湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡外國(guó)語學(xué)校2021年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡外國(guó)語學(xué)校2021年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若，二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為20，則定積分的最小值為（

）A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：C【分析】由二項(xiàng)式定理展開項(xiàng)可得，再利用基本不等式可得結(jié)果.【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為當(dāng)時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)為而定積分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故選B【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，定積分和基本不等式綜合，熟悉每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.2.“勾股圓方圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽設(shè)計(jì)的一幅用來證明勾股定理的圖案，如圖所示在“勾股圓方圖”中，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形。若直角三角形中較小的銳角滿足，則從圖中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)落在陰影部分的概率是A.

B.

C.D.參考答案：D3.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6∶S3＝1∶2，則S9∶S3等于()A．1∶2

B．2∶3C．3∶4 D．1∶3參考答案：C4.設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：D5.已知奇函數(shù)與偶函數(shù)滿足，且，則的值為A.

B.

2

C.

D.參考答案：D17.錢大姐常說“好貨不便宜”，她這句話的意思是：“好貨”是“不便宜”的（

）（A）充分條件

（B）必要條件（C）充分必要條件

（D）既非充分又非必要條件參考答案：A7.在中，，則

的值是

（

）

參考答案：B略8.已知函數(shù)且在上的最大值與最小值之和為，則的值為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略9.秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入x的值為5，則輸出v的值為A. B. C. D.參考答案：B【分析】依次運(yùn)行程序框圖中的程序，直到不滿足條件，停止運(yùn)行，輸出結(jié)果.【詳解】依次運(yùn)行程序框圖中的程序，可得①滿足條件，；②滿足條件，；③滿足條件，；……⑨滿足條件，；⑩滿足條件，．而不滿足條件，停止運(yùn)行，輸出．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了秦九韶算法的程序框圖，考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于中檔題.10.已知三棱錐的底面是正三角形，其正視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f(x)＝lg(x－1)的定義域?yàn)開_______．參考答案：(1，＋∞)12.某校有教師200人，男學(xué)生1200人，女學(xué)生1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取—個(gè)容量為的樣本，已知從女生中抽取的人數(shù)為80，則等于

·參考答案：19213.已知函數(shù)f（x）=，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是．參考答案：（10，15）【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，根據(jù)f（a）=f（b）=f（c），可得﹣lga=lgb=﹣c+3∈（0，1），即可求出abc的范圍．【解答】解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，不妨設(shè)a＜b＜c，則∵f（a）=f（b）=f（c），∴﹣lga=lgb=﹣c+3∈（0，1）∴ab=1，c∈（10，15），∴abc=c∈（10，15）．故答案為：（10，15）．14.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為______________參考答案：15.已知在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點(diǎn)O，則三棱錐O﹣PAB的體積不小于的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，利用對(duì)應(yīng)的體積比值求出對(duì)應(yīng)的概率．【解答】解：如圖所示，AD、BC、PC、PD的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，當(dāng)點(diǎn)O在幾何體CDEFGH內(nèi)部或表面上時(shí)，V三棱錐O﹣PAB≥；在幾何體CDEFGH中，連接GD、GE，則V多面體CDEFGH=V四棱錐G﹣CDEF+V三棱錐G﹣DEH=，又V四棱錐P﹣ABCD=，則所求的概率為P==．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體體積的計(jì)算問題，也考查了幾何概型的應(yīng)用問題，是綜合性題目．16.已知函數(shù)，，則________．參考答案：－2解答：，，∴，∴.

17.已知點(diǎn)在曲線上，為曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角，則的取值范圍是___________________參考答案：或，即切線的斜率為，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，即的取值范圍是。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在三棱錐S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在SE上，且SF=2FE．（1）求證：AF⊥平面SBC；（2）在線段上DE上是否存在點(diǎn)G，使二面角G﹣AF﹣E的大小為30°？若存在，求出DG的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（1）通過證明AF與平面SBC內(nèi)的兩條相交直線垂直即可；（2）抓住兩點(diǎn)找到問題的求解方向：一是點(diǎn)G的預(yù)設(shè)位置，二是二面角G﹣AF﹣E的位置，計(jì)算即可．【解答】（1）證明：由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC的中點(diǎn)，得．因?yàn)镾A⊥底面ABC，所以SA⊥AE．在Rt△SAE中，，所以．因此AE2=EF?SE，又因?yàn)椤螦EF=∠AES，所以△EFA∽△EAS，則∠AFE=∠SAE=90°，即AF⊥SE．因?yàn)镾A⊥底面ABC，所以SA⊥BC，又BC⊥AE，所以BC⊥底面SAE，則BC⊥AF．又SE∩BC=E，所以AF⊥平面SBC．（2）結(jié)論：在線段上DE上存在點(diǎn)G使二面角G﹣AF﹣E的大小為30°，此時(shí)DG=．理由如下：假設(shè)滿足條件的點(diǎn)G存在，并設(shè)DG=t．過點(diǎn)G作GM⊥AE交AE于點(diǎn)M，又由SA⊥GM，AE∩SA=A，得GM⊥平面SAE．作MN⊥AF交AF于點(diǎn)N，連結(jié)NG，則AF⊥NG．于是∠GNM為二面角G﹣AF﹣E的平面角，即∠GNM=30°，由此可得．

由MN∥EF，得，于是有，．在Rt△GMN中，MG=MNtan30°，即，解得．于是滿足條件的點(diǎn)G存在，且．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何圖形中線面關(guān)系的平行或垂直的證明及空間角的計(jì)算，考查空間想象能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．19.已知集合（1）若，求的取值范圍.（2）當(dāng)取使不等式恒成立的最小值時(shí)，求（）.參考答案：解：或（1）當(dāng)時(shí)，，所以或.（2）由，得依題意知，，則，即的最小值為-2.當(dāng)時(shí)，或所以，故（.20.已知函數(shù)f（x）=8a2lnx+x2+6ax+b（a，b∈R） （1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2x，求a，b的值； （2）若a≥1，證明：?x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＞14成立． 參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程． 【分析】（1）求導(dǎo)，由題意可知，即可求得a，b的值； （2）利用分析法，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得結(jié)論． 【解答】解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)f′（x）=+2x+6a， 由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2x，則， 解得：或， 則a，b的值0，1或﹣，； （2）證明：①當(dāng)x1＜x2時(shí)，則x2﹣x1＞0，欲證：?x1，x2∈（0，+∞），都有＞14成立， 只需證?x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣f（x1）＞14（x2﹣x1）成立， 只需證?x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立， 構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）﹣14x，則h′（x）=2x++6a﹣14， 由a≥1，則h′（x）=2x++6a﹣14≥8a+6a﹣14≥0， ∴h（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，則h（x2）＞h（x1）成立， ∴f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立，則＞14成立； ②當(dāng)x1＞x2時(shí)，則x2﹣x2＜0， 欲證：?x1，x2∈（0，+∞），都有＞14成立， 只需證?x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣f（x1）＞14（x2﹣x1）成立， 只需證?x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立， 構(gòu)造函數(shù)H（x）=f（x）﹣14x，則H′（x）=2x++6a﹣14， 由a≥1，則H′（x）=2x++6a﹣14≥8a+6a﹣14≥0， ∴H（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，則H（x2）＜H（x1）成立， ∴＞14成立， 綜上可知：?x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＞14成立． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查分析法證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題． 21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)的圖