初中數(shù)學(xué)滬教版九年級下冊-第10講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案-教師版

(m直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

內(nèi)容分析

直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是九年級下學(xué)期第一章第二節(jié)的內(nèi)容.重點是理

解直線與圓的三種位置關(guān)系和圓與圓之間的五種位置關(guān)系，掌握它們數(shù)量表達(dá)，并學(xué)

會判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.難點是直線與圓、圓與圓位置關(guān)系在實際中的

應(yīng)用，及分類討論的思想.

知識結(jié)構(gòu)

模塊一：直線與圓的位置關(guān)系

知識精講

1、直線與圓的位置關(guān)系：相離、相切、相交

當(dāng)直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離：

當(dāng)直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切；這時直線叫做圓的切線，唯一的

公共點叫做切點；

當(dāng)直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交；這時直線叫做圓的割線.

2、數(shù)量關(guān)系描述直線與圓的位置關(guān)系

如果的半徑長為R,圓心。到直線/的距離為d,那么：

直線/與相交;

直線/與相切od=R；

直線/與相離od>R.

3、切線的判定定理

經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

例題解析

【例1】在AJ8c中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C為圓心，r為半徑的圓

與48有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

(1)r=2cm：(2)r=2.4cm；(3)r=3cm.

【難度】★

(1)相離；(2)相切；(3)相交.

由題意得圓心C到直線的距離為d=2.4cm,

(1)：r<d,...直線N8于圓相離；

(2)；r=d,.,.直線〃3于圓相切；

(3)...直線于圓相交.

【總結(jié)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.

【例2】經(jīng)過。上一點P作@的切線.

【難度】★

如圖所示.

連接OP,過點P作OP的垂線/,則/為O的切緡.

【總結(jié)】本題考查了切線的作法.

【例3】已知，。。的圓心。的坐標(biāo)是(4,6),半徑為5,則X軸與OO的位置關(guān)系

是.

【難度】★

相離.

。的圓，的。的坐標(biāo)是(4,6),圓心。至Ux軸的距離d=6,

d>r,則x軸與00相離.

【總結(jié)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.

【例4】直線/與半徑為，?的OO相交，且點。到直線/的距離為5,則r的取值范圍

是.

【難度】★★

r>5.

:直線/與半徑為，?的。相交Q；.r>d,即r>5.

【總結(jié)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.

【例5】如圖，在射線04上取一點A,使。4=4。加,以力為圓心，作一個直徑為4cm

的圓.問射線與04所夾銳角a取怎樣的值時，CB與8相離、相切、相交?

【難度】★★

當(dāng)0<a<30。，OB與。相交；e^a=

30°,0B與。相切

當(dāng)30。<￡<90。，08與Q0相交.

作O//J.48于點H,

當(dāng)08與0。相切時，OA=4cm,AH=2cm,此時a=30。，

.?.當(dāng)0<a<30。，。8與O相交;

當(dāng)a=30。，08與。相切；

當(dāng)30。<<2<90。，08與QO相交.

【總結(jié)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.

【例6】等腰AJ8C,AB=AC=5,CB=6,以8C中點為圓心作圓，兩腰所在直線與

圓相離，則半徑廠的取值范圍為.

【難度】★★

0c<r<12._

5

如圖，作4D_L8C,DELAC,

由題意易得DC-3>AD=4DEL=%,

???兩腰所在直線與圓相離，

0<r<DE,/.0<r<_1?.

5

【總結(jié)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.

【例7】在&43c中，ZC=90°,AC=5,BC=12,若以C為圓心，R為半徑，所作

的圓與斜邊AB沒有公共點，則R的取值范圍是

【難度】★★

0<R<6或R>J.2.

13

圓心C到斜邊AB的距離d=‘°,_

...當(dāng)圓與N8相離時，Q<Rj,當(dāng)邊所有點都在圓內(nèi)部時，R>\2,

13

綜上，0<R<6°或R>1.

13

【總結(jié)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.

【例8】如圖，已知。。是以平面直角坐標(biāo)系的原點。為圓心，半徑為1的圓，

乙4。8=45。，點尸在x軸上運動，若過點尸且與04平行的直線與有公共點,

.??X的取值范圍是石

【總結(jié)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.

【例9】在A/l8c中，4B=4,/C=2g■，若以4為圓心，2為半徑的圓與直線8c

相切，則N8/C的度數(shù)為

【難度】★★

105°或15°.

當(dāng)NA4c為鈍角時，

作4。_L3C于D,貝I」AD=2,

VAB=4,AC=2yj2,

，ABAD=60°,ACAD=45°,

ZS^C=60°+45°=105°；

當(dāng)NB/C為銳角時;作為。_L8C于。，JUlJAD=2,

同理可得N84c=60°-45°=15。.

【總結(jié)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.

【例10］如圖，N8是8的弦，C是。外一點，OC交N8于點D,若。4,0。,

CD=CB.

求證：C8是。的切線.O

【難度】★★

詳見解析.

連接。8,

,/OA=OB,：.NOAB=NOBA,

CD=CB,：.NCDB=NCBD,

,/OALOC,：.NOAD+NADO=90°,

,/乙CDB=ZADO,NOBA+NCBD=90°,

.?.C8是。的切線.

【總結(jié)】本題考查了切線的判定定理.

【例11】已知：如圖，00的半徑為6cm,ODA.AB,垂足為點。，NAOD=NB,

AD=12cm,BD=3cm.

求證：月8是?的切線.

【難度】★★

詳見解析.

*/NAOD=NB,NZ=NZ,

4cAH

：.MODs&480,/._=_,即

ABAO15AO

0D1AB,：.0D=>]OA2-AD2=6,

O￡>=及=6厘米，...NB是)0的切線.

【總結(jié)】本題考查了切線的判定定理.

【例12】如圖，在&48C中，NC=90。，AC=5,BC=12,③的半徑為3.

(1)當(dāng)圓心。與C重合時，。。與的位置關(guān)系怎樣？

(2)若點。沿。移動時，當(dāng)0C為多少時與相切；

(3)若點。沿。移動時，當(dāng)0C為多少時,。。與有公共點.

【難度】★★

(1)懈；(2)7；(3)\<0C<5_.

44

(1)作于點”，

VAC=5,BC=12,AB=13,CH=

13

?與相離；

(2)?.,④與相切,

/.ODLAB,OD=R=3,

設(shè)OC=x,貝!]AO=5-x,

0DBC

則=,即3=解得x=7

0AAB5-x134

7

.?.當(dāng)。。=一時，§與相切；

4

(3)Q0與有公共點，則8與"8相切或相交，

7

.??點O到直線力8的距離,可得。C2一又：點。在4c邊上，

Z<0C<5.

4

【總結(jié)】本題考查了切線的性質(zhì)及點與圓的位置關(guān)系與相似三角形結(jié)合的綜合題.

【例13］如圖，是8的直徑，BC是。的切線，切點為B,OC平行于弦AD.

求證：。。是。的切線.

【難度】★★★

詳見解析.

連接。。，

,/OA=OD,：.ZOAD=ZODA,

,/OC//AD,：.NOAD=ZBOC,ZODA=NDOC,

ZBOC=NDOC,

*/OB=OD,OC=OC,

：.\CBO色\CDO,

是④的切線，切點為B,：.OBIBC,

：.ZODC=ZOBC=90°,

是④的切線.

【總結(jié)】本題考查了切線的判定定理.

【例14］已知，如圖，在梯形中，AD//CB,ZD=90°,S.AD+BC=AB,AB

為。的直徑.。

求證：。與。相切.

【難度】★★★

詳見解析.

作CWJ.OC于點H,

■:ADHCB,NO=90°,AO=BO,

?！笔翘菪蜛BCD的中位線，.?.0/7=1（AD+BC）,

"：AD+BC=AB,：.OH=1_AB=OA,

2

@與CD相切.

【總結(jié)】本題考查了切線的證明.

模塊二：圓與圓的位置關(guān)系

知識精講

1、圓與圓的位置關(guān)系

外離：圖1中，兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部，叫做

這兩個圓外離.

外切：圖2中，兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點

都在另一個圓的外部，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.

相交：圖3中，兩個圓有兩個公共點，叫做這兩個圓相交.

內(nèi)切：圖4中，兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都

在另一個圓的內(nèi)部，叫做這兩個圓內(nèi)切.這個唯一的公共點叫做切點.

內(nèi)含：圖5中，兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部，叫做

這兩個圓內(nèi)含.當(dāng)兩個圓心重合時，稱它們?yōu)橥膱A.

綜上，一般地，兩圓的位置關(guān)系有五種情況：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.兩個

圓外離或內(nèi)含時，也可以叫做兩圓相離；兩個圓外切或者內(nèi)切時，也可以叫做兩圓相

切.

2、相關(guān)概念

圓心距：兩個圓的圓心之間的距離叫做圓心距.

連心線：經(jīng)過兩個圓圓心的直線叫做連心線.

3、兩圓位置關(guān)系的數(shù)量表達(dá)

如果兩圓的半徑長分別為2和R2,圓心距為d,那么兩圓的位置關(guān)系可用&、A2和

d之間的數(shù)量關(guān)系表達(dá)，具體表達(dá)如下：

兩圓外離=〃>%+危；

兩圓外切od=/?i+R2;

兩圓相交=R-生〈凡+為；

兩圓內(nèi)切<=>0<]=&-尺2|；

兩圓內(nèi)含oO4d<R-/?」

4、相關(guān)定理

(1)如果兩圓相交，那么它們的兩個交點關(guān)于連心線對稱，于是，可推出以下定

理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.

(2)如果兩圓相切，可歸納出以下定理：相切兩圓的連心線經(jīng)過切點.

；例題解析

【例15](1)一個圓的半徑為9厘米，另一圓的半徑為4厘米，圓心距為3厘米，判

斷兩個圓的位置關(guān)系

(2)相切兩圓的圓心距為5,其中一個圓的半徑為3,那么另一個圓的半徑是

多少？

【難度】★

(1)內(nèi)含；(2)2或8.

(1),：0<d<R-r,兩個圓內(nèi)含；

(2):兩圓相切，d=\R-即5=R—3],解得：/?1=2,&=8.

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系.

【例16】兩圓的半徑比為2:3,圓心距等于小圓半徑的2倍，則這兩個圓的位置關(guān)系

是（）

A.相離B.外切C.相交D.內(nèi)切或內(nèi)含

【難度】★

C.

設(shè)兩圓半徑分別為2左、3k,則圓心距d=4%,

VR-r<d<R+r,兩圓相交.

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系.

【例171兩圓的圓心坐標(biāo)分別為（JL0）和（0,1）它們的半徑分別是3和5,則這

兩個圓的位置關(guān)系是.

【難度】★

內(nèi)切.

圓心距d=J3+1=2,,；d=R-r,.,.兩圓內(nèi)切.

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系.

【例18］設(shè)R、>是兩圓的半徑,d為圓心距，如果它們滿足&2-/-2尺"/=0,那

么這兩個圓的位置關(guān)系是（）

A.外離B.相切C.相交D.內(nèi)含

【難度】★★

B.

VR2-r2-2Rd+d2=0,：.（R-d^=r2,：.R-r=d^LR+r=d,

，兩個圓相切.

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系.

【例19］若三圓兩兩相交得到三條公共弦，則這三條弦所在直線的位置關(guān)系是（）

A.平行B相交于一點

C.平行或交于一點D有兩條弦平行，第三條與它們相交

【難度】★★

C.

?.?三圓兩兩相交得到三條公共弦，

...三條公共弦垂直于三條連心線，如圖

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系.

【例20］如圖，已知。/、。5和。C兩兩外切，48=5厘米，8c=6厘米，NC=7厘

【難度】★★

/?.(=3cm,RB=2cm,Rc=4cni.

：。力、OB和8兩兩外切，

N8=5厘米，8c=6厘米，4C=7厘米，

:.+/=65,解得?/%二3

1/+/=7V=4

[ACIc

???這三個圓的半徑分別是R,[=3cm,RB=2cm,Rc=4cm.

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系.

【例21］已知。與。2相交于48兩點，與。。的半徑分別為2和0，公共

弦長為2,則NO/a=_.

1

【難度】★★

105?；?5。.

OO

B

??。|和。2相交于兩點，

：.ABLOO,AH="=1,

122

：。/=2,/。/"=60。，

二O2A=j2,：.NO2AH=45°,/.NO、AO2=60°+45°=105°；

當(dāng)小圓的圓心在大圓內(nèi)部時，同理可得NO/。2=60°-45。=15。；

綜上可知，。。2的長為4+JT或4-".

【總結(jié)】本題考查了相交圓的性質(zhì).

【例22］如圖，兩圓輪疊靠在墻邊，已知兩輪半徑分別為4和1,則它們與墻的切點/、

8間的距離為.

【難度】★★

4.

AB-+-(4-1)~=4.

【總結(jié)】本題考查了切線的相關(guān)性質(zhì)及勾股定理.

【例23］如圖，以。2為圓心的兩個同心圓和分別交于A.B、C、。四點.

求證：四邊形Z8C。為等腰梯形.

【難度】★★

詳見解析.

連接。。2，

:以。2為圓心的兩個同心圓和。分別交于月、B、C、。四點,

A0,0^AB,0,0,1CD,

：.AB//CD,，AD=BC,又；ABDC,

，四邊形為等腰梯形.

【總結(jié)】本題考查了相交圓的有關(guān)性質(zhì)及梯形的證明.

【例24］如圖，。01、（DO2外切與點兒過點力的直線分別交0a和。&于點P、C.

求證：PA:PC=OtA:OtO2.

【難度】★★

詳見解析.

連接。02、?！?、O2C,

CR、82外切與點4，。1。2經(jīng)過點A,

:Z0tPA=N0/P,ZO2AC=ZO2CA,ZOtAP=ZO2AC

DAnA

：.\OAP^\OAC,：.=1

12'

ACO2A

：.PA=OyA,即P4=OM,

PA+ACOtA+O.APCOR

PA:PC=O.A:OtO2.

【總結(jié)】本題考查了垂徑定理及三角形的相似.

【例25】已知相交兩圓的半徑分別為5和4,公共弦長為6,求兩圓的圓心距長.

【難度】★★

4+7或4--77./、

:0a和。。2相交于“、8兩點，[oj.)'、0°

ABLOO,AH=JB=3,

=5'；?Off=^OA2_AH2=4,

-OA=4,???0用=心/_/孑=",即。g的長為4+6；

當(dāng)小圓的圓心在大圓內(nèi)部時，同理可得。。2的長為4-近；

綜上可知，。。2的長為4+近或4-近.

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系及勾股定理.

【例26]如圖，矩形ABCD,AB=5,BC=12.分別以4、C為圓心的兩圓相切，點D

在圓C內(nèi)，點8在圓C外，求圓/的半徑r的取值范圍.

【難度】★★★

兩圓外切時，1<&<8；內(nèi)切時，18<&<25.

連接AC,

'：AB=5,BC=12,：.AC=13,

?.?點。在圓C內(nèi)，點8在圓C外，，5<RC<12,

當(dāng)兩圓外切時，&+&=13,自=13-R-二1<&<8；當(dāng)

兩圓內(nèi)切時，&-1=13,&=13+%,；.18<&<25.

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系及點與圓的位置關(guān)系.

【例27］如圖，PQ=10,以尸。為直徑的圓與一個半徑為20的圓。內(nèi)切于點R正方

形的頂點/、8在大圓上，小圓在正方形外部，且與8相切與點Q,求

AB的長.

【難度】★★★

8+4M.

連接。4、OB,連接PO并延長交N8于點E,由對稱

性可知PO經(jīng)過點。，

?.?以尸0為直徑的圓與CD相切與點Q,

：.PQ1CD,?.*CD//AB,PE1AB,：.AE=BE,

設(shè)正方形的邊長為。，貝!IAE三"，OE=a-OQ=a-10.OA=20,

2

52

AE2+OE2=OA2,即II-+(a-io)=20、

解得：q=8+4炳，的=8-4曬（舍）,

：.AB的長為8+4炳.

【總結(jié)】本題考查了由兩圓位置關(guān)系來判斷半徑和圓心距之間數(shù)量關(guān)系.

【例28］（1）計算：如圖1,直徑為。的三等圓。。、OQ、。。3兩兩外切，切點分

別為小B、C,求。/的長（用含a的代數(shù)式表示）;

（2）探索：若干個直徑為。的圓圈分別按如圖2所示的方案一和如圖3所示

的方案2的方式排放，探索并求出這兩種方案中〃層圓圈的高度兒和6'“（用含

n和a的代數(shù)式表示）；

（3）應(yīng)用：現(xiàn)有長方體集裝箱，其內(nèi)空長為5米，寬為3.1米，高為3.1

米.用這樣的集裝箱裝運長為5米，底面直徑（橫截面的外圓直徑）為0.1米

的圓柱形鋼管，你認(rèn)為采用（2）中的哪種方案在該集裝箱中裝運鋼管最多？并

求出這樣的集裝箱最多能裝運多少根鋼管？

【難度】★★★

圖1

(1)~a；(2/h=na,/=；

2""2

(3)方案二裝運更多，可以裝運1068根鋼管.

(1)連接；直徑為a的三等圓。。2、。。3兩兩外切，

...003=。302=0102，AOQzOs是等邊三角形，/0。2°3=60°，

?：00=00,J.OALOO,：.OA=OQ-sin60°=7^a.

13121321*2~2~

(2)h-na\h'=3單a+〃；

nn2

(3)方案二這種集裝箱中裝運鋼管數(shù)多.

理由：方案一:0.1?<3.1,解得〃W31,31x31=961(根).

方案二：根據(jù)題意，第一層排放31根，第二層排放30根，

設(shè)鋼管的放置層數(shù)為〃，可得二(〃一)x0.1+0/43.1,解得“435.6,

2

V〃為正整數(shù)，；."=35,

鋼管放置的最多根數(shù)為：31x18+31x17=1068(根)

【總結(jié)】本題考查了相切兩圓的性質(zhì)，綜合運用了等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理.

【例29］如圖，正方形力8c。中，E為8c邊上一點，以E為圓心、EC為半徑的半圓

與以力為圓心、力8為半徑的圓弧外切，求sinN￡48的值.

C

【難度】★★★|一丁|

3

5

設(shè)正方形的邊長為1,EC=r,貝IBE=\-r,

?.?以E為圓心、EC為半徑的半圓與

B

以4為圓心、為半徑的圓弧外切，

/.AE=1+尸,

由4加+8￡2=,得：1+(1一廠)2=(］+尸)2,解得：廠=1，

35

:?BE=1,AE=。：.sinZEABEB3

44EA5

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系及勾股定理.

【例30］如圖，8'經(jīng)過。的圓心，E、尸是兩圓的交點，直線。0,交于點。、D,

交夕，于點P,交EF于點C,且Ef=/T5,sinZP='.

(1)求證：尸E是GX?的切線;

(2)求DO和O。’的半徑的長.

【難度】★★★

(1)詳見解析；(2)。的半徑為4,QO'的半徑為8

(1)連接。石、OE,

?/O'O=O'E=O'P,ZO'OE=NO'EO,NO'EP=ZP,

二NO'EP+NO'E。=90°,二PE曷。的切線；

(2);EF=2岳,：.EC=y/i5,

,/sin4P=J,EP=^T3,PC=15,,:APECs^POE,

：PE=PC^f即WP=J，解得po=i6,0的半徑為8,

POPEPO4行

OC=PO-PC=\,：.OE=Joc2+CE2=4,：.QO的半徑為4,

綜上可知，。的半徑為4,。，的半徑為8.

【總結(jié)】本題考查了切線的證明、相交圓的性質(zhì)及勾股定理的綜合應(yīng)用.

隨堂檢測

【習(xí)題1】已知。。的直徑為10厘米，如果一條直線和圓心。的距離為1（）厘米,

則這條直線和這個圓的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相切C.相交D.相交或相離

【難度】★

A.

由題意得半徑，■=5c機(jī)，圓心距d=10cm,

,r<d,二直線和這個圓相離.

【總結(jié)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.

【習(xí)題2】已知在A4BC中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,以4為圓心，以，?為半

徑的圓與8c有公共點，則廠的取值范圍是.

【難度】★

4<r<5.

當(dāng)圓”與8c相切時，可知廠=4,當(dāng)點8在圓內(nèi)，點C在圓外或圓上時，

4<r<5,綜上44r45?

【總結(jié)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.

【習(xí)題3】已知。。和。。②的半徑分別是5厘米和7厘米，圓心距。02是2厘米,

則這兩個圓的位置關(guān)系是（）

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

【難度】★

D.

,:圓心距d=R—r=2cm,.?.兩個圓內(nèi)切.

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系.

【習(xí)題4】已知兩圓的半徑之比為3:5,兩圓內(nèi)切時，圓心距為6,則兩圓的半徑分

別是,這兩圓外切時，圓心距為.

【難度】★★

半徑分別是9和15；圓心距為24.

設(shè)兩圓的半徑分別為3%,5k,貝IJ由題意得5%-34=6,解得％=3,

兩圓的半徑分別為9和15,當(dāng)兩圓外切時，圓心距"=15-9=6.

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系.

【習(xí)題5】已知點/和點8都在x軸上，分別以點4和點8為圓心的兩圓相交于點

M(3a-b,5)、N(9,2a+3b),則的值為.

【難度】★★

1

8

由題意知：的垂直平分線為x軸，

(3a-b=9,解得：',<*.a'=23=.

\l.ci+3b=—5(/)=—38

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系.

【習(xí)題6】如圖，Q0的半徑為3厘米,8為8外一點,08交8于點4/8=04

動點尸從點N出發(fā)，以1厘米/秒的速度在GX7上按逆時針方向運動一周回到點A

立即停止.當(dāng)點P運動的時間為秒時，8P與相切.

【難度】★★

1或5秒.

連接。尸，當(dāng)BP與。相切眩)OPA.PB,由題意

得OP=3,08=6,

N8=30。，ZAOP=60°,

當(dāng)P在04上方時，

，尸點走過的路程/=,萬,6="厘米，此時時間：=1秒;

360

當(dāng)P在04下方時，

P點走過的路程27/0=竺?6=5萬厘米，此時時間，=5秒;

360

綜上，點P運動的時間為1或5秒時，8P的O相切.

【總結(jié)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.

【習(xí)題7】在直角坐標(biāo)系中，O4與08只有一個公共點，04和08的半徑分別為2

和6,點Z的坐標(biāo)為（2,1）,點8為x軸上一點，求點8的坐標(biāo).

【難度】★★

（2+岳,0）、（2-歷，0）、（2+赤，0）、（2-沂，0）.

設(shè)B（x,0）,則圓心距d=AB=J（x-2y+l,

力與。8只有一個公共點，。4和QB相切，

當(dāng)O4與內(nèi)切時，r-r=d，即4=J（x_2『+］，

解得：xt=2+y/l5,匕=2-巫；

當(dāng)與外切時，r+r=d,即8=J(x-2了+1,

解得：*=2+3行，x2=2-3^7.

綜上，點8的坐標(biāo)為（2+而，0）、（2-厲，0）、（2+第，0）、（2-^/7.0）.

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系.

【習(xí)題8】如圖，等邊A/18C的邊長為10,以為直徑作點。2在8c邊上,

且。。產(chǎn)2,以Q為圓心，QC為半徑作。。②，請判斷與。的位置關(guān)系，

并證明你的結(jié)論.

【難度】★★★

外切.

連接0。2，作0"，8c于點H,

由題意得O|8=5,ZABC=60°,

：.BH=5OH=5J/r?.?08=8,：.OO=

18位、0四=7，

22212

?：O.O^Ro+RO,：.oQ與外切.

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系.

3

【習(xí)題9】如圖，C。和相交于4、3兩點，OA=35,OA=5,cos/AOB=

。10X^2

求:sin力。2的值.

【難度】★★★

4

5

作于點H,

3

???。/=35,cosZAO8=

?'5

AH=。，=9匯/.BH=3凡生6紅

555

AAB=>]AH2+BH2=6,???。01和根容于4、8兩點,

"C=_"8=3,0,C=JoQ4c2=4,

2

sinZB/O,=竺=t

2

O2A5

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系及三角比的綜合運用.

【習(xí)題10］如圖，三個半圓的半徑均為R,它們的圓心G、G、在同一條直線上，

且每一圓心都在另一半圓的圓周上.。c與這三個半圓均相切，用/?表示OC”的

半徑，求R:八

【難度】★★★

R:尸=4:1.

連接GC4、C3c4、C2c4，

與這三個半圓均相切，GCa=K+r，C2C4=R-r,CG=R,

2222

"：CtC^+C2C/=CtQ,：.(/?-r)+7?=(7?+r),解得R=4r,

：.R:r=4A.

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系及勾股定理.

媾/課后作業(yè)

【作業(yè)1】。。的半徑為R,直線/和00有公共點，若圓心到直線/的距離是“，則

“與R大小關(guān)系是()

A.d>RB.d<RC.d>RD.0<d<R

【難度】★

D.

?.?直線/和。有公共感，，直線直線/和0相交或相切，；.0<d<R.

【總結(jié)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.

【作業(yè)2】已知圓的直徑是13厘米，圓心到直線/的距離為6厘米，則直線和這個

圓的公共點的個數(shù)是個.

【難度】★

兩個.

11

由題意得r=,d=Jr<4,...直線和這個圓相交，.??有兩個交點.

2

【總結(jié)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.

【作業(yè)3】(1)有兩個圓，一個圓的半徑/?=4,兩圓的圓心距是5,另一個圓的半

徑r滿足什么條件時這兩個圓外離？

(2)兩個圓的圓心距為2厘米，一個圓的半徑為10厘米，要使這兩個圓內(nèi)含,

另一個圓的半徑應(yīng)滿足什么條件？

(3)已知兩個圓內(nèi)切，圓心距是2厘米，如果一個圓的半徑是3厘米，那么另

一圓的半徑是多少？

【難度】★★

(1)r>l；(2)OC/M<廠<8cm或，,12cm；(3)半徑是1或5厘米.

(1),兩個圓外離，d>R+r,即5<4+r,解得廠>1；

(2)?兩個圓內(nèi)含，044《/?-4，即2<|10-廠|,

解得Ocvn<r<8cm或r>12cm;

(3):兩個圓內(nèi)切，，d=]/?—r|,KP2=1—rI，解得h=1,r2=5,

???圓的半徑是1或5厘米.

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系.

【作業(yè)4】。。的半徑為6,0。的一條弦/8長66，以3為半徑的同心圓與直線

AB的關(guān)系是.

【難度】★★

相切.

如圖，作0"_L力8于點H,

/.玷，

,OH=\IOB2-BH2=3,

4=?！?，二直線與圓相切.

【總結(jié)】本題考查了垂徑定理及直線與圓的位置關(guān)系.

【作業(yè)5】若線段PQ與。。只有一個公共點，那么這條線段的兩個端點P、。只能

是（）

A.至少有一點在圓外

B.至多有一點在圓內(nèi)

C.P、。兩點中一定有一點在@外

D.一點在。的內(nèi)部，另一點在。的外部：或尸。是⑻的切線，尸、。之一為

切點

【難度】★★

B.

?.?線段PQ與O只有工介公共點，

.?.線段與圓相交或相切，如圖所示：

綜上可知選B.

【總結(jié)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.

【作業(yè)6】在直角梯形N8CD中，AD//BC,ABVAD,48=10—,AD、8c的長

是方程犬-20x+75=0的兩根，那么以點。為圓心、AD為半徑的圓與以點C

為圓心、8c為半徑的圓的位置關(guān)系是.

【難度】★★

外切.

8c的長是方程d-20x+75=0的兩根，，NO=5,BC=15,

/.RD=5，Rc=15,

由題意易得QC=20,￡?C=&+Rc，；?兩個圓外切.

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系.

OO

【作業(yè)7】已知。01和。2相交于48兩點，/8=24,002=25,01的半徑為

20,求OO?的半徑.

【難度】★★

15或15瓜.

?：OQ和。0?相交于1、8兩點,

：.ABVOO,AH=}AB=\2,

122

???吐20,：.O產(chǎn)=32_加=16,

-OH=9,,??0""+忖=15,即o°2的半徑為15；

當(dāng)小圓的圓心在大圓內(nèi)部時，同理可得。。2的半徑為15#；

綜上可知，的半徑為15或15#.

【總結(jié)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系及勾股定理.

【作業(yè)8】如圖，在矩形48。中，715=3,8c=4,尸是邊上一點(除端點外),

過三點/、B、P作QO.

(1)指出圓心。的位置；

(2)當(dāng)/P=3時，判斷C。與0。的位置關(guān)系；

(3)當(dāng)8與8相切時，求8c被。截得的弦長.

【難度】★★★

(1)線段8尸的中點；(2)相離；(3)55._

16

(1)由題意得。為RfAS/P的外心，，圓心。為線段2尸的中點;

(2)過圓心。作E/〃4)交N8、CD于點￡、F,

AB=AP-3)<*.BP--3，二OP—3’,

2

13