初中數(shù)學(xué)函數(shù)模塊3-1函數(shù)基礎(chǔ)知識講義（含答案解析）

函數(shù)基礎(chǔ)知識題型練

題型一：有序數(shù)對的概念

有順序的兩個數(shù)a與6組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對.

①有序數(shù)對表示位置

例1.1如圖，寫出表示下列各點的有序數(shù)對：

4,);陽5,2)；

。(，)；。(，)；

￡(,);尸(，)；

G(,)；"(,)；

解:/(3,3)；5(5,2)；

C(7,3)；￡>(10,3)；

￡(10,5)；F(7,7)；

G(5,7)；"(3,6)；

/(4,8).

故答案：3；7,3；10,3；10,5；7,7；5,7；3,6；4,8

變式1.1

工.同學(xué)們喜歡看電影，在電影院內(nèi)，要確定一個座位般需要一個數(shù)據(jù)，“3排5號”

與“5排3號”的含義一.(填“相同”或“不相同”)如果記“10排20號”為

(10,20),那么(20,10)表示—,“11排9號”可表示為—.

【答案】①.兩，②.不相同，③.20排10號,④.(11,9).

【解析】

【分析】在平面直角坐標(biāo)系中，要用兩個數(shù)據(jù)即一個有序數(shù)對才能表示一個點的位

置，在電影院內(nèi)，相當(dāng)于在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，確定一個座位需要2個數(shù)據(jù)，一個

用來確定排，一個用來確定號.

【詳解】故依據(jù)題意又：(1)兩，(2).不相同，(3)20排10號，(4)(11,9).

【點睛】本題是數(shù)學(xué)在生活中應(yīng)用，平面位置對應(yīng)平面直角坐標(biāo)系，可以做到在生

活中理解數(shù)學(xué)的意義.

②有序數(shù)對表示路線

例L2如圖，小魚家在/(10,8)處，小云家在3(4,4)處，從小魚家到小云家可以按下面的

兩條路線走：

路線①：(10,8)->(10,7)->(8,7)T(8,6)T(6,6)-?(6,5)T(4,5)-?(4,4).

路線②：(10,8)f(4,8)-(4,4).

第7排

第5排

第3排

第1排

第1第3第5第7第9

列列列列列

(1)請你在圖上畫出這兩條路線，并比較這兩條路線的長短;

(2)請你依照上述方法再寫出一條路線.

【詳解】

解：(1)路線①②如圖所示.根據(jù)平移的性質(zhì)可知它們的長度相等.

(2)(答案不唯一)畫出路線③：(10,8)f(10,4)-(4,4),如圖所示:

2.如圖，小明從家到達(dá)學(xué)校要穿過一個居民小區(qū)，小區(qū)的道路均是正南或正東方向，

則小明走下列線路不能到達(dá)學(xué)校的是()

A.(0,4)-(0,0)f(4,0)

B.(0,4)-(4,4)-*(4,0)

C.(0,4)f(3,4)-(4,2)-(4,0)

D.(0,4)f(1,4)-(1,l)f(4,1)-(4,0)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)點的坐標(biāo)的定義結(jié)合圖形對各選項分析判斷即可得解?

【詳解】A、(0,4)-(0,0)->(4,0)都能到達(dá)，故本選項錯誤；

B、(0,4)-(4,4)-(4,0)都能到達(dá)，故本選項錯誤；

C、(3,4)-(4,2)不都能到達(dá)，故本選項正確；

D、(0,4)—(1,4)-(1,1)—(4,1)—(4,0)都能到達(dá)，故本選項錯誤.

故選C.

【點睛】本題考查了坐標(biāo)確定位置，熟練掌握點的坐標(biāo)的定義并準(zhǔn)確識圖是解題的

關(guān)鍵.

題型二：平面直角坐標(biāo)系

平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系.水平的數(shù)軸稱為X軸或橫

軸，習(xí)慣上取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸取向上方向為正方向；兩坐標(biāo)軸的

交點為平面直角坐標(biāo)系的原點.

平面上的任意一點都可以用一個有序數(shù)對來表示.

①平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的幾何含義（到坐標(biāo)軸的距離）

例2.1已知點42—。,。+1）到y(tǒng)軸的距離是3,則。的值為（）

A.-1B.2C.-1或5D2或-4

【詳解】

解：?.?點4（2-+1）到y(tǒng)軸的距離是3,

.'.2—a=3或2—a——3,

二。=-1或5,

故選：C.

變式2.1

3.已知點P（a+5,a-1）在第四象限，且到x軸的距離為2,則點P的坐標(biāo)為（）

A.（4,-2）B.（-4,2）C.（-2,4）D.（2,-4）

【答案】A

【解析】

【詳解】解：由點P在第四象限，且到x軸的距離為2,則點P的縱坐標(biāo)為-2,

即a-1=-2解得a=-1

.?.a+5=4則點P的坐標(biāo)為（4,-2）.

故選A.

【點睛】本題考查點的坐標(biāo).

②各象限點的坐標(biāo)特點

建立了平面直角坐標(biāo)系以后，坐標(biāo)平面就被兩條坐標(biāo)軸分為了I、II、III、IV四個部分，分

別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.坐標(biāo)軸上的點不屬于任何象限.其中：

四個象限的符號特點分別是：第一象限（+,+）；第二象限（一，十）；第三象限（一，一）；

第四象限(+,-).

例1.2下列各點在第二象限的是()

4(一百,0)B.(-2,1)C.(0,-1)D.(2,-1)

【詳解】

A、(-73,0)在x軸上，故本選項不合題意；

8、(-2,1)在第二象限，故本選項符合題意：

。、(0,-1)在V軸上，故本選項不合題意；

D、(2,-1)在第四象限，故本選項不合題意.

答案：B.

變式1.2

4.如圖，小手蓋住的點的坐標(biāo)可能是().

A.(-3,4)；B.(5,2)；C.(-3,-6)；D.(6,-4).

【答案】P

【解析】

【分析】先判斷手所在的象限，再判斷象限橫縱坐標(biāo)的正負(fù)即可.

【詳解】因為小手蓋住的點在第四象限，第四象限內(nèi)點的坐標(biāo)橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)

為負(fù).只有選項D符合題意，

故選D.

【點睛】考查每個象限點的坐標(biāo)特征，掌握每個象限點的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.

③已知點所在的象限求參數(shù)

例2.3若點尸(機(jī)』)在第二象限內(nèi)，則點0(-加,0)在()

4x軸正半軸上8.x軸負(fù)半軸上CV軸正半軸上DV軸負(fù)半軸上

【詳解】

?.?點2(〃?」)在第二象限，

/.7W<0，則一加>0,

...點。（一”,0）在X軸正半軸上，

故選

變式2.3

5.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點P（加-3,加-5）在第四象限，則加的取值范圍是（）

A.-5<m<3B.-3<m<5C.3<m<5D.-5<〃？<—3

【答案】C

【解析】

【詳解】解：點P（加-3,〃，-5）在第四象限，根據(jù)第四象限點的坐標(biāo)特征,

解得：3<m<5

故選C.

④點坐標(biāo)規(guī)律探索

例2.4如圖，一個粒子在第一象限內(nèi)及x軸，y軸上運動，第一分鐘內(nèi)從原點運動到（1,0）,

第二分鐘從（1,0）運動到（1,1）,而后它接著按圖中箭頭所示的與x軸，夕軸平行的方

向來回運動，且每分鐘移動1個長度單位.在第2020分鐘時，這個粒子所在位置的坐標(biāo)是

()

A.（4,45）B.（45,4）C.（44,4）D.(4,44)

【詳解】

粒子所在位置與運動的時間的情況如下：

位置：（1,1）運動了2=1X2分鐘，方向向左，

位置：（2,2）運動了6=2X3分鐘，方向向下，

位置：（3,3）運動了12=3X4分鐘，方向向左,

位置：(4,4)運動了20=4X5分鐘，方向向下;

總結(jié)規(guī)律發(fā)現(xiàn)，設(shè)點(〃，〃),

當(dāng)〃為奇數(shù)時，運動了"(n+D分鐘，方向向左；

當(dāng)”為偶數(shù)時，運動了〃(?+1)分鐘，方向向下；

744X45=1980,45X46=2070

.?.到(44,44)處，粒子運動了44X45=1980分鐘，方向向下，

故到2020分鐘，須由(44,44)再向下運動2020—1980=40分鐘,

44-40=4,至1J達(dá)(44,4).

故選：C.

變式2.4

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個整數(shù)點，其順序按圖中方向排列，如(L0),

(2.0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),……,根據(jù)這個規(guī)律探索可得，第120個點的

坐標(biāo)為()

,?(5<)

葉/i

『3)『3)

/1;(32(142)?I(52)

?(Xl)*(3,1)1(4,1)-(5,1)

__,』！」」》

o(L0)(2,0)(3,0)(4,0)(5,0)

A.(16,0)B.(15,14)C.(15,0)D.(14,13)

【答案】C

【解析】

【分析】經(jīng)過觀察每個列的數(shù)的個數(shù)是有規(guī)律的分別有1,2,3,4…，〃個，而且

奇數(shù)列點的順序是由上到下，偶數(shù)列點的順序由下到上，這樣就不難找到第120個

點的位置，進(jìn)而可以寫出它的坐標(biāo).

【詳解】把第一個點(1,0)作為第一列，(21)和(2,0)作為第二列，依此類推，則第

一列有一個數(shù)，第二列有2個數(shù)，…，第〃列有〃個數(shù).則〃列共有駕D個數(shù)，

2

并且在奇數(shù)列點的順序是由上到下，偶數(shù)列點的順序由下到上.

因為120=1+2+3+...+14+15,則第120個數(shù)一定在第15歹1J,由上到下是第15個

數(shù).因而第120個點的坐標(biāo)是(15,0).

答案：C.

【點睛】本題考查了點與坐標(biāo)的關(guān)系，需要細(xì)心觀察才能找到規(guī)律，通過此類題目

的訓(xùn)練可以提高分析問題的能力以及歸納能力，屬于?？碱}型.

題型三：坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用

例3.1如圖，象棋盤上“將”位于點(2,-1),“象”位于點(4,-1),則“炮”位于點()

A.(1,2)B.(2,-1)C.(-1,2)D.(2,1)

【詳解】

如圖所示：“炮”位于點(—1,2),

例3.2如圖所不，三角形/8C三個頂點的坐標(biāo)分別是/(2,—2),B(1,2),C(-2,

-1).求三角形/8C的面積.

X

【詳解】

過點4C分別作平行于y軸的直線，過點48分別作平行于x軸的直線，它們的交點為

D,E,F,得到正方形/OEF,則該正方形的面積為4X4=16

三角形4BD、三角形BCE、三角形NC尸的面積分別是：-xlx4=2,』x3x3=4.5,

22

-xlx4=2.

2

所以三角形/8c的面積為16-2-4.5-2=7.5

變式3.1

7.如圖，若點E的坐標(biāo)為（-1,1）,點F的坐標(biāo)為（2,-1）,則點G的坐標(biāo)為

【答案】8

【解析】

【分析】由點E,點F的坐標(biāo)，先確定坐標(biāo)軸，然后在確定點G的坐標(biāo)即可.

【詳解】由點E的坐標(biāo)為（-1,1）,在第二象限，向右移動1個單位即為y軸，向

下移動1個單位為x軸，建立如圖直角坐標(biāo)系，如圖所示：點G到x軸距離為2,

貝U|y|=2,到y(tǒng)軸的距離也是2,|x|=2,由點G在第一象限，點G的坐標(biāo)為（2,2）,

故選擇：B.

【點睛】本題考查已知點的位置確定坐標(biāo)問題，關(guān)鍵是坐標(biāo)系的建立，利用已知點

平移的辦法找坐標(biāo)軸，掌握點在象限的特征.

變式3.2

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形各個頂點的坐標(biāo)分別為/(-1,3),

3(-3,2),Q-4,0),。(0,0)

(1)求四邊形的面積；

(2)如果把四邊形N8CO各個頂點的橫坐標(biāo)加2,縱坐標(biāo)減1,所得四邊形的面積

又是多少？試畫出四邊形.

【解析】

【分析】(1)把四邊形/8CO分割為兩個三角形和一個直角梯形，然后根據(jù)三角形面

積公式和梯形的面積公式進(jìn)行計算；

(2)由于把四邊形各個頂點的橫坐標(biāo)加2,縱坐標(biāo)減1,則相當(dāng)于把四邊形四

邊形工8。向右平移2個單位，再向下平移1個單位，利用平移的性質(zhì)得到平移后

的四邊形的面積不變.

【詳解】解：(1)四邊形/8CD的面積=ax1x2+5x(2+3)x2+或x1*3=彳；

(2)把四邊形ZBCD各個頂點的橫坐標(biāo)加2,縱坐標(biāo)減1,所得四邊形的面積與原四

邊形的面積相等,為果

如圖，四邊形49為所求.

【點睛】此題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、三角形的面積、圖形平移的性質(zhì)，正確掌握坐

標(biāo)系中圖形面積的割補(bǔ)計算法及圖形的平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

題型四：用坐標(biāo)表示地理位置

利用平面直角坐標(biāo)系繪制區(qū)域內(nèi)一些地點分布情況平面圖的過程如下：

(1)建立坐標(biāo)系，選擇一個適當(dāng)?shù)膮⒄拯c為原點，確定x軸、y軸的正方向：

(2)根據(jù)具體問題確定適當(dāng)?shù)谋壤?，在坐?biāo)軸上標(biāo)出單位長度：

(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出這些點，寫出各點的坐標(biāo)和各個地點的名稱.

①坐標(biāo)表示位置

例4.1如圖是某電視塔周圍的建筑群平面示意圖，這個電視塔的位置用力表示.某人由點8

出發(fā)到電視塔，他的路徑表示錯誤的是(注：街在前，巷在后)()

1街2街3街4街5街6街7街

A.(2,2)-(2,5)-(5,6)B.(2,2)-(2,5)-(6,5)

C.(2,2)-(6,2)-(6,5)D.(2,2)-(2,3)-(6,3)-(6,5)

【詳解】

A選項:由圖象可知(2,2)-(2,5)-(5,6)不能到達(dá)點4正確.

8選項:由圖象可知(2,2)―(2,5)f(6,5)能到達(dá)點4與題意不符.

C選項：由圖象可知(2,2)-(6,2)-(6,5)到達(dá)點Z,與題意不符.

。選項:由圖象可知(2,2)f(2,3)f(6,3)(6,5)到達(dá)點Z正確，與題意不

符.

故選N.

變式4.1

q.如圖是丁丁畫的一張臉的示意圖，如果用（-2,2）表示左眼，用（0,2）表示右眼,

那么嘴的位置可以表示成（）.

A.(1,0)B.(-1,0)C.(-1,1)D,(1,-1)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，由坐標(biāo)系中點的特征解題即可.

【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

嘴的坐標(biāo)為（-1,0）

故選：B.

【點睛】本題考查坐標(biāo)確定位置，其中涉及建立直角坐標(biāo)系，各象限點的坐標(biāo)的特

征等，是常見考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

②用方向角和距離確定物體的位置

例4.2一艘海上搜救船借助雷達(dá)探測儀尋找到事故船的位置，雷達(dá)示意圖如圖所示，搜救

船位于圖中點。處，事故船位于距。點40海里的A處，雷達(dá)操作員要用方位角把事故船相

對于搜救船的位置匯報給船長，以便調(diào)整航向，下列四種表述方式中正確的為（）.

A.事故船在搜救船的北偏東60°方向B.事故船在搜救船的北偏東30。方向

C.事故船在搜救船的北偏西60°方向D.事故船在搜救船的南偏東30。方向

【詳解】

如題圖所示，事故船在搜救船的北偏東30°方向.

故選B.

變式4.2

1（9.如圖，點5相對于點A的方向是（）.

A.南偏東43°B.北偏西47°C,西偏北47°D,東偏南47°

【答案】8

【解析】

【分析】先根據(jù)題意得出N1的角度，再根據(jù)方位即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示：在N的正西方于點C.

N

由題意可得，NC48=43。，

所以，Z1=90°-ACAB=90°-43°=47°,

故由點8相對于點A的方向是：北偏西47。，

故選：B.

【點睛】此題主要考查了方向角，根據(jù)題意得出N1的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

題型五：用坐標(biāo)表示平移

在平面直角坐標(biāo)系中，將點（x,y）向右（或左）平移。個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x

y）（或（x-a,y））；將點（x,y）向上（或下）平移8個單位長度，可以得到對應(yīng)點

（x,夕+6）（或（x,y-b）'）.

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果把一個圖形各個點的橫坐標(biāo)都加（或減去）一個正數(shù)。，相應(yīng)的

新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標(biāo)都加（或

減去）一個正數(shù)“，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度.

①已知圖形的平移求點的坐標(biāo)

例5.1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段N6的兩個端點是工（1,3）,5（2,1）.將線段

沿某一方向平移后，若點A的對應(yīng)點4的坐標(biāo)為（-2,0）,則點8的對應(yīng)點8'的坐標(biāo)為

A.(—3,2)B.(-1,-3)C.(-1,-2)D.(0,-2)

【詳解】

???4(1,3)平移后得到?(-2,0)

橫坐標(biāo)減小3,縱坐標(biāo)減小3,

.?㈤(2-3,1-3)

即方(一1,—2)

故選：C.

變式5.1

工工.如圖所示，41,0)、點B在V軸上，將三角形。48沿x軸負(fù)方向平移，平移后

的圖形為三角形。EC,且點C的坐標(biāo)為(。,加，且”"-2+J2-6-3.

(1)直接寫出點C的坐標(biāo);

(2)直接寫出點￡的坐標(biāo)；

【答案】(1)(-3,2)；(2)(-2,0)

【解析】

【分析1(1)根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)求出。、6值，即可得出答案;

(2)根據(jù)平移的性質(zhì)即可得出點￡坐標(biāo)；

【詳解】解：⑴?.?a="-2+J2-6-3,

:.b—2,a=-3,

:點C的坐標(biāo)為(a，b),

二點。的坐標(biāo)為:(-3,2)；

故答案為:(-3,2)；

(2)???點8在歹軸上，點C的坐標(biāo)為：(一3,2),

，8點向左平移了3個單位長度,

???刈⑼向左平移3個單位得到：（-2,0）

二點E的坐標(biāo)為：（一2,0）,

故答案為：（-2,0）.

【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換-平移、二次根式的性質(zhì)，熟練掌握圖形變換過程

中點的坐標(biāo)特征是解答的關(guān)鍵.

②已知點平移前后的坐標(biāo)判斷平移方式

例5.2將某個圖形的各個頂點的橫坐標(biāo)都減去2,縱坐標(biāo)保持不變，可將該圖形（）

A.向左平移2個單位B.向右平移2個單位

C.向上平移2個單位。.向下平移2個單位

【詳解】

由于圖形各頂點的橫坐標(biāo)都減去2,

故圖形只向左移動2個單位，

故選4

變式5.2

12.在平面直角坐標(biāo)系中，將某個圖象上各點的橫坐標(biāo)都加上3,得到一個新圖形,

那么新圖形與原圖形相比（).

A.向右平移3個單位B.向左平移3個單位

C.向上平移3個單位D.向下平移3個單位

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)把一個圖形各個點的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個整數(shù)a,相應(yīng)的新

圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度可直接得到答案.

【詳解】若將原圖形上的每個點的橫坐標(biāo)都加上3,縱坐標(biāo)保持不變，

則所得圖形的位置與原圖形相比向右平移3個單位，

故選A.

【點睛】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，關(guān)鍵是掌握點的坐標(biāo)的變化規(guī)律：

橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減.

題型六：變量與函數(shù)的概念

在某個變化過程中，有兩個變量X和y,如果給X一個值，N就有唯一確定值與它對應(yīng)，那

么x是自變量，y叫做x的函數(shù).其中x叫自變量，y叫因變量.在一個變化過程中，發(fā)生

變化的量叫變量，有些數(shù)值是不隨變量而改變的，稱它們?yōu)槌Ａ?

自變量，函數(shù)一個與它量有關(guān)聯(lián)的變量，這一量中的任何一值都能在它量中找到對應(yīng)的固定

值.

因變量，隨著自變量的變化而變化，且自變量取唯一值時，因變量有且只有唯一值與其相對

應(yīng).

函數(shù)定義

解：A,由圖像可知，對于x的每一個取值，y不是有唯一確定的值與之對應(yīng)，曲線不能表

示V是X的函數(shù)，符合題意；

B、由圖像可知，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，曲線能表示歹是x的

函數(shù)，不符合題意；

C、由圖像可知，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，曲線能表示V是x的

函數(shù)，不符合題意；

D、由圖像可知，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，曲線能表示V是x的

函數(shù)，不符合題意；

故選：A.

變式6.1

13.如圖，有一個球形容器，小海在往容器里注水的過程中發(fā)現(xiàn)，水面的高度力、

水面的面積S及注水量%是三個變量.下列有四種說法：①S是修的函數(shù)；②k是S

的函數(shù)；③〃是S的函數(shù)；④S是〃的函數(shù).其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】8

【解析】

【分析】由函數(shù)的概念求解即可.

【詳解】①：由題意可知，對于注水量%的每一個數(shù)值，水面的面積S都有唯一值

與之對應(yīng)，所以「是自變量，S是因變量，所以S是憶的函數(shù)，符合題意；

②：由題意可知，對于水面的面積S的每一個數(shù)值，注水量%的值不一定唯一，所

以/不是S的函數(shù)，不符合題意；

③：由題意可知，對于水面的面積S的每一個數(shù)值，水面的高度力的值不一定唯一,

所以人不是S的函數(shù)，不符合題意；

@：由題意可知，對于水面的高度〃的每一個數(shù)值，水面的面積S都有唯一值與之

對應(yīng)，力是自變量，S是因變量，所以S是〃的函數(shù)，符合題意；

所以正確的的序號有①④，

故選：B.

【點睛】此題考查了函數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是熟記函數(shù)的概念.

②求自變量的取值范圍，

函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：

（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

(3)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

例6.2函數(shù)y=X耳中自變量x的取值范圍是()

4X2一38.X2一3且xwlC.xwlDxW—3且

解答：解：??,Jx+3-0,

???x+320,

—3,

Vx-1^0,

.?.xWl,

???自變量x的取值范圍是：X2一3且xWl

故選二

變式6.2

14.函數(shù)y=￡^+(x-2)°的自變量尤的取值范圍是()

A.x>-lB.x>2C.x>-l且x#2D.X*-1且XH2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0,分母不為0以及零次基的底數(shù)不為0,列式計算

即可得解.

【詳解】解：函數(shù)y=7三+(x-2)°的自變量X的取值范圍是：

x+1>0且x—2工0,

解得：x>-l且XH2,

故選：C.

【點睛】本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：

(1)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

(2)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

(3)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù).

③求自變量的值或函數(shù)值

例6.3已知函數(shù)丁=|x-l|+2.

(1)求自變量等于5時的函數(shù)值：

(2)求函數(shù)值等于5時的自變量值.

【詳解】

解：(1)當(dāng)x=5時，^=|5-1|+2=4+2=6；

(2)當(dāng)y=5時，5=|x-l|+2,解得：x=4或-2.

變式6.3

工5.已知變量s與/的關(guān)系式是s=3-12,則當(dāng)，=_2時，s=

【答案】-8

【解析】

【分析】直接把t=-2代入關(guān)系式s=3/-:已計算即可.

2

【詳解】解：當(dāng)t=-2時，s=3x(-2)-7-x(-2)2=-6-2=-8,

2

故答案為：-8.

【點睛】此題主要考查了函數(shù)值，關(guān)鍵是掌握當(dāng)已知函數(shù)解析式時，求函數(shù)值就是

求代數(shù)式的值.

題型七：函數(shù)的表示方法

①用表格表示變量間的關(guān)系，

例7.1下表是某報紙公布的世界人口數(shù)據(jù)情況：表中的變量()

年份19571974198719992010

人口數(shù)30億40億50億60億70億

4僅有一個，是時間(年份)8.僅有一個，是人口數(shù)

C.有兩個，一個是人口數(shù)，另一個是時間(年份)。.一個也沒有

【詳解】

解；觀察表格，時間在變，人口在變，故C正確；

故選：C.

變式7.1

16.某汽車生產(chǎn)廠對其生產(chǎn)的A型汽車進(jìn)行油耗試驗，試驗中汽車為勻速行駛，在

行駛過程中，油箱的余油量y（升）與行駛時間t（小時）之間的關(guān)系如表：

t（小時）0123

y（升）12011210496

由表格中y與t的關(guān)系可知，當(dāng)汽車行駛小時，油箱的余油量為0.

【答案】15

【解析】

【分析】由表格可知油箱中有油120升，每行駛1小時，耗油8升，則可求解.

【詳解】解：由表格可知，每行駛1小時，耗油8升，

,.二=0時,y=120,

油箱中有油120升,

.,.120-8=15小時，

...當(dāng)行駛15小時時，油箱的余油量為0,

故答案為：15.

【點睛】本題考查了變量與常量，注意貯滿120L油的汽車，最多行駛的時間就是油

箱中剩余油量為0的時的t的值.

②用關(guān)系式表示變量間的關(guān)系，

例7.2圓的周長公式是C=2〃r,那么在這個公式中，關(guān)于變量和常量的說法正確的是

（）

42是常量，C、兀、廠是變量B.2^貝是常量，C、r是變量

C2是常量，r是變量D2是常量，C、r是變量

【詳解】

解：圓的周長計算公式是c=2C和『是變量，2、兀是常量，

故選：B.

變式7.2

工7.一名老師帶領(lǐng)x名學(xué)生到動物園參觀，已知成人票每張30元，學(xué)生票每張10

元，設(shè)門票的總費用為y元，則y與x的關(guān)系式為（）.

A.y=10x+30B.y=40xC.y-10x-30D,y=20x

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)總費用=1名老師的門票費用+x名學(xué)生的門票費用解答即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，得：y=10x+30.

故選：A.

【點睛】本題考查了利用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系，找準(zhǔn)題中的等量關(guān)系：總費

用=老師票價+學(xué)生票價是解題關(guān)鍵.

③用圖象表示變量間的關(guān)系.

例7.3為積極響應(yīng)黨和國家精準(zhǔn)扶貧的號召，某扶貧工作隊步行前往扶貧點開展入戶調(diào)

查.隊員們先勻速步行一段時間，途中休息幾分鐘后加快了步行速度，最終按原計劃時間到

達(dá)目的地.設(shè)行進(jìn)時間為/（單位：min）,行進(jìn)的路程為s（單位：m）,則能近似刻畫s與

f之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）

【詳解】

解：根據(jù)題意得，隊員的行進(jìn)路程s（單位：m）與行進(jìn)時間，（單位：min）之間函數(shù)關(guān)系

的大致圖象是

5*0

故選：A

變式7.3

18.今年“五一”節(jié)，小明外出爬山，他從山腳爬到山頂?shù)倪^程中，中途休息了一

段時間，設(shè)他從山腳出發(fā)后所用時間為〃分鐘），所走路程為s（米），s與，之間的

函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法中，錯誤的是（）

A.小明中途休息用了20分鐘

B.小明在上述過程中所走路程為7200米

C.小明休息前爬山的速度為每分鐘60米

D.小明休息前后爬山的平均速度相等

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可知，小明40分鐘爬山2400米，40?60分鐘休息，60-100

分鐘爬山（4800-2400）米，爬山的總路程為4800米，根據(jù)路程、速度、時間之間

的關(guān)系進(jìn)行解答即可.

【詳解】A、小明中途休息的時間是：60-40=20分鐘，故本選項正確；

B、小明在上述過程中所走路程為4800米，故本選項錯誤；

C、小明休息前爬山的速度為粵=60（米/分鐘），故本選項正確；

D、因為小明休息后爬山的速度是塔2^=60（米/分鐘），所以小明休息前后爬

100—60

山的平均速度相等，故本選項正確；

故選B.

【點睛】本題考查了函數(shù)圖象，讀懂函數(shù)圖象，從圖象中獲取必要的信息是解決本

題的關(guān)鍵.

題型八：函數(shù)的圖象

①函數(shù)圖象識別

例8.1一支蠟燭長20厘米，點燃后每小時燃燒5厘米，燃燒時剩下的高度〃（厘米）與燃

燒時間f（時）的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

解：設(shè)蠟燭點燃后剩下/?厘米時，燃燒了f小時，

則人與f的關(guān)系是為〃=20—5/,由關(guān)系是不難發(fā)現(xiàn)，f越大，〃越小，

符合此條件的只有D

故選：D.

變式8.1

13六月P市連降大雨，某部隊前往救援，乘車行進(jìn)一段路程之后，由于道路受阻,

汽車無法通行，部隊短暫休整后決定步行前往，則能反映部隊離開駐地的距離S（千

米）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖像是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖象分析問題.

【詳解】由題意知I,這個過程應(yīng)分為三部分：①從駐地出發(fā)乘汽車走的一段距離,

②部隊休整了一段時間，

③部隊步行的距離；

首先可排除的是D選項；由于部隊是從駐地出發(fā)，那么S的初始值應(yīng)該是0,可以

排除B選項；

由常識知汽車的速度要大于步行的速度，故①的傾斜度要大于③的傾斜度，所以C

選項可以排除；

故選A.

【點睛】考點：函數(shù)的圖象.

②從函數(shù)的圖象獲取信息

例8.2某通訊公司推出三種上網(wǎng)月收費方式.這三種收費方式每月所收的費用y（元）與上

網(wǎng)時間x（小時）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列判斷錯誤的是（）

4每月上網(wǎng)不足25小時，選擇Z方式最省錢

艮每月上網(wǎng)時間為30小時，選擇8方式最省錢

C.每月上網(wǎng)費用為60元，選擇8方式比/方式時間長

D每月上網(wǎng)時間超過70小時，選擇C方式最省錢

【詳解】

解：由題意可知：

/、每月上網(wǎng)不足25小時，選擇力方式最省錢，故本選項不合題意；

B、每月上網(wǎng)時間為30小時，選擇工方式的費用為：30+5X[（120-30）+（50-25）]

=48（元），8方式為50元，C方式為120元，所以選擇4方式最省錢，故本選項符合題意;

C、每月上網(wǎng)費用為60元，選擇8方式比4方式時間長，故本選項不合題意；

D、每月上網(wǎng)時間超過70小時，選擇C方式最省錢，故本選項不合題意；

故選：B.

變式8.2

2。如圖是某人騎自行車出行的圖象，從圖象中可以得到的信息是（)

A.從起點到終點共用了50機(jī)，〃B.20~30加〃時速度為0

C.前20min速度為4km/hD.40min與5Qmin時速度是不相同的

【答案】8

【解析】

【分析】分別根據(jù)函數(shù)圖象的實際意義可依次判斷各個選項是否正確.

【詳解】A、從起點到終點共用了60加加，故本選項錯誤；

B、20?30加"時速度為0,故本選項正確；

C、前20min的速度是5km/h,故本選項錯誤；

D、40"〃力與50min時速度是相同的，故本選項錯誤.

故選：B.

【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的讀圖能力.要理解函數(shù)圖象所代表的實際意義是什

么才能從中獲取準(zhǔn)確的信息.

③用描點法畫函數(shù)圖象

描點法畫函數(shù)圖像的步驟：1.列表2.描點3.連線

指出以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象.

r

"rrrTTtnnT

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【詳解】

如圖:

變式8.3

21.已知一根長為20m的鐵絲圍成一個長方形，若寬為X,長為九

（1）寫出n關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）畫出所對應(yīng)的函數(shù)圖象.

【答案】（1）V=10-x,（2）畫圖見解析

【解析】

【分析】（1）利用長方形的周長公式可直接列出函數(shù)關(guān)系式；

（2）先求解自變量x的取值范圍，再利用描點法畫函數(shù)圖象即可得到答案.

【詳解】解：（1）由題意得：2（x+y）=20,

y=10-x,

(2)vy=10-x,

\x>0,且10-x>0,

解得：0VXV10,

列表：

X010

y=10-x100

【點睛】本題考查的是列一次函數(shù)關(guān)系式，利用描點法畫一次函數(shù)的圖象，求解自

變量的取值范圍是易錯點.

④動點問題的函數(shù)

例8.4如圖，矩形488中，AB=\,8c=2,點P從點8出發(fā)，沿8-C-。向終點。勻

速運動，設(shè)點尸走過的路程為x,的面積為S,能正確反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖

象是（）

【詳解】

解：由題意知，點P從點8出發(fā)，沿8-C-O向終點。勻速運動，則

當(dāng)0<xW2,s=—x,

2

當(dāng)2vxW3,s=1,

由以上分析可知，這個分段函數(shù)的圖象開始是直線一部分，最后為水平直線的一部分.

故選：C.

變式8.4

22.如圖，在矩形N8CD中，AB=\,BC=2,動點P從點C出發(fā)，沿路線C—。一工

作勻速運動，那么aBC尸的面積S與點P運動的路程x之間的函數(shù)圖象大致是()

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)點P在線段CD、線段DA兩種情況確定S關(guān)于P的變化規(guī)律，確定

出當(dāng)點P與點D重合時，S的值即可判斷.

【詳解】解：當(dāng)點P在線段CD上運動時，4BCP的面積S隨x的增大而增大，

當(dāng)點P與點D重合時，SABCP=-XBCXCD=-x2x1=1,

22

當(dāng)點P在線段DA上運動時，4BCP的面積S不隨x的變化而變化，

所以符合題意的是B,

故選B.

【點睛】本題主要考查動點問題的函數(shù)圖象和矩形的性質(zhì)，能根據(jù)點P的不同位置

確定出變化趨勢，且求出特殊點的值是解決此類問題的關(guān)鍵.

實戰(zhàn)練：

23.已知有序數(shù)對(2xT,5-3y)表示出的點為(5,2),則x=,y=

【答案】①.3,②.1

【解析】

【分析】根據(jù)有序數(shù)對表示的點的意義，可得關(guān)于X、夕的方程，解方程可得答案.

【詳解】解：由2x-l=5,得x=3；由5-3尸2,得產(chǎn)1.

【點睛】本題考查了有序?qū)崝?shù)對的意義，利用有序數(shù)對表示的點的意義列出關(guān)于X、

y的方程是解題關(guān)鍵.

24.已知點A在x軸上方，y軸左側(cè)，到x軸的距離是3,到y(tǒng)軸的距離是4,那

么點A的坐標(biāo)是.

【答案】（一4,3）.

【解析】

【分析】到x軸的距離表示點的縱坐標(biāo)的絕對值；到y(tǒng)軸的距離表示點的橫坐標(biāo)的

絕對值.

【詳解】解：根據(jù)題意可得點在第二象限，第二象限中的點橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)

為正數(shù).

所以點A的坐標(biāo)為（一4,3）

故答案為：（一4,3）.

【點睛】本題考查點的坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

2S.平面直角坐標(biāo)系中，已知點A的坐標(biāo)為（〃?，3）.若將點A光向下平移2個單位,

再向左平移1個單位后得到點8（1，〃），則〃?+〃=

【答案】3

【解析】

【分析】先寫出點A向下平移2個單位后的坐標(biāo)，再寫出向左平移1個單位后的坐

標(biāo).即可求出〃?、n,最后代入〃?+“即可.

【詳解】點A向下平移2個單位后的坐標(biāo)為（陽，3-2）,即（加,1）.再向左平移1個單

位后的坐標(biāo)為（〃?-U）.

m+n=2+1=3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查坐標(biāo)的平移變換以及代數(shù)式求值.根據(jù)坐標(biāo)的平移變換求出〃7、〃

的值是解答本題的關(guān)鍵.

26.將點P（加-1,2加+4）向上平移2個單位后落在x軸上，則加=—.

【答案】-3

【解析】

【分析】點坐標(biāo)向上平移2個單位，就是縱坐標(biāo)加上2,落在x軸上，就是縱坐標(biāo)

為0,求出m的值.

【詳解】解：點m+4）向上平移2個單位得尸'（掰-1,2機(jī)+6）,

???平移后落在x軸上，

2/?+6=0,解得m——3.

故答案是：-3.

【點睛】本題考查點坐標(biāo)的平移，解題的關(guān)鍵是掌握點坐標(biāo)平移的方法.

27.點A（n+2,1-n）不可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】確定出n+2為負(fù)數(shù)時，1-n一定是正數(shù)，再根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征解

答.

【詳解】解：當(dāng)n+2<0時，n<-2,所以，l-n>0,即點A的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)時，

縱坐標(biāo)一定是正數(shù)，所以，點A不可能在第三象限，有可能在第二象限；

當(dāng)n+2>0時，n>-2,所以，1-n有可能大于0也有可能小于0,即點A的橫坐

標(biāo)是正數(shù)時，縱坐標(biāo)是正數(shù)或負(fù)數(shù)，所以，點A可能在第一象限，也可能在第四象

限：

綜上所述：點A不可能在第三象限.

故選：C.

【點睛】本題考查了各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征，記住各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號

是解決的關(guān)鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）;

第三象限（-,-）；第四象限（+,-）.

2

28.已知函數(shù)^=-自變量x的取值范圍是()

x+2

A.xW2B.xW-2C.x>-2D.x>2

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)分母不為零函數(shù)有意義，可得答案.

【詳解】解：由題意，得

x+2和，

解得H-2.

故選：B.

【點睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，利用分母不為零得出不等式x+2邦是

解題關(guān)鍵.

2

2Q.函數(shù)~~八自變量x的值可以是()

x(x+l)(x-2)

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)分母不能等于零，可得答案.

【詳解】解:由題意，

xY0

得卜+1H0,

x—2H0

XHO

解得1,

xw2

故選C.

【點睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，利用分母不能等于零得出不等式是解

題關(guān)鍵.

5(9.點P的坐標(biāo)是(2-a,3a+6),且點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則點尸坐標(biāo)是()

A.(3,3)B.(3,-3)C.(6,-6)D.(3,3)或(6,-6)

【答案】P

【解析】

【分析】由點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，建立絕對值方程|2-。|=|3。+6],再解方程

即可得到答案.

【詳解】解：???點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，

|2-4=|3<?+6|,

2—a=3a+6或2—a+3a+6=0,

當(dāng)2-a=3a+6H、j,-4a-4,

a=-1,

；.尸(3,3),

當(dāng)2-。+3a+6=0時,

a=-4,

???尸(6,-6),

綜上：P的坐標(biāo)為：尸(3,3)或P(6,—6).

故選D.

【點睛】本題考查的是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)特點，點到坐標(biāo)軸的距離與坐標(biāo)

的關(guān)系，一元一次方程的解法，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

31.已知函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-2x+3,當(dāng)自變量x增加1時-，函數(shù)值()

A.增加1B.減少1C.增加2D.減少2

【答案】P

【解析】

【分析】本題中可令x分別等于a,a+1；求出相應(yīng)的函數(shù)值，再求差即可解決問題.

【詳解】令x=a,則y=-2a+3；令*=2+1,則y=-2(a+1)+3=-2a+l所以y減少2：

故選D.

【點睛】本題只需進(jìn)行簡單的推理即可解決問題.

32.矩形的周長為18cm,則它的面積S(cm2)與它的一邊長x(cm)之間的函

數(shù)關(guān)系式是()

A.S=x(9-x)(0<x<9)B.S=x(9+x)(0<xW9)

C.S=x(18-x)(0<xsJ9)D.S=x(l8+x)(0<x<9)

【答案】A

【解析】

【分析】易得矩形另一邊長為周長的一半減去已知邊長，那么矩形的面積等于相鄰

兩邊長的積.

【詳解】由題意得：矩形的另一邊長為上等=9-x,

2

所以S=x(9-x)(0<x<9).

故選A.

【點睛】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；掌握矩形的邊長與所給

周長與另一邊長的關(guān)系是解決本題的突破點.

33.如圖，動點P從點Z出發(fā)，按順時針方向繞半圓。勻速運動到點8,再以相同

的速度沿直徑BA回到點/停止，線段OP的長度d與運動時間t的函數(shù)圖象大致是

()

d

A./~\

0

d

C.-----X/

0

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)P點半圓O、線段OB、線段0A這三段運動的情況分析即可.

【詳解】解：①當(dāng)尸點半圓。勻速運動時，。尸長度始終等于半徑不變，對應(yīng)的函

數(shù)圖象是平行于橫軸的一段線段，排除4答案；

②當(dāng)P點在。8段運動時，0P長度越來越小，當(dāng)P點與。點重合時。P=0,排

除C答案；

③當(dāng)。點在04段運動時，。。長度越來越大，5答案符合.

故選艮

【點睛】木題主要考查動點問題的函數(shù)圖象，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.

54.象棋在中國有著三千多年的歷史，由于用具簡單，趣味性強(qiáng)，成為流行極為廣

泛的益智游戲.如圖，是一局象棋殘局，已知表示棋子“隼”的點的坐標(biāo)為棋

子“炮”的點的坐標(biāo)為（L3）,則表示棋子“焉”的點的坐標(biāo)為（）

A.（-4,3）B.（3,4）

C.（-3,4）D.（4,3）

【答案】P

【解析】

【分析】直接利用已知點的坐標(biāo)確定原點的位置，進(jìn)而得出棋子，焉”的點的坐標(biāo).

由題意可得，“帥”的位置為原點位置,

則棋子“焉”的點的坐標(biāo)