初中數(shù)學(xué)函數(shù)模塊3-5-銳角三角函數(shù)講義(含答案解析)

銳角三角函數(shù)

題型一：正切的概念

在直角三角形48c中，ZC=90°,乙4,DB,NC所對應(yīng)的邊分別是。，b,c,則正

弦值等于對邊與鄰邊的比值.即tan/=f,根據(jù)直角三角形三邊關(guān)系易證，0<tan4,

b

(00<<90°)

①角的正切值

例1.1如圖，點(diǎn)E在正方形力BCD的邊上，若EB=1,EC=2,則tan/DCE為

()

A.y5.2C.V5D.V3

【詳解】I?四邊形488是正方形，

AZ5=90°,AB//CD

：.4DCE=4BEC,

?：EB=I,EC=2,

?,BC=A/22—I2=A/3>

tanNDCE=tan乙BEC----=V3；

BE

故答案選。.

變式1.1

1.如圖,在直角.BAD中，延長斜邊BD到點(diǎn)C,使。。=，連接NC,若tanB=-,

23

則tan/CZD的值()

1

cI%

【答案】p

【解析】

【分析】延長ZQ，過點(diǎn)C作CEJ_4。，垂足為E,由tan8=2,即四=*,設(shè)

3AB3

AD=5xf則4B=3x,然后可證明△CQESM。力,然后相似三角形的對應(yīng)邊成比例

r/日CEDECD1、在Kr,日「廠3”5..____p.

可傳：------------——,進(jìn)而可侍CE——X,DE=—X,從而可r求

ABADBD222

EC1

tan/.CAD==—.

AE5

【詳解】解：如圖，延長ZQ,過點(diǎn)。作CE_L/。，垂足為E,

?/tan5=-,gp,

3AB3

?,?設(shè)ZZ)=5x,則力B=3x,

QZCDE=ABDA,NCED=/BAD,

bCDEsbBDA,

.CEDE_CD_1

一茄一茄一茄-5'

35

/.CE=—x,DE=-x,

22

AE=-x,

FC1

tanZCAD=-=-.

AE5

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角

形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握，解題的關(guān)鍵是：正確添加輔助線，將放

在直角三角形中.

②網(wǎng)格圖中求正切值

例1.2如圖，△/BC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanZ的值為

【詳解】解：如圖,

由格點(diǎn)知：AB=V32+32=3V2-

T4C=V12+32=Vio-

S"BC=2-BC.AE

I,、

=-x4x3

2

二6，

S.ABC=；,AB.CD

=1x3也CD

2

=，OCD,

2

：.>桓CD=6,

2

CP=2V2?

AD=1AC?-CD。=V2?

tan/衛(wèi)=2.

故答案為：2.

變式1.2

2.如圖，小正方形的邊長均為1,A、8、C分別是小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，則

i

A.-B.—C.1D.V3

22

【答案】B

【解析】

【分析】連接8C,先根據(jù)勾股定理求得AB、BC、AC的長，然后再利用勾股定理

逆定理證得A48c是直角三角形，最后根據(jù)正弦的定義解答即可

【詳解】解：如圖：連接8C,

???每個(gè)小正方形的邊長均為1,

AB=yl22+[2=V5-8C=7FTF=VLAC=C=9,

AB2+BC2^AC2，

48c是直角三角形,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及正弦的定義，根據(jù)題意證

得A4BC是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

③利用圖形的變換求正切值

例1.3如圖，矩形/BCD中，AB=5,BC=3,E為邊AB上一點(diǎn)，且BE=3,/XDAE

沿。E翻折得到△。尸E,連接BE,tanNEES的值為.

D

【詳解】解：過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)。，作于點(diǎn)，，過8作8G，必于點(diǎn)G,

???折疊

NDAE=NDFE=90。

：.ZADF^18O0-ZAEF

?；/FEB=180。-ZAEF

：.ZADF=ZFEB

?:"GB=ADOF=90°,DF=AD=3,BE=3

DF=BE

：.ADOF^AEGB(AAS)

:.GB=OF

AE=AB-BE=5-3=2

1311

S=-BEFH=-FH=-FEGB=—AEGB=GB

皿FFR2222

3

：.GB=-FH

2

?.?四邊形。尸中，四個(gè)內(nèi)角均為90°,

四邊形04〃尸是矩形，

FH=A0

GB=FO

3

FO=-AO

2

???NF0?+DO?=3

...2+仃―/op=9

24

/.AO--或/。=0(舍去)

13

2415

：.0D=EG=3——=一

1313

.…324_36

??F0—GB——x———

21313

RNFGB中,

36

石=36

tanZGFB=—

°15~11

GFz---

13

qA

tanZEFB=—

11

36

故答案為:TT

變式1.3

3.如圖,在菱形紙片46C。中，AB=3NZ=60。，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落

在CD的中點(diǎn)E處，折痕為尸G,點(diǎn)尸，G分別在邊N6,AD1.,則tan/即G的

值為.

【答案】述

3

【解析】

【分析】連接AE交GF于0,連接BE,BD,則4BCD為等邊三角形，設(shè)AF=x=EF,

2

則BF=3-x,依據(jù)勾股定理可得RtZXBEF中，BF2+BE2=EF2,解方程(3-x)+(|V3)

3

22

=x,即可得至|JEF=2，再根據(jù)Rt^EOF中，OF=〃產(chǎn)-8-即可得出

8

,EO2r-

tanZEFG=-----=—V3.

FO3

【詳解】解：如圖，連接AE交GF于O,連接BE,BD,則4BCD為等邊三角形,

???E是CD的中點(diǎn)，

ABE±CD,

.*.ZEBF=ZBEC=90o,

RSBCE中，CE=cos60°x3=1.5,BE=sin60°x3=-V3,

3

ARtAABEAE=-V7,

2

I3

由折疊可得，AE±GF,EO=-AE=-V7,

24

設(shè)AF=x=EF,貝ijBF=3-x,

???RSBEF中，BF2+BE2=EF2,

/.(3-x)2+(-|A/3)2=x2,

2

解得x=21=,即EF=212,

oo

__________a__

ARtAEOF中，OF=dAF2-AO?=二①，

8

tanZEFG=——=--\/3.

FO3

故答案為：；石.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形以及折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱

變換，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.解題時(shí)，常設(shè)要求的線段長為x,然后根據(jù)折疊和軸

對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾

股定理列出方程求出答案.

題型二：正弦的概念

在直角三角形Z8C中，ZC=90%SB,NC所對應(yīng)的邊分別是叫b,c,則正

弦值等于對邊與斜邊的比值.即sin/=巴，根據(jù)直角三角形三邊關(guān)系易證，0<sinZ<l,

C

（00<ZA<90°）

①角的正弦值

.’2

例2.1在AZBC中，ZC=90°,BC=2,smA--則邊ZC的長是（）

3

4

A.V5B.3C.一D.V13

3

【詳解】解答：在中，

.,BC22

,/sinA=---=---=—

ABAB3

AB=3,

...根據(jù)勾股定理，得AC=#，

故選4

變式2.1

4.在R/A48C中，ZC=90°,BC=\,AB=4,則sinB的值是（）

A.叵B.-C.-D.正

5434

【答案】P

【解析】

【分析】首先根據(jù)勾股定理求得AC的長，然后利用正弦函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】?.?/C=90°,BC=1,AB=4,

?*-AC=4AB2-BC2=V42-l2=V15,

2=江

AB

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角

函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化成直角三角形的邊長的比.

②網(wǎng)格圖中求正弦值

例2.2如圖，△/BC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sin4的值為（）

1B亞「VioD空

A.—?-

2510

【詳解】解：如圖所示，取格點(diǎn)。，連接。C,

由網(wǎng)格可得出AC=M，AD=2g，

V(V2)2+(2V2)2=(V10)2

222

：,DC+AD=AC<

則：ZCDA=90°,

....DCV2V5

故sin/=-----=-7==——.

V105

變式2.2

5.正方形網(wǎng)格中，NAOB如圖放置，則sinNAOB的值為（）

V3

D.1

【答案】8

【解析】

【分析】如圖，連接AD,CD,根據(jù)勾股定理可以得到OD=AD,則0C是等腰三

角形底邊上的中線，根據(jù)三線合一定理，可以得到aODC是直角三角形.根據(jù)三角

函數(shù)的定義就可以求解.

【詳解】解：如圖，連接AD,CD,設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長是1,則根據(jù)勾股定理可

以得到：

OD=AD=V10-OC=AC=V5.ZOCD=90°.

則CD=4OD--OC-=V5，

.?.sin/AOB=^=￡=①

OD屈2

【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的概念，注意到圖中的等腰三角形是解決本題的關(guān)

鍵.

③利用圖形的變換求正弦值

例2.3如圖，Rt.ABC中,4c8=90°,。是ZC上一點(diǎn)，連接6。，將沿8。

4

翻折，點(diǎn)C落在邊45的點(diǎn)C'處，連接CC'.若45=15,sin/=一，則CC'長

【詳解】如圖，設(shè)8。與CC'的交點(diǎn)為點(diǎn)。,

4

?.?在中，ZACB^90°,AB=15,sin/=一

5

:坐」，即生，

485155

解得8C=12,

：?AC7AB2-BC?=9,

由翻折的性質(zhì)得：BC'=BC=n,C'D=CD,/BC'D=ZACB=90。,

：.ZC'=/8-8C'=15-12=3,

設(shè)ND=x,則C'D=CZ)=4C—ZZ)=9-x,

在向"C'D中，AC'2+C'D2=AD2,即3?+(9—x)2=》2,

解得x=5,

AD=5,CD=4,

在MABCD中,BD=yjBC2+CD2=4V10-

又?：BC=BC,C'D=CD,

???8。是CC'的垂直平分線,

BD1CC',CC=2OC,

：.SRL=；BC.CD=；BDOC,即:X12x4=gx4版OC,

6回

解得oc

5

，CC'=2OC=

5

故答案為：叵

5

變式2.3

6.如圖，將矩形N8C。沿對角線8。對折，點(diǎn)C落在E處，8E與力。相交于點(diǎn)尸.

D

BT---------------------'C

（1）求證：△BED是等腰三角形；

（2）若8c=4,CD=2,求乙4用的正弦值.

4

【答案】（1）見解析；（2）-

【解析】

【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得N/D8=NC8。，結(jié)合折疊性質(zhì)得出

ZADB=ZDBF,再根據(jù)等腰三角形的判定即可證得結(jié)論；

（2）設(shè)，則4R=4-x,利用勾股定理求解x值，再根據(jù)正弦定義求解即

可.

【詳解】解：（1）???四邊形Z58是矩形，

：.AD//BC,

/ADB=NCBD,

由折疊性質(zhì)得：NDBF=NCBD,

NADB=NDBF,

:.BF=DF,

.?.△5/力是等腰三角形；

（2）?.?四邊形是矩形，

:.AD=BC=4,AB=CD=2,4=90。，

設(shè)BF=DF=x,貝

在△/△/IB尸中，由勾股定理得：22+（47）2=/

解得：x=2，

2

AB_2_4

sinZAFB=BF55,

2

4

即4股的正弦值為

【點(diǎn)睛】本題考查矩形性質(zhì)、折疊性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股

定理、正弦定義、解一元一次方程，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.

題型三：余弦的概念

在直角三角形Z8C中，ZC=90°,ZA,DB,NC所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,則正

弦值等于鄰邊與斜邊的比值.即cosZ=2,根據(jù)直角三角形三邊關(guān)系易證，0<cosZ<l,

C

（0。<4<90。）

角的余弦值

例3.1如圖，在中，ZC=90°,/8=13,AC=5,則cos4的值是.

【詳解】解：在Rt八ABC中，cosA-....=—，

AB13

故答案為：一.

13

變式3.1

7.在RtA48C中，ZC=90°,15=10,AC=8,則cosZ=

4

【答案】j

【解析】

/A的臨邊

【分析】根據(jù)勾股定理求出邊BC的長，利用余弦定理cos/=即可解得.

ZA的斜邊

【詳解】Rt73c中，NC=90。，AB=10,AC=8,所以BC=JAB?-AC?=6,所以

AC84

cos/==—=—.

AB105

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及余弦定理.

②網(wǎng)格圖中求余弦值

例3.2如圖，已知△ZBC的三個(gè)頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則cosZ的值為.

【詳解】解：如圖所示：連接8。，

可得：ZCDB=90°,BD=四,AD=2母，AB;屈,

打，AD2y/2275

故cosA=----=—i==------

AB屈5

故答案為型.

5

變式3.2

8.如圖，在4X4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，AABC的頂點(diǎn)

都在格點(diǎn)上，則NBAC的余弦值是

【答案】拽

5

【解析】

【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出aABC的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義

即可得出結(jié)論.

【詳解】解：?.?AB2=32+42=25、AC2=22+42=20,BC2=12+2』5,AAC2+BC2=

AB2,

」.△ABC為直角三角形，且NACB=90。，則cos/BAC=江=型，

AB5

故答案為：當(dāng).

【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理及其逆定理，熟知在一個(gè)三

角形中，如果兩條邊長的平方之和等于第三邊長的平方，那么這個(gè)三角形是直角三

角形是解答此題的關(guān)鍵.

③利用圖形的變換求余弦值

例3.3如圖，在菱形紙片力中，4B=2,ZA=60°,將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在

CD的中點(diǎn)E處，折痕為kG,點(diǎn)尸，G分別在邊48，AD±,則cos/EFG的值為

【詳解】過點(diǎn)A作ZPLCQ,交CO延長線于尸，連接ZE,交尸G于。,

?.?四邊形是菱形，

**?AD=AB=2,

???將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為尸G,

:.ZAFG=4EFG,FG1AE,

?：CD//AB,APVCD,

：.APVAB，

：.ZPAE+ZEAF^9Q0,

?：ZEAF+ZAFG^90°,

NPAE=ZAFG,

Z.EFG=/APE,

VCDIIAB,NO4B=60°,

.??NPZM=60°,

?*-AP-AD-sin60°-2x=也,PD-AD-cos60°=2x—=1,

22

,:E為CD中點(diǎn)、,

：.DE=-AD=1,

2

：.PE=DE+PD=2,

AE=ylAP2+PE2=V7-

?—_后

??cos/EFG=cos/PAE==-=------.

AE1

故答案為巨

7

變式3.3

q.如圖，在菱形45CZ)中，48=4,E)B是銳角，4ELBC于點(diǎn)、E,〃是48的

中點(diǎn)，連接MD,ME.若/EMD=9Q。,則cos8的值為.

【答案】巫二1

2

【解析】

［分析】延長DM交CB的延長線于點(diǎn)H.首先證明△ADM04BHM,得出AD=HB=4,

MD=MH,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EH=ED,設(shè)BE=x,利用勾股定理構(gòu)建方

程求出x,即BE,結(jié)合AB得出cosB的值.

【詳解】解：延長DM交CB的延長線于點(diǎn)H.如圖所示：

???四邊形ABCD是菱形，

.?.AB=BC=AD=4,AD〃CH,

ZADM=ZH,

,.?M是AB的中點(diǎn)，

.\AM=BM,

在AADM和△BHM中，

ZAMD=ZBMH

<AADM=NH,

AM=BM

.".△ADM^ABHM(AAS),

，AD=HB=4,MD=MH,

VZEMD=90°,

，EM_LDH,

/.EH=ED,

設(shè)BE=x,

VAE±BC,

.\AE±AD,

.".ZAEB=ZEAD=90o,

AE2=AB2-BE2=DE2-AD2,

42-x2=(4+x)2-42,

解得：X=2G-2，或X=-2G-2(舍)，

/.BE=2V3-2，

,?BE2g-2V3-1

??cosB-----=-----------=---------.

AB42

故答案為：避二1.

2

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形

的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問

題，屬于中考常考題型.

題型四：同角三角函數(shù)關(guān)系（拓展）

1.若乙4+N8=90°,則sinA=cosB,sinB=cos/,tan/?tan6二=1

2平方關(guān)系：sin2A+cos2B=1

-、，k,sin/

3.比值關(guān)系：tanA=------

cosA

例4若a是銳角，tana-tan50°=l,則a的值為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

［詳解］MsVtana-tan50°=1

???a+50°=90°

a=40°.

故選c.

變式4

工。比較大?。簊in81°tan47°；cos30°tan60°.（填”>,〈或

="）

【答案】①.<<

【解析】

【分析】①把sin81。、tan47。分別與1進(jìn)行比較，即可得到答案；

②分別求出cos30。、tan60。的值，然后進(jìn)行比較即可.

【詳解】解：Vsin810<l,tan47°>tan45°=1,

sin810<tan47°；

,**cos30°=—>tan60°=百，

2

又?.?也<5

2

cos300<tan60°；

故答案為：<;<;

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的比較大小，解題的關(guān)鍵是正確的掌握三角函數(shù)的值,

然后進(jìn)行比較.

題型五：特殊角的三角函數(shù)值

三角函數(shù)30°45°60°

j_V2

sinaG

~2~TT

cosa包

T7

tana也16

T

①特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算

sin30°cos60°

+

例5.1計(jì)算：sin600-cos45°1tan60O+sin45O.

21

【詳解】原式=正々+2

LG+也’

1r22

]]

A/3—V2V3+V2

百十后

(V3-V2)(V3+V2)(V3-V2)(V3+V2)

=V3+V2+V3-V2，

=2-\/3;

變式5.1

11.計(jì)算:

(1)8sin*12600+tan45o-4cos30°;

(2)tan260°+cos2300-sin245°tan450.

【答案](1)7-2A/3;(2)—.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可;

（2）根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可.

（巧丫R

【詳解】解：（1）原式=8x也+l-4x^-

l2J2

=8x9+1—2百

4

=7-273;

_13

一了.

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊銳角的三角函數(shù)值是解決問題

的關(guān)鍵.

②由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形的形狀

例5.2在右/臺(tái)。中（2cos/——tan8|=0，則AZBC一定是（）

4直角三角形氏等腰三角形C.等邊三角形。.等腰直角三角形

【詳解】解：由（2cosN—0r+|l—tan8|=0,得

2cos/4=V2>1-tan5=0.

解得乙4=45。，ZB=45°,

則AZBC一定是等腰直角三角形，

故選：D.

變式5.2

12.在IBC中，若tanA=l,cosB=注，則下列判斷最確切的是（）

2

A.△Z8C是等腰三角形B.△NBC是等腰直角三角形

C.右/臺(tái)。是直角三角形D.A/BC是一般銳角三角形

【答案】8

【解析】

【分析】先根據(jù)正切值、余弦值求出乙4、￡)8的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理

可得NC的度數(shù)，然后根據(jù)等腰直角三角形的定義即可得.

【詳解】?.?乙4、D8是右/臺(tái)。的內(nèi)角，且tanZ=l,cosS=—,

2

ZA=45°,Z8=45°,

.-.ZC=180°-Z^-ZB=90°,

，△力8c是等腰直角三角形，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的正切值與余弦值、三角形的內(nèi)角和定理、等腰直角三

角形的定義，熟記特殊角的正切值與余弦值是解題關(guān)鍵.

③根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)

例5.3在A/BC中，若JsinB—日+g—cosC=0,且D8,NC都是銳角，則NN的

J21

sinB----=0；—cosC=0.

22

即sinB=—；COSC=—.

22

N8=45。，ZC=60°.

.?.乙4=180°-ZS-ZC=180°-45°-60°=75°.

故選：c.

變式5.3

13.已知tan知+夕）=」ana+tanB,tan2a=J^^（其中a和夕都表示角度）,

1-tan（7-tanp1-tan-a

出+1

比如求tanl05。,可利用公式得tan105。=tan（60°+45°）=-V3-2,又如求

1-V3

2X

tan120°,可利用公式得tanl20o=tan（2x6（r）=丁不=-劣，請你結(jié)合材料,

1-㈣

_V[

若tan(120。+%)（4為銳角），則人的度數(shù)是—

【答案】30。

【解析】

【分析】設(shè)tan2=x,先根據(jù)公式可得到一個(gè)關(guān)于x的分式方程，解方程可求出x

的值，再根據(jù)特殊角的正切函數(shù)值即可得出答案.

【詳解】設(shè)tan』

+,口八tan120°+tanA

由題意得：tan(120°+A)=-------------------

1-tan1200-tanA7

,/tan120°=_垂),tanA=x,tan(1200+-?.)=-弓

—\/3+xy/3

*—；——_________

1+/x3

解得x-—

3

經(jīng)檢驗(yàn)，x=E是分式方程的根

3

即tanX=—

3

Q/L為銳角

.?<=30°

故答案為：30。.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法、特殊角的正切函數(shù)值，熟記特殊角的正切函

數(shù)值是解題關(guān)鍵.

④三角函數(shù)值的大小

例5.4如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則ZAOBNCOD.（填“>”，“=”或

<”)

【詳解】解：根據(jù)題意可知tan/ZO8=2,tan/COO=2,

；?ZAOB=ZCOD,

故答案為=.

變式5.4.1

14.如果a是銳角，則下列成立的是（）

A.sina+cosa=1B.sina+cosa>1C.sina+cosa<1D.sina+cosa<1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)是對邊比斜邊，余弦函數(shù)是鄰邊比斜邊，三角形的兩邊之和

大于第三邊，可得答案.

【詳解】解：??'、b是直角邊，c是斜邊，

aba+b

.,.sma+cosa=—+—=------,

ccc

*/a+b>c,

a+b

------>1,

c

sina+cosa>1.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，利用正弦函數(shù)是對邊比斜邊，余弦函數(shù)是

鄰邊比斜邊是解題關(guān)鍵.

變式5.4.2

1S.如圖，將“8。繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)￡/。（1<90）得到△48C'.請比較大?。?/p>

smZABA'tanZCBC.

C

A'

C

B

【答案】v

【解析】

【分析】由旋轉(zhuǎn)可得：ZABA'=ZCBC'=a<90°,如圖，構(gòu)建直角三角形/胡'，且

ZABA'^ZCBC,再利用銳角三角函數(shù)的定義可得：

AA'AA'

sinNABA'=：—,tanNCBC'=tanNABA'=——，由N'BV48,從而可得答案.

ABA'B

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可得：ZABA'=^CBC'=a<^°,

如圖，構(gòu)建直角三角形/胡'，且乙4A4'=NC8C,

AA'AA'

由三角函數(shù)定義可得：sinNABA'=—,tanZ.CBC=tanNABA'=——,

ABA'B

■:A'B<AB,

AA'AA'

---<----，

ABA'B

sinNABA'<tanZCBC.

故答案為：<.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

題型五：解直角三角形

①解直角三角形

1.解直角三角形的概念：在直角三角形中除直角外一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角,

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形.

2.理論依據(jù)：

①三邊關(guān)系：勾股定理/+/=02

②兩銳角互余：ZL4+ZB=9O°

③邊角之間的關(guān)系：tanA=Y>sinA=—,cosA=-

bcc

3.常見類型：

①已知兩條邊，先利用邊角關(guān)系求出兩個(gè)角，再利用勾股定理求出另一條邊

②己知一邊一角，先求出另一角，再利用邊角關(guān)系求出其余的邊長

例5.1已知sine=一其中a為銳角，求cosa、tana、cota的值.

3

2

【詳解】Vsina=—

3

...設(shè)a的對邊=2左，直角三角形的斜邊=3左，由勾股定理求出a的鄰邊=火上，

.限造，2k227545kV5

??cosa=-----=——，tana=-j=—=—j==-------，cota=------=——?

3k345ky/552k2

變式5.1

16.(1)在aABC中，ZB=45°,cosA=-.求NC的度數(shù).

2

4

(2)在直角三角形ABC中，已知sinA=《，求tanA的值.

4

【答案】(1)75°；(2)

【解析】

【分析】(1)由條件根據(jù)NA的余弦值求得NA的值，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理

求NC即可；

(2)根據(jù)角A的正弦設(shè)BC=4x,AB=5x,得AC的長，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得

結(jié)論.

【詳解】解：(1)?.?在^ABC中，cosA=；,...NA=60°

VZB=45°,/.ZC=180°-ZB-ZA=75°；

BC4

(2)sinA=----=—,?,?設(shè)BC=4x,AB=5x,

AB5

??AC=3x,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的知識(shí)以及三角形的內(nèi)角和定理，屬基礎(chǔ)題.

②構(gòu)造直角三角形

例5.2在△ZBC中，Z8=8,BC=6,￡）8為銳角且cosB='.

2

⑵求tanC.

【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)A作4HLBC于H.

2

...4=60。，

j

BH-AB-cos8=8x—=4,AH-AB-sin8=8x—=4^3，

22

S"BC=g,8C,；x6x4追=12百；

(2)在RMACH中,

VZAHC=90°,AH=4日CH=BC—BH=7—4=2,

迪=26

tanC=任

CH2

變式5.2

17.如圖，在AABC中，BD±AC,AB=6,AC=5百，ZA=30°.

⑴求BD和AD的長；

⑵求tar￡的值.

【答案】⑴BD=3,AD=3V3;(2)tanC=—.

2

【解析】

【詳解】（［）???BD_LAC,

二NADB=NBDC=q。。.

在RtaADB中，AB=6,NA=3。。，

.,.BD=ABsin3O°=3,

/.AD=AB-cos300=3y/3.

(2)CD=AC-AD=5拒-3拒=2出,

在RtaBDC中，tanZC=——=--T==.

CD2G2

(1(視頻))

題型六：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用

①方位角問題

從標(biāo)準(zhǔn)方向的北端起，順時(shí)針方向到直線的水平角，稱為該直線的方位角，方位角的取值范

圍是0。一360。.

例6.1如圖，在A處測得點(diǎn)P在北偏東60°方向上，在8處測得點(diǎn)P在北偏東30。方向上,

若=千米，則點(diǎn)N8兩點(diǎn)的距離為（）千米.

D.6

【詳解】解：由題意可知，ZP4C=30°,ZP5C=60°,

,/AP=66，

：.PC=/4Psin30°=-X673=373,

2

ZC=/Pcos600=6疾—=9.

2

：.BC=&W

3,

tan60°V3

AB=AC—BC=9—3=6,

故選：D.

變式6.1

18.如圖，在一條筆直的海岸線上有A,8兩個(gè)觀測站，A在8的正東方向.有一

艘小船從A處沿北偏西60。方向出發(fā)，以每小時(shí)20海里速度行駛半小時(shí)到達(dá)P處,

從8處測得小船在它的北偏東45。的方向上.

B

（1）求的距離；

（2）小船沿射線/P的方向繼續(xù)航行一段時(shí)間后，到達(dá)點(diǎn)。處，此時(shí)，從8測得小

船在北偏西15。的方向.求點(diǎn)C與點(diǎn)8之間的距離.（上述兩小題的結(jié)果都保留根號(hào)）

【答案】⑴4=（5+5@海里；（2）/8+"）海里.

【解析】

【分析】（1）過點(diǎn)尸作于點(diǎn)。，利用余弦定義解出AP、AD的長，再由直

角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解得PD的長，最后根據(jù)等腰直

角三角形兩直角邊相等的性質(zhì)解題即可；

（2）過點(diǎn)8作6/J./C于點(diǎn)尸，根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊

的一半，解得BF的長，在滅/ABCR中，由勾股定理解得BC的長即可.

【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)P作尸于點(diǎn)0,

在RtVPN。中，AADP=9Q°,Z/^D=90°-60°=30。，

An

,：cosZPAD=——，力P=20x0.5=10

AP

，AD=AP-cosZPAD=10x—=5y/3

2

PD=-AP=5

2

在RsPBD中,NBDP=90°,ZPBD=90°-45°=45°,

：.BD=PD=5.

：./8=(5+59海里

(2)如圖，過點(diǎn)B作8bd.ZC于點(diǎn)R,

在放A/BE中，ZAFB=900,ZBAF=30°,

在△ZBC中，/。=180。-4工。一45。=45。.

在從ABC/中，ZBFC=90°,ZC=45°,

BC=6BF=3(6+呵海里.

.?.點(diǎn)C與點(diǎn)8之間的距離為g（夜+"）海里.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用之方向角的問題，其中涉及含30°角的直角

三角形的性質(zhì)、余弦、三角形內(nèi)角和、勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，

正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形、掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

②仰角俯角問題

仰角：視線在水平線上方的角.

俯角：視線在水平線下方的角.

例6.2如圖，護(hù)林員在離樹8m的A處測得樹頂8的仰角為45°,己知護(hù)林員的眼睛離地

面的距離4C為1.6m,則樹的高度8。為（）

A.8mB.9.6mC.(472+1.6)mD.(8>/2+1.6)m

【詳解】解：過點(diǎn)。作C￡_LB。于E,

,/NBCE=45°,

△CE8是等腰直角三角形,

/.CE=BE=8,

四邊形ZCED是矩形，

AC-DE=1.6,

/.80=8+1.6=9.6米，

故選8.

變式6.2

2d如圖，某飛機(jī)在空中A處探測到地平面目標(biāo)8,此時(shí)從飛機(jī)上看目標(biāo)8的俯角

為a,飛行高度ZC=a,則飛機(jī)到目標(biāo)8的距離N5為（）

aa

A.〃,sinaB,--C.Q?cosaD.-------

sinacosa

【答案】B

【解析】

【分析】由題意得NABC=a,然后根據(jù)解直角三角形，即可求出AB的長度.

【詳解】解：在Rt^ABC中，NABC=a,AC^a,

sina

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一一仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是掌握正

弦的定義進(jìn)行解題.

③坡度與坡比問題

坡面的鉛直高度〃與水平寬度/的比叫做坡度，也稱之為坡比，用字母i表示坡比.即

h

i=~.坡度一般寫成的形式，如i=l:5等.

h

把坡面與水平面的夾角記作a,a叫做坡角，有j=-=tana.

例6.3我市里運(yùn)河有一座人行天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面8c的坡度為1:1,文化

墻AW在天橋底部正前方8米處（尸8的長），為了方便行人推車過天橋，有關(guān)部門決定降

低坡度，使新坡面的坡度為1：JJ.有關(guān)部門規(guī)定，文化墻距天橋底部小于3米時(shí)應(yīng)拆除，

天橋改造后，該文化墻4M是否需要拆除？請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：、歷=1,414,

【詳解】解：該文化墻月W不需要拆除，理由：設(shè)新坡面坡角為新坡面的坡度為1：JJ,

立，...a=30°.作CQLZB于點(diǎn)。，則CO=6米,

/.tana=—f=

V33

?新坡面的坡度為1：，；.tanNC4D==喪,

解得，AD=6B???坡面8C的坡度為1:1,C。=6米，.?.80=6米,

:.AB=AD-BD=（『”,又?..尸8=8米，

尸/=尸8—/8=8—（正-6）=14—6#a14—6、1.732=3.6米＞3米,

變式6.3

20如圖，在市區(qū)/道路上建造一座立交橋，要求橋面的高度才為4.8米，引橋的

坡角為14°,則引橋的水平距離/為一米（結(jié)果精確到0.1〃?，參考數(shù)據(jù)：

sinl4°仁0.24,cosl4°弋0.97,tanl4°40.25）.

【答案】19.2

【解析】

【分析】根據(jù)題意利用正切列式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意可得：

tanl4°=--?0.24,

II

解得：/=19.2,

故答案為：19.2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，熟練掌握利用三角函數(shù)進(jìn)行求解問題是解題

的關(guān)鍵.

④利用三角函數(shù)測量高度

例6.4如圖所示，某建筑物樓頂有信號(hào)塔EF,卓瑪同學(xué)為了探究信號(hào)塔￡廠的高度，從建

筑物一層A點(diǎn)沿直線AD出發(fā)，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)剛好能看到信號(hào)塔的最高點(diǎn)F,測得仰角

N/CE=60。，4C長7米.接著卓瑪再從C點(diǎn)出發(fā)，繼續(xù)沿/。方向走了8米后到達(dá)8點(diǎn)，

此時(shí)剛好能看到信號(hào)塔的最低點(diǎn)E,測得仰角/3=30。.（不計(jì)卓瑪同學(xué)的身高）求信號(hào)

塔斯的高度（結(jié)果保留根號(hào)）.

【詳解】解：在RtZL4C/中，VZACF=60°,ZC=7米,

:.=tan60°=7百米，

,/8c=8米，

48=15米，

在此△N8E中，；/8=30°,

,NE=Z8-tan300=15x@=5百米,

3

:.EF=AF—AE=7也—5退=2也（米），

答：信號(hào)塔EP的高度為26米.

變式6.4

21.如圖，AB和CD是同一地面上的兩座相距36米的樓房，在樓AB的樓頂A

點(diǎn)測得樓CD的樓頂C的._仰角為45。，樓底D的俯角為30。，求樓CD的高.

IB

rB

B

B?

。

々

一

二

□加ll?a

□._B

o,._B

戈

二l

lgBl_.wl

【答案】樓CD的高是（36+12百）米

【解析】

【分析】在題中兩個(gè)直角三角形中，知道已知角和其鄰邊，只需根據(jù)正切值求出對

邊后相加即可.

【詳解】延長過點(diǎn)A的水平線交CD于點(diǎn)E

則有AE_LCD,四邊形ABDE是矩形，AE=BD=36

ZCAE=45°.*.AAEC是等腰直