,當x∈(-1,4]時,f(x)=x2-2x,則函數(shù)f(x)在[0,2013]上的零點個數(shù)是______.參考答案:【知識點】根的存在性及根的個數(shù)判斷;函數(shù)的零點.B9【答案解析】604解析:y=x2與y=2x的函數(shù)曲線在區(qū)間(0,4]有兩個交點,在區(qū)間(﹣1,0]區(qū)間有一個交點,但當x∈(﹣1,4]時,f(x)=x2﹣2x=16無根即當x∈(﹣1,4]時,f(x)=x2﹣2x有3個零點,由f(x)+f(x+5)=16,即當x∈(﹣6,﹣1]時,f(x)=x2﹣2x無零點又∵f(x+5)+f(x+10)=f(x)+f(x+5)=16,∴f(x+10)=f(x),即f(x)是周期為10的周期函數(shù),在x∈[0,2013],分為三段x∈[0,4],x∈(4,2004],x∈(2004,2013]在x∈[0,4]函數(shù)有兩個零點,在x∈(4,2004]有200個完整周期,即有600個零點,在x∈(2004,2013]共有兩個零點,綜上函數(shù)f(x)在[0,2013]上的零點個數(shù)是604故答案為:604【思路點撥】根據(jù)y=x2與y=2x的函數(shù)曲線在區(qū)間(0,4]有兩個交點,在區(qū)間(﹣1,0]區(qū)間有一個交點,f(x)=x2﹣2x=16無根,可得x∈(﹣1,4]時,f(x)=x2﹣2x有3個零點,且x∈(﹣6,﹣1]時,f(x)=x2﹣2x無零點,進而分析出函數(shù)的周期性,分段討論后,綜合討論結(jié)果可得答案.【題文】17.運貨卡車以每小時千米的速度勻速行駛130千米(單位:千米/小時).假設汽油的價格是每升2元,而汽車每小時耗油升,司機的工資是每小時14元.這次行車總費用關于的表達式

;當=

時,這次行車的總費用最低。參考答案:解析:(1)設行車所用時間為

,所以,這次行車總費用y關于x的表達式是

(或:)(2)

僅當時,上述不等式中等號成立三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.自由購是通過自助結(jié)算方式購物的一種形式.某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購的情況,隨機抽取了100人,統(tǒng)計結(jié)果整理如下:

20以下[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]70以上使用人數(shù)312176420未使用人數(shù)003143630

(Ⅰ)現(xiàn)隨機抽取1名顧客,試估計該顧客年齡在[30,50)且未使用自由購的概率;(Ⅱ)從被抽取的年齡在[50,70]使用自由購的顧客中,隨機抽取3人進一步了解情況,用X表示這3人中年齡在[50,60)的人數(shù),求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望;(Ⅲ)為鼓勵顧客使用自由購,該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該超市預計有5000人購物,試估計該超市當天至少應準備多少個環(huán)保購物袋.參考答案:;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)2200【分析】(Ⅰ)隨機抽取的100名顧客中,年齡在[30,50)且未使用自由購的有3+14=17人,由概率公式即可得到所求值;(Ⅱ)所有的可能取值為1,2,3,求出相應的概率值,即可得到分布列與期望;(Ⅲ)隨機抽取的100名顧客中,使用自由購的有44人,計算可得所求值.【詳解】(Ⅰ)在隨機抽取的100名顧客中,年齡在[30,50)且未使用自由購的共有3+14=17人,所以,隨機抽取1名顧客,估計該顧客年齡在[30,50)且未使用自由購的概率為.(Ⅱ)所有的可能取值為1,2,3,,,.所以的分布列為123

所以的數(shù)學期望為.(Ⅲ)在隨機抽取的100名顧客中,使用自由購的共有人,所以該超市當天至少應準備環(huán)保購物袋的個數(shù)估計為.【點睛】本題考查統(tǒng)計表,隨機變量X的分布列及數(shù)學期望,以及古典概型,是一道綜合題.19.已知橢圓方程>b>0)的左右頂點為A,B,右焦點為F,若橢圓上的點到焦點F的最大距離為3,且離心率為方程2x2﹣5x+2=0的根,(1)求橢圓的標準方程;(2)若點P為橢圓上任一點,連接AP,PB并分別延長交直線l:x=4于M,N兩點,求線段MN的最小值.參考答案:【考點】直線與圓錐曲線的關系;橢圓的標準方程.【專題】計算題;方程思想;綜合法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】(1)由離心率為方程2x2﹣5x+2=0的根,求出e,再由題意列a,b,c的等量關系列出方程組,求解即可得到橢圓的標準方程;(2)由題意知直線AP,PB的斜率都存在,設P(m,n),設直線AP斜率為k,AP直線方程為:y=k(x+2),聯(lián)立,解得P點的坐標,又B(2,0),直線PB的斜率為,求出PB直線方程為:,進一步求出M,N點的坐標,則線段MN的最小值可求.【解答】解:(1)∵2x2﹣5x+2=0的根為x=2或x=,又離心率e∈(0,1),∴x=2舍去.由題意列a,b,c的等量關系為:,解得a=2,b=.∴橢圓的標準方程:;(2)由題意知直線AP,PB的斜率都存在,設P(m,n),設直線AP斜率為k,AP直線方程為:y=k(x+2),聯(lián)立,得:(3+4k2)x2+16k2x+(16k2﹣12)=0,則x1=﹣2,x2=m是其方程的兩個根,∴﹣2m=,∴,代入y=k(x+2),得,∴,又B(2,0)∴直線PB的斜率為,∴PB直線方程為:,又直線AP,BP與直線x=4相交于M,N兩點,∴,,當且僅當時“=”成立,解得滿足題意,∴線段MN的最小值為6.【點評】本題考查了直線與圓錐曲線的關系,考查了橢圓的標準方程的求法,解答此題的關鍵是仔細計算,是中檔題.20.(13分)“累積凈化量(CCM)”是空氣凈化器質(zhì)量的一個重要衡量指標,它是指空氣凈化器從開始使用到凈化效率為50%時對顆粒物的累積凈化量,以克表示.根據(jù)GB/T18801﹣2015《空氣凈化器》國家標準,對空氣凈化器的累積凈化量(CCM)有如下等級劃分:累積凈化量(克)(3,5](5,8](8,12]12以上等級P1P2P3P4為了了解一批空氣凈化器(共2000臺)的質(zhì)量,隨機抽取n臺機器作為樣本進行估計,已知這n臺機器的累積凈化量都分布在區(qū)間(4,14]中,按照(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],均勻分組,其中累積凈化量在(4,6]的所有數(shù)據(jù)有:4.5,4.6,5.2,5.7和5.9,并繪制了如下頻率分布直方圖.(Ⅰ)求n的值及頻率分布直方圖中的x值;(Ⅱ)以樣本估計總體,試估計這批空氣凈化器(共2000臺)中等級為P2的空氣凈化器有多少臺?(Ⅲ)從累積凈化量在(4,6]的樣本中隨機抽取2臺,求恰好有1臺等級為P2的概率.參考答案:【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率;頻率分布直方圖.【分析】(Ⅰ)先求出在(4,6]之間的數(shù)據(jù)一共有6個,再由頻布直方圖得:落在(4,6]之間的頻率為0.03×2=0.06,由此能求出n的值及頻率分布直方圖中的x值.(Ⅱ)由頻率分布直方圖可知:落在(6,8]之間共24臺,在(5,6]之間共4臺,從而落在(5,8]之間共28臺,由此能估計這批空氣凈化器(共2000臺)中等級為P2的空氣凈化器有多少臺.(Ⅲ)設“恰好有1臺等級為P2”為事件B,依題意落在(4,6]之間共6臺,屬于國標P2級的有4臺,則從(4,6]中隨機抽取2臺,基本事件總數(shù)n=,事件B包含的基本事件個數(shù)m==8,由此能求出恰好有1臺等級為P2的概率.【解答】解:(Ⅰ)∵在(4,6]之間的數(shù)據(jù)一共有6個,再由頻布直方圖得:落在(4,6]之間的頻率為0.03×2=0.06,∴n==100,由頻率分布直方圖的性質(zhì)得:(0.03+x+0.12+0.14+0.15)×2=1,解得x=0.06.(Ⅱ)由頻率分布直方圖可知:落在(6,8]之間共:0.12×2×100=24臺,又∵在(5,6]之間共4臺,∴落在(5,8]之間共28臺,∴估計這批空氣凈化器(共2000臺)中等級為P2的空氣凈化器有560臺.(Ⅲ)設“恰好有1臺等級為P2”為事件B,依題意落在(4,6]之間共6臺,屬于國標P2級的有4臺,則從(4,6]中隨機抽取2臺,基本事件總數(shù)n=,事件B包含的基本事件個數(shù)m==8,∴恰好有1臺等級為P2的概率P(B)=.【點評】本題考查頻率分布直方圖的求法,考查概率的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意等可能事件概率計算公式的合理運用.21.(本小題滿分14分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為矩形,且AB=,BC=1,E,F(xiàn)分別為AB,PC中點.(1)求證:EF∥平面PAD;(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求證:平面PAC⊥平面PDE.參考答案:證明:(1)方法一:取線段PD的中點M,連結(jié)FM,AM.因為F為PC的中點,所以FM∥CD,且FM=CD.因為四邊形ABCD為矩形,E為AB的中點,所以EA∥CD,且EA=CD.所以FM∥EA,且FM=EA.所以四邊形AEFM為平行四邊形.所以EF∥AM.

………5分又AMì平面PAD,EF?平面PAD,所以EF∥平面PAD.

………2分方法二:連結(jié)CE并延長交DA的延長線于N,連結(jié)PN.因為四邊形ABCD為矩形,所以AD∥BC,所以∠BCE=∠ANE,∠CBE=∠NAE.

又AE=EB,所以△CEB≌△NEA.所以CE=NE.

又F為PC的中點,所以EF∥NP.…………5分又NPì平面PAD,EF?平面PAD,所以EF∥平面PAD.

……………2分方法三:取CD的中點Q,連結(jié)FQ,EQ.在矩形ABCD中,E為AB的中點,所以AE=DQ,且AE∥DQ.所以四邊形AEQD為平行四邊形,所以EQ∥AD.又ADì平面PAD,EQ?平面PAD,所以EQ∥平面PAD.

………………2分因為Q,F(xiàn)分別為CD,CP的中點,所以FQ∥PD.又PDì平面PAD,F(xiàn)Q?平面PAD,所以FQ∥平面PAD.

又FQ,EQì平面EQF,F(xiàn)Q∩EQ=Q,所以平面EQF∥平面PAD.……………3分因為EFì平面EQF,所以EF∥平面PAD.

………………2分(2)設AC,DE相交于G.在矩形ABCD中,因為AB=BC,E為AB的中點.所以==.

又∠DAE=∠CDA,所以△DAE∽△CDA,所以∠ADE=∠DCA.

又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°,所以∠DCA+∠CDE=90°.由△DGC的內(nèi)角和為180°,得∠DGC=90°.即DE⊥A

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