第三章信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)理論3

3.5信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的性能

以上討論了信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)理論的主要檢測(cè)準(zhǔn)則，并給出了相應(yīng)的判決式

，這些準(zhǔn)則都需要計(jì)算似然比函數(shù)，但似然比檢測(cè)門(mén)限隨采用的準(zhǔn)則不同而變化;且都與判決概率P(H1|H0)和P(H1|H1)有關(guān)。

似然比檢驗(yàn)的判決表示式為判決概率P(H1|H0)和P(H1|H1)可表示為

顯然，通過(guò)檢測(cè)門(mén)限，將P(H1|H0)和P(H1|H1)聯(lián)系了起來(lái)通常，似然比檢驗(yàn)又進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量l（x）的形式判決概率P(H1|H0)和P(H1|H1)可表示為在例3.3.1中，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和檢測(cè)門(mén)限分別為

其判決概率為

圖3.11判決概率P（H1|H0）和P（H1|H1）示意圖

二元確知信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的三個(gè)主要準(zhǔn)則的基本概念：貝葉斯準(zhǔn)則先驗(yàn)概率已知，代價(jià)因子指定，使平均代價(jià)最??；最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則先驗(yàn)概率已知，代價(jià)因子，使平均錯(cuò)誤概率最?。荒温栠d準(zhǔn)則在約束下，使最大。圖3.12接收機(jī)工作特性（ROC）信噪比圖3.13檢測(cè)概率PD與信噪比d的關(guān)系信噪比證明過(guò)程如下：圖3.14接收機(jī)工作特性在不同準(zhǔn)則下的解貝葉斯準(zhǔn)則平均最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則圖3.14接收機(jī)工作特性在不同準(zhǔn)則下的解N-P準(zhǔn)則法拉第：工作方法很重要

3.6M元信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)

實(shí)際問(wèn)題中，除了常用的二元信號(hào)檢測(cè)外，還會(huì)遇到M

（M2

）元信號(hào)檢測(cè)的問(wèn)題，例如，多元通信問(wèn)題，天氣預(yù)報(bào)問(wèn)題等。3.6.1M元信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的貝葉斯準(zhǔn)則

1.M元信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的基本概念（見(jiàn)3.2節(jié)）信號(hào)有M種狀態(tài)，相應(yīng)假設(shè)為；判決域分成，且滿足圖3.15M元信號(hào)檢測(cè)模型

合理劃分判決域，以得到最佳判決；判決結(jié)果，共種；判決概率，其中，種是正確判決概率，種是錯(cuò)誤判決概率。

2.貝葉斯準(zhǔn)則各假設(shè)的先驗(yàn)概率已知；各種判決的代價(jià)因子賦定的條件下，使平均代價(jià)

最小的準(zhǔn)則，就是M元信號(hào)檢測(cè)的貝葉斯準(zhǔn)則。平均代價(jià)的分析表示式

根據(jù)判決域Ri的劃分3.6.1式，將3.6.2式寫(xiě)為3.6.3式因?yàn)榕袥Q域Ri可表示為

平均代價(jià)C的分析表示式為分析：

C中第一項(xiàng)為固定代價(jià)；

C中第二項(xiàng)是M個(gè)積分項(xiàng)之和，為貝葉斯平均代價(jià)的可變項(xiàng)，與判決域的劃分有關(guān)。為得到使平均代價(jià)C最小的最佳判決域，令

則判決規(guī)則應(yīng)選擇使Ii最小的假設(shè)為判決成立的假設(shè)

時(shí)，判決假設(shè)Hi成立。這意味著判決假設(shè)Hi成立的判決域是通過(guò)求解M-1個(gè)不等式組成的聯(lián)立不等式獲得的。當(dāng)M＝2時(shí)，結(jié)果就是二元信號(hào)檢測(cè)貝葉斯準(zhǔn)則時(shí)的似然比檢驗(yàn)。

如果定義似然比函數(shù)為

和函數(shù)

即利用似然比表示判決規(guī)則，那么判決規(guī)則就是選擇使Ji(x)為最小的對(duì)應(yīng)假設(shè)成立。

3.6.2M元信號(hào)檢測(cè)的最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則

1.最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則各假設(shè)的先驗(yàn)概率已知；各種判決的代價(jià)因子。這時(shí)的平均代價(jià)就成為平均錯(cuò)誤概率，使最小的檢測(cè)準(zhǔn)則就是元信號(hào)檢測(cè)的最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則。分析：類(lèi)似于貝葉斯準(zhǔn)則的分析方法，令

并且，當(dāng)滿足時(shí)，判決假設(shè)成立。這也意味著判決假設(shè)成立的判決域是通過(guò)解個(gè)方程組成的聯(lián)立方程獲得的。當(dāng)時(shí)，結(jié)果就是二元信號(hào)檢測(cè)最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則時(shí)的似然比檢驗(yàn)。最小平均錯(cuò)誤概率

式中

2.最大似然準(zhǔn)則在等先驗(yàn)概率的情況下，，則有

這樣，個(gè)中最小的那個(gè)對(duì)應(yīng)個(gè)最大的那個(gè)。于是，選擇個(gè)中最大的那個(gè)對(duì)應(yīng)的假設(shè)成立，稱(chēng)為元信號(hào)檢測(cè)的最大似然準(zhǔn)則。

M元信號(hào)檢測(cè)的最大似然準(zhǔn)則時(shí)的平均錯(cuò)誤概率

例3.6.1

設(shè)四元數(shù)字通信系統(tǒng),各假設(shè)為

其中,;,相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立;先驗(yàn)概率相等;。設(shè)計(jì)最佳檢測(cè)系統(tǒng)。

解由題意得各假設(shè)下的似然函數(shù)為采用四元信號(hào)檢測(cè)的最大似然準(zhǔn)則.各假設(shè)下的比較量由似然函數(shù)整理得

其中,。通過(guò)解聯(lián)立方程得時(shí)，判決成立；類(lèi)似地得時(shí)，判決成立；時(shí)，判決判決成立；時(shí)，判決成立。

現(xiàn)在討論檢測(cè)性能。由于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是高斯分布的，容易求得所以在各種假設(shè)Hj下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量l(x)的概率密度函數(shù)為

于是各判決概率為其中，是各假設(shè)成立的判決域。最小平均錯(cuò)誤概率為課后作業(yè)

對(duì)前面確知信號(hào)檢測(cè)內(nèi)容的復(fù)習(xí)3.2信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的基本概念信號(hào)不同狀態(tài)的假設(shè)；不同狀態(tài)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)描述；根據(jù)信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性的差異，作出合理地判決；判決結(jié)果為，判決概率為；

最佳判決的實(shí)質(zhì)是滿足某種指標(biāo)要求的判決域最佳劃分，數(shù)學(xué)上表示為最佳判決式。

最佳判決的性能分析，關(guān)鍵是要求出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的概率密度函數(shù)，進(jìn)而求出判決概率，最終分析檢測(cè)性能。3.33.4

二元確知信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的三個(gè)主要準(zhǔn)則的基本概念：貝葉斯準(zhǔn)則先驗(yàn)概率已知，代價(jià)因子指定，使平均代價(jià)最小；最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則先驗(yàn)概率已知，代價(jià)因子，使平均錯(cuò)誤概率最?。荒温栠d準(zhǔn)則在約束下，使

最大。二元確知信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)

二元確知信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的最佳判決式：似然比檢驗(yàn)判決式化簡(jiǎn)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與檢測(cè)門(mén)限比較的最佳判決式或

檢測(cè)性能分析：根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)特性；求出其概率密度函數(shù)；根據(jù)最佳判決式，積分求出各種判決概率；進(jìn)而求出其檢測(cè)性能。3.5信號(hào)統(tǒng)計(jì)監(jiān)測(cè)的性能3.6M元確知信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)我們可以把二元確知信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的貝葉斯準(zhǔn)則、最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則的概念、理論和方法推廣應(yīng)用到M元確知信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)中。

信號(hào)的分類(lèi)

信號(hào)有多種分類(lèi)方法，我們這里分為：

1.確知信號(hào)它是確定的時(shí)間函數(shù)。舉例：常數(shù)A

正弦、余弦信號(hào)

式中，振幅，頻率，相位確知，或者是時(shí)間的確定函數(shù)。

2.參量信號(hào)

(1)具有未知或隨機(jī)參量的信號(hào)

3.7參量信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)

舉例：未知或隨機(jī)參量

(2)隨機(jī)相位信號(hào)式中，振幅，頻率是確知參量，但相位是隨機(jī)參量。

(3)隨機(jī)振幅和隨機(jī)相位信號(hào)式中，頻率是確知參量，振幅和相位是隨機(jī)參量。

(4)隨機(jī)頻率信號(hào)

式中，振幅和相位是確知參量，頻率是隨機(jī)參量。

3.7參量信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)

前面關(guān)于信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的討論，各假設(shè)可一般地表示為其中，信號(hào)是確知信號(hào)。針對(duì)確知信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)，似然函數(shù)由的統(tǒng)計(jì)特性決定，稱(chēng)為簡(jiǎn)單假設(shè)檢驗(yàn)。如果信號(hào)中含有未知或隨機(jī)參量，則各假設(shè)可一般地表示為這樣，似然函數(shù)不僅與的統(tǒng)計(jì)特性有關(guān)，而且與信號(hào)參量有關(guān)，表示為，統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱(chēng)為復(fù)合假設(shè)檢驗(yàn)。這里，我們討論二元參量信號(hào)的復(fù)合假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。3.7.1參量信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的基本概念

在信號(hào)含有未知或隨機(jī)參量下的復(fù)合假設(shè)檢驗(yàn)的概念、理論和方法，就是參量信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)。這樣，在參量信號(hào)下，無(wú)論是二元、M元，無(wú)論何種統(tǒng)計(jì)檢測(cè)準(zhǔn)則，如果仍然選擇確知信號(hào)的方法，則其檢測(cè)結(jié)果的性能與未知參量有關(guān)，具有不確定性和隨機(jī)性。因此，需要研究參量信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)問(wèn)題，與在各假設(shè)下的概率密度函數(shù)完全確定不同，復(fù)合假設(shè)檢驗(yàn)必須與未知參量相適應(yīng)。符號(hào)說(shuō)明：3.7.2參量信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的基本方法

(1)最大似然估計(jì)法。用最大似然估計(jì)估計(jì)未知參量，將估計(jì)量用在似然比檢驗(yàn)中,稱(chēng)為廣義似然比檢驗(yàn)。3.7.2參量信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的基本方法（2）貝葉斯方法。把未知參量看作是隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，并給它指定先驗(yàn)概率密度函數(shù)或者其他先驗(yàn)知識(shí)，將隨機(jī)參量用概率密度函數(shù)來(lái)描述，在此基礎(chǔ)上，用貝葉斯準(zhǔn)則實(shí)現(xiàn)信號(hào)的檢測(cè)。隨機(jī)參量的概率密度函數(shù)已知的情況隨機(jī)參量猜測(cè)先驗(yàn)概率密度函數(shù)的情況未知參量的奈曼?皮爾遜準(zhǔn)則信號(hào)檢測(cè)3.7.3廣義似然比檢驗(yàn)其方法是首先由觀測(cè)信號(hào)的概率密度函數(shù)利用最大似然估計(jì)方法求參量的最大似然估計(jì)，所謂參量的最大似然估計(jì)，就是使似然函數(shù)達(dá)到最大的作為未知參量的估計(jì)量，記為，然后用求得的估計(jì)量代替似然函數(shù)中的未知參量，使問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榇_知信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)。這樣

設(shè)在假設(shè)下，似然函數(shù)為

其中，是未知參量。由似然函數(shù)，利用最大似然估計(jì)方法求得估計(jì)量，從而得，進(jìn)而構(gòu)成似然比檢驗(yàn)稱(chēng)為廣義似然比檢驗(yàn)。如果假設(shè)是簡(jiǎn)單的，假設(shè)是復(fù)合的，則廣義似然比檢驗(yàn)為關(guān)于參量的最大似然估計(jì)，將在第5章中討論。3.7.4貝葉斯方法

根據(jù)未知參量的統(tǒng)計(jì)特性及其先驗(yàn)知識(shí)，采用貝葉斯準(zhǔn)則實(shí)現(xiàn)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)。

1.隨機(jī)參量的概率密度函數(shù)已知情況信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)中，我們關(guān)心的是信號(hào)屬于哪個(gè)狀態(tài)的最佳判決問(wèn)題。所以，如果把看成是隨機(jī)參量的函數(shù)，我們可以用統(tǒng)計(jì)平均的方法去掉隨機(jī)參量的隨機(jī)性，即和

然后構(gòu)成似然比檢驗(yàn)它也可以退化為假設(shè)是復(fù)合的，而假設(shè)是簡(jiǎn)單的。

2.猜測(cè)隨機(jī)參量概率密度函數(shù)情況若未知，但可合理猜測(cè)，則用猜測(cè)的進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均處理。

例如，隨機(jī)振幅服從瑞利分布，隨機(jī)相位服從均勻分布等，都帶有一定的猜測(cè)性。

3.未知參量的奈曼—皮爾遜準(zhǔn)則信號(hào)檢測(cè)

在下，使最大。但由于存在未知或隨機(jī)的參量，所得通常是參

量的函數(shù)。所以，采用奈曼——皮爾遜準(zhǔn)則檢測(cè)，需要對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。若下，無(wú)論參量取何值，都是最大的，稱(chēng)為最大一致勢(shì)檢驗(yàn)，奈曼皮爾遜準(zhǔn)則可用。若下，某些參量取值，最大，但另一些參量取值，不再是最大的，最大一致勢(shì)檢驗(yàn)失敗，奈曼皮爾遜準(zhǔn)則不能用。3.7.5M元參量信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)廣義似然比檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)平均方法，猜測(cè)隨機(jī)參量先驗(yàn)概率密度函數(shù)方法等，均可應(yīng)用于元參量信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)中。

例3.7.1

研究二元參量信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)問(wèn)題。

其中，是信號(hào)參量；。研究具有不同特性時(shí)的信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)問(wèn)題。

解

兩個(gè)假設(shè)下的似然函數(shù)分別為和

（1），確知信號(hào)參量時(shí)，由化簡(jiǎn)得最佳判決式（2），確知信號(hào)參量時(shí)，最佳判決式為

（3）為隨機(jī)參量，且已知，則

化簡(jiǎn)得最佳判決式顯然，這是一個(gè)雙邊檢驗(yàn)，即和，判決假設(shè)成立；，判決假設(shè)成立。請(qǐng)考慮這樣判決的合理性（