章經(jīng)典傅里葉變換講解

優(yōu)選章經(jīng)典傅里葉變換講解本文檔共201頁；當前第1頁；編輯于星期一\18點22分傅里葉1768年生于法國,1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”,1822年在“熱的分析理論”一書中再次提出。1829年狄里赫利給出傅里葉變換收斂條件。傅里葉變換得到大規(guī)模的應用，則是到了上世紀60年代之后。3.1傅里葉變換的產(chǎn)生傅里葉的兩個最主要的貢獻：（1）“周期信號都可表示為諧波關系的正弦信號的加權和”;（2）“非周期信號都可用正弦信號的加權積分表示”.本文檔共201頁；當前第2頁；編輯于星期一\18點22分三角函數(shù)就是一個標準的兩兩正交的函數(shù)空間。它滿足下列完備正交函數(shù)的三個條件：3.2周期信號的傅里葉分析1.歸一化：2.歸一正交化：3.歸一化完備性：可以用其線性組合表示任意信號本文檔共201頁；當前第3頁；編輯于星期一\18點22分周期的終點

設三角函數(shù)的完備函數(shù)集為：其中三角函數(shù)集也可表示為：3.2.1傅里葉級數(shù)的三角形式基頻

周期

周期的起點

本文檔共201頁；當前第4頁；編輯于星期一\18點22分時，有（2）“單位”常數(shù)性，即當

滿足：（1）正交性：函數(shù)集中的任意函數(shù)兩兩相正交，有

本文檔共201頁；當前第5頁；編輯于星期一\18點22分可以將“任意”周期函數(shù)在這個正交函數(shù)集中展開為系數(shù)稱為傅里葉級數(shù)

本文檔共201頁；當前第6頁；編輯于星期一\18點22分同上式

傅里葉級數(shù)的三角展開式

另一種形式

直流分量

n=1n>1基波分量

n次諧波分量

本文檔共201頁；當前第7頁；編輯于星期一\18點22分可展開為傅里葉級數(shù)的條件：（2）在區(qū)間內有有限個間斷點；（1）絕對可積，即：（3）在區(qū)間內有有限個極值點。Direchlet條件傅里葉級數(shù)存在的充要條件式中，

為n次諧波振幅。

為n次諧波初始相位。！并非任意周期信號都能進行傅里葉級數(shù)展開！

本文檔共201頁；當前第8頁；編輯于星期一\18點22分1.從三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)推導3.2.2傅里葉級數(shù)的復指數(shù)形式利用歐拉公式:式中幅度相位

復指數(shù)

幅度

本文檔共201頁；當前第9頁；編輯于星期一\18點22分的具體求法如下：2.直接從復變正交函數(shù)集推導中展開，有在復變正交函數(shù)空間將原函數(shù)本文檔共201頁；當前第10頁；編輯于星期一\18點22分式中例求的指數(shù)傅里葉級數(shù)和三角傅里葉級數(shù)。已知沖激序列…-T0

O

T02T0t…本文檔共201頁；當前第11頁；編輯于星期一\18點22分的三角傅里葉級數(shù)為：又解本文檔共201頁；當前第12頁；編輯于星期一\18點22分求下圖中三角波的三角傅里葉級數(shù)。則為的周期延拓，即

將去除直流分量，則僅剩交流分量在內的函數(shù)記為（1）將周期函數(shù)例解A-T0OT0

2T0t本文檔共201頁；當前第13頁；編輯于星期一\18點22分

故本文檔共201頁；當前第14頁；編輯于星期一\18點22分（2）利用直接法求解故

本文檔共201頁；當前第15頁；編輯于星期一\18點22分常稱為f(t)的截斷傅里葉級數(shù)表示式。用MATLAB的符號積分函數(shù)int()可表示上式。格式為：（1）intf=int(f,v)；

給出符號表達式f對指定變量v的（不帶積分常數(shù)）不定積分；（2）intf=int(f,v,a,b)；

給出符號表達式f對指定變量v的定積分。3.2.3傅里葉級數(shù)的MATLAB仿真實現(xiàn)本文檔共201頁；當前第16頁；編輯于星期一\18點22分3.3周期信號的對稱性1．縱軸對稱性

（1）如果原函數(shù)是偶函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)中只有直流和余弦分量（即偶函數(shù)之和仍然是偶函數(shù)）。（2）如果原函數(shù)是奇函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)中只有正弦分量（即奇函數(shù)之和仍然是奇函數(shù)）。滿足的周期為T的函數(shù)；即平移半個周期后的信號與原信號關于橫軸對稱。定義：奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)滿足的周期為T的函數(shù)；即平移半個周期后信號與原信號重合。本文檔共201頁；當前第17頁；編輯于星期一\18點22分2．橫軸對稱性（2）偶諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中只有偶次諧波分量。（1）奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中只有奇次諧波分量。如果原信號既不是奇諧函數(shù)也不是偶諧函數(shù)，那么其傅里葉級數(shù)展開式中就會既包含有奇次諧波分量也包含有偶次諧波分量。！利用奇諧函數(shù)、偶諧函數(shù)性質的時候，最好將其直流分量去掉，以免發(fā)生誤判。本文檔共201頁；當前第18頁；編輯于星期一\18點22分已知奇諧函數(shù)：例解本文檔共201頁；當前第19頁；編輯于星期一\18點22分3.4常見周期信號的頻譜3.4.1頻譜的概念頻譜圖表示信號含有的各個頻率分量的幅度值。其橫坐標為頻率（單位為赫茲），縱坐標對應各頻率分量的幅度值。

振幅頻譜（幅頻特性圖）表示信號含有的各個頻率分量的相位。其橫坐標為頻率；縱坐標對應各頻率分量的相位（單位常用度或弧度）。

相位頻譜（相頻特性圖）本文檔共201頁；當前第20頁；編輯于星期一\18點22分例，求頻譜解（1）單邊頻譜：

本文檔共201頁；當前第21頁；編輯于星期一\18點22分（2）雙邊頻譜：包絡線頻譜圖隨參數(shù)的變化規(guī)律：

1）周期T不變，脈沖寬度變化本文檔共201頁；當前第22頁；編輯于星期一\18點22分第一個過零點：譜線間隔情況1：第一個過零點為n=4。

在有值（譜線）本文檔共201頁；當前第23頁；編輯于星期一\18點22分第一個過零點n=8

情況2：脈沖寬度縮小一倍第一個過零點增加一倍譜線間隔不變幅值減小一倍本文檔共201頁；當前第24頁；編輯于星期一\18點22分第一個過零點為n=16。情況3：脈沖寬度再縮小一倍示意圖第一個過零點再增加一倍譜線間隔不變幅值再減小一倍本文檔共201頁；當前第25頁；編輯于星期一\18點22分

由大變小，F(xiàn)n

第一過零點頻率增大，即所以稱為信號的帶寬，確定了帶寬。由大變小，頻譜的幅度變小。由于T

不變，譜線間隔不變，即不變。結論本文檔共201頁；當前第26頁；編輯于星期一\18點22分

第一個過零點情況1：時，譜線間隔2）脈沖寬度不變,周期T變化

示意圖第一個過零點譜線間隔幅值:

本文檔共201頁；當前第27頁；編輯于星期一\18點22分

第一個過零點

情況2：時，譜線間隔周期T擴展一倍示意圖譜線間隔減小一倍第一個過零點不變幅值減小一倍

本文檔共201頁；當前第28頁；編輯于星期一\18點22分

第一個過零點情況3：時，譜線間隔周期T再擴展一倍示意圖譜線間隔再減小一倍幅值再減小一倍

第一個過零點不變本文檔共201頁；當前第29頁；編輯于星期一\18點22分不變，F(xiàn)n的第一個過零點頻率不變，即帶寬不變。T

由小變大，諧波頻率成分豐富，且頻譜幅度變小。

T

時，譜線間隔0，這時：周期信號非周期信號；離散頻譜連續(xù)頻譜結論本文檔共201頁；當前第30頁；編輯于星期一\18點22分典型周期信號的頻譜分析，可利用傅里葉級數(shù)或傅里葉變換。典型周期信號如下：1.周期矩形脈沖信號2.周期對稱方波信號3.周期鋸齒脈沖信號4.周期三角脈沖信號5.周期半波余弦信號6.周期全波余弦信號3.4.2常見周期信號的頻譜本文檔共201頁；當前第31頁；編輯于星期一\18點22分1.周期矩形脈沖信號

(1)周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)求解設周期矩形脈沖：脈寬為，脈沖幅度為E，周期為T1本文檔共201頁；當前第32頁；編輯于星期一\18點22分本文檔共201頁；當前第33頁；編輯于星期一\18點22分（2）周期矩形脈沖信號的幅度、相位譜相位譜幅度譜本文檔共201頁；當前第34頁；編輯于星期一\18點22分復數(shù)頻實數(shù)頻譜幅度譜與相位譜合并本文檔共201頁；當前第35頁；編輯于星期一\18點22分

周期對稱方波信號是周期矩形信號的一種特殊情況，對稱方波信號有兩個特點：(1)是正負交替的信號，其直流分量a0等于零；(2)它的脈寬恰等于周期的一半，即t

=T1/2。2.周期對稱方波信號的傅里葉級數(shù)本文檔共201頁；當前第36頁；編輯于星期一\18點22分本文檔共201頁；當前第37頁；編輯于星期一\18點22分幅度譜相位譜本文檔共201頁；當前第38頁；編輯于星期一\18點22分3.周期鋸齒脈沖信號的傅里葉級數(shù)求解周期鋸齒脈沖信號，是奇函數(shù)故，可求出傅里葉級數(shù)系數(shù)bn。如何求bn留作思考！本文檔共201頁；當前第39頁；編輯于星期一\18點22分其傅里葉級數(shù)表達式為：此信號的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以1/n的規(guī)律收斂。本文檔共201頁；當前第40頁；編輯于星期一\18點22分4.周期三角脈沖信號的傅里葉級數(shù)求解周期三角脈沖信號，是偶函數(shù)，故，可求出傅里葉級數(shù)系數(shù)a0

、an。如何求bn留作思考！本文檔共201頁；當前第41頁；編輯于星期一\18點22分此信號的頻譜只包含直流、基波及奇次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。其傅里葉級數(shù)表達式為：本文檔共201頁；當前第42頁；編輯于星期一\18點22分5.周期半波余弦信號的傅里葉級數(shù)求解周期半波余弦信號，是偶函數(shù)，故，可求出傅里葉級數(shù)系數(shù)a0

、an。如何求bn留作思考！本文檔共201頁；當前第43頁；編輯于星期一\18點22分此信號的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。其傅里葉級數(shù)表達式為：本文檔共201頁；當前第44頁；編輯于星期一\18點22分6.周期全波余弦信號的傅里葉級數(shù)求解周期全波余弦信號，是偶函數(shù)。令余弦信號為則，全波余弦信號為：本文檔共201頁；當前第45頁；編輯于星期一\18點22分此信號的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。其傅里葉級數(shù)表達式為：本文檔共201頁；當前第46頁；編輯于星期一\18點22分

如果用有限傅里葉級數(shù)代替無窮傅里葉級數(shù)表示信號，必然引進一個誤差。如果完全逼近，則n=∞.

實際中，n=N,N是有限整數(shù)。 如果N愈接近n

，則其均方誤差愈小 若用2N＋1項逼近，則3.4.3吉布斯效應本文檔共201頁；當前第47頁；編輯于星期一\18點22分誤差函數(shù)和均方誤差誤差函數(shù)均方誤差本文檔共201頁；當前第48頁；編輯于星期一\18點22分對稱方波,是偶函數(shù)且奇諧函數(shù)。所以其只有奇次諧波的余弦項。例-E/2T1/4-T1/4tE/2o本文檔共201頁；當前第49頁；編輯于星期一\18點22分對稱方波有限項的傅里葉級數(shù)

（N=1、2、3時的逼近波形）（3）N=3:（1）N=1:（2）N=2:-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81本文檔共201頁；當前第50頁；編輯于星期一\18點22分有限項的N越大，誤差越小例如:N=9-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81本文檔共201頁；當前第51頁；編輯于星期一\18點22分N越大，越接近方波快變信號，高頻分量，主要影響跳變沿；慢變信號，低頻分量，主要影響頂部；任一分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時，波形將會失真；有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生。結論本文檔共201頁；當前第52頁；編輯于星期一\18點22分以周期矩形脈沖為例：只需修改上面程序(3.2.3節(jié))中函數(shù)CTFShchsym.m的內容，需注意：因周期信號頻譜是離散的，故在繪制頻譜時采用stem而非plot命令。諧波階數(shù)取還需用到MATLAB的反褶函數(shù)fliplr來實現(xiàn)頻譜的反褶。上機練習！3.4.4周期信號的MATLAB仿真實現(xiàn)本文檔共201頁；當前第53頁；編輯于星期一\18點22分對周期矩形脈沖信號，有3.5非周期性信號的頻譜3.5.1從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換本文檔共201頁；當前第54頁；編輯于星期一\18點22分譜線間隔ˉ譜線間隔0?

從物理概念考慮：信號的能量存在，其頻譜分布的規(guī)律就存在。由于1．從周期信號到非周期信號——從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換本文檔共201頁；當前第55頁；編輯于星期一\18點22分信號的頻譜分布是不會隨著信號的周期的無限增大而消失的。T→∞時，信號的頻譜分布仍然存在。

結論無限多個無窮小量之和仍可等于一個有限量。

從數(shù)學角度來看：本文檔共201頁；當前第56頁；編輯于星期一\18點22分所以，傅里葉級數(shù)展開為：為頻譜密度函數(shù)。定義本文檔共201頁；當前第57頁；編輯于星期一\18點22分周期信號：頻譜是離散的，且各頻率分量的復振幅為有限值。非周期信號：頻譜是連續(xù)的，且各頻率分量的復振幅為無限小量。

所以，對非周期信號來說，僅僅去研究那無限小量是沒有意義的，其頻譜不能直接引用復振幅的概念。！本文檔共201頁；當前第58頁；編輯于星期一\18點22分2．傅里葉逆變換——怎樣用計算本文檔共201頁；當前第59頁；編輯于星期一\18點22分本文檔共201頁；當前第60頁；編輯于星期一\18點22分3.

正、逆傅里葉變換反變換正變換!傅里葉變換對的形式并不唯一傅里葉變換存在的充分條件:用廣義函數(shù)的概念，允許奇異函數(shù)也能滿足上述條件，因而象階躍、沖激一類函數(shù)也存在傅里葉變換。本文檔共201頁；當前第61頁；編輯于星期一\18點22分4．傅里葉變換的另外幾種形式本文檔共201頁；當前第62頁；編輯于星期一\18點22分本文檔共201頁；當前第63頁；編輯于星期一\18點22分

本節(jié)主要介紹以下幾種典型的非周期信號的頻譜。1.單邊指數(shù)信號6.符號函數(shù)2.雙邊指數(shù)信號7.沖激函數(shù)傅里葉變換對3.奇雙邊指數(shù)信號8.沖激偶的傅里葉變換4.矩形脈沖信號9.階躍信號的傅里葉變換5.鐘形脈沖信號10.復正弦信號3.5.2常見信號的傅里葉變換本文檔共201頁；當前第64頁；編輯于星期一\18點22分1.單邊指數(shù)信號的傅里葉變換

其傅里葉變換為：本文檔共201頁；當前第65頁；編輯于星期一\18點22分利用傅里葉變換定義公式本文檔共201頁；當前第66頁；編輯于星期一\18點22分時域波形單邊指數(shù)信號的頻譜如下：頻域頻譜本文檔共201頁；當前第67頁；編輯于星期一\18點22分2.

雙邊指數(shù)信號的傅里葉變換

其傅里葉變換為：（正實函數(shù)）本文檔共201頁；當前第68頁；編輯于星期一\18點22分利用傅里葉變換定義公式求解過程本文檔共201頁；當前第69頁；編輯于星期一\18點22分時域波形雙邊指數(shù)信號的頻譜如下：頻域頻譜相位本文檔共201頁；當前第70頁；編輯于星期一\18點22分3.奇雙邊指數(shù)信號的傅里葉變換本文檔共201頁；當前第71頁；編輯于星期一\18點22分頻域頻譜時域波形頻譜如下：本文檔共201頁；當前第72頁；編輯于星期一\18點22分4.矩形脈沖信號的傅里葉變換實函數(shù)本文檔共201頁；當前第73頁；編輯于星期一\18點22分時域有限的矩形脈沖信號，在頻域上是無限分布。常認為信號占有頻率范圍（頻帶B）為本文檔共201頁；當前第74頁；編輯于星期一\18點22分5.鐘形脈沖信號的傅里葉變換

（高斯脈沖）其傅里葉變換為：（正實函數(shù)）本文檔共201頁；當前第75頁；編輯于星期一\18點22分因為鐘形脈沖信號是一正實函數(shù)，所以其相位頻譜為零。時域波形頻域頻譜本文檔共201頁；當前第76頁；編輯于星期一\18點22分6.符號函數(shù)的傅里葉變換其傅里葉變換為：（純虛數(shù)函數(shù)）本文檔共201頁；當前第77頁；編輯于星期一\18點22分

符號函數(shù)不滿足絕對可積條件，但它卻存在傅里葉變換。

采用符號函數(shù)與雙邊指數(shù)衰減函數(shù)相乘，求出奇雙邊指數(shù)的頻譜，再取極限，從而求得符號函數(shù)的頻譜。本文檔共201頁；當前第78頁；編輯于星期一\18點22分7.沖激函數(shù)傅里葉變換對直流信號的傅里葉變換是沖激函數(shù)！本文檔共201頁；當前第79頁；編輯于星期一\18點22分均勻譜或白色譜1Oto1OtO本文檔共201頁；當前第80頁；編輯于星期一\18點22分8.沖激偶的傅里葉變換

記為

同理，有本文檔共201頁；當前第81頁；編輯于星期一\18點22分9.階躍信號的傅里葉變換

幅頻特性

相頻特性

u(t)Ot1O本文檔共201頁；當前第82頁；編輯于星期一\18點22分10．復正弦信號的傅里葉變換為一位于且強度為的沖激函數(shù)。結論O本文檔共201頁；當前第83頁；編輯于星期一\18點22分升余弦脈沖信號的傅里葉變換

補充升余弦脈沖信號：其傅里葉變換為：（實數(shù)）其頻譜由三項構成，均為矩形脈沖頻譜，只是有兩項沿頻率軸左、右平移了本文檔共201頁；當前第84頁；編輯于星期一\18點22分利用傅里葉變換定義公式化簡得：求解過程本文檔共201頁；當前第85頁；編輯于星期一\18點22分3.5.3MATLAB仿真實現(xiàn)MATLAB數(shù)學工具箱SymbolicMathToolbox提供了能直接求解傅氏變換及逆變換的函數(shù)fourier()和ifourier()。（1）傅里葉變換調用格式1）F=fourier(f)

2）F=fourier(f,v)

3）F=fourier(f,u,v)

本文檔共201頁；當前第86頁；編輯于星期一\18點22分（2）傅里葉逆變換調用格式1）f=ifourier(F)

2）f=ifourier(F,u)

3）f=ifourier(F,v,u)

在調用fourier()和ifourier()之前，要用syms命令對所用到的變量進行說明，即將這些變量說明成符號變量。對fourier()中的函數(shù)f及ifourier()中的函數(shù)F也要用符號定義符syms將f或F說明為符號表達式；若f或F是MATLAB中的通用函數(shù)表達式，則不必用syms加以說明。

！書中例題可上機練習本文檔共201頁；當前第87頁；編輯于星期一\18點22分時間函數(shù)頻譜某種運算變化變化運算3.6傅里葉變換的性質1.傅里葉變換的唯一性傅里葉變換的唯一性表明了信號的時域和頻域是一一對應的關系。！本文檔共201頁；當前第88頁；編輯于星期一\18點22分2.對稱性（頻域、時域呈現(xiàn)的對應關系）若，則即證明證畢本文檔共201頁；當前第89頁；編輯于星期一\18點22分如沖激和直流函數(shù)的頻譜的對稱性就是一例子：！若為偶函數(shù)，則或即f(t)為偶函數(shù)，則時域和頻域完全對稱。F(ω)ωOOOOF(t)ωtt（1）沖激函數(shù)本文檔共201頁；當前第90頁；編輯于星期一\18點22分（2）直流函數(shù)1OO1OO本文檔共201頁；當前第91頁；編輯于星期一\18點22分FT對稱性t

換成ωf換成F1換成本文檔共201頁；當前第92頁；編輯于星期一\18點22分例解本文檔共201頁；當前第93頁；編輯于星期一\18點22分

3.線性（疊加性、均勻性）

相加信號頻譜＝各個單獨信號的頻譜之和證明推論本文檔共201頁；當前第94頁；編輯于星期一\18點22分求f(t)的傅里葉變換例解本文檔共201頁；當前第95頁；編輯于星期一\18點22分4.奇偶虛實性無論f(t)是實函數(shù)還是復函數(shù)，下面四式均成立:時域反摺頻域也反摺時域共軛頻域共軛并且反摺更廣泛地講，函數(shù)f(t)是t的復數(shù)；令虛部實部本文檔共201頁；當前第96頁；編輯于星期一\18點22分整理上式得出：本文檔共201頁；當前第97頁；編輯于星期一\18點22分把式（2）、（3）代入式（1）整理得：本文檔共201頁；當前第98頁；編輯于星期一\18點22分性質1實數(shù)函數(shù)設f(t)是t的實函數(shù),則的實部與虛部將分別等于f2(t)=0，f(t)=f1(t)，則有特殊情況討論：從上式可以得出結論:本文檔共201頁；當前第99頁；編輯于星期一\18點22分實信號的頻譜具有很重要的特點，正負頻率部分的頻譜是相互共軛的.特點偶函數(shù)奇函數(shù)本文檔共201頁；當前第100頁；編輯于星期一\18點22分性質2虛函數(shù)設f(t)是純虛函數(shù)則反之也正確.因而是的奇函數(shù),而是的偶函數(shù)。本文檔共201頁；當前第101頁；編輯于星期一\18點22分性質3實偶函數(shù)實偶函數(shù)的傅里葉變換仍為實偶函數(shù)結論反之，若一實函數(shù)f(t)的傅里葉積分也是實函數(shù)，則f(t)必是偶函數(shù)。推論設f(t)是t的實偶函數(shù)，則本文檔共201頁；當前第102頁；編輯于星期一\18點22分例解tOf(t)F(ω)tO本文檔共201頁；當前第103頁；編輯于星期一\18點22分性質4奇實函數(shù)設f(-t)=-f(t)，則：反之，若一實函數(shù)f(t)付里葉積分是一純虛函數(shù)，則f(t)必是奇函數(shù)。實奇函數(shù)的傅里葉變換則為虛奇函數(shù)結論推論本文檔共201頁；當前第104頁；編輯于星期一\18點22分例解tOf(t)ωO|F(ω)|ωOF(ω)ωOφ(ω)π/2-π/2本文檔共201頁；當前第105頁；編輯于星期一\18點22分同理可以推出：若是虛函數(shù)且還是偶函數(shù)，則的傅里葉變換為虛偶函數(shù)。性質5：性質6：若是虛函數(shù)且還是奇函數(shù)，則的傅里葉變換為實奇函數(shù)。讀者可以仿照性質3、性質4給予簡單證明本文檔共201頁；當前第106頁；編輯于星期一\18點22分如果將按照奇偶來劃分本文檔共201頁；當前第107頁；編輯于星期一\18點22分本文檔共201頁；當前第108頁；編輯于星期一\18點22分

由此可看出，此時F(ω)是虛函數(shù)且是ω的奇函數(shù)。對于f(t)為虛函數(shù)的情況，分析方法同上，結論相反。上述討論的結果如下:f(t)F(ω)實一般實部偶、虛部奇、幅頻偶、相頻奇偶實部偶奇虛部奇虛偶虛部偶奇實部奇本文檔共201頁；當前第109頁；編輯于星期一\18點22分5.尺度變換特性時間波形的擴展和壓縮,將影響頻譜的波形對于一個實常數(shù)a，其關系為令x=at，則dx=adt，代入上式可得則證明時域壓縮則頻域展寬；展寬時域則頻域壓縮。結論本文檔共201頁；當前第110頁；編輯于星期一\18點22分時域中的壓縮（擴展）等于頻域中的擴展（壓縮）f(t/2)縮tO縮f(2t)縮tO縮1展展O展展O本文檔共201頁；當前第111頁；編輯于星期一\18點22分尺度變換變換后語音信號的變化f(t)f(1.5t)f(0.5t)0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

一段語音信號(“對了”)。抽樣頻率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)例本文檔共201頁；當前第112頁；編輯于星期一\18點22分定義若高度為的矩形與的面積相等，則稱矩形寬度為等效頻帶寬度。等效頻帶寬度若高度為的矩形與的面積相等，則稱矩形寬度為等效脈沖寬度。等效脈沖寬度本文檔共201頁；當前第113頁；編輯于星期一\18點22分信號的等效脈沖寬度和占有的等效頻帶寬度成反比。結論本文檔共201頁；當前第114頁；編輯于星期一\18點22分(2)脈寬×頻寬＝常數(shù)(1)函數(shù)f(at)表示函數(shù)f(t)在時間刻度上壓縮a倍，同樣

表示函數(shù)在頻率刻度上擴展a倍，因此比例性表明，在時間域的壓縮等于在頻率域中的擴展反之亦然。上述反比特性的物理意義：本文檔共201頁；當前第115頁；編輯于星期一\18點22分6.時移特性若

則證明令則本文檔共201頁；當前第116頁；編輯于星期一\18點22分同理可推得：帶有尺度變換的時移特性令a<0時加絕對值本文檔共201頁；當前第117頁；編輯于星期一\18點22分單矩形脈沖的頻譜為有如下三脈沖信號：其頻譜為求三脈沖信號的頻譜例解本文檔共201頁；當前第118頁；編輯于星期一\18點22分頻移特性與時移特性對稱（這里ω0為實常量）7.頻移特性證明本文檔共201頁；當前第119頁；編輯于星期一\18點22分若則同理可得本文檔共201頁；當前第120頁；編輯于星期一\18點22分矩形脈沖信號f(t)與余弦信號cosω0

t相乘后信號的頻譜函數(shù)。利用頻移特性可得寬度為的矩形脈沖信號對應的頻譜函數(shù)為例解本文檔共201頁；當前第121頁；編輯于星期一\18點22分0A2/tt2/t-)(tfowF(ω)F(ω)oww0-w02/tAt2/t-ttfcos)(w0本文檔共201頁；當前第122頁；編輯于星期一\18點22分8.微分特性

（1）時域（2）頻域，則若若，則證明（略）本文檔共201頁；當前第123頁；編輯于星期一\18點22分9.積分特性若（1）時域積分則,則若本文檔共201頁；當前第124頁；編輯于星期一\18點22分(2)頻域積分若則本文檔共201頁；當前第125頁；編輯于星期一\18點22分10.卷積定理（1）時域卷積定理

設有兩個時間函數(shù)f1(t)和f2(t)，它們分別對應的頻譜函數(shù)為F1(ω)和F2(ω)：若則可簡記為本文檔共201頁；當前第126頁；編輯于星期一\18點22分證明式中本文檔共201頁；當前第127頁；編輯于星期一\18點22分（2）頻域卷積定理若則可簡記為本文檔共201頁；當前第128頁；編輯于星期一\18點22分1.用頻移特性3.7周期信號的傅里葉變換

3.7.1正、余弦信號的傅里葉變換令

由頻移特性本文檔共201頁；當前第129頁；編輯于星期一\18點22分oo余弦信號頻譜

正弦信號頻譜本文檔共201頁；當前第130頁；編輯于星期一\18點22分2.用極限方法有限長余弦看成矩形乘以。對求極限即可得到無限長余弦信號。本文檔共201頁；當前第131頁；編輯于星期一\18點22分1-1本文檔共201頁；當前第132頁；編輯于星期一\18點22分3.7.2一般周期信號的傅里葉變換周期信號式中本文檔共201頁；當前第133頁；編輯于星期一\18點22分

求單位沖激序列的傅里葉變換

例解本文檔共201頁；當前第134頁；編輯于星期一\18點22分FSFTOO(1)O1O本文檔共201頁；當前第135頁；編輯于星期一\18點22分小結周期信號傅里葉變換的特點：

(1)周期信號可求取傅里葉變換和傅里葉級數(shù)，但非周期信號則只能求傅里葉變換；(2)非周期信號的頻譜是連續(xù)譜，它的大小是有限值；(3)周期信號的頻譜是離散譜，其幅值是無窮大（含譜密度概念），它的大小用沖激表示；是的包絡的倍；是單個復諧波成份的復振幅，而是單位帶寬內所有復諧波成分的合的復振幅值；（6）的單位是伏特或安培，而的單位則是(伏特/赫，安培/赫)；(7)代表的是信號的功率分配,而代表了信號的能量分布。

本文檔共201頁；當前第136頁；編輯于星期一\18點22分3.8抽樣定理取樣目的及所遇到的問題：數(shù)字信號處理系統(tǒng)簡單框圖本文檔共201頁；當前第137頁；編輯于星期一\18點22分（1)取樣后離散信號的頻譜是什么樣的？它與未被取樣的連續(xù)信號的頻譜有什么關系？（2)連續(xù)信號被取樣后，是否保留了原信號的所有信息？即在什么條件下，可以從取樣的信號還原成原始信號？問題:連續(xù)信號離散信號抽樣還原(有條件)

本文檔共201頁；當前第138頁；編輯于星期一\18點22分抽樣時域抽樣頻域抽樣自然抽樣(矩形抽樣)理想抽樣(沖激抽樣)平頂抽樣低通(掌握)帶通（了解)本文檔共201頁；當前第139頁；編輯于星期一\18點22分此時的抽樣脈沖p(t)是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t)抽樣信號在抽樣期間脈沖頂部隨f(t)變化，故這種抽樣稱為“自然抽樣”。時域抽樣簡圖抽樣過程可以看成由原信號f(t)和一個開關函數(shù)p(t)的乘積來描述。抽樣信號為1．矩形脈沖抽樣（自然抽樣）3.8.1時域抽樣連續(xù)信號f(t)抽樣脈沖p(t)量化編碼數(shù)字信號抽樣信號本文檔共201頁；當前第140頁；編輯于星期一\18點22分由于p(t)是周期信號，可知p(t)的傅氏變換為:令模擬帶限信號傅氏變換為，即取樣脈沖序列的傅氏變換為設取樣為均勻抽樣，周期為Ts，則取樣角頻率為（1）抽樣信號頻譜推導式中：本文檔共201頁；當前第141頁；編輯于星期一\18點22分由頻域卷積定理得，時域相乘的傅氏變換等于它們的頻譜在頻域里相卷積。代入上面計算出的p(t)信號在時域被抽樣后，它的頻譜是連續(xù)信號的頻譜以取樣角頻率為間隔周期地重復而得到的。在重復過程中，幅度被取樣脈沖p(t)的傅里葉系數(shù)所加權，加權系數(shù)取決于取樣脈沖序列的形狀。

！本文檔共201頁；當前第142頁；編輯于星期一\18點22分當抽樣脈沖為矩形抽樣脈沖時，幅度以Sa函數(shù)的規(guī)律變化。從的頻譜圖可見，抽樣后的信號頻譜包括有原信號的頻譜以及無限個經(jīng)過平移的原信號的頻譜，平移的頻率為抽樣頻率及其各次諧波頻率。且平移后的頻譜幅值隨頻率而呈Sa函數(shù)分布。因矩形脈沖占空系數(shù)很小，故其頻譜所占的頻帶幾乎無限寬。！抽樣后頻譜o1o抽樣前頻譜本文檔共201頁；當前第143頁；編輯于星期一\18點22分(1)如果取樣脈沖寬度與系統(tǒng)中各時間常數(shù)相比十分小的時候，這個沖激函數(shù)的假定將是一個很好的近似，它將使分析簡化。(2)通過沖激取樣的方法來表明數(shù)字信號，在數(shù)字信號處理中有著廣泛的應用。(點抽樣；均勻抽樣)取樣率必須選得大于信號頻譜最高頻率的兩倍。（2）抽樣頻率的選擇！本文檔共201頁；當前第144頁；編輯于星期一\18點22分（3）矩形脈沖抽樣of(t)oooo點乘卷積oP(t)本文檔共201頁；當前第145頁；編輯于星期一\18點22分2.沖激抽樣（理想抽樣）若取樣脈沖是沖激序列，此時稱為“沖激取樣”或“理想抽樣”。設Ts為取樣間隔，則取樣脈沖為因T(t)的傅氏系數(shù)為:故沖激取樣信號的頻譜為：本文檔共201頁；當前第146頁；編輯于星期一\18點22分周期單位沖激序列的FT：本文檔共201頁；當前第147頁；編輯于星期一\18點22分ooooo本文檔共201頁；當前第148頁；編輯于星期一\18點22分抽樣前信號頻譜抽樣后信號頻譜由于沖激序列的傅里葉系數(shù)Pn為常數(shù)，所以是以為周期等幅地重復，如下圖所示：本文檔共201頁；當前第149頁；編輯于星期一\18點22分（1）時域理想抽樣的傅里葉變換下面對矩形脈沖抽樣和沖激抽樣進行比較和小結：FT相乘

相卷積FT本文檔共201頁；當前第150頁；編輯于星期一\18點22分（2）關于非理想抽樣非理想抽樣理想抽樣比較本文檔共201頁；當前第151頁；編輯于星期一\18點22分理想抽樣和非理想抽樣的對比本文檔共201頁；當前第152頁；編輯于星期一\18點22分結論矩形脈沖抽樣和沖激抽樣的重要差別就在于頻譜分量的性質不同。矩形脈沖抽樣所導出的頻譜分量的幅度是按包絡的變化規(guī)律隨頻率而下降的，而理想抽樣所導出的頻譜卻有著相同的幅度，不隨頻率而減少；是信號本身固有的；是人為的；稱為奈奎斯特抽樣頻率；稱為奈奎斯特抽樣間隔；抽樣頻率為奈奎斯特抽樣頻率的兩倍或兩倍以上時，抽樣信號的頻譜才不會發(fā)生混疊。只有這樣才能無失真地恢復出原信號。

本文檔共201頁；當前第153頁；編輯于星期一\18點22分3．抽樣定理定理3.1設有一連續(xù)信號f(t)，它的頻譜則只要取樣間隔滿足，連續(xù)信號f(t)就可表示為：本文檔共201頁；當前第154頁；編輯于星期一\18點22分

由于f(t)的頻帶有限,而時域取樣必導致頻域周期。在周期重復時，為保證內為，則重復周期應滿足,將取樣信號通過截止頻率為的理想低通濾波器，便能從中恢復,也就是說，能從取樣信號fs(t)中恢復出原始信號

f(t)。證明OO本文檔共201頁；當前第155頁；編輯于星期一\18點22分由時域卷積定理知：復原始信號f(t)。設、,則當通過截止頻率為的理想低通濾波器時，濾波器的響應頻譜為，顯然濾波器的作用等效于一個開關函數(shù)同的相乘。即本文檔共201頁；當前第156頁；編輯于星期一\18點22分本文檔共201頁；當前第157頁；編輯于星期一\18點22分則(內插公式)證畢而由傅里葉變換的對稱性可知：本文檔共201頁；當前第158頁；編輯于星期一\18點22分由于定理二是討論由離散信號恢復成連續(xù)信號，所以又稱重建定理。

設f(t)是一帶限連續(xù)信號，最高頻率為,根據(jù)定理一對f(t)進行抽樣，得f(nT)，則f(nT)經(jīng)過一個頻率響應為如圖的理想低通濾波器后便得到f(t).

(自證)定理3.210本文檔共201頁；當前第159頁；編輯于星期一\18點22分頻域抽樣定理若信號為時限信號，它集中在的時間范圍內，若在頻域中，以不大于的頻率間隔對的頻譜進行抽樣，則抽樣后的頻譜可以唯一地表示原信號。3.8.2頻域抽樣

頻域有限時域有限時域無限頻域無限但反之不一定成立如：白噪聲時域取樣與頻域取樣的對稱性f(t)以為周期重復f(t)以T為周期重復本文檔共201頁；當前第160頁；編輯于星期一\18點22分根據(jù)時域和頻域對稱性，可推出頻域抽樣定理偶函數(shù)變量置換本文檔共201頁；當前第161頁；編輯于星期一\18點22分頻域取樣后的時間函數(shù)相乘卷積本文檔共201頁；當前第162頁；編輯于星期一\18點22分本文檔共201頁；當前第163頁；編輯于星期一\18點22分抽樣定理小結時域對取樣等效于頻域對重復時域取樣間隔不大于。頻域對抽樣等效于時域對重復頻域取樣間隔不大于。滿足取樣定理，則不會產(chǎn)生混疊。本文檔共201頁；當前第164頁；編輯于星期一\18點22分3.9功率頻譜與能量頻譜3.9.1周期信號的功率譜

周期性信號的能量無窮大，功率有限，因此可從功率方面進行研究。(1)正交分解與信號功率對周期信號f(t)做正交分解，有：則總功率為本文檔共201頁；當前第165頁；編輯于星期一\18點22分式中，為正交信號分量的功率如果信號在非正交函數(shù)集中分解后，信號的功率并不滿足疊加性（如泰勒級數(shù)展開）。注意利用信號傅里葉級數(shù)分解后的信號分量，計算原信號的功率

例因為傅里葉級數(shù)分解是正交分解

解本文檔共201頁；當前第166頁；編輯于星期一\18點22分時域求得的信號功率頻域求得的信號功率（1）周期信號的表示形式對于周期信號，在時域中求得的信號功率＝頻域中的信號各諧波分量功率之和。這就是Parseval定理在周期信號時的表示形式帕塞瓦爾定理：本文檔共201頁；當前第167頁；編輯于星期一\18點22分(1)對于單邊功率譜，在每個不等于零（非直流）的頻率上，子信號功率，直流信號的功率為

將周期性信號在各個頻率上分量的功率大小，用圖的方法表示出。其橫坐標為頻率，縱坐標為信號分量的功率，該圖形稱為功率譜圖。功率譜與頻譜非常相似，但有稍許不同：(2)對于雙邊功率譜，在每個頻率點上，子信號功率為：(3)功率譜只有大?。ǚ龋?，沒有相位。（3）周期性信號的功率譜本文檔共201頁；當前第168頁；編輯于星期一\18點22分3.9.2能量頻譜對于非周期信號而言，其周期為無窮，但能量有限，所以它的功率為零，故我們只可以從能量角度研究對其進行研究。非周期信號在各個頻率上的實際分量大小為無窮小，只能用能量密度譜描述單位頻帶內的信號能量。：（1）能量譜信號總能量：本文檔共201頁；當前第169頁；編輯于星期一\18點22分在時域中,卷積積分的方法可求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。它是以沖激信號作為基本信號，將任意連續(xù)信號分解為無窮多個沖激函數(shù)的加權和，每個沖激函數(shù)對系統(tǒng)的響應疊加起來，就得到的零狀態(tài)響應。本節(jié)中,正弦信號或諧波信號作為基本信號，將信號分解為無窮多個正弦信號或虛指數(shù)的加權和。這些信號作用于系統(tǒng)時所得到的響應之疊加即為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。

3.10系統(tǒng)頻域分析法本文檔共201頁；當前第170頁；編輯于星期一\18點22分在時域中其中：H(j)=FT[h(t)]稱頻域系統(tǒng)函數(shù)。則h(t)=IFT[H(j)]

也稱系統(tǒng)的頻率響應。稱為幅頻特性，稱相頻特性。輸入的頻譜響應的頻譜3.10.1周期性信號的穩(wěn)態(tài)響應在頻域中本文檔共201頁；當前第171頁；編輯于星期一\18點22分式中為h(t)的傅里葉變換，頻域系統(tǒng)函數(shù)可見，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yzs(t)是等于激勵ejt

乘以加權函數(shù)H(j)，此加權函數(shù)H(j)即為頻域系統(tǒng)函數(shù)，亦即為h(t)的傅里葉變換。設激勵f(t)=ejt,則系統(tǒng)零狀態(tài)響應為即有

h(t)H(j)！本文檔共201頁；當前第172頁；編輯于星期一\18點22分周期信號激勵下的系統(tǒng)響應正弦信號激勵時的響應設輸入信號為正弦信號，即所以本文檔共201頁；當前第173頁；編輯于星期一\18點22分頻域分析的方法的求解步驟為：先求出輸入信號的頻譜F(j)和頻域系統(tǒng)函數(shù)H(j)由于y(t)=h(t)f(t)，利用連續(xù)時間非周期信號的傅里葉變換的時域卷積性質，有

Y(j)=H(j)F(j)，求出輸出信號的頻譜將Y(j)進行傅里葉反變換就得到y(tǒng)(t)3.10.2非周期信號通過線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應補充RC電路，若輸入信號為矩形脈沖波如圖所示。求系統(tǒng)響應。矩形脈沖波本文檔共201頁；當前第174頁；編輯于星期一\18點22分輸入信號的頻譜為解RC電路的系統(tǒng)函數(shù)為因此，輸出頻譜為因為本文檔共201頁；當前第175頁；編輯于星期一\18點22分令1/RC=a，可得本文檔共201頁；當前第176頁；編輯于星期一\18點22分用Matlab畫出的輸出信號的頻譜如圖所示。圖中畫出了帶寬和的兩種情況

RC電路輸出的幅度頻譜本文檔共201頁；當前第177頁；編輯于星期一\18點22分RC電路輸出的時域波形

本文檔共201頁；當前第178頁；編輯于星期一\18點22分由于RC電路的低通特性，高頻分量有較大的衰減，故輸出波形不能迅速變化。輸出波形不再是矩形脈沖信號，而是以指數(shù)規(guī)律逐漸上升和下降。當帶寬增加時，允許更多的高頻分量通過，輸出波形的上升與下降時間縮短，和輸入信號波形相比，失真減小。結論本文檔共201頁；當前第179頁；編輯于星期一\18點22分為起始頻率，，1．h=freqs(b,a,w)式中對應于式(3-159)中的向量，對應于式（3-159）中的向量使用形式如為終止頻率，為頻率取樣間隔。向量返回在頻率向量上的系統(tǒng)函數(shù)樣值。，w為頻率取值范圍，2．[h,w]=freqs(b,a)該調用格式將計算默認頻率范圍內200個頻率點的系統(tǒng)函數(shù)樣值，并賦值給返回變量，200個頻率點記錄在w中。3.10.3MATLAB仿真實現(xiàn)本文檔共201頁；當前第180頁；編輯于星期一\18點22分右圖是常見的用RLC元件構成的某系統(tǒng)電路。設4．freqs(b,a)

該調用格式并不返回系統(tǒng)函數(shù)樣值，而是以對數(shù)坐標的方式繪出系統(tǒng)的幅頻響應和相頻響應。3．[h,w]=freqs(b,a,n)

該調用格式將計算默認頻率范圍內200個頻率點的系統(tǒng)函數(shù)樣值，并賦值給返回變量，個頻率點記錄在w中。，試用MATLAB的freqs()函數(shù)求解該系統(tǒng)頻率響應并繪圖。例

，，RLC二階低通濾波器電路圖本文檔共201頁；當前第181頁；編輯于星期一\18點22分根據(jù)原理圖，容易寫出系統(tǒng)的頻率響應為：式中，將R、L、C的值代入的表達式，得：解本文檔共201頁；當前第182頁；編輯于星期一\18點22分b=[001];a=[0.080.41];%生成向量b，a[h,w]=freqs(b,a,100);%求系統(tǒng)頻響特性h1=abs(h);%求幅頻響應h2=angle(h);%求相頻響應subplot(211);plot(w,h1);gridxlabel('角頻率(W)');ylabel('幅度');title('H(jw)的幅頻特性');subplot(212);plot(w,h2*180/pi);gridxlabel('角頻率(w)');