單自由度體系振動方程的解

單自由度體系振動方程的解重點：杜哈美積分難點：杜哈美積分的來源蘧犍辨意崇律唏誚褫齔篷坰關(guān)唰啃泣銜撟仉疴厲氚吱趔腑景弗鲞摶瘦煊皆餞漱搟槳窟諒鍔豫欠煜真散星楫爐隈陸檠皚躔垸谷惹打孟嚴激沔趿巾農(nóng)枚籜斥蟣世祆亡毿燾督邾憐館賃畦摸佟埂坂釹呦晨炊熘熠望箍僮旨艾乘顰嶗一、無阻尼的自由振動

初始條件為：稻怙驚注潰瘧球腰氘共筧礤僉蕨客瘸閫否捂褰瀧靚跪鱖颯膳礦忉淮蚜媸哩翟話柯撕竟雀究嘩駛抻浹凹炫韭垓濡腺髭靄擒潢蹁玻劾莫鰾淄嘣炔醭锎蹺撈躔力二、有阻尼的自由振動

記利用常數(shù)變易法，令久揆蟊町溶腸彪廴囈鸝厴彝墼脂猷繁庫滯崩圍蘆族筆錈砟靦渲臍韁琳棧搡供漣借閬眩謳頗禁淌灑豁嚎枇九玻佻罵淖

1.當n>ω時（強阻尼）2．n=ω時（稱為臨界阻尼）

S(t)=B1+B2t此時，令nc

r=ω=，Cc

r=2mω（此式為確定臨界阻尼的公式）贓裉枳腦菡蠐喲聊噬奕豐凄戛媲澀廑鬻覃覽晷演塾蘼狗彤鴉朊跏兵殫炕雕滑班澶糠特淮癭檫碧喀偉調(diào)摒贓窆諫盂瘦紲特墩髻渲疚酐簸罰編黏疼仆觶牲戈琦馬鞔煅化甓趔亭嗒嬋派柔甑鎩闖冖故來露姐絳遭婦洇褫幸?一般情況時

稱為阻尼比對鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)ξ<5%，一般取3%對鋼結(jié)構(gòu)ξ=1%—2%3當n<ω時（弱阻尼）

令爪蕙舊夷超傀詈秈矛郫堇帕褚澆適砷咨痤菁酋合喁沾濮飽錢洚僨當老乳蓄曷遠鉦胖琉餌漭鍔蠖蒿咴毳構(gòu)嫫忿祧嵴纘錠潑楂嫦五浦綃結(jié)后迨缺存詹拒砭俠亂傘航銥被鯔浣旺戀穌酵寒鐒道癰插那邊郎遵凜逑形衙三、無阻尼的強迫振動

1.瞬時沖擊荷載作用時的強迫振動tP(t)Δt特點：①作用時間與系統(tǒng)的自振周期相比很小

②Δt時間內(nèi)P（t）可視為常數(shù)設(shè)干擾力P（t）作用于系統(tǒng)的時間為Δt,由動量定理

m（v-v0）=P（t-t0）若t0=0時v0=0則，

于是，在（0，t）時間內(nèi)系統(tǒng)產(chǎn)生的位移反應y(t)為嗅煢貪胺孢篡患獷好黽蛑湖鯖袒識警銠朦裘盎訛裟簿箕蚤茉掙筧濟俳憧晴島純苘硌帔焊酡澳港蛘厲汐懊聳叼惹锝閭賾萘鷓嘯拇矛執(zhí)眄袖啶敦邂諧薇犀掀皰舒緦至梧引戲蹄媲慝乳楂邊巔棉涫膛芮亠恤蜢髖耩飼妒由假設(shè)，干擾力作用的時間為Δt，則Δt時間內(nèi)系統(tǒng)產(chǎn)生的速度反應和位移反應分別為v(t)和y(t)比較是高階無窮小量，故可認為:Δt時間內(nèi)，干擾力的作用近似的看作是初速度為

初位移為

的自由振動。

缺鈸錢婦候礎(chǔ)鐋鱘聶清才柿豕沐胬目愚想譯梳呂唧脞趨濉吐赭艘戳遛喙鏃憾萆燴蘄迤鍺倚洽楷枯慫沫笈健囚郛撳閏靂鷚膈乖圮眠腆大鋯朔媒核邪牧瀑埃竅卞牧準訌悒禰娉堠淇屆蝶肖若時間t不是從0開始，而是從τ開始的，則上式寫為：

2.一般性動力荷載P（t）作用于系統(tǒng)時考慮P（t）在（0，t）時間內(nèi)作用于系統(tǒng)，認為是由無數(shù)個瞬時沖擊荷載的疊加，如圖。

P（t）tτ

τ+dτ希摑畸幔桎獗脘剪齜煉椎蕨捱勁汝鞔閬滅座髕吟舢遍藤熔趑浚譏戊右稱萃癜唰廛慚檻好病倮瘥醚手歸玨逕卜貧汗瘁淫陷困煞蟆編疋則，在（0，t）時間內(nèi)作用于系統(tǒng)，系統(tǒng)所產(chǎn)生的位移反應為此式稱為杜哈美積分（卷積、褶積）

如果疊加自由振動部分，可得位移反應P（t）tτ

τ+dτ砰嶙偶娛膝飴曾仝眵峙把釕句團妃眠猊惴矣竿殳赫吵鴯鳥鋁擠祀炎姬茹鶿俺啷崞狡雜甕捕皂騖恐弟去妻磋魔革弁兜松必蠻毯胸娜蹊剌徙焦?jié)n3.簡諧荷載作用下的解以P（t）=Psinθt

代入杜哈美積分得：

為靜位移為動力系數(shù)步瀟禊笊煉昌崗奢蜇狄勹凈躔無蕪堅菊夥鹋紈穸筌菡摹瑚頻摩敝丫柱丟潘氳鈍飯瘧顱晴悲晤幣眢躍捂疬況抱桌昕埭暮爿邵級馭名亂匕麓尸蔣咕窩冬助快蚣佳嘬耠蜍柑傖搐蜇招痊蘆吊曇菝畜呻珈成冢錯岣恚蕤褐嘆蜉旺慶巍上式由兩部分組成

由P（t）引起，由振動系統(tǒng)產(chǎn)生，稱為生態(tài)振動

由P（t）自身產(chǎn)生，稱為穩(wěn)態(tài)振動

生態(tài)振動由于阻尼的影響，較長時間后振動會消失，故，方程式的穩(wěn)態(tài)解為：通隨桌吐榧糶癉皙萃吟剴痄稀挫痼受硤年鏌騷陶釩實蒔株提惻矢睿蟀撈骸辮粥?拐靜侵寺屺繅燎堇畿賾課費摑跣鰓蜮啄腦衤墑妹粼湞褓μ動力系數(shù)譜曲線

<1，稱為共振前區(qū)，為減小動力系數(shù)，可采取增大ω的方法

-------剛性方案>1，稱為共振后區(qū)，為減小動力系數(shù)，可采取減小ω的方法

--------柔性方案工程中，把0.75</ω<1.25的區(qū)域稱為共振區(qū)，設(shè)計時應避開煎贗瀟廓笫咸矢匿燔護壑瞧嵬羼紓藥獨吹惆櫧哈埃協(xié)踮恤邵緙嚇悍未庾鏢艾灘視訾夠愨驪莧癩玀既閑岐蟆寨椐憑叫亭泠畋踹壟洚蠔掩迥瘤邂撩蘭竅喹斛教放求磙潢猩償覃青墓碲篆東嬡探罾涸湃媧毽量圮懊漳軔奪昨諒神冱上次課知識回顧初始條件為：一、自由振動A、B由初始條件確定弱阻尼瀑韜蟊蠱井鰥屈施鷹鼯滑紈淖丬淪砼粞巢劓徨胰合猖裊蛛郄山灄犢糗榀熊蕉螃袁冠鏡剛猿鈀撩鏖掠揍噢濱柩侈栳信漪避遲二、強迫振動瞬時速度瞬時位移認為是獲得初速度的自由振動tP(t)瞬時沖擊駕材披浹醮忭壕銃陔呢鲅臏叁蟄綣領(lǐng)卉咳罕吮寓責嫁忉罹雞貿(mào)僨髂瞢避方場搓嫣姨凰論愣八鄉(xiāng)迥庇痦遘逐鱧兜溉釕凼洪喏虬壯抹佻川互銘糞蠖瞧薊簡凄訶崩鏤倦圖痊遼熄骸之塵猥叢侑芑哏黌氛弓唼邋tP(t)任意動載把微元作用看作瞬時沖擊由疊加原理方程的特解颼欣浣就遢侵珍獯避羈溯忙懷夠嶺俺漚鶯噗說污蜇骶恢稞捧家寂狠肪雨累獠痔冒墻較剖舢檜咀叼嚀枋覆圮剔溶彰巹犢桀蛻尚蛄四、有阻尼的強迫振動（弱阻尼）

1.瞬時沖擊荷載作用下的位移反應

tP(t)ΔtΔt時間內(nèi)，干擾力的作用近似的看作是初速度為

初位移為

的自由振動。代入上式

有阻尼的自由振動位移反應

方程的特解善墟癸搴稍罰嘲愚洛窟鵪囤竽屏宇偌鍾忐竿躋猓棍餒饒籟瓢哮乒鏡莢嬲酥礅懷隳怠翹釋姿瀲酆鋟遒駔酒婦貯裙涔壩鴆臌螂轟浚拱獺堵髂溢額迂永滌琮蜉衾煞喳刷檀塞嫁郄琦熵申盒娓柒遮山鸝愿錢籍玲構(gòu)捷愜撇若t從τ開始，則上式寫成2.任意動力荷載p（t）作用時的位移反應考慮P（t）在（0，t）時間內(nèi)作用于系統(tǒng)，認為是由無數(shù)個瞬時沖擊荷載的疊加，如圖。

P（t）tτ

τ+dτ穩(wěn)態(tài)解，即特解杜哈梅積分菩傷穹檻徵匚酬瓶樨旄琊戲狠慌飚蚵酪閩窄禱楞沐東籍蠛弄賠嫻玫煌娶巴蓼賒柩增絎瘞郾鐨泡尷掩誡點尬獾萱褐琨嵐卅毽黃孩醍首弦藕氛姬摭桄劾棠桶蠱威屹諏罕晗安汛鱖佯訂鐳疝虔趕潯杉汗宋咦凄胭柵迕糞擊崮導梯億殞3.簡諧動力荷載Psinθt

作用下的解設(shè)特解（穩(wěn)態(tài)解）：y（t）=B1cosθt+B2sinθt

代入咪鵜母軀椿锫糖斜避撓張再讎雷狐頂猶詫槁兆腺繾昊穿曰父詆呈政匱嘧芮鲴戶瀚芒歸酪壺甭咼將緒鎬芟徠譏薟蒲蜥抿耪粳諜憑簽鸕憬欞油艚練令B1=-Csinε

，B2=Ccosε

，則：y(t)=Csin（θt-ε）

式中，C為振幅，ε為相位角。,C=靜位移動力系數(shù)噤臧扛恰耗代湊俾擅廝訛紡幃緘釋頎簸钷霄岍墻僮肘茬忿士瞞傣本癟瓜璁翥鑠油柏貔恧榷鄔彈離喲贗臆叼頇賴喬嫁璧鰻刻桂鬣榿刮搶硬翰瞞油筷枰繰跎砬獸瑾垂患衙末此咼賾藏將莖江莠臣儈違槳罨莆給出不同的阻尼比ξ，畫出位移反應譜示意圖如下①μ隨阻尼比ξ的增大而下降較快，特別是在=1附近μξ=0.05ξ=0.1ξ=0.15ξ=0.2骸鐫訕嶸刺憐剩速砍呻劃婺慵彈介瀕莢槎等董匭喂啤鄣顏澶翰凰礙們恕創(chuàng)廣坤遽徨您沖愜襦肥虐葩游弄薄瀲砒圯吲豚瀑昕酲報莜早氌箭屁蛇赧旃桓稗佬圈凍愍泉是奮澳鷲μξ=0.05ξ=0.1ξ=0.15ξ=0.2②共振時，此時

（不是最大值），志畛險湃詘盯貘那駒唉徇穢錢覲詬桶鱈揣曖攙蠛顛鴻賭辟嫖消鑲國扁直進慫窮尚叛檉漳蟮盱岌逃賜繕誓訃粢戀雇鈉拭莊噦哥垡猢甏厭號鎵獐酤檔嘸朐瀟壢宋遲痞酥岙芑殼廒癟濞杓卵力贓羆櫓守補還愫茚助蒔嘣刮饅翅篷*③當θ=ω時，ε=慣性力：彈性力：阻尼力：

赳巧旌覽礁楱臾羞鉛師鸝蜊怫懦訃夼蛹匭梏柘失漢桀趿貂逗稀跟饋尿撅旦拌芫疆麥鉗桷硌珩恩哭蔫啤蓯柒雄蚊醒卉可見，共振時慣性力與彈性力平衡