2023中考復(fù)習(xí)-三角形綜合題

三角形綜合題

1.,如圖，RtZ\ABC中，ZACB=90°,BC=8,cotZBAC=.5.,點D在邊BC上(不與點B、C重合)，點E在邊BC

4

的延長線上，NDAE=NBAC,點F在線段AE上，ZACF=ZB.設(shè)BD=x.

(1)假設(shè)點F恰好是AE的中點，求線段BD的長；

12)假設(shè)y=迎，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；

EF

(3)當(dāng)aADE是以AD為腰的等腰三角形時，求線段BD的長.

2.如圖，AABC邊AB上點D、E(不與點A、B重合)，滿足NDCE=/ABC,ZACB=90°,AC=3,BC=4；

(1)當(dāng)C1UAB時，求線段BE的長；

(2)當(dāng)4CDE是等腰三角形時，求線段AD的長；

(3)設(shè)AD=x,BE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域.

3.如圖，AABC中，AB=AC=3,BC=2,點D是邊AB上的動點，過點D作DE〃BC,交邊AC于點E,點Q是線段

DE上的點，且QE=2DQ,連接BQ并延長，交邊AC于點P.設(shè)BD=x,

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；

(2)當(dāng)4PQE是等腰三角形時，求BD的長；

⑶連接CQ,當(dāng)NCQB和NCBD互補時,求x的值.

4.如圖，在RtZ\ABC中，NACB=90°,弛?=皿，CD_LAB于點D,點E是直線AC上一動點，連接DE,過點D作

ACn

FD1ED,交直線BC于點F.

(1)探究發(fā)現(xiàn)：

如圖1,假設(shè)m=n,點E在線段AC上，那么些=；

DF

⑵數(shù)學(xué)思考:

①如圖2,假設(shè)點E在線段AC上，那么些=(用含m,n的代數(shù)式表示)；

DF

②當(dāng)點E在直線AC上運動時，①中的結(jié)論是否任然成立？請僅就圖3的情形給出證明；

(3)拓展應(yīng)用：假設(shè)AC=JWBC=2泥，DF=4j],請直接寫出CE的長.

5.如圖1,在aABC中，AB=AC,射線BP從BA所在位置開始繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<180°)

⑴當(dāng)NBAC=60°時，將BP旋轉(zhuǎn)到圖2位置，點D在射線BP上.假設(shè)NCDP=120°,那么NACDNABD(填“>"、

線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是；_

12)當(dāng)NBAC=120°時，將BP旋轉(zhuǎn)到圖3位置，點D在射線BP上，假設(shè)NCDP=60°,求證：BD-CD=J6D；

(3)將圖3中的BP繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)30°<a<180°時，點D是直線BP上一點(點P不在線段BD上)，假設(shè)N

CDP=120°,請直接寫出線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系(不必證明)

6.,在AABC中，ZACB=90°,CA=CD,CG_LAD于點H,交AB于點G,E為AB上一點，連接CE交AD于點F.

(1)如圖1,假設(shè)CELAB于點E,HG=1,CH=5,求CF的長；

⑵如圖2,假設(shè)AC=AE,NGEH=NECH,求證:CE=2乃HE；

(3)如圖3,假設(shè)E為AB的中點，作A關(guān)于CE的對稱點A',連接CA',EA',DA',請直接寫出NCEH,

ZA(CD,NEA'D之間的等量關(guān)系.

7.11)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,在RtZXABC中，ZA=90°,膽1,點P是邊BC上一動點(不與點B重合)，ZPAD=90°,ZAPD=ZB,

AC

連接CD.

填空：①上殳=；②NACD的度數(shù)為.

CD

⑵拓展探究

1

如圖2,在RtaABC中，ZA=90°,修殳=匕點P是邊BC上一動點(不與點B重合)，ZPAD=90°,ZAPD=ZB,

AC

連接CD,請判斷NACD與NB的數(shù)量關(guān)系以及PB與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)解決問題_

如圖3,在AABC中，ZB=45°,AB=4&,BC=12,P是邊BC上一動點1不與點B重合)，NPAD=NBAC,ZAPD=

ZB,連接CD.假設(shè)PA=5,請直接寫出CD的長.

8.RtZ\ABC與Rt4DEF的位置如下圖，其中AC=2j&BC=6,1比=3?,ND=30°,其中，RtaDEF沿射線CB

以每秒1個單位長度的速度向右運動，射線DE、DF與射線AB分別交于N、M兩點，運動時間為t,當(dāng)點E運動

到與點B重合時停止運動.

(1)當(dāng)RtZXDEF在起始時，求NAMF的度數(shù)；

(2)設(shè)BC的中點的為P,當(dāng)△PBM為等腰三角形時，求t的值；

(3)假設(shè)兩個三角形重疊局部的面積為S,寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量的取值范圍.

9.如圖，等腰AABC中，AC=BC,點D、E、F分別是線段AC、BC、AD的中點，連接FE、ED,BF的延長線交ED

的延長線于點G,連接GC.

(1)求證：EF/7CG；

12)假設(shè)AC=J，AB,求證：AC=CG；

(3)如圖2,假設(shè)CG=EG,那么空?=.

AB

10.在RtaABC中，ZCAB=90°,AC=AB=6,D,E分別是AB,AC的中點，假設(shè)等腰RtZ\ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，

得到RtZ\ADE,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0<aW180°),記直線B。與CEi的交點為P.

門)如圖1,當(dāng)a=90。時，線段BD的長等于，線段CEi的長等于；

(2)如圖2,當(dāng)a=135°時，設(shè)直線BDi與CA的交點為F,求證：BDFCEH且BD」CEI；

(3)點P到AB所在直線的距離的最大值是.

11.如圖，在RtAABC中，NACB=90°,點D為邊BC上任意一點，以直線AD為對稱軸，作RtaABC的軸對稱

圖形Rt^AEF,點M點N、點P、點Q分別為AB、BC、EF、EA的中點.

(1)求證：MN=PQ；

(2)如圖2,當(dāng)BD='BC時，判斷點反點N、點P、點Q圍成的四邊形的形狀，并說明理由；

(3)假設(shè)BC=6,請你直接寫出當(dāng)①BD=3；②BD=6時，點M、點N、點P、點Q圍成圖形的形狀.

12.在RtZ\ABC中，ZACB=90°,點D在AB邊上，AD=BD,過點D作射線DH,交BC邊于點M.

(1)如圖1,假設(shè)NB=30°,求證：4ACD是等邊三角形；

⑵如圖2,假設(shè)AC=10,AD=13,ZCDH=ZA.

①求線段DM的長；

②點P是射線DH上一點，連接AP交CD于點N,當(dāng)△口同是等腰三角形時，求線段MP的長.

13.等腰三角形ABC中，AB=CB,B0LAC,點P為射線BC上的動點(不與點B重合)，在射線CA上截取CD=CB,

作PFJ_BD,分別交射線BO,BD于點E,F.設(shè)NABC=a.

(1)令NABC=90°.

①如圖1,當(dāng)點P與點C重合時，求證：^BOD會/SPOE；

②如圖2,當(dāng)點P在點C的左邊時，求此的值；

PE

③猜測：當(dāng)點P在點C的右邊時，型的值又是多少？

PE

請直接寫出.

(2)設(shè)點P在點C的右邊，請在圖3(/ABC>90°)或圖4(ZABC<90°)中繼續(xù)探究題的值(用含a的式

PE

子表示)，并說明理由.

14.如圖1,ZisABC中，ZBAC=90°,AB=AC,ADJ_BC于點D,點E在AC邊上，連接BE.

(1)假設(shè)AF是AABE的中線，且AF=5,AE=6,連接DF,求DF的長；

(2)假設(shè)AF是AABE的高，延長AF交BC于點G.

①如圖2,假設(shè)點E是AC的中點，連接EG,求證：AG+EG=BE；

②如圖3,假設(shè)點E是AC邊上的動點，連接DF.當(dāng)點E在AC邊上(不含端點)運動時，NDFG的大小是否改

變，如果不變，請求出/DFG的度數(shù)；如果要變，請說明理由.

15.在AABC中，AD、AE分別是AABC的內(nèi)、外角平分線.

2

(1)如圖①，CG_LAD于G,BG的延長線交AE于H,求證：AH=EH；

⑵如圖①,在⑴的條件下,假設(shè)AE=2AD,BE=5BC,那么tan/AHB=；

(3)如圖②，點M是DE的中點，BE=5BC=10,求MD的長.

16.如圖，4ABC是等邊三角形，AB=2,D是邊BC的中點，點P從點A出發(fā)，沿AB-BD以每秒1個單位長度的

速度向終點D運動.同時點Q從點C出發(fā)，沿CA-AC以每秒1個單位長度的速度運動.當(dāng)點P停止運動時，點

Q也隨之停止運動，設(shè)點P的運動時間為t(秒)，△PQD的面積為S.

(1)求線段PB的長［用含t的代數(shù)式).

(2)當(dāng)4PQD是等邊三角形時，求t的值.

(3)當(dāng)S>0時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

(4)假設(shè)點D關(guān)于直線PQ的對稱點為點D',且S>0,直接寫出點D'落在aABC的邊上時t的值.

17.在RtAAOB中，0A=3,sinB=l,P、M、分別是BA、BO邊上的兩個動點.點M從點B出發(fā)，沿B0以1單位

5

/秒的速度向點0運動；點P從點B出發(fā)，沿BA以a單位/秒的速度向點A運動；P、M兩點同時出發(fā)，任意一

點先到達終點時，兩點停止運動.設(shè)運動的時間為t.

(1)線段AP的長度為(用含a、t的代數(shù)式表示)：

(2)如圖①，連結(jié)PO、PM,假設(shè)a=l,△PMO的面積為S,試求S的最大值；

(3)如圖②，連結(jié)PM、AM,試探究：在點P、M運動的過程中，是否存在某個時刻，使得△PMB為直角三角形

且APMA是等腰三角形？假設(shè)存在，求出此時a和t的取值，假設(shè)不存在，請說明理由.

18.在直角AABC中，/ACB=90°,點E在AC邊上，連結(jié)BE,作NACF=NCBE交AB于點F,同時點D在BE上，

且CD_LAB.

⑴：如圖，膽=1，區(qū)

CEBC

①求證：△ACFgaBCD.

②求空的值.

DE

(2)假設(shè)嫗=2,—=2'那么鴛的值是多少(直接寫出結(jié)果)

CEBCDE

19.,AB=5,tanNABM=W,點C、D、E為動點，其中點C、D在射線BM上(點C在點D的左側(cè))，點E和點D分

4

別在射線BA的兩側(cè)，且AC=AD,AB=AE,ZCAD=ZBAE.

門)當(dāng)點C與點B重合時(如圖1),聯(lián)結(jié)ED,求ED的長；

(2)當(dāng)EA〃BM時(如圖2),求四邊形AEBD的面積；

(3)聯(lián)結(jié)CE,當(dāng)4ACE是等腰三角形時，求點B、C間的距離.

20.在AABC中，D、E、F分別為BC、AB、AC上的點.

⑴如圖1,假設(shè)EF〃BC、DF〃AB,連CE、AD分別交DF、EF于N、M,且E為AB的中點，求證：EM=MF；

(2)如圖2,在(1)中，假設(shè)E不是AB的中點，請寫出與MN平行的直線，并證明；

(3)假設(shè)BD=DC,NB=90°,且AE：AB：BC=1：3：273-AD與CE相交于點Q,直接寫出tan/CQD的值.

21.我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為‘'中垂三角形".例如圖1,圖2,圖3中，AF,BE是△ABC的中線，

AF±BE,垂足為P.像AABC這樣的三角形均為“中垂三角形".設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.

特例探索

(1)①如圖1,當(dāng)NABE=45°,c=2后時，a=,b=；

②如圖2,當(dāng)NABE=30°,c=4時,求a和b的值

歸納證明

(2)請你觀察(1)中的計算結(jié)果，猜測三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式.

22.如圖，一個直角三角形紙片的銳角頂點A在/MCN的邊0M上移動，移動過程中始終有ABJ_ON于點B,AC

L0M于點A,NM0N的平分線0P分別交AB,AC于點D、E.

門)點A在移動的過程中，線段AD和AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？(不必證明)

12)點A在移動的過程中，假設(shè)射線0N上始終存在一點F與點A關(guān)于0P所在的直線對稱，判斷并證明以A、

D、F、E為頂點的四邊形是什么特殊四邊形？

(3)假設(shè)/M0N=45°,猜測線段AC、AD、0C之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的猜測.

23.如圖①，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,/EAC=90°,點M為射線AE上任意一點(不與點A重合)，連

接CM,將線段CM繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN,直線NB分別交直線CM,射線AE于點F、D.

(1)問題發(fā)現(xiàn)：直接寫出/NDE=度；

3

(2)拓展探究：試判斷，如圖②當(dāng)/EAC為鈍角時，其他條件不變，NNDE的大小有無變化？請給出證明.

13)如圖③，假設(shè)NEAC=15°,BD=V2.直線CM與AB交于點G,其他條件不變，請直接寫出AC的長.

24.在aABC中，ZABC=2ZACB,延長AB至點D,使BD=BC,點E是直線BC上一點，點F是直線AC上一點，

連接DE.連接EF,且/DEF=/DBC._

(1)如圖1,假設(shè)ND=/EFC=15°,AB=V3>求AC的長._

(2)如圖2,當(dāng)NBAC=45°,點E為線段BC的延長線上，點F在線段AC的延長線上時，求證：CF=&BE.

(3)如圖3,當(dāng)NBAC=90°,點E為線段CB的延長線上，點F在線段CA的延長線上時，猜測線段CF與線段

BE的數(shù)量關(guān)系，并證明猜測的結(jié)論.

25.中點、平行線、等腰直角三角形、等邊三角形都是常見的幾何圖形！

(1)如圖1,假設(shè)點D為等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點，點E、F分別在AB、AC邊上，且/EDF=90°,

連接AD、EF,當(dāng)BC=5&,FC=2時，求EF的長度；

(2)如圖2,假設(shè)點D為等邊三角形ABC邊BC的中點，點E、F分別在AB、AC邊上，且/EDF=90°；M為EF

的中點，連接CM,當(dāng)DF〃AB時，證明：3ED=2MC；

(3)如圖3,假設(shè)點D為等邊三角形ABC邊BC的中點，點E、F分別在AB、AC邊上，且NEDF=90°；當(dāng)BE=6,

CF=0.8時，直接寫出EF的長度.

26.,ZXABC為直角三角形，/ACB=90°,點P是射線CB上一點(點P不與點B、C重合)，線段AP繞點A順時

針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ,連接QB交射線AC于點M.

“)如圖①，當(dāng)AC=BC,點P在線段CB上時，線段PB、CM的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖②，當(dāng)AC=BC,點P在線段CB的延長線時，(1)中的結(jié)論是否成立？假設(shè)成立，寫出證明過程；假

設(shè)不成立，請說明理由.

(3)如圖③，假設(shè)柜?金，點P在線段CB的延長線上，CM=2,AP=13,求△ABP的面

BC2

27.在Rt^ABC中，ZC=90°,RtaABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到RtaADE的位置，點E在斜邊AB上，連結(jié)BD,過

點D作DF±AC于點F.

(1)如圖1,假設(shè)點F與點A重合，求證：AC=BC；

(2)假設(shè)NDAF=NDBA,

①如圖2,當(dāng)點F在線段CA的延長線上時，判斷線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)點F在線段CA上時，設(shè)BE=x,請用含x的代數(shù)式表示線段AF.

28.如圖1,點0是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長OD到點G,OC到點E,使0G=20D,0E=20C,然后

以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,DE.

⑴求證：DE±AG；

(2)正方形ABCD固定，將正方形0EFG繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)a角(0。<a<360°)得到正方形OE'F'G',

如圖2.

①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)NOAG'是直角時，求a的度數(shù)；

②假設(shè)正方形ABCD的邊長為1,在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF'長的最大值和此時a的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理

由.

29.在AABC中，AB=AC,/A=60°,點D是線段BC的中點，ZEDF=120°,DE與線段AB相交于點E.DF與線

段AC(或AC的延長線)相交于點F.

(1)如圖1,假設(shè)DFJ_AC,垂足為F,AB=4,求BE的長；

(2)如圖2,將(1)中的NEDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F.求證：BE+CF=1AB；

2

13)如圖3,將(2)中的/EDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的延長線相交于點F,作

DNLAC于點N,假設(shè)DNLAC于點N,假設(shè)DN=FN,求證：BE+CF=?(BE-CF).

30.如圖1所示，在菱形ABCD和菱形AEFG中，點A,B,E在同一條直線上，P是線段CF的中點，連接PD,PG.

4

(1)假設(shè)/BAD=/AEF=120°,請直接寫出/DPG的度數(shù)及弛的值.

PD

(2)假設(shè)NBAD=/AEF=120°,將菱形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形ABCD的對角線AC恰好與菱形AEFG的

邊AE在同一直線上，如圖2,此時，(1)中的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？寫出你的猜測并加以說明.

(3)假設(shè)/BAD=/AEF=180°-2a(0°<a<90°),將菱形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，求出生

PD

的值.

三角形綜合題答案

1.,如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=8,cot/BAC=W,點D在邊BC上(不與點B、C重合)，點E在邊BC

4

的延長線上，/DAE=NBAC,點F在線段AE上，ZACF=ZB.設(shè)BD=x.

(1)假設(shè)點F恰好是AE的中點，求線段BD的長；

(2)假設(shè)y=3E,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；

EF

13)當(dāng)△ADE是以AD為腰的等腰三角形時，求線段BD的長.

解：(1)在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=8,

cotZBAC=—,

4

；.AC=6,AB=10,

ZDAE=ZBAC,

ZFAC=ZDAB,

"?ZACF=ZB,

.?.△ABD^AACF,

?ADBD

"AF=CF'

在Rt^ABC中，點F恰好是AE的中點，

.-.CF=1AE=AF,

2

...AD=BD,

在RtZ\ACD中，AC=6,CD=BC-BD=BC-AD=8-AD,

根據(jù)勾股定理得，AC2+CD2=AD2,

.?.36+[8-AD)2=AD2,

；.AD=空，

4

BD=AD=2^,

4

(2)如圖1,過點F作FM_LAC于M,

由⑴知，AD=BD=嫗,

AFCFAC

CF=.^.，昕&Xx=2x,

AB"I。5

由(1)AABD^AACF,

ZB=ZACF,

tanNACF=tanB=----1----=_!=!!,

cotZBAC3MC

.\MC=Hx,

25

5

-12

6------x

.?.y=AF=AM=-------2x.(0<x<8]

'EF-MC絲v2x

25

(3)?.?△的￡是以AD為腰的等腰三角形，

，①當(dāng)AD=AE時，

，ZAED=ZADE,

,ZZACD=90°,

：.ZEAC=ZDAC=ZDAB,

；.AD是NBAC的平分線，

?ACCD

AB^BD"

VAC=6,AB=10,CD=8-BD,

.68-BD

??記二BD'

ABD=5,

當(dāng)AD-DE時，

.\ZDAE=ZDEA=ZBAC,

JZADE=2ZB,

AZB=ZDAB,

.,.AD=BD=25(是(1)的那種情況).

4

即：BD=5或BD=至?xí)r，4ADE是以AD為腰的等腰三角形.

4

2.如圖，Z\ABC邊AB上點D、E(不與點A、B重合)，滿足NDCE=NABC,ZACB=90°,AC=3,BC=4；

(1)當(dāng)CDAB時，求線段BE的長：

(2)當(dāng)ACDE是等腰三角形時，求線段AD的長；

(3)設(shè)AD=x,BE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域.

⑴

在△ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,

.".AB=5,sinA=A,tanB=—,

54

如圖，當(dāng)CD_LAB時，AACD為直角三角形，

CD=AC?sinA=AZ.,

5

AAD=VAC2-CD2=T,

又；NDCE=NABC,

.?.在RtACDE中，DE=CD?tanNDCE=l^xW=_i,

545

BE=AB-AD-DE=5-旦-2=工;

555

(2)當(dāng)4CDE時等腰三角形時，可知NCDE>NA>NB=NDCE,ZCED>ZB=ZDCE,

唯有/CED=/CDE,

又YNB=/DCE,ZCDE=ZBDC,

ZBCD=ZCED=ZCDE=ZBDC,

ABD=BC=4,

AAD=5-4=1；

(3)如下圖，作CHJ_AB于H,

6

?.?LXBCXAC=LBXCH,

22

.??CH=絲，

5

RtAACH中，AH=JAC2_CH2=X

5

...在RtZ\CDH中，CD2=CH2+DH2=(絲)、(旦-x)g?-絲x+9,

555

又?.,/CDE=NBDC,ZDCE=ZB,

/.△BDC^ACDE,

.\CD2=DE?DB,

即x2-A^X+9=(5-x-y)(5-x),

5

解得廠誓整■(0<x<4).

5x-252"

3.如圖，AABC中，AB=AC=3,BC=2,點D是邊AB上的動點，過點D作DE〃BC,交邊AC于點E,點Q是線段

DE上的點，且QE=2DQ,連接BQ并延長，交邊AC于點P.設(shè)BD=x,AP=y.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；

(2)當(dāng)△PQE是等腰三角形時，求BD的長；

⑶連接CQ,當(dāng)NCQB和NCBD互補時,求x的值.

解：(1)如下圖，過點D作DF〃AC,交BP于F,那么

根據(jù)QE=2DQ,可得

DF=DQ=1

PEQE2"

又：DE〃BC,

???EC_AC-i1,

BDAB

3-x-v

???EC二BD=x,PE=3-x-y,DF=-------

2

VDF/7AC,

.DF.BD3-x-y_

?.1,10>InJ1~x,

APAB2y3

.?.y=9-3x,定義域為：o<x<3；

2x+3

⑵

?.,DE〃BC,

.".△PEQ^APBC,

...當(dāng)aPEQ為等腰三角形時，APBC也為等腰三角形，

①當(dāng)PB=BC時，△ABCS/\BPC,

.*.BC2=CP?AC,即4=3(3-y),

解得y="，

3

.9一3x5

**2x+3-T

解得X二」2二BD；

19

②當(dāng)POBO2時,AP=y=l,

.9-3x_i

2x+3

7

解得x二2=BD；

5

③當(dāng)PC=PB時，點P與點A重合，不合題意；

(3)VDE/7BC,

.\ZBDQ+ZCBD=180o,

又???NCQB和NCBD互補，

AZCQB+ZCBD=180°,

NCQB=NBDQ,

VBD=CE,

???四邊形BCED是等腰梯形，

???NBDE=NCED,

ZCQB=ZCED,

XVNDQB+NCQB=NECQ+NCED,

NDQB=NECQ,

.,.△BDQ^AQEC,

22

ABD=DQ,即2DQ=X,

QEEC

?,.DQ二工，DE二包，

V2V2

VDE//BC,

.?.座=歿，即與=口，

BCAB2A/23

5424

解得X=V2-.

73

4.如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,氏=皿，CDLAB于點D,點E是直線AC上一動點，連接DE,過點D作

ACn

FD±ED,交直線BC于點F.

(1)探究發(fā)現(xiàn)：

如圖1,假設(shè)m=n，點E在線段AC上，那么］取1；

DF

⑵數(shù)學(xué)思考：

①如圖2,假設(shè)點E在線段AC上，那么邁=2(用含m,n的代數(shù)式表示)；

DFjn

②當(dāng)點E在直線AC上運動時，①中的結(jié)論是否任然成立？請僅就圖3的情形給出證明；

(3)拓展應(yīng)用：假設(shè)AC二泥，BC二2泥，DF=4加,請直接寫出CE的長.

解:⑴當(dāng)m=n時,即：BC=AC,

VZACB=90°,

???/A+NABC=90°,

VCD±AB,

AZDCB+ZABC=90°,

???NA=NDCB,

VZFDE=ZADC=90°,

ZFDE-ZCDE=ZADC-ZCDE,

即NADE二NCDF,

.'.△ADE^ACDF,

?DEAD

??而萊，

VZA=ZDCB,ZADC=ZBDC=90°,

.'.△ADC^ACDB,

8

?AD二鴕口

??記/，

ADE=I

DF

(2)①?..NACB=90°,

JNA+NABO90。，

VCD±AB,

AZDCB+ZABC=90°,

.*.ZA=ZDCB,

VZFDE=ZADC=90°,

???ZFDE-ZCDE=ZADC-ZCDE,

即NADE=NCDF,

/.△ADE^ACDF,

.DE^AD

，，DF^DC，

VZA=ZDCB,ZADC=ZBDC=90°,

.'.△ADC^ACDB,

?ADAC上,

DCBCin

*DE__n.

DFin

②成立.如圖，

VZACB=90°,

AZA+ZABC=90°,

又???CD_LAB,

ZDCB+ZABC=90°,

.\ZA=ZDCB,

VZFDE=ZADC=90°,

/.ZFDE+ZCDE=ZADC+ZCDE,

BPZADE=ZCDF,

.".△ADE^ACDF,

...DEJD,

，，DF="DC，

VZA=ZDCB,ZADC=ZBDC=90°,

.,.△ADC^ACDB,

?ADAC上,

DCBCm

>DEji

DFm

(3)由(2)有，△ADEs^CDF,

..DEBC_1

?一，-9

DF-AC2

?.?-A--D-—AE—D―E—.1,

CD-CF-DF2

；.CF=2AE,

在RtDEF中，DE=2&,DF=%/5，

*'?EF=2,10,

①在RtZ^CEF中，CF=2AE=2(AC-CE)=2(5/5-CE),EF=2V10>

根據(jù)勾股定理得，CE'+CFJEF?,

9

ACE2+[2（V5-CE）了=40

，CE=2在，或CE=-型5（舍）

5__

②在RSCEF中，CF=2AE=2（AC+CE）=2（5/5+CE）,EF=2/，

根據(jù)勾股定理得，CE2+CF2=EF2,

ACE2+[2（遙+CE）了=40,

/.CE=2V5,或CE=-2、而（舍），

5__

即：CE=2泥或CE=2遍.

5

5.如圖1,在△ABC中，AB=AC,射線BP從BA所在位置開始繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a[0°<a<180°）

（1）當(dāng)/BAC=60°時，將BP旋轉(zhuǎn)到圖2位置，點D在射線BP上.假設(shè)NCDP=120°,那么/ACD=/ABD

（填線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是BD=CD+A1）；_

12）當(dāng)NBAC=120°時，將BP旋轉(zhuǎn)到圖3位置，點D在射線BP上，假設(shè)NCDP=60°,求證：BD-CD=?AD；

13）將圖3中的BP繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)30°<a<180°時，點D是直線BP上一點（點P不在線段BD上），假設(shè)N

CDP=120°,請直接寫出線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系（不必證明）

解：⑴如圖2,

VZCDP=120°,

???NCDB=60°,

VZBAC=60°,

AZCDB=ZBAC=60°,

:?A、B、C、D四點共圓,

AZACD=ZABD.

在BP上截取BE二CD,連接AE.

在ADCA與aEBA中，

‘AC=AB

,ZACD=ZABE>

CD二BE

/.△DCA^AEBA（SAS）,

???AD=AE,ZDAC=ZEAB,

VZCAB=ZCAE+ZEAB=60°,

AZDAE=60°,

/.△ADE是等邊三角形，

???DE=AD.

〈BD=BE+DE,

???BD=CD+AD.

故答案為二，BD=CD+AD；

（2）如圖3,設(shè)AC與BD相交于點0,在BP上截取BE=CD,連接AE,過A作AFJ_BD于F.

VZCDP=60°,

.".ZCDB=120°.

VZCAB=120°,

ZCDB=ZCAB,

?.*ZD0C=ZA0B,

.'.△DOC^AAOB,

???NDCA二NEBA.

在ADCA與aEBA中，

10

'AC=AB

<NACD=NABE，

CD二BE

AADCA^AEBA(SAS),

???AD=AE,ZDAC=ZEAB.

VZCAB=ZCAE+ZEAB=120°,

.\ZDAE=120o,

1on°一ion0

ZADE=ZAED=-.......-~=30°.

2

?.,在RtZXADF中，NADF=30°,

.-.DF=?ZIAD,

2

；.DE=2DF=J5AD,

；.BD=DE+BE=V^AD+CD,

ABD-CD=V3AD；

(3)線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系為BD+CD=J^D或CD-BD=&AD.

6.,在aABC中，ZACB=90°,CA=CD,CGLAD于點H,交AB于點G,E為AB上一點，連接CE交AD于點F.

(1)如圖1,假設(shè)CELAB于點E,HG=1,CH=5,求CF的長；

(2)如圖2,假設(shè)AC=AE,NGEH=NECH,求證：CE=2后HE；

(3)如圖3,假設(shè)E為AB的中點，作A關(guān)于CE的對稱點A',連接CA',EA',DA',請直接寫出NCEH,

NA'CD,NEA'D之間的等量關(guān)系.

解：⑴ZACB=90°,CA=CD,

AAACD是等腰直角三角形，

AZCAD=ZCDA=45°,

VCG±AD,

ZCHF=ZAHG=90°，ZACH=ZDCH=l.ZACB=lx90°=45°，AH=DH=CH=5,

22

AZGAH+ZAGC=90°,

VCE1AB,

ZCEG=90°,

/.ZGCE+ZAGC=90°,

'ZGCE=ZGAH,

rZGCE=ZGAH

在△(："與△AUG中，，CH=AH，

NCHF=NAHG=90°

.,.△CHF絲ZXAHG,

；.HF=HG=1,

???CF=VcH2+HF2=V52+1

⑵如圖2,過H作交CE于M,連接A如

VAC=AE,

ZAEC=ZACE,

NGEH=NECG,

VMillEH,

...△EHM為等腰直角三角形,ZEHM=90°,

.\EH=MH,EM=V2HE,

ZAHM=ZAHC+ZCHM=90°+ZCHM=ZEHM+ZCHM=ZCHE,

11

'AH=CH

在△AHM與△CHE中，，ZAHM=ZCHE>

MH=EH

AZMAF=ZECH,

/.ZMAF+ZAFC=ZECH+ZAFC=180",

ZCHD=1800-90°,

.\AM1CE,

；AC=AE,

.,.△ACE是等腰三角形，

.\CM=EM=V2HE,

；.CE=2EM=2圾HE；

⑶為AD的中點，E我AB的中點，

AEH是△ABD的中位線，

；.EH〃BC,

AZCEH=ZBCE,

ZACE=ZACB-ZBCE=90°-ZBCE=90°-ZCEIL

VEC=AE,

ZCAE=ZACE=90°-ZCEH,

NCAE=NACE=90°-ZCEH,

?；A關(guān)于CE的對稱點A',

/.ZCA,E=ZCAE=90°-ZCEII,CA=CAZ,

VCA=CD,

.*.CA,=CD,

.?.NCDA'=NCA'D=NCA'E+ZEA,D=90°-ZCEH+ZEA1D,

VZAzCD+ZCDAz+NCA'D=180°,

.?.NA'CD+90°-ZCEH+ZEA/D+900-ZCEH+ZEAZD=180°,

化簡得：NA'CD+2NEA'D=2ZCEH,

7.門）問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,在RtaABC中，ZA=90°,姻?二1，點P是邊BC上一動點（不與點B重合），ZPAD=90°,ZAPD=ZB,

AC

連接CD.

填空：①里1；②/ACD的度數(shù)為45°.

CD

（2）拓展探究

如圖2,在Rt^ABC中，ZA=90°,迪=卜.點P是邊BC上一動點（不與點B重合），ZPAD=90°,ZAPD=ZB,

AC

連接CD,請判斷NACD與/B的數(shù)量關(guān)系以及PB與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）解決問題_

如圖3,在aABC中，NB=45°,AB=4b，BC=12,P是邊BC上一動點〔不與點B重合），ZPAD=ZBAC,ZAPD=

ZB,連接CD.假設(shè)PA=5,請直接寫出CD的長.

解：門）：/A=90°,M=l,

AC

AAB-AC,

ZB=45°,

,/ZPAD=90°,ZAPD=ZB=45",

.\AP=AD,

/.ZBAP=ZCAD,

12

'AB=AC

在AABP與4ACD中，，ZBAP=ZCAD>

AP=AD

.".△ABP^AACD,

.\PB=CD,NACD=NB=45°,

?PB-T

CD

故答案為：1,45°；

(2)ZACD-ZB,里至=k；

CDAC

ZBAC=ZPAD=90°,ZB=ZAPD,

.".△ABC^AAPD,

ACAD

ZBAP+ZPAC=ZPAC+ZCAD=90°,

/.ZBAP=ZCAD,

.,.△ABPc-ACAD,

AZACD=ZB,里=膽=上

CDAC

⑶過A作AHJ_BC于H,

VZB=45°,

.1△ABH是等腰直角三角形，

：AB=4止,

；.AH=BH=4,

VBC=12,

；.CH=8,

?MC、AH2+C1=4/，

"PI1=VPA2-AH2=3)

.\PB=1,

NBAC=NPAD=,ZB=ZAPD,

.'.△ABC^AAPD,

?AB_AP

"AC=AD'

ZBAP+ZPAC=ZPAC+ZCAD,

,ZBAP=ZCAD,

.,.△ABP^ACAD,

?AB-PB即4衣1

ACCD475CD

ACD=VTO

2

8.RtZiABC與RtZ\DEF的位置如下圖，其中AC=2b，BC=6,DE=3j§,ZD=30°,其中，RtZM)EF沿射線CB

以每秒1個單位長度的速度向右運動，射線DE、DF與射線AB分別交于N、M兩點，運動時間為t,當(dāng)點E運動

到與點B重合時停止運動.

(1)當(dāng)RtZ\DEF在起始時，求NAMF的度數(shù)；

(2)設(shè)BC的中點的為P,當(dāng)△PBM為等腰三角形時，求t的值；

(3)假設(shè)兩個三角形重疊局部的面積為S,寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量的取值范圍.

解：(1)

13

在RtZ\ABC中，tanNB=￡g=2Z5=K,

BC63

ZB=30°,

在RtZ\DEF中，ZD=30",

/.ZDFC=60°,

ZFMB=ZDFC-ZB=30°,

AZAMF=1800-ZFMB=150°；

(2)?；BC=6,點P為線段BC的中點,

；.BP=3,

(i)假設(shè)點M在線段AB上，

①當(dāng)PB=PM時，PB=PM=3,

：DE=3/，ZD=30°,

.\EF=DE?tan30°=3,

此時t=0；

②如右圖(1)所示

當(dāng)BP=BM時，BP=BM=3,

VZB=30°,ZDFE=60°,

AZFMB=30°,

...△BMF為等腰三角形.

過點F作FH_LMB于H,那么BH=1BM=W,

22

在RtZ\BHF中，ZB=30°,

/.BF=V3>

At=3-A/3；

③如右圖(2)所示，

當(dāng)MP=MB時，NMPB二NB二30

VZMFP=60°,

/.PM±MF,ZBMF=30°

AFB=FM,

設(shè)FB=x,那么FM=x,PF=2x.

/.3x=3,x=l

t=2；

(ii)假設(shè)點M在射線AB上，

如右圖(3)所示，

ZPBM=150°

當(dāng)△PBM為等腰三角形時，有BP=BM=3

為等腰三角形，

過點F作FH1BM于H,那么BH=1BM=1,

22

在RtZ^BHF中，ZFBH=30°

??.BF=V3>

t=3+V3>

綜上所述，t的值為0,3-遮，2,3+V3.

(3)當(dāng)0ctW3時，BE=6-t,NE=2Z1[6-t),

3

SABEN>'傘-t)?爭6-t)嚕(6-t)2,

過點F作于H,如右圖⑴所示，

VFB=3-t

14

.,.HF=1(3-t),HB=3(3-t),MB=J3(3-t),

22

"SABMF?F(3-t)得(3-t)=冷(3-t)2,

22=

.?.S=SABES-SAM=*(6-t)一哼(3-t)_哼1：2-2^-t+2^3_,

當(dāng)3ct<6時，BE=6-t,NE=?(6-t),如右圖(4)所示，

3

AS=SABEN4X(6-t)X與6-t)嘩t2-個t+/

由上可得，當(dāng)0<tW3時，$=-哼［2-哼｛津盧，

當(dāng)3<tW6時，S=2^-t2-2^t+^

唔t2-冬津普0<t<3

即S=，廣

-^-t2-2>/3t+6V33<t46

b

9.如圖，等腰AABC中，AC=BC,點D、E、F分別是線段AC、BC、AD的中點，連接FE、ED,BF的延長線交ED

的延長線于點G,連接GC