數(shù)學(xué)建模范文煉油廠的優(yōu)化問題

石油精油殘?jiān)p中重石油精油殘?jiān)p中重輕重0.20.20.120.20.13

某煉油廠購買兩種原油和，經(jīng)過蒸餾、重整、裂解和混合等4種加工過程，生成汽油和燃料油出售。蒸餾該過程將每種原油按沸點(diǎn)不同分離成下列分餾物：輕石油精、中石油精、重石油精、輕油、重油和殘?jiān)?。輕、中和重石油精的辛烷值分別為90、80和70。一桶原油生成分餾物的桶數(shù)如下表所示（蒸餾過程中有少量損耗）：

分餾物原油

0.10.150.250.180.080.190.12

重整石油精可直接用于混合產(chǎn)生各種品級(jí)的汽油，也可以再經(jīng)過一種稱作重整的加工過程，生成一種稱為重整汽油的產(chǎn)品，其辛烷值為115。不同的石油精每桶產(chǎn)生重整汽油的桶數(shù)如下表:石油精輕中重

重整汽油0.60.520.45

裂解輕油和重油可以直接混合生產(chǎn)飛機(jī)燃料和燃料油，也可以經(jīng)過催化裂解，生成裂化油和裂化汽油，后者的辛烷值為105。一桶輕油經(jīng)裂解生成裂化油0.68桶和裂化汽油0.28桶；一桶重油經(jīng)裂解生成裂化油0.75桶和裂化汽油0.2桶。裂化油用于混合生成飛機(jī)燃料和燃料油；裂化汽油用于混合生成汽油。殘?jiān)糜谏a(chǎn)潤滑油，或混合入飛機(jī)燃料和燃料油中，一桶殘?jiān)a(chǎn)生0.5桶潤滑油?；旌掀停òl(fā)動(dòng)機(jī)燃料）汽油有兩種:普通汽油和特級(jí)汽油，由石油精、重整汽油和裂化汽油混合得到。普通汽油必須有不小于84的辛烷值；特級(jí)汽油必須有不小于94的辛烷值。假設(shè)辛烷值是按體積線性地混合的，即混合物的辛烷值是各組分的辛烷值以組分的體積為權(quán)的加權(quán)平均。飛機(jī)燃料飛機(jī)燃料的蒸發(fā)壓不能超過1kg/cm。輕油、重油、裂化油和殘2渣的蒸發(fā)壓依次為1.0、0.6、1.5和0.05kg/cm，同樣假設(shè)蒸發(fā)壓是按體積線性地2混合的。

特級(jí)汽普通汽飛機(jī)燃油油料706040符號(hào)XPXTXSXFXR特級(jí)汽普通汽飛機(jī)燃油油料706040符號(hào)XPXTXSXFXRXPCZXTCZXPQXTQ3515關(guān)于原料供應(yīng)和加工能力的限制條件有:(a)日供應(yīng)20000桶；(b)日供應(yīng)30000桶；(c)日蒸餾原油最多45000桶；(d)日重整石油精最多10000桶；(e)日裂解油最多8000桶(f)日產(chǎn)潤滑油必須在500桶至1000桶之間；(g)特級(jí)汽油的產(chǎn)量必須是普通汽油的40%。每售出一桶成品，利潤數(shù)如下表所示：

產(chǎn)品燃料油潤滑油

利潤（元）

1、煉油廠如何安排生產(chǎn)，總利潤為最大？2、考慮產(chǎn)品利潤的某種變化對(duì)總利潤的影響。3、對(duì)于假設(shè)條件(f)(g)，作出你的評(píng)論。

二、符號(hào)約定

產(chǎn)品

普通汽油

特級(jí)汽油

燃料油

飛機(jī)燃油

潤滑油

用于生產(chǎn)普通汽油的重整汽油

用于生產(chǎn)特級(jí)汽油的重整汽油

用于生產(chǎn)普通汽油的輕石油精

用于生產(chǎn)特級(jí)汽油的輕石油精

XCZQXPMXTMXCZMXPHXTHXCHXPLXTLXSLXFLXSCXFCXRCXFQXSQXLQXFHXSHXLHXOXT

用于生產(chǎn)重整石油的輕石油精XCZQXPMXTMXCZMXPHXTHXCHXPLXTLXSLXFLXSCXFCXRCXFQXSQXLQXFHXSHXLHXOXT

用于生產(chǎn)普通汽油的中石油精

用于生產(chǎn)特級(jí)汽油的中石油精

用于生產(chǎn)重整石油的中石油精

用于生產(chǎn)普通汽油的重石油精

用于生產(chǎn)特級(jí)汽油的重石油精

用于生產(chǎn)重整石油的重石油精

用于生產(chǎn)普通汽油的裂化汽油

用于生產(chǎn)特級(jí)汽油的裂化汽油

用于生產(chǎn)燃料油的裂化油

用于生產(chǎn)飛機(jī)燃料的裂化油

用于生產(chǎn)燃料油的殘?jiān)?/p>

用于生產(chǎn)飛機(jī)燃料的殘?jiān)?/p>

用于生產(chǎn)潤滑油的殘?jiān)?/p>

用于生產(chǎn)飛機(jī)燃料的輕油

用于生產(chǎn)燃料油的輕油

用于裂化的輕油

用于生產(chǎn)飛機(jī)燃料的重油

用于生產(chǎn)燃料油的重油

用于裂化的重油

原料油C1

原料油C2

P（1）該煉油廠的所有原材料和產(chǎn)品在運(yùn)輸和加工過程中的損耗忽略不P（1）該煉油廠的所有原材料和產(chǎn)品在運(yùn)輸和加工過程中的損耗忽略不

（2）由原料加工成產(chǎn)品時(shí)，產(chǎn)品的體積是原料體積之和；（3）生產(chǎn)普通汽油和特級(jí)汽油時(shí)，只要辛烷值達(dá)到要求即可，5種原材

（4）生產(chǎn)飛機(jī)燃料時(shí)，只要蒸發(fā)壓達(dá)到要求即可，4種原材料不需要都

（5）該煉油廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品品質(zhì)都是一樣的，不生產(chǎn)不同品質(zhì)的產(chǎn)

（6）該煉油廠所生產(chǎn)的最終產(chǎn)品都能夠賣得出去；（7）該煉油廠所生產(chǎn)的最終產(chǎn)品的利潤是穩(wěn)定的。

備注：普通汽油XP、特級(jí)汽油XT、燃料油XS、飛機(jī)燃料XF和潤滑油XR是自變量外，其余變量均為因變量。三、模型假設(shè)

1.計(jì)；2.3.料不需要都用到；4.用到；5.品；6.7.8.

四、問題分析

該煉油廠的最終生產(chǎn)產(chǎn)品是普通汽油、特級(jí)汽油、飛機(jī)燃料、燃料油、潤滑油這5種成品油，用的最初原料是原油和原油，中間產(chǎn)品有重整汽油、裂化油、裂化汽油。由于各種成品油利潤不同，所以這5種產(chǎn)品各生產(chǎn)數(shù)量，相互間的生產(chǎn)比例都會(huì)影響到總利潤?，F(xiàn)在，本題的目標(biāo)是求出這5種成品油各生產(chǎn)多少時(shí)獲得總利潤最大。為了求出5種成品油各生產(chǎn)多少時(shí)獲得總利潤最大，總的求解思路如下：首先，求出總利潤與5種成品油各生產(chǎn)數(shù)量的函數(shù)關(guān)系；第二，找出生產(chǎn)這5種成品油所需原材料，以及各原材料在生產(chǎn)時(shí)的使用比例；第三，由于煉油廠的生產(chǎn)實(shí)際能力有限，以及市場(chǎng)需求的原因，該煉油廠的原料油、中間產(chǎn)品和最終成品油的生產(chǎn)數(shù)量是受到約束的，所以要找出這些約束條件；第四，根據(jù)目標(biāo)方程和約束條件，編程實(shí)現(xiàn)求解，得到最大總利潤。

潤滑油

具體分析如下：潤滑油（1）分析總利潤與5種成品油各生產(chǎn)數(shù)量的函數(shù)關(guān)系：每售出一桶成品，利潤數(shù)如下表所示：表1：每桶成品的利潤數(shù)產(chǎn)品特級(jí)汽油普通汽油飛機(jī)燃料燃料油

利潤（元）7060403515

總利潤=每桶成品油的利潤×成品油熟量，即

；(1)（2）找出生產(chǎn)這5種成品油所需原材料和中間產(chǎn)品，以及各原材料和中間產(chǎn)品在生產(chǎn)時(shí)數(shù)量的約束條件：第一步，由原料油和中間產(chǎn)品到最終成品油的過程流程圖如下：原油輕石油精特級(jí)汽油中石油精重石油精輕油重油重整汽油精裂化汽油裂化油普通汽油飛機(jī)燃料燃料油殘?jiān)鼭櫥?/p>

圖1：生產(chǎn)成品油的過程流程圖

第二步，由原料油和中間產(chǎn)品到最終成品油的過程中，各種成品與原材料之間關(guān)系如下：生產(chǎn)普通汽油和特級(jí)汽油：普通汽油特級(jí)汽油中石油精重石油精重整汽油輕石油精

裂化汽油

圖2：成品油的生成流程圖

普通汽油的辛烷值是不小于84，特級(jí)汽油的辛烷值是不小于94，而生產(chǎn)他們的5種原材料的辛烷值分別為：輕石油精90，中石油精80，重石油精70，重整汽油115，裂化汽油105，并且混合后的辛烷值是各組分的辛烷值以組分的體積為權(quán)的加權(quán)平均，故有：普通汽油：；(2)特級(jí)汽油：；(3)又由于生產(chǎn)普通汽油和特級(jí)汽油的原材料混合后的總體積是各組分體積簡(jiǎn)單相加，故有：

；(4)；(5)飛機(jī)燃料：飛機(jī)燃料重油裂化油殘油輕油

圖3：飛機(jī)燃料的生成流程圖飛機(jī)燃料的蒸發(fā)壓不能超過。輕油、重油、裂化油和殘?jiān)恼舭l(fā)壓依次為1.0、0.6、1.5和，并且蒸發(fā)壓是按體積線性地混合的，故有：；(6)又由于生產(chǎn)飛機(jī)燃料的原材料混合后的總體積是各組分體積簡(jiǎn)單相加，同樣，故有：；(7)燃料油：燃料油重油裂化油殘油輕油

圖4：燃料油的生產(chǎn)流程圖輕油、裂化油、重油和殘?jiān)?0:4:3:1的比例混合生成燃料油，故有：；(8)

(13)重

；(9)(13)重；(10)；(11)又由于生產(chǎn)燃料油的原材料混合后的總體積是各組分體積簡(jiǎn)單相加，故有：

；(12)潤滑油：潤滑油殘油

圖5：潤滑油的生產(chǎn)流程圖

一桶殘?jiān)a(chǎn)生0.5桶潤滑油，故有：；第三步，由中間產(chǎn)品到其他中間產(chǎn)品的過程中，各成品與原材料的關(guān)系如下：重整汽油：中石油精重石油精輕石油精重整汽油

圖6：重整汽油的生成流程圖

不同的石油精每桶產(chǎn)生重整汽油的桶數(shù)如下表:表2：石油精每桶產(chǎn)生重整汽油的桶數(shù)石油精輕中

重整汽油0.60.520.45

并且，重整汽油只用于生產(chǎn)普通汽油和特級(jí)汽油，但是考慮到由輕、中、重石油精生產(chǎn)出的重整汽油，由于在生產(chǎn)普通汽油和特級(jí)汽油的過程中與其他原材料有比例限制，可能沒有用完，故有：；(14)裂化汽油和裂化油：輕油重油裂化汽油裂化油

圖7：裂化油、裂化汽油的生成流程圖

一桶輕油經(jīng)裂解生成裂化油0.68桶和裂化汽油0.28桶；一桶重油經(jīng)裂解生成裂化油0.75桶和裂化汽油0.2桶，而裂化汽油只用于加工成普通汽油和特級(jí)汽油，

殘?jiān)p中重輕重殘?jiān)p中重輕重0.2(20)(21)0.20.120.20.13與其他材料有比例限制，可能沒有用完，故有：；(15)；(16)第四步，由原材料到中間產(chǎn)品的過程中，各成品與原油的關(guān)系如下：原油：原油重油裂化油殘油輕油重石油精輕石油精中石油精

圖8：各成品與原油的關(guān)系圖

每桶原油經(jīng)過分餾后的產(chǎn)物桶數(shù)如下表：表3：每桶原油經(jīng)過分餾后產(chǎn)物桶數(shù)分餾物石油精油原油

0.1

0.150.250.180.080.190.12

原油分餾出的這些產(chǎn)品中，輕、中、重石油精用于加工成重整汽油、普通汽油和特級(jí)汽油，同樣的，這三種材料都可能沒有用完，故有：；(17)；(18)；(19)原油分餾出的輕油和重油用于加工成裂化汽油、裂化油、飛機(jī)燃料和燃料油，同樣的，這兩種材料都可能沒有用完，故有：；；原油分餾出的殘油用于加工成潤滑油、飛機(jī)燃料和燃料油，同樣的，這殘?jiān)赡軟]有用完，故有：

；(22)

6817.817044.515156.00

（3）找出由于煉油廠的生產(chǎn)實(shí)際能力有限以及市場(chǎng)需求的原因，該煉油廠的6817.817044.515156.00原料油、中間產(chǎn)品和最終成品油的生產(chǎn)數(shù)量是受到的約束條件：原材料供應(yīng)限制：

；(23)；(24)分餾能力限制：

；(25)重整能力限制：；(26)裂解能力的限制：

；(27)市場(chǎng)需求限制：

；(28)；(29)

五、模型建立與求解

(一)第一二問的解答：1.模型的建立：目標(biāo)方程：根據(jù)上述分析第一部分可得到目標(biāo)方程為：；約束條件：根據(jù)上述分析第二、三部分所得到的29個(gè)約束條件，可得到約束方程為：

2.模型的求解：利用lingo軟件編程得到結(jié)果如下：最大利潤元，在獲得最大利潤時(shí)，煉油廠的生產(chǎn)計(jì)劃如下表：表4：煉油廠的生產(chǎn)計(jì)劃項(xiàng)目數(shù)量（桶）特級(jí)汽油

普通汽油

飛機(jī)燃油

燃料油

50015000300002433.01936

潤滑油50015000300002433.01936原油C1

原油C2

重整汽油

裂化汽油裂化油5706

3.模型的結(jié)果分析和檢驗(yàn)：將生產(chǎn)計(jì)劃中各產(chǎn)品數(shù)量繪制成如下圖表：圖9：生產(chǎn)計(jì)劃中各產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量（1）該煉油廠的原料油、中間產(chǎn)品和最終成品油的生產(chǎn)數(shù)量是滿足約束條件的限制，因此該計(jì)劃是可行的；（2）在滿足約束條件下，將計(jì)劃中某一項(xiàng)的值增加或減小某一系列值，運(yùn)行l(wèi)ingo程序，發(fā)現(xiàn)總利潤總是減小，所以該計(jì)劃是現(xiàn)有約束條件下的最優(yōu)的計(jì)劃；4.靈敏度分析：目標(biāo)函數(shù)：MAX=70*XT+60*XP+40*XF+35*XS+15*XR對(duì)模型進(jìn)行靈敏度分析，得到結(jié)果如下：

CurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseXTNONLINEAR0.00.0XPNONLINEAR0.00.0XFNONLINEAR-40.000006.490504XS35.000006.238095INFINITYXR15.00000INFINITY-65.00000

對(duì)于XT,XP和XF三項(xiàng)，均顯示當(dāng)前系數(shù)為nonlinear，分析XS和XR。得出XS的系數(shù)變化在0-41.238之間，最優(yōu)解保持不變，也就是說當(dāng)燃料油的利潤為0至41.238之間時(shí)，煉油廠的生產(chǎn)計(jì)劃不變。XR的系數(shù)大于80時(shí)，生產(chǎn)計(jì)劃也不變。也就是說當(dāng)潤滑油的利潤大于80時(shí)，煉油廠的產(chǎn)計(jì)劃也不變。由于用lingo進(jìn)行靈敏度分析，并沒有得到想要的結(jié)果，而且模型中的目標(biāo)函數(shù)也不是很復(fù)雜。因此，我們用手工計(jì)算的方式來進(jìn)行分析。對(duì)于特級(jí)汽油XT，改變其系數(shù)，即利潤大小，得到結(jié)果如下表：

表5：特級(jí)汽油利潤的變化對(duì)總利潤的影響

目標(biāo)函數(shù)值2113651線性增長(zhǎng)線性減小目標(biāo)函數(shù)值2113651線性增長(zhǎng)線性增長(zhǎng)線性增長(zhǎng)線性增長(zhǎng)目標(biāo)函數(shù)值2113651線性增長(zhǎng)不可行線性增長(zhǎng)線性增長(zhǎng)目標(biāo)函數(shù)值2113651XT6817.77917044.4515156生產(chǎn)計(jì)劃不變生產(chǎn)計(jì)劃不變XT6817.77917044.4515156生產(chǎn)計(jì)劃不變6527.23916318.16077.6681519435214898.3817750XT6817.77917044.45151566817.77917044.45151566710.33816776.846614.401XT6817.779目標(biāo)函數(shù)值2113651線性增長(zhǎng)線性減小目標(biāo)函數(shù)值2113651線性增長(zhǎng)線性增長(zhǎng)線性增長(zhǎng)線性增長(zhǎng)目標(biāo)函數(shù)值2113651線性增長(zhǎng)不可行線性增長(zhǎng)線性增長(zhǎng)目標(biāo)函數(shù)值2113651XT6817.77917044.4515156生產(chǎn)計(jì)劃不變生產(chǎn)計(jì)劃不變XT6817.77917044.4515156生產(chǎn)計(jì)劃不變6527.23916318.16077.6681519435214898.3817750XT6817.77917044.45151566817.77917044.45151566710.33816776.846614.401XT6817.77917044.4515156XP0XP01610600XP00910116536XP0XF500XF5000500500XF50050063005008135XF500XSXS500XS7560500XSXRXRXRXR

70

增長(zhǎng)

減小

對(duì)于普通汽油XP，改變其系數(shù)，即利潤大小，得到結(jié)果如下表：

表6：普通汽油利潤的變化對(duì)總利潤的影響XP的系數(shù)

60

從24.3開始增長(zhǎng)19.9-24.2

12.6-19.8

0-12.5

對(duì)于飛機(jī)燃料XF，改變其系數(shù)，即利潤大小，得到結(jié)果如下表：

表7：飛機(jī)燃料利潤的變化對(duì)總利潤的影響XF的系數(shù)

40

32.6-67.2

32.1-32.523.8-320-23.7

對(duì)于燃料油XS，改變其系數(shù)，即利潤大小，得到結(jié)果如下表：

表8：燃料油利潤的變化對(duì)總利潤的影響XS的系數(shù)

35

線性增長(zhǎng)線性增長(zhǎng)線性增長(zhǎng)目標(biāo)函數(shù)值2113651線性增長(zhǎng)生產(chǎn)數(shù)量(桶)6817.77917044.4516156006817.77917044.45151566710.33816776.846614.401XT6817.77917044.45151566817.77917044.45線性增長(zhǎng)線性增長(zhǎng)線性增長(zhǎng)目標(biāo)函數(shù)值2113651線性增長(zhǎng)生產(chǎn)數(shù)量(桶)6817.77917044.4516156006817.77917044.45151566710.33816776.846614.401XT6817.77917044.45151566817.77917044.45151560910116536XP0050063005008135XF5005007560500XSXR

42.2-47.447.5-79.5

對(duì)于潤滑油XR，改變其系數(shù)，即利潤大小，得到結(jié)果如下表：

表9：潤滑油利潤的變化對(duì)總利潤的影響XR的系數(shù)

15

0-70.9

上面就是靈敏度分析的結(jié)果，當(dāng)某一產(chǎn)品的利潤發(fā)生變化時(shí)對(duì)應(yīng)的總利潤的變化情況。

5.結(jié)果分析：從靈敏度分析的結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)產(chǎn)品的利潤在某一區(qū)間線性增長(zhǎng)時(shí)，總利潤是也是線性增長(zhǎng)的。而產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃在這一區(qū)間是不變的。

(二)第三問的解答：在問題1的模型中，都有（f）和（g）條件的限制。如果在模型中去除這兩個(gè)條件的限制，再進(jìn)行求解，那么就可以得到這兩個(gè)條件對(duì)煉油廠生產(chǎn)安排的影響。1.去除（f）條件，保留（g）條件（程序見附錄2）：對(duì)模型中所編寫的lingo程序進(jìn)行修改，即沒有潤滑油產(chǎn)量的限制，進(jìn)行l(wèi)ingo求解，得到結(jié)果:

總利潤為2146151元，產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃見下表：

表10：去除（f）條件，保留（g）條件的生產(chǎn)計(jì)劃成品油種類特級(jí)汽油普通汽油

飛機(jī)燃料

燃料油

潤滑油

生產(chǎn)數(shù)量(桶)025023.83151560500生產(chǎn)數(shù)量(桶)025023.831515600總利潤特級(jí)汽油普通汽油飛機(jī)燃料燃料油潤滑油

2.去除（g）條件，保留（f）條件（程序見附錄3）：生產(chǎn)數(shù)量(桶)025023.83151560500生產(chǎn)數(shù)量(桶)025023.831515600總利潤特級(jí)汽油普通汽油飛機(jī)燃料燃料油潤滑油對(duì)模型中所編寫的lingo程序進(jìn)行修改，即沒有特級(jí)汽油的產(chǎn)量限制，進(jìn)行l(wèi)ingo求解，得到結(jié)果如下：總利潤為2125970元，產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃為：

表11：去除（g）條件，保留（f）條件的生產(chǎn)計(jì)劃成品油種類

特級(jí)汽油普通汽油

飛機(jī)燃料

燃料油

潤滑油

3.去除（f）（g）條件：對(duì)模型中所編寫的lingo程序進(jìn)行修改（程序見附錄4），即沒有潤滑油產(chǎn)量的限制，也沒有特級(jí)汽油產(chǎn)量的限制，進(jìn)行l(wèi)ingo求解，得到結(jié)果：總利潤為2158470元，產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃見下表：表12：去除（f）（g）條件的生產(chǎn)計(jì)劃成品油種類

特級(jí)汽油普通汽油飛機(jī)燃料

燃料油

潤滑油

在問題1的模型解答中，原始結(jié)果為：總利潤2113651元，產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃為：特級(jí)汽油6817.779桶，普通汽油17044.45桶，飛機(jī)燃料為15156桶，燃料油為