2021年湖南省長(zhǎng)沙市楓木橋中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2021年湖南省長(zhǎng)沙市楓木橋中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)p:f(x)=x3+2x2+mx+1在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，q:m≥,則p是q的

（

）A,充分不必要條件

B，必要不充分條件

C，充分必要條件

D，既不充分也不必要條件參考答案：C略2.已知數(shù)列,3,,…,,那么9是數(shù)列的(

)A.第12項(xiàng)

B.第13項(xiàng)

C.第14項(xiàng) D.第15項(xiàng)參考答案：C3.閱讀如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（

）A.20 B.3 C.2 D.60參考答案：A略4.已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1=6，a3+a5=0，則S6=（）A．6 B．5 C．3 D．0參考答案：A【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等差數(shù)列和通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出S6．【解答】解：∵{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，a1=6，a3+a5=0，∴，解得a1=6，d=﹣2，∴S6==6×6+=6．故選：A．5.已知雙曲線﹣=1（a＞b＞0）的一條漸近線與橢圓+y2=1交于P．Q兩點(diǎn)．F為橢圓右焦點(diǎn)，且PF⊥QF，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意PQ=2=4，設(shè)直線PQ的方程為y=x，代入+y2=1，可得x=±，利用弦長(zhǎng)公式，建立方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意PQ=2=4，設(shè)直線PQ的方程為y=x，代入+y2=1，可得x=±，∴|PQ|=?2=4，∴5c2=4a2+20b2，∴e==，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查雙曲線的離心率，考查弦長(zhǎng)公式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．6.命題“設(shè)a、b、c∈R，若ac2＞bc2，則a＞b”的逆命題、否命題、逆否命題中真命題共有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；四種命題的真假關(guān)系；不等關(guān)系與不等式．【分析】先看原命題，∵若ac2＞bc2，則c≠0，∴a＞b，由于等價(jià)命題同真同假，只要判斷原命題和逆命題即可．【解答】解：原命題：，∵若ac2＞bc2，則c≠0，∴a＞b，成立，由等價(jià)命題同真同假知其逆否命題也為真；逆命題：若a＞b，則ac2＞bc2，不正確，∵a＞b，∴關(guān)鍵是c是否為0，∴逆命題為假，由等價(jià)命題同真同假知否命題也為假，∴命題“設(shè)a、b、c∈R，若ac2＞bc2，則a＞b”的逆命題、否命題、逆否命題中有1個(gè)真命題．故選B7.兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在C北偏東300，B在C南偏東600，則A、B之間相距：A、akm

B、akm

C、akm

D、2akm參考答案：C略8.如圖，是某電視臺(tái)綜藝節(jié)目舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上，七位評(píng)委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()A．84,4.84

B．84,1.6

C．85,4

D．85,1.6參考答案：D9.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)，定義它們之間的一種“距離”： 給出下列三個(gè)命題： ①若點(diǎn)C在線段AB上，則； ②在中，； ③在中，若，則． 其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（

）A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C略10.有下列一列數(shù)：，1，1，1，（），，，，，…，按照規(guī)律，括號(hào)中的數(shù)應(yīng)為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】82：數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】由題意可得：分子為連續(xù)的奇數(shù)，分母為連續(xù)的質(zhì)數(shù)，即可得出．【解答】解：，，，，（），，，，，…，由題意可得：分子為連續(xù)的奇數(shù)，分母為連續(xù)的質(zhì)數(shù)，故括號(hào)中的數(shù)應(yīng)該為，故選：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.計(jì)算定積分（+3x）dx=． 參考答案：【考點(diǎn)】定積分． 【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用． 【分析】根據(jù)定積分的運(yùn)算法則以及幾何意義求定積分． 【解答】解：（+3x）dx=（dx+3xdx=+=； 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了定積分的計(jì)算；計(jì)算定積分有的利用微積分基本定理，有的利用幾何意義． 12.給出下列命題：①函數(shù)的零點(diǎn)有2個(gè)②展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)是6項(xiàng)③函數(shù)圖象與軸圍成的圖形的面積是④若，且，則其中真命題的序號(hào)是

（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）。參考答案：④略13.已知偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且則時(shí)，函數(shù)的解析式為

參考答案：略14.直線y＝2x＋3被圓x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦長(zhǎng)等于________．參考答案：15.當(dāng)實(shí)數(shù)滿足時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：

16.從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率是________。參考答案：1/3

略17.若關(guān)于x的方程僅有唯一解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___

____

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為y=x﹣b，求a，b的值；（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+x2有兩個(gè)極值點(diǎn)，且h（x）=ax﹣ex在（1，+∞）有最大值，求a的取值范圍；（3）討論方程f（x）=0解的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：分類討論；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（2）=1，f（2）=2﹣b，解方程可得a，b；（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得x2﹣ax+1=0有兩個(gè)正根，則△=a2﹣4＞0，且a＞0，解得a＞2，求得h（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，若2＜a≤e，若a＞e，判斷h（x）的單調(diào)性，即可得到a的范圍；（3）方程f（x）=0即為a=，令m（x）=（x＞0），求得導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和最值，作出圖象，通過(guò)圖象對(duì)a討論，即可得到解的個(gè)數(shù)．解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx﹣ax的導(dǎo)數(shù)f′（x）=﹣a，由函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為y=x﹣b，可得f′（2）=1，f（2）=2﹣b，即為﹣a=1，ln2﹣2a=2﹣b，解得a=﹣，b=1﹣ln2；（2）g（x）=lnx﹣ax+x2的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=﹣a+x=g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，即有x2﹣ax+1=0有兩個(gè)正根，則△=a2﹣4＞0，且a＞0，解得a＞2，h（x）=ax﹣ex的導(dǎo)數(shù)為h′（x）=a﹣ex，若2＜a≤e，h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，無(wú)最大值；若a＞e，則當(dāng)1＜x＜lna，h′（x）＞0，h（x）遞增，當(dāng)x＞lna時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減．即有x=lna處取得最大值h（lna），則有a＞e成立；（3）方程f（x）=0即為a=，由m（x）=（x＞0）的導(dǎo)數(shù)為m′（x）=，當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，m′（x）＞0，m（x）遞增，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，m′（x）＜0，m（x）遞減．即有m（x）的最大值為m（e）=，y=m（x）的圖象如右．則當(dāng)a＞時(shí)，y=a和y=m（x）無(wú)交點(diǎn)，即方程解的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)0＜a＜，y=a和y=m（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程解的個(gè)數(shù)為2；當(dāng)a≤0時(shí)，y=a和y=m（x）有一個(gè)交點(diǎn)，即方程解的個(gè)數(shù)為1．點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．19.（本題滿分10分）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)(2，0)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)

時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．參考答案：解：（1）設(shè)所求的橢圓方程為由題意知，所以．即．··································································································································1分又因?yàn)?，所以，?----2分故橢圓的方程為．----------3分（2）由題意知直線的斜率存在，否則直線與橢圓不可能相交.設(shè)直線的方程為，，，，由消去y,整理得，.，.········································5分，.∵，∴，，.∵點(diǎn)在橢圓上，∴，∴.———————————————————7分∵＜即，由弦長(zhǎng)公式得：，∴，∴，∴，∴.∴，-9分∵，∴，∴或，∴實(shí)數(shù)取值范圍為

10分(注意：可設(shè)直線方程為，但需要討論或兩種情況)20.（12分）.如圖所示，等腰的底邊，高，點(diǎn)是線段上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，現(xiàn)沿將折起到的位置，使，記，表示四棱錐的體積．（1）求的表達(dá)式；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？參考答案：（1）=（2）（1），

∴PE⊥平面ABC，

即PE為四棱錐P-ACFE的高，

由高線CD及EF⊥AB得EF∥CD，

21.給定兩個(gè)命題，P：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：a2+8a﹣20＜0．如果P∨Q為真命題，P∧Q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假．【專題】計(jì)算題．【分析】由ax2+ax+1＞0恒成立可得，可求P的范圍；由a2+8a﹣20＜0解不等式可求Q的范圍，然后由P∨Q為真命題，P∧Q為假命題，可知P，Q為一真一假，可求【解答】（本小題滿分12分）解：命題P：ax2+ax+1＞0恒成立當(dāng)a=0時(shí)，不等式恒成立，滿足題意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣當(dāng)a≠0時(shí)，，解得0＜a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴0≤a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣命題Q：a2+8a﹣20＜0解得﹣10＜a＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵P∨Q為真命題，P∧Q為假命題∴P，Q有且只有一個(gè)為真，﹣﹣﹣