黑龍江省哈爾濱市光華中學2022-2023學年高三數(shù)學理月考試題含解析

黑龍江省哈爾濱市光華中學2022-2023學年高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設，，，則a，b，c的大小關系為（

）A．

B． C．

D．參考答案：A2.下列命題中正確命題的個數(shù)是(

)（1）對于命題，則，均有；（2）是直線與直線互相垂直的充要條件；(3)已知回歸直線的斜率的估計值為1.23，樣本點的中心為(4,5)，則回歸直線方程為＝1.23x＋0.08(4)曲線與所圍成圖形的面積是

A.2

B.3

C.4

D.1參考答案：A略3.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過區(qū)域，則a的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．12B．16C．D．參考答案：A5.已知圓x2+y2﹣4x﹣6y+9=0與直線y=kx+3相交于A，B兩點，若，則k的取值范圍是（）A．[﹣，0] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，0]參考答案：B【考點】J9：直線與圓的位置關系．【分析】當時，求得圓心到直線的距離，列出不等式，由此求得k的范圍．【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣6y+9=0即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，當|AB|=2時，圓心（2，3）到直線y=kx+3的距離為d====1，故當|AB|≥2時，d=≤1，求得﹣≤k≤，故選：B．6.已知直線（不全為），兩點，，若，且，則直線(

)A．與直線不相交

B．與線段的延長線相交C．與線段的延長線相交

D．與線段相交參考答案：B略7.若函數(shù)在(0,1)上為增函數(shù)，則a的取值范圍為（ ）A．

B．

C.

D．參考答案：D依題意可得對恒成立.令（）.即對恒成立.設，.當時，解得.當時，∵，，∴對恒成立.綜上，的取值范圍為.

8.若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是A. B.C. D.參考答案：B略9.數(shù)列的首項為3，為等差數(shù)列且若b3=－2，b2=12，則a8=

A．0

B．3

C．8

D．11參考答案：B10.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如右圖所示，則該函數(shù)的圖象是參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.展開式中不含項的系數(shù)的和為

.參考答案：012.直線與圓相交于點、，則||=

．參考答案：略13.已知三邊a，b，c的長都是整數(shù)，且，如果，則符合條件的三角形共有

▲

個（結(jié)果用m表示）．參考答案：14.已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點，AF2，BF2分別交y軸于P，Q兩點，若的周長為16，則的最大值為

．參考答案：由題意，△ABF2的周長為32，∵|AF2|+|BF2|+|AB|=32，∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a，|AB|=，∴=32﹣4a，∴，∴，令，則，...........................令m=，則當m=時，的最大值為故答案為：

15.已知集合參考答案：,，所以16.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（x+5）=16，當x∈（-1，4]時，f（x）=x2-2x，則函數(shù)f（x）在[0，2013]上的零點個數(shù)是______．參考答案：【知識點】根的存在性及根的個數(shù)判斷；函數(shù)的零點．B9【答案解析】604解析：y=x2與y=2x的函數(shù)曲線在區(qū)間（0，4]有兩個交點，在區(qū)間（﹣1，0]區(qū)間有一個交點，但當x∈（﹣1，4]時，f（x）=x2﹣2x=16無根即當x∈（﹣1，4]時，f（x）=x2﹣2x有3個零點，由f（x）+f（x+5）=16，即當x∈（﹣6，﹣1]時，f（x）=x2﹣2x無零點又∵f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16，∴f（x+10）=f（x），即f（x）是周期為10的周期函數(shù)，在x∈[0，2013]，分為三段x∈[0，4]，x∈（4，2004]，x∈（2004，2013]在x∈[0，4]函數(shù)有兩個零點，在x∈（4，2004]有200個完整周期，即有600個零點，在x∈（2004，2013]共有兩個零點，綜上函數(shù)f（x）在[0，2013]上的零點個數(shù)是604故答案為：604【思路點撥】根據(jù)y=x2與y=2x的函數(shù)曲線在區(qū)間（0，4]有兩個交點，在區(qū)間（﹣1，0]區(qū)間有一個交點，f（x）=x2﹣2x=16無根，可得x∈（﹣1，4]時，f（x）=x2﹣2x有3個零點，且x∈（﹣6，﹣1]時，f（x）=x2﹣2x無零點，進而分析出函數(shù)的周期性，分段討論后，綜合討論結(jié)果可得答案．【題文】17.運貨卡車以每小時千米的速度勻速行駛130千米（單位：千米/小時）．假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油升，司機的工資是每小時14元.這次行車總費用關于的表達式

；當=

時，這次行車的總費用最低。參考答案：解析:（1）設行車所用時間為

,所以，這次行車總費用y關于x的表達式是

（或：）（2）

僅當時，上述不等式中等號成立三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.自由購是通過自助結(jié)算方式購物的一種形式.某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購的情況，隨機抽取了100人，統(tǒng)計結(jié)果整理如下：

20以下[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]70以上使用人數(shù)312176420未使用人數(shù)003143630

（Ⅰ）現(xiàn)隨機抽取1名顧客，試估計該顧客年齡在[30,50)且未使用自由購的概率；（Ⅱ）從被抽取的年齡在[50,70]使用自由購的顧客中，隨機抽取3人進一步了解情況，用X表示這3人中年齡在[50,60)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望；（Ⅲ）為鼓勵顧客使用自由購，該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該超市預計有5000人購物，試估計該超市當天至少應準備多少個環(huán)保購物袋.參考答案：；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）2200【分析】（Ⅰ）隨機抽取的100名顧客中，年齡在[30，50）且未使用自由購的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；（Ⅱ）所有的可能取值為1,2,3，求出相應的概率值，即可得到分布列與期望；（Ⅲ）隨機抽取的100名顧客中，使用自由購的有44人，計算可得所求值．【詳解】（Ⅰ）在隨機抽取的100名顧客中，年齡在[30,50)且未使用自由購的共有3+14=17人，所以，隨機抽取1名顧客，估計該顧客年齡在[30,50)且未使用自由購的概率為．（Ⅱ）所有的可能取值為1,2,3，,,.所以的分布列為123

所以的數(shù)學期望為.（Ⅲ）在隨機抽取的100名顧客中，使用自由購的共有人，所以該超市當天至少應準備環(huán)保購物袋的個數(shù)估計為.【點睛】本題考查統(tǒng)計表，隨機變量X的分布列及數(shù)學期望，以及古典概型，是一道綜合題．19.已知橢圓方程＞b＞0）的左右頂點為A，B，右焦點為F，若橢圓上的點到焦點F的最大距離為3，且離心率為方程2x2﹣5x+2=0的根，（1）求橢圓的標準方程；（2）若點P為橢圓上任一點，連接AP，PB并分別延長交直線l：x=4于M，N兩點，求線段MN的最小值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程．【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）由離心率為方程2x2﹣5x+2=0的根，求出e，再由題意列a，b，c的等量關系列出方程組，求解即可得到橢圓的標準方程；（2）由題意知直線AP，PB的斜率都存在，設P（m，n），設直線AP斜率為k，AP直線方程為：y=k（x+2），聯(lián)立，解得P點的坐標，又B（2，0），直線PB的斜率為，求出PB直線方程為：，進一步求出M，N點的坐標，則線段MN的最小值可求．【解答】解：（1）∵2x2﹣5x+2=0的根為x=2或x=，又離心率e∈（0，1），∴x=2舍去．由題意列a，b，c的等量關系為：，解得a=2，b=．∴橢圓的標準方程：；（2）由題意知直線AP，PB的斜率都存在，設P（m，n），設直線AP斜率為k，AP直線方程為：y=k（x+2），聯(lián)立，得：（3+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣12）=0，則x1=﹣2，x2=m是其方程的兩個根，∴﹣2m=，∴，代入y=k（x+2），得，∴，又B（2，0）∴直線PB的斜率為，∴PB直線方程為：，又直線AP，BP與直線x=4相交于M，N兩點，∴，，當且僅當時“=”成立，解得滿足題意，∴線段MN的最小值為6．【點評】本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了橢圓的標準方程的求法，解答此題的關鍵是仔細計算，是中檔題．20.（13分）“累積凈化量（CCM）”是空氣凈化器質(zhì)量的一個重要衡量指標，它是指空氣凈化器從開始使用到凈化效率為50%時對顆粒物的累積凈化量，以克表示．根據(jù)GB/T18801﹣2015《空氣凈化器》國家標準，對空氣凈化器的累積凈化量（CCM）有如下等級劃分：累積凈化量（克）（3，5]（5，8]（8，12]12以上等級P1P2P3P4為了了解一批空氣凈化器（共2000臺）的質(zhì)量，隨機抽取n臺機器作為樣本進行估計，已知這n臺機器的累積凈化量都分布在區(qū)間（4，14]中，按照（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，均勻分組，其中累積凈化量在（4，6]的所有數(shù)據(jù)有：4.5，4.6，5.2，5.7和5.9，并繪制了如下頻率分布直方圖．（Ⅰ）求n的值及頻率分布直方圖中的x值；（Ⅱ）以樣本估計總體，試估計這批空氣凈化器（共2000臺）中等級為P2的空氣凈化器有多少臺？（Ⅲ）從累積凈化量在（4，6]的樣本中隨機抽取2臺，求恰好有1臺等級為P2的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）先求出在（4，6]之間的數(shù)據(jù)一共有6個，再由頻布直方圖得：落在（4，6]之間的頻率為0.03×2=0.06，由此能求出n的值及頻率分布直方圖中的x值．（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知：落在（6，8]之間共24臺，在（5，6]之間共4臺，從而落在（5，8]之間共28臺，由此能估計這批空氣凈化器（共2000臺）中等級為P2的空氣凈化器有多少臺．（Ⅲ）設“恰好有1臺等級為P2”為事件B，依題意落在（4，6]之間共6臺，屬于國標P2級的有4臺，則從（4，6]中隨機抽取2臺，基本事件總數(shù)n=，事件B包含的基本事件個數(shù)m==8，由此能求出恰好有1臺等級為P2的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵在（4，6]之間的數(shù)據(jù)一共有6個，再由頻布直方圖得：落在（4，6]之間的頻率為0.03×2=0.06，∴n==100，由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：（0.03+x+0.12+0.14+0.15）×2=1，解得x=0.06．（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知：落在（6，8]之間共：0.12×2×100=24臺，又∵在（5，6]之間共4臺，∴落在（5，8]之間共28臺，∴估計這批空氣凈化器（共2000臺）中等級為P2的空氣凈化器有560臺．（Ⅲ）設“恰好有1臺等級為P2”為事件B，依題意落在（4，6]之間共6臺，屬于國標P2級的有4臺，則從（4，6]中隨機抽取2臺，基本事件總數(shù)n=，事件B包含的基本事件個數(shù)m==8，∴恰好有1臺等級為P2的概率P（B）=．【點評】本題考查頻率分布直方圖的求法，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．21.(本小題滿分14分)如圖，四棱錐P－ABCD的底面為矩形，且AB＝，BC＝1，E，F(xiàn)分別為AB，PC中點.（1）求證：EF∥平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求證：平面PAC⊥平面PDE.參考答案：證明：（1）方法一：取線段PD的中點M，連結(jié)FM，AM．因為F為PC的中點，所以FM∥CD，且FM＝CD．因為四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點，所以EA∥CD，且EA＝CD．所以FM∥EA，且FM＝EA．所以四邊形AEFM為平行四邊形．所以EF∥AM．

………5分又AMì平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD．

………2分方法二：連結(jié)CE并延長交DA的延長線于N，連結(jié)PN．因為四邊形ABCD為矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．

又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．

又F為PC的中點，所以EF∥NP．…………5分又NPì平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD．

……………2分方法三：取CD的中點Q，連結(jié)FQ，EQ．在矩形ABCD中，E為AB的中點，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四邊形AEQD為平行四邊形，所以EQ∥AD．又ADì平面PAD，EQ?平面PAD，所以EQ∥平面PAD．

………………2分因為Q，F(xiàn)分別為CD，CP的中點，所以FQ∥PD．又PDì平面PAD，F(xiàn)Q?平面PAD，所以FQ∥平面PAD．

又FQ，EQì平面EQF，F(xiàn)Q∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD．……………3分因為EFì平面EQF，所以EF∥平面PAD．

………………2分（2）設AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因為AB＝BC，E為AB的中點.所以＝＝．

又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．

又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的內(nèi)角和為180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥A