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文檔簡介
專訓(xùn)十四、線段的垂直平分線應(yīng)用
1.(2022?武漢六中上智中學(xué)月考)如圖,己知」48c的三條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)/,三邊的
垂直平分線相交于點(diǎn)0.若口50。=148。,則口以。:()
A.120°B.125°C.127°D.132°
2.(2022?湖南永定?期中)如圖,A5C中,DE是AC的垂直平分線,AE=4cm,AABD
的周長為16cm,則一A6c的周長為()
B.24cm
C.26cmD.36cm
3.(2022?海南海口?初三三模)如圖,在2kABC中,DE垂直平分AC,若BC=6,AD=4,
則BD等于()
2C.2.5D.3
4.(2022?長沙市望城區(qū)郡維學(xué)校初二月考)如圖,A5C中,A3=io,AC=4,點(diǎn)O
在邊BC上,OD垂直平分BC,AD平分/BAC,過點(diǎn)D作DMJ_A8于點(diǎn)M,則BM=()
A.3B.4C.5D.6
5.(2022?黑龍江南崗?期中)如圖,DE是AB的垂直平分線,D是垂足,DE交BC于E,若
BC=32,AC=18,則aAEC的周長為
6.(2022?山西月考)如圖,在AABC中,AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,如果AC=5cm,
BC=4cm,那么zsDBC的周長為cm.
7.(2022?二連浩特市第二中學(xué)期中)如圖,Z\ABC中,AC=25cm,DE垂直平分AB,垂足
為E,交AC于D,若ADBC的周長是35cm,則BC邊的長為.
8.(2022?廈門市瑞景中學(xué)期中)如圖,在④ABC中,AB^AC,ABAC=55°,ABAC
的平分線與A3的垂直平分線交于點(diǎn)。,將NC沿用(E在上,尸在AC上)折疊,
點(diǎn)C與點(diǎn)。恰好重合,則ZOEC為度.
9.(2022?廈門市瑞景中學(xué)期中)如圖,在...ABC中,AB=AC,3C=4,面積是10,AC
的垂直平分線EF分別交AC,A3邊于E,尸點(diǎn),若點(diǎn)。為邊的中點(diǎn),點(diǎn)M為線段
EF上一動(dòng)點(diǎn),則7CDM周長的最小值為.
10.(2022?常州市武進(jìn)區(qū)星辰實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考)如圖,在ABC中,AB、AC邊的垂直平分
線分別交BC邊于點(diǎn)M、N.若BMZ+CN'MM,貝ijNBAC=°,
11.(2022?廣西民族大學(xué)附屬中學(xué)初二月考)如圖,AABC中,AB=11,AC=5,UBAC的
平分線與邊BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D分別作DE1AB,DFnAC,垂足分別為E、
F,則BE的長為.
ER
專訓(xùn)十四、線段的垂直平分線應(yīng)用
1.(2022?武漢六中上智中學(xué)月考)如圖,已知EIN5C的三條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)/,三邊
的垂直平分線相交于點(diǎn)。若口5。。=148。,貝!()
A.1200B.1250C.127°D.132°
【答案】C
【解析】
【分析】
連接OA,根據(jù)點(diǎn)。為各邊中垂線的交點(diǎn),可得NBAC=74°,再根據(jù)/8C的三條內(nèi)角平
分線相交于點(diǎn)I,即可求解.
:點(diǎn)O為各邊中垂線的交點(diǎn)
/.OB=OC=OA
AZCBO=ZBCO,ZBAO=ZABO,ZCAO=ZACO
又?.?NBOC=148°
???ZOBC=ZOCB=16°
ZBAC=ZBAO+ZCAO
=g(NBAO+—ABO+NCAO+NACO)
=g(180。—NO5C—N0C6)
=74°
???Q48C的三條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)I
/BIC=180°-(/IBC+NICB)
=180°-1(180°-ZBAC)
=127°
故選:C.
【點(diǎn)睛】
此題主要考查線段的垂直平分線性質(zhì)和角平分線性質(zhì),熟練進(jìn)行邏輯推理是解題關(guān)鍵.
2.(2022?湖南永定?期中)如圖,ABC中,DE是AC的垂直平分線,AE=4cm,△AB。
的周長為16cm,則..A6C的周長為()
A.20cmB.24cm
C.26cmD.36cm
【答案】B
【解析】
【分析】
先根據(jù)垂直平分線的定義與性質(zhì)可得AE=CE,AD=CD,再根據(jù)三角形的周長公式即可
得.
【詳解】
?!笆茿C的垂直平分線,R.AE=4cm,
AE=CE=4cm,AD=CD,
:.AC=AE+CE-8cm,
ABD的周長為16CT?Z,
:.AB+BD+AD-16cm,
/.AB+BD+CD-16cm,即AB+BC=16cm,
ABC的周長為AB+BC+AC=16+8=24(cw),
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了垂直平分線的定義與性質(zhì)、三角形的周長公式等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握垂直平分線的
定義與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
3.(2022?海南海口?初三三模)如圖,在AABC中,DE垂直平分AC,若BC=6,AD=4,
則BD等于()
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DC=DA=4,計(jì)算即可.
【詳解】
解:EIDE垂直平分AC,
口DC=DA=4,
□BD=BC-DC=2,
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì),掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的
距離相等是解題的關(guān)鍵.
4.(2022?長沙市望城區(qū)郡維學(xué)校初二月考)如圖,A5c中,AB=10,AC=4,點(diǎn)O
在邊BC上,OD垂直平分BC,AD平分NBAC,過點(diǎn)D作。M,AB于點(diǎn)M,則=
()
A.3B.4C.5D.6
【答案】A
【解析】
【分析】
如圖(見解析),先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DW=OV,再根據(jù)直角三角形全等的判定定
理與性質(zhì)可得AM=4V,然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得比>=CD,又根據(jù)直角三角形
全等的判定定理與性質(zhì)可得3M=CN,陵BM=CN=x,從而可得40=10—x,
AN=4+x,最后根據(jù)AM=AN建立等式求解即可得.
【詳解】
如圖,過點(diǎn)D作。NJ.AC,交AC延長線于點(diǎn)N,連接BD、CD,
DM上AB,AD平分44C,
/.DM=DN,
AD=AD
在用△AO河和RfZvlIW中,…,
DM=DN
Rt_ADMsRt_ADN(HL),
:.AM^AN,
OD垂直平分BC,
BD-CD,
BD=CD
在Rt^BDM和Rt_CDN中,〈八?,,
DM=DN
Rt_BDM=Rt_CDN(HL),
:.BM=CN,
設(shè)BM=CN=x,
AB=10,AC=4,
.-.AM=AB-BM=10-x,AN=AC+CN=4+x,
又AM=4V,
.1.10—x=4+x,
解得x=3,
即3M=3,
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)
點(diǎn),通過作輔助線,構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.
5.(2022?黑龍江南崗?期中)如圖,DE是AB的垂直平分線,D是垂足,DE交BC于E,若
BC=32,AC=18,則AAEC的周長為.
【答案】50
【解析】
【分析】
利用垂直平分線的性質(zhì)計(jì)算即可;
【詳解】
DE是AB的垂直平分線,
/.AE=BE,
,:BC=32,
EC+AE=32,
...△AEC的周長=+原+熊=18+32=50.
故答案是50.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì),準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.
6.(2022?山西月考)如圖,在AABC中,AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,如果AC=5cm,
BC=4cm,那么ADBC的周長為cm.
【答案】9.
【解析】
【分析】
運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì),得AD=DB,可得ADBC周長=BC+CD+BD=BC+CD+AD=AC+BC,
問題可解.
【詳
解::AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D
;.D是AB的垂直平分線上一點(diǎn)
Z.AD=BD
^BDC=BD+CD+BC^AD+CD+BC=AC+BC(把AC=5cm,BC=4cm代入)
=5cm+4cm
=9cm.
故答案為:9.
【點(diǎn)睛】
本題考查垂直平分線的性質(zhì).運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì),把三角形的周長轉(zhuǎn)化為兩條已知
線段的和是解決此題的關(guān)鍵.
7.(2022?二連浩特市第二中學(xué)期中)如圖,△ABC中,AC=25cm,DE垂直平分AB,垂
足為E,交AC于D,若△DBC的周長是35cm,則BC邊的長為.
【答案】10cm
【解析】
【分析】
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),將回DBC的周長轉(zhuǎn)化為AC+BC,則問題可解?
【詳解】
解:由DE垂直平分AB
0BD=AD
00DBC的周長是35cm
0BD+DC+BC=35
團(tuán)AD+DC+BC=35
即AC+BC=35
團(tuán)AC=25cm
0BC=lOcm
故答案為:10cm.
【點(diǎn)睛】
本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì),解答關(guān)鍵是將三角形的周長轉(zhuǎn)化為兩邊之和.
8.(2022?廈門市瑞景中學(xué)期中)如圖,在.A5c中,AB=AC,ZBAC=55°,ZBAC
的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)。,將NC沿EE(£在3c上,尸在AC上)折疊,
點(diǎn)C與點(diǎn)。恰好重合,則/OEC為_______度.
B
E
【答案】no
【解析】
【分析】
連接OB、OC,根據(jù)角平分線的定義求出BAO,根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出ABC,
再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得OA=OB,根據(jù)等邊對(duì)等角可得
□ABO=BAO,再求出!OBC,然后判斷出點(diǎn)O是DABC的外心,根據(jù)三角形外心的性質(zhì)
可得OB=OC,再根據(jù)等邊對(duì)等角求出nOCB=C)OBC,根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=CE,然后
根據(jù)等邊對(duì)等角求出COE,再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可
【詳解】
如圖,連接OB、OC,
BAC=55°,AO為BAC的平分線,
BAO=—BAC=—X55°=27.5°,
22
XDAB=AC,
ABC=—(180°-BAC)=—X(18O°-55°)=62.5°,
22
DO是AB的垂直平分線,
OA=OB,
□□ABO=BAO=27.5°,
□□OBC=IABC-ABO=62.5°-27.5O=35°,
AO為BAC的平分線,AB=AC,
OB=OC,
I點(diǎn)。在BC的垂直平分線上,
又一DO是AB的垂直平分線,
□點(diǎn)0是[ABC的外心,
□□OCB=nOBC=35°,
將DC沿EF(E在BC上,F(xiàn)在AC上)折疊,點(diǎn)C與點(diǎn)。恰好重合,
OE=CE,
□□COE=OCB=35。,
在JOCE中,OEC=180°-EiCOE-OCB=180°-35°-35°=l10°.
故答案為:110。.
【點(diǎn)睛】
本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì),等腰三角形三線合一的
性質(zhì),等邊對(duì)等角的性質(zhì),以及翻折變換的性質(zhì),作輔助線,構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)
鍵.
9.(2022?廈門市瑞景中學(xué)期中)如圖,在一A6C中,AB=AC,3c=4,面積是10,AC
的垂直平分線所分別交AC,AB邊于E,F點(diǎn),若點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)M為線段
EF上一動(dòng)點(diǎn),則NCDM周長的最小值為.
【答案】7
【解析】
【分析】
連接AD,AM,由于ABC是等腰三角形,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),故ADBC,再根據(jù)三
角形的面積公式求出AD的長,再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知,點(diǎn)C關(guān)于直線EF
的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,故AD的長為CM+MD的最小值,由此即可得出結(jié)論.
【詳解】
連接AD,AM.
口?ABC是等腰三角形,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),
□ADOBC,
SAABC=—BC*AD=—x4xAD=10,
22
解得AD=5,
EF是線段AC的垂直平分線,
點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,
□MA=MC,
□ADWAM+MD,
□AD的長為CM+MD的最小值,
CDM的周長最短=(CM+MD)+CD=AD+—BC=5+—x4=5+2=7.
22
故答案為口7.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是垂直平分線的性質(zhì),熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
10.(2022?常州市武進(jìn)區(qū)星辰實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考)如圖,在ABC中,AB、AC邊的垂直平分
線分別交BC邊于點(diǎn)M、N.若BM2+CN2=MN2,貝!|NBAC=1
【答案】135°
【解析】
【分析】
連接AM,AN,由勾股定理的逆定理證出匚AMN是直角三角形,ZMAN=900,證出
ZAMN=24B,ZANM=2NC,得出N4a「+AANM=2HB+Z<7)=90°,證
出N8+NC=45°,由三角形內(nèi)角和定理可得出答案;
【詳解】
如圖,連接AM,AN,
AB,AC邊的垂直平分線分別交BC邊與點(diǎn)M,N,
ZBM=AM,CN=AN,
NB=/BAM,4c=4CAN、
BM2+CN2=MN2,
AM2+AN2=MN"
AMN是直角三角形,NM4N=90°,
AAMN=Z27+/BAM,AANM=NO+ACAN,
AZAMN^2ZB,ZANM=2NC,
AAMN+
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