人教版高中數(shù)學必修五23等比數(shù)列1課件

成才之路·

數(shù)學路漫漫其修遠兮吾將上下而求索人教B版·

必修5第二章數(shù)

列2.3

等比數(shù)列第二章第1課時等比數(shù)列的概念及通項公式課堂典例講練2課時作業(yè)4課前自主預習1易錯疑難辨析3課前自主預習我國古代數(shù)學名著《孫子算經》中有一個有趣的問題叫

“出門望九堤”：“今有出門望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各有幾何？”上述問題中的各種東西的數(shù)量構成了怎樣的數(shù)列？1．等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從

第2項起，每一項與它的前一項的比都等于

同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的

公比

，公比通常用字母

q

表示．2．等比數(shù)列的遞推公式與通項公式已知等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q(q≠0)，填表：遞推公式通項公式an

＝

q

(n≥2)an－1a

＝

a1qn－1n

3.等比中項如果三個數(shù)x，G，y組成等比數(shù)列，則G叫做x和y的等比中項．如果G是x和y的等比中項，那么G2＝xy

，即

G＝±

xy

．n11.在等比數(shù)列{a

}中，已知a1＝9，5

3a

＝9，則a

＝(

)B．3D．±3A．1C．±1[答案]

A[解析]

設公比為q，則a5＝a1q4，∴q4＝81，∴q2＝9.3

11∴a

＝a

q2＝9×9＝1.2．已知－1，x，－4成等比數(shù)列，則x的值為()5A．2

B．－2C．2或－2

D.

2或－

2[答案][解析]C由題意，得x2＝4，又∵x是－1和－4的等比中項，∴x＝±2.3．(2013～2014學年度吉林省白城市高二期末測試)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a3是a1與a4的等比中項，則a2＝(

)B．－6D．－10A．－4C．－8[答案][解析]B由題意，得a＝a1·a4，即(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8.∴a2＝a1＋d＝－8＋2＝－6.4．某種細菌在培養(yǎng)過程中，每半小時分裂一次(一個分裂為兩個)，經過4小時，這種細菌由1個可繁殖成

個？[答案][解析]256設逐次分裂后的個數(shù)為an，則{an}構成以a1＝2為首項，q＝2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2n，經過4小時，共分裂

8次，∴a8＝28＝256，∴這種細菌經過4小時可由1個繁殖成256個．5．等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a4＝8，則a6＝

.[答案][解析]32設公比為q，則a4＝a1q3，a4

8∴q3＝a

＝1＝8，∴q＝2.1∴a6＝a1q5＝25＝32.6．若等比數(shù)列{an}滿足anan＋1＝16n，求公比q的值．[解析]

由anan＋1＝16n，得a1a2＝16，a2a3＝162，a2a31

22∴a

a

＝q

＝16，1∴q＝±4.又∵a1a2＝a2q＝16>0，∴q>0，∴q＝4.課堂典例講練等比數(shù)列的通項公式解法一：∵a1a3＝a2，∴a

a

a

＝a3＝8，2

1

2

3

2[解析]∴a2＝2.從而a1＋a3＝5a1a3＝4，解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.1

11當a

＝1時，q＝2；當a

＝4時，q＝2，n故a

＝2—n

1n或a

＝2—3

n.解法二：由等比數(shù)列的定義知a2＝a1q，a3＝a1q2.代入已知得a1＋a1q＋a1q2＝72a1·a1q·a1q

＝8，即

a1(1＋q＋q2)＝73

3a1q

＝8，∴a1(1＋q＋q2)＝7(1)a1q＝2

(2)1將a

＝2q代入(1)2得2q

－5q＋2＝0，∴q＝212或q＝

.由(2)得a1＝1q＝2或a1＝41q＝2，以下同解法一．三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，它們的積等于64，求這三個數(shù)．a[解析]

設這三個數(shù)為q，a，aqqa＋a＋aq＝14①根據(jù)已知條件得aq·a·aq＝64②1由②得a＝4，代入①得q＝2或q＝2，∴這三個數(shù)為2,4,8或8,4,2.等比中項[解析]

設公差為d，由題意得a2＝a

·a

，∵a

＝1，2

1

5

1∴(1＋d)2＝1＋4d，∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2，∴S10＝10×1＋10×92×2＝100，故選B.[答案]

B等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中項，a2＋a4＋a10a1＋a3＋a9則

＝

.[答案][解析]1316由題意知，a3是a1和a9的等比中項，∴a2＝a

a

，∴(a

＋2d)2＝a

(a

＋8d)，解得a

＝d，3

1

9

1

1

1

1a1＋a3＋a9∴24a

＋a

＋a1013d

13＝16d＝16.等比數(shù)列的判定[解析]

∵Sn＝2an＋1(n∈N*)，∴Sn－1＝2an－1＋1(n≥2)，兩式相減，得an＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，即anan－1n＝2(n≥2)．故數(shù)列{a

}是等比數(shù)列．已知數(shù)列{an}的首項a1＝5，前n項和為Sn,

且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列．[解析]

∵Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)，∴Sn＝2Sn－1＋n＋4(n≥2)，兩式相減，得an＋1＝2an＋1，n＋1

n∴a

＋1＝2(a

＋1)，∴＋n

1a

＋1na

＋1

＝2(n≥2)．∵S2＝2S1＋6＝2a1＋6＝16，∴a1＋a2＝16，∴a2＝16－a1＝11.2

1an＋1＋1n∴a

＋1＝12＝2(a

＋1)．∴

a

＋1

＝2(n∈N*)．又a1＋1＝6，即數(shù)列{an＋1}是首項為6，公比為2的等比數(shù)列.等比數(shù)列的實際應用培育水稻新品種，如果第一代得到120粒種子，并且從第一代起，由各代的每一粒種子都可以得到下一代的

120粒種子，到第5代大約可以得到這個新品種的種子多少粒(保留兩個有效數(shù)字)?[解析]

由于每代的種子數(shù)是它的前一代種子數(shù)的120倍，逐代的種子數(shù)組成等比數(shù)列，記為{an}，其中a1＝120，q＝120，因此，a5＝120×1204≈2.5×1010.答：到第五代大約可以得到種子2.5×1010粒．容積為aL(a>1)的容器盛滿酒精后倒出1L，然后加滿水，混合溶液后再倒出1L，又用水加滿，如此繼續(xù)下去，問第n次操作后溶液的濃度是多少？若a＝2，至少應倒出幾次后才可以使酒精濃度低于10%.[解析]

開始的濃度為1，操作一次后溶液的濃度是a1＝11－a.設操作n次后溶液的濃度是an，則操作n＋1次后溶液的濃度n＋1

nan

1是a

＝a

(1－

1

)．所以{a

}構成以a

＝11

1—a

為首項，q＝1－a為公比的等比數(shù)列．所以n1a

＝a

q—n

11an＝(1－

)，即第n次操作后溶液的濃度是(1－1an1n

n).當a＝2時，由a

＝(2

)<10

1

，得n≥4.因此，至少應倒4次后才可以使酒精濃度低于10%.易錯疑難辨析[錯解]

設該等比數(shù)列的公比為q，首項為a1，∵a2－a5＝42，∴q≠1，由已知，得a1＋a1q＋a1q2＝1684a1q－a1q

＝42，∴a1(1＋q＋q2)＝1683a1q(1－q

)＝42①②∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，1∴由②除以①，得q(1－q)＝4.1∴q＝2，1∴a

＝422－(2)1

1

4＝96.6

115

5∴a

＝a

q

＝96×(2)

＝3.∵a5、a7的等比中項為a6，∴a5、a7的等比中項為3.[辨析]

錯誤的原因在于認為a5，a7的等比中項是a6，忽略了同號兩數(shù)的等比中項有兩個且互為相反數(shù)．[正解]

設該等比數(shù)列的公比為q，首項為a1，∵a2－a5＝42，∴q≠1，由已知，得a1＋a1q＋a1q2＝1684a1q－a1q

＝42，∴a1(1＋q＋q2)＝1683a1q(1－q