三個(gè)二次之間關(guān)系

三個(gè)“二次”及其應(yīng)用（一）二次函數(shù)一元二次方程一元二次不等式三個(gè)“二次”是指：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0)它們之間關(guān)系密切，搞清楚它們之間的相互聯(lián)系，一切此類(lèi)問(wèn)題將迎刃而解。一、知識(shí)要點(diǎn)：1.二次函數(shù)的三種解析式：一般式：頂點(diǎn)式（配方式)：兩根式（因式分解)：2.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)：頂點(diǎn)：遞減區(qū)間：遞增區(qū)間：當(dāng)b=0是，二次函數(shù)為y=ax2+c，為偶函數(shù)。奇偶性：b=0時(shí)為偶函數(shù)3.三個(gè)“二次”的基本關(guān)系：圖象二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，就是所對(duì)應(yīng)方程的根，也是所對(duì)應(yīng)的一元二次不等式解區(qū)間的端點(diǎn)。你們發(fā)現(xiàn)了二次不等式的解集為

(-∞,x1)∪(x2,+∞)(x1<x2)3.三個(gè)“二次”之間的關(guān)系進(jìn)一步梳理：二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為(x1,0)和(x2,0)M1M2x1x2二次方程的兩根為x1和x2二次不等式的解集為(x1,x2)(x1<x2)前提1：二次項(xiàng)系數(shù)a>0前提2：4.根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）的兩根為x1,x2，則解：∵x2-(2a+1)x+a2-6<0的解集為(-5,-2),例題題型一“一元二次不等式解區(qū)間的端點(diǎn)即為相應(yīng)二次方程的根”的應(yīng)用∴x2-(2a+1)x+a2-6=0的解為x1=-5，x2=-2,∴一元二次不等式解區(qū)間的端點(diǎn)即為相應(yīng)二次方程的根練習(xí)m=2題型二解一元二次不等式一元二次不等式的解集為(-∞,x1)∪(x2,+∞);若一元二次方程的兩根為x1和x2(x1<x2)

，則：一元二次不等式的解集為(x1,x2)(x1<x2).前提：二次項(xiàng)系數(shù)a>0大于取兩邊小于取中間解一元二次不等式的口訣為“大于取兩邊，小于取中間”，使用此口訣的前提是二次項(xiàng)系數(shù)為正；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，先將不等式兩邊同乘以-1，化為正時(shí)，再利用口訣。注意：練習(xí)1.一元二次不等式2x2-5x+2＞0的解集是

．2.一元二次不等式x2＜x+6的解集為

．（-2，3）3.一元二次不等式（x+3）（2-x）＜0的解集為

．{x|x＜-3，或x＞2}4.一元二次不等式-x2+5x+6＞0的解集為

．{x|-1＜x＜6}5.一元二次不等式2x2+7x+3＞0的解集為

．{x|x＜-3或x＞-0.5}6.一元二次不等式(x-2)(x+2)＜5的解集為

．{x|-3＜x＜3}7.一元二次不等式-x2+2x-3＞0的解集

．?題型三已知一元二次不等式的解集為R或空集，求參數(shù)的范圍例己知不等式(m-2)x2+2(m-2)x+4＞0的解集為R,求實(shí)數(shù)m的取值范圍．綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是：2≤m＜6．解：當(dāng)m-2=0時(shí)，不等式化為4>0，恒成立，不等式的解集為R，合題意.當(dāng)m-2≠0即m≠2時(shí)，要使不等式(m-2)x2+2(m-2)x+4＞0的解集為R,則有，即，解得，即2＜m＜6．?dāng)?shù)形結(jié)合：心中有圖，胸有成竹！一元二次不等式的解集為R或空集，則相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)。練習(xí)1.關(guān)于x的一元二次不等式x2-k?x+1＞0的解集為R,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.(-2，2)2.若關(guān)于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4≤0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)恒不成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.-3＜k＜53.已知一元二次不等式2kx2+kx+

≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.（0，4]4.若關(guān)于x的一元二次不等式-x2-2x+a＜0的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.（-∞，-1）5.關(guān)于x的不等式ax2-ax+1＜0的解集是空集，那么a的取值區(qū)間是

.[0，4]6.關(guān)于x的不等式kx2-6kx+k+8＜0的解集為空集，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.[0，1]例2若當(dāng)x∈R時(shí)，恒成立，二次不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判別式的問(wèn)題。題型三已知一元二次不等式的解集為R或空集，求參數(shù)的范圍求實(shí)數(shù)a的取值范圍。的解集為R。恒成立，等價(jià)于分析：恒成立，

解：∴。解得?！鄬?shí)數(shù)a的取值范圍是。練習(xí)例已知一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集為{x|-2＜x＜1},求a+b的值.∴a+b=-1．…（6分）解：∵不等式ax2+bx+1＞0的解集為{x|-2＜x＜1}，∴二次函數(shù)y=ax2+bx+1的圖象是開(kāi)口向下的拋物線，且與x軸交于兩點(diǎn)（-2，0），（1，0）．∴-2和1是方程ax2+bx+1=0的兩根，∴，

解得．題型四已知一元二次不等式的解集，求參數(shù)的值一元二次不等式的解集的兩個(gè)端點(diǎn)值，即為相應(yīng)二次方程的兩個(gè)根。韋達(dá)定理：練習(xí)1.設(shè)一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集為{x|-1＜x＜3},求a?b的值.2.若一元二次不等式x2+bx-a＜0的解集為{x|-2＜x＜3},求a+b的值.53.一元二次不等式ax2+bx+1＜0的解集是，求a+b的值.14.一元二次不等式ax2+bx-1＞0的解集為，求a+b的值.1例關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是(-4，1),求不等式bx2+cx+a＜0的解集.解：∵關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是（-4，1），∴a＜0，且，∴b=3a，c=-4a，∴不等式bx2+cx+a＜0可化為3ax2-4ax+a＜0，即3x2-4x+1＞0，故不等式的解集是（-∞，）∪（1，+∞）．解得，用a表示b和c，這是解此類(lèi)題目的關(guān)鍵！判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)!題型五已知二次不等式的解集，求相應(yīng)不等式的解集例若一元二次不等式ax2+bx+c＞0（ac＜0）的解集為{x|m＜x＜n}，則一元二次不等式cx2+bx+a＞0的解.解：∵一元二次不等式ax2+bx+c＞0（ac＜0）的解集為{x|m＜x＜n}，∴m，n是對(duì)應(yīng)方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，且a＜0，∵ac＜0，∴c＞0，則，∴n＞0，m＜0，∴c=mna，b=-a（m+n），代入不等式cx2+bx+a＞0得：mnax2-a（m+n）x+a＞0，∴mnx2-（m+n）x+1<0，∴(mx-1)(nx-1)＜0，∵n＞0，m＜0，∴，∴，∵mn＜0，判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)!用a表示b和c，這是解此類(lèi)題目的關(guān)鍵！題型五已知二次不等式的解集，求相應(yīng)不等式的解集∴不等式的解集為：

．題型五已知二次不等式的解集，求相應(yīng)不等式的解集的步驟：第一步：由已知不等式的解集，判斷二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)號(hào)；第二步：利用韋達(dá)定理，表示各系數(shù)a,b,c；第三步：用a表示b,c；第四步：將b,c代入所求解的不等式，消去參數(shù)a；第五步：利用分解因式法，求解不等式。練習(xí)1.關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（-4，1），求：bx2+cx+a＜0的解集．{x|x＞3或x＜-2}3.不等式ax2+bx+c＜0的解集是{x|x＜-3或x＞2}，求不等式cx2+bx+a＞0的解集.4.關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|m＜x＜n，m＞0}，

（1）試判斷a，b，c的符號(hào)；（2）求關(guān)于x的不等式cx2-bx+a＞0的解集．a(chǎn)<0,b>0,c<02.已知一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解為，求不等式cx2+bx+a＞0的解.題型六求二次函數(shù)的解析式例設(shè)二次函數(shù)滿足對(duì)稱(chēng)軸方程為x=2，且圖象在y軸上截距為1，被x軸截得的線段長(zhǎng)為，求二次函數(shù)的解析式．解：設(shè)二次函數(shù)為：y=ax2+bx+c，∵圖象在y軸上截距為1，∴c=1，此時(shí)y=ax2+bx+1，∵對(duì)稱(chēng)軸方程為x=2，∵被x軸截得的線段長(zhǎng)為，∴二次函數(shù)的解析式為y=

x2-2x+1。由①②得a=

，b=-2，∴

，①②題型六求二次函數(shù)的解析式

1.已知二次函數(shù)

f(x)

滿足

f(2)=-1,

f(-1)=-1,且

f(x)

的最大值是

8,試確定此二次函數(shù)的解析式.解法一:

利用二次函數(shù)的一般式.故所求函數(shù)的解析式為f(x)=-4x2+4x+7.設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,=8.4a4ac-b2a=-4,b=4,c=7.解得解法二:

利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式.設(shè)f(x)=a(x-m)2+n,∵f(2)=f(-1)=-1,又

f(x)

的最大值是

8,∴n=8.∵f(2)=-1,∴a=-4.∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線

x=,故所求函數(shù)的解析式為f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7.∴f(x)=a(x

-)2+8,∴a(2

-)2+8=-1,∴m=.解法三:

利用二次函數(shù)的兩根式.由已知

f(x)+1=0

的兩根為

2

和

-1,故可設(shè)

f(x)+1=a(x-2)(x+1),從而

f(x)=a(x-2)(x+1)-1.即

f(x)=ax2-ax-2a-1.又

f(x)

的最大值是

8,4a4a(-2a-1)-a2∴=8,解得

a=-4

或

a=0(舍去).故所求函數(shù)的解析式為f(x)=-4(x-2)(x+1)=-4x2+4x+7.

1.已知二次函數(shù)

f(x)

滿足

f(2)=-1,

f(-1)=-1,且

f(x)

的最大值是

8,試確定此二次函數(shù)的解析式.解含參數(shù)的一元二次不等式例5：解關(guān)于x的不等式：

x2－(a＋1)x＋a＜0，

解：若a＞1時(shí)，解為1＜x＜a，若a＞1時(shí)，解為a＜x＜1，若a=1時(shí)，解為。

(2)m=±4時(shí)，△=0，兩根為若m=4,則其根為－1，∴原不等式的解集為若m=-4,則其根為1，∴原不等式的解集為(3)-4<m<4時(shí)，△=0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．∴原不等式的解集為R．

例6:解關(guān)于x的不等式：

例7：解關(guān)于x的不等式：(a–1)x2-(a–2)x–1<0

解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)一定要抓住開(kāi)口方向及兩根大小討論。切忌忽視開(kāi)口方向。二、五類(lèi)重要題型(三)：形如二次的不等式恒成立問(wèn)題(一)

形如二次的不等式在R上恒成立(二)不等式在區(qū)間上恒成立：化歸為區(qū)間最值問(wèn)題A.B.注：數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想的運(yùn)用。ex:已知對(duì)于任意x∈R,總有

,求t的范圍.t∈(-1,2)例8：設(shè)f(x)=ax2+2ax-4,且f(x)<0對(duì)一切x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。例9：已知函數(shù)〔I〕

定義域?yàn)镽，求a的范圍；〔II〕

值域?yàn)镽，求a的范圍.【解】〔I〕由題：滿足條件；即時(shí)，當(dāng)即時(shí)，當(dāng)此時(shí)等價(jià)于綜上：〔II〕由題：即時(shí)，當(dāng)滿足條件；即時(shí)，當(dāng)此時(shí)等價(jià)于綜上：定義域?yàn)榈某湟獥l件是_____

_；值域?yàn)榈某湟獥l件是________；,則實(shí)數(shù)的值域?yàn)榈娜≈捣秶莀_________。的定義域?yàn)榈娜≈捣秶莀_________。

,則實(shí)數(shù)例【解】〔I〕由題：滿足條件；即時(shí)，當(dāng)即時(shí)，當(dāng)此時(shí)等價(jià)于綜上：〔II〕由題：即時(shí)，當(dāng)滿足條件；即時(shí)，當(dāng)此時(shí)等價(jià)于綜上：例10：已知函數(shù)〔I〕

定義域?yàn)镽，求a的范圍；〔II〕

值域?yàn)榍骯的范圍.

有唯一解即為方程ax+bx+c=0中a>0,Δ=0;2方程ax+bx+c-3=0中a>0,Δ=02

有唯一解即為若a>0時(shí),例5:恰有一解,求m.m=±2二、五類(lèi)重要題型(四)：二次方程根的分布問(wèn)題(一)符號(hào)根問(wèn)題：從△、x1+x2、x1x2三方面列不等式（組）兩正根兩負(fù)根異號(hào)根(二)區(qū)間根問(wèn)題：從△、頂點(diǎn)橫坐標(biāo)、端點(diǎn)值三方面列不等式（組）充要條件圖象類(lèi)別返回目錄返回小結(jié)二次方程區(qū)間根的問(wèn)題兩根在同一區(qū)間內(nèi)一般情況下需要從三個(gè)方面考慮：(1)判別式;(2)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù);(3)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系。兩根分屬兩個(gè)區(qū)間內(nèi)只需要考慮一個(gè)方面：區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù);例1:方程的兩根均大于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍注:Δ>0,(x1-x0)+(x2-x0)>0其兩根x1,x2均大于x0，

(x1-x0)(x2-x0)>0,例2若關(guān)于的一元二次方程的一根大于1，另一根小于1，則實(shí)數(shù)

的取