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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)妙用奔馳定理解決三角
形面積比問題
【題型歸納目最】
題型一:直接使用奔馳定理
題型二:三角形面積比問題
【方法技巧與總結(jié)】
奔馳定理——解決面積比例問題
重心定理:三角形三條中線的交點(diǎn).
已知的頂點(diǎn)1/1),S(T>,y),C(.T3,加),則ZVI,。的重心坐標(biāo)為
//%+g+g幼+紡+%\
3,3
注意:(1)在中,若O為重心,則ON+而+54=6.
(2)三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1,且分的三個三角形面積相等.
重心的向量表示:.
奔馳定理:5八?+SB?屈+Sc/小方=0,則△力03、△力。。、ABOC的面積之比等于九:蒞:4
奔馳定理證明:如圖,令,1罰=""2加=函,4云=困,即滿足<54+而1+近1=0
S&WBS^AOCSc:J3OC.q.q_1.1.1
D△月Q841人2/“3QABQG4243
(3)F為A43O內(nèi)一點(diǎn),axPA+bxPB4-cxFC=0,則S”比;:S^PAC-S^pAB=a:b:c.
帝隼夕上人?SNPBCaS"AC_bS\PA8_c
?S、.\BCa+b+c"S'ABCa+b+c,a+b+c*
結(jié)論1:對于^ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)P,若\PBC、LPCA、LPAB的面積分別為S1、即、S「,則:
SA-PA^SB-PB^SC-PC=().
即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零,權(quán)系數(shù)分別為向量所對的三角形的面積.
結(jié)論2:對于AZB。平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P,若點(diǎn)P在A4B。的外部,并且在/氏4。的內(nèi)部或其對頂
角的內(nèi)部所在區(qū)域時,則有一S"BC?PA+SAPAC?PB+SPAB-Pc=o.
結(jié)論3:對于\ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)P,若AXPA+A.,PB+^PC=O,則kPBC、bPCA、l^PAB的面積
之比為A:不:用.
即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零,則各向量所對的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.
結(jié)論1:對于XABC所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)P,用AX+A.PB4-A.PC=6,則APBC、
APCA、AP4B的面積分別為周:同:同.
即若三角形平面內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零,則各向量所對應(yīng)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)的絕
對值之比.各向量所對應(yīng)的三角形是指另外兩個向量所在的三角形.
【■■MW
題型一:直接使用奔馳定理
例1.(2023卷?河南安陽?方一統(tǒng)考期末)已知。是△46。內(nèi)的一點(diǎn),若ABOCAAOCAAOB的面積
分別記為Si,S2,S3,WiJS1-OA+S2-OB+S3-OC=3.這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很
相似,故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖,已知。是的垂心,且。X+2而+3尻=不,則
ta.nZ.BAC:tanZABC:tanZTlCB=()
A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6
例2.(多選題)(2023?方一單元測試)如圖,P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),角ABC的對邊分別為a,b,c,則總
有優(yōu)美等式S"BC?PA+S樂AC-PB+S^AB-PC^成立,此結(jié)論稱為三角形中的奔馳定理.由此
判斷以下命題中,正確的有()
A.若P是&4BC的重心,則有后才+屈+用=6
B.若a-Q4+b?兩+c?咒=6,則P是△ABC的內(nèi)心
C.若和=^-AB+,則S甌BC:S?AC:S"AB=2:2:1
DJ
D.若P是△ABC的外心,且?!=1,則AX+sinZAFC-PB+sin(普-Z.APC)-PC=6
例3.(多選題)(2023秋?河南洛FB?高一直用縣第一;<級中學(xué)??茧A段練習(xí))點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)
一點(diǎn),且取=無存+“座,下列說法正確的是()
A.若工=沙=4,則點(diǎn)P是邊的中點(diǎn)
B.若點(diǎn)P是邊靠近13點(diǎn)的三等分點(diǎn),則刀=4-^=4
OO
C.若點(diǎn)P在3。邊的中線上且立+?=-;,則點(diǎn)P是△ABC的重心
D.若;r+y=2,則&PBC與^ABC的面積相等
例4.(多選題)(2023?全國?高三專題練習(xí))“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論,因?yàn)檫@個定
理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車,(Mercedesbenz)的logo很相似,故形象地稱其為“奔馳定理”,奔馳定
理:已知。是△ABC內(nèi)一點(diǎn),ABOC,/XAOC,AAOB的面積分別為S.,SK,S。,且Sa-OA+S^
OB+Sc-OC=0.設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn),ABAC,/ABC,/ACS分別是的△46。三個內(nèi)
角,以下命題正確的有()
A.若5X+2)+3和?=6,則SA:SB:SC=1:2:3
B.若|網(wǎng)=|網(wǎng)=2,/403=箏2^1+3加+4定=6,則5刖=今
C.若。為△4BC的內(nèi)心,3為+4赤+5資=6,則/。=號
D.若O為A4BC的垂心,3罰+4OB+5OC=0,則cosZAOB=一尊
例5.(多選題)(2023秋?河南洛用?方一宜陽縣第一南級中學(xué)??茧A段練習(xí))已知點(diǎn)。為△4?。所在平
面內(nèi)一點(diǎn),且2為+3OB+4OC=3則下列選項(xiàng)正確的有()
A.AO=^-AB+^-ACB.直線力O過邊的中點(diǎn)
C.SMOB'SABOC:2"D.若I網(wǎng)=1函=1閃=1,則云?荏=一條
例6.(多選題)(2023春?湖南永州?方一永州市第一中學(xué)??肌銎谥校┮阎c(diǎn)O為△4BC所在平面內(nèi)一
點(diǎn),2±?+3方+4反5=。,則下列選項(xiàng)正確的是()
A.AO=.:AB+AC
B.直線4。必過BC邊的中點(diǎn)
C.S&ABC:Sz\℃=3:1
D.若|加|=|而|=|方|=1,則cos<6?,赤>=:
例7.(2023春?江蘇檢州?高一徐州市第三十六中學(xué)(江蘇嬸范大學(xué)附屬中學(xué))??茧A段練習(xí))定理:如
圖,已知P為AABC內(nèi)一點(diǎn),則有S“比「PA+S"AC?PB+S&PAB-PC=3.
由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似,我們把它稱為“奔馳定理”.這個定理對于利用平
面向量解決平面幾何問題,尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題,有著決定性的基石作
用.
已知點(diǎn)。在內(nèi)部,有以下四個推論:
①若。為△ABC的重心,則。1+)+/=6;
②若O為&ABC的外心,則sin24OA+sin2B-OB+sin2C-OC=0;
③若O為△AB。的內(nèi)心,則+b?赤+c?宓=6;備注:若。為645。的內(nèi)心,則
+sinB-OB+sinC-OC=0也對.
④若。為△ABC的垂心,則tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=(5.
試用“奔馳定理”或其它方法解決下列問題.
⑴點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部,滿足巨<+2兩+3用=6,求S-Bc:S^APC的值;
(2)點(diǎn)。為4ABC內(nèi)一點(diǎn),若S":Smoc:S-oc=4:3:2,設(shè)而=%而+〃而,求實(shí)數(shù)?和〃的
值;
(3)用“奔馳定理”證明推論②.
題型二:三角形面積比問題
例8.(多選題)(202&方一樂時練習(xí))若點(diǎn)。為△48。所在平面內(nèi)一點(diǎn),AO=^-AB+^AC,則下列選
項(xiàng)正確的是()
A,直線4。必過BC邊的中點(diǎn)
B.SAAOC:S/VI“C=1:3
C.若△力6。的面積為9,則的面積是4
D.2OA+3OB+4OC=0
例9.(多選題)(2023春?江蘇南京?高二金*中學(xué)??茧A段練習(xí))已知點(diǎn)。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),
且萬5+2礪+3前=6,則下列選項(xiàng)正確的是()
A.W=^AB+^AC
B.直線49必過3。邊的中點(diǎn)
c.S&AOB:S&AOC=3:2
D.若|加1=1而1=1,且說,則|罰|=后
例10.(2023?江蘇秦州?高三階段練習(xí))已知點(diǎn)O為△4/3。內(nèi)-點(diǎn),且方f+2OB+3OC=0,則A4OB
,△A9COC的面積之比等于.
例11.(2023秋■?江蘇秦州?高三階段練習(xí))已知點(diǎn)。為△A3C內(nèi)一點(diǎn),且成+2礪+3超=6,則
△AOB,^AOC,她。。的面積之比等于.
^12.(2023-河南南相?統(tǒng)考三模)已知。為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且ON+2OB+3OC=6,則△408,
△4OC,ABOC的面積之比為.
例13.(2023?全國?高三專題練習(xí))奔馳定理:已知。是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),△BOC,&4OC,AAOB的面
積分別為S,1,SB,S°,則SA-OA+SB-OB+SC-OC=》“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的
結(jié)論,因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似,故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)。為
三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足:示+2加+3正=3荏+2/+方,則徐3=()
mmrai
一、單選題
1.(2023-全國?高三壽慝練習(xí))已知P為內(nèi)任意一點(diǎn),若滿足xPA+yPB+zPC=
6(l,y,z>0),則稱P為△ABC的一個“優(yōu)美點(diǎn)”.則下列結(jié)論中正確的有()
①若/=y=z=1,則點(diǎn)P為4ABe的重心;
②若a?=1,y=2,z=3,則S*BC~萬;
③若PX?兩=麗?同?圮,則點(diǎn)p為△ARC的垂心;
④若:r=l,y=3,z=l且。為AC邊中點(diǎn),則前=三說.
tj
A.1個B.2個C.3個D.4個
2.(2023秋?河南安閑?高三階段練習(xí))。是443。所在平面上一點(diǎn),滿足兩+而+用=2牯,若
SA.C=12,則△PAB的面積為()
A.4B.6C.8D.16
3.(2023-全國?方三專題練習(xí))P是△ABC所在平面上的一點(diǎn),滿足PA+PB+圮=24瓦若
6,則△H4B的面積為().
A.2B.3C.4D.8
4.(2023春?安徽黃山?;<一統(tǒng)考期末)已知。是△43。所在平面內(nèi)的一點(diǎn),乙4,乙8,NC所對的邊分
別I為a=3,b=2,c=4,若aCL4+bOB+cOC=。,過O作直線Z分別交48、AC(不與端點(diǎn)重合)
于P、Q,若#=;1羽,福=〃J化,若△PAO與△QAO的面積之比為則4=()
A.B.C.4D.-4-
6.334
5.(2023-全國?方三專題練習(xí))已知點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn),同+2聞+3PC=6,則XAFB,AAPC,
△5PC的面積之比為()
A.9:4:1B.1:4:9C.1:2:3D.3:2:1
6.(2023秋?河北邯祁?南三校聯(lián)考階段練習(xí))已知點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),若瘋=~|■通+
4■正,則△力與相。加的面積之比為()
O
A.B.C.2D.
7.(2023春?陜西洛安?高一校考"階段練習(xí))已知M是△工及7所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足2不法=:而+
4AC,則AAMB與AABC的面積之比為
4
A.1:4B,3:4C.3:8D,1:8
8.(2023款?江西宜春?南三江西省豐城中學(xué)校考階段練習(xí))記△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)為P,滿足工荏
+“而=存,其中/+必=1,則各跳的取值范圍為()
J2ABC
A.[V2-l,+oo)B.(0.V2-1]C.(0,1]D.[V2+l,+oo)
【答案】c
【解析】過C點(diǎn)作的垂線,垂足為D,則於=N萬+反?,
存=7濕+y(赤+況),而年與南共線,
“_丑四坨=出而—
易得
S&ABC_1.\AB\-\DC\
2
.?SdABP1/八1i
故七----6(0,1],
故選:C
9.(2023秋?江西景稔慎?南二校??计谀┮阎c(diǎn)P為^ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足?=^AB+^AC,
貝I」圣膽=
b&ABP
A.2B.3
C.4D.5
二、多選題
1().(2023秋?遼寧大連?高一統(tǒng)考期末)已知點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且巨才+2兩+3用=6,
若E為4。的中點(diǎn),口為8。的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()
A.向量聲與對可能平行
B.點(diǎn)P在線段EF上
C.\PE\:冏=2:1
D.S"AB;SMAC:S/^PBC=1:2:3
三、填空題
1L(2023?全國?方三專題練習(xí))如圖,P為△4SC內(nèi)任意一點(diǎn),角4,B,。的對邊分別為a,b,c.總有
優(yōu)美等式S^cPA+S^ACPB+S^AUPC=3成立,因該圖形酷似奔馳汽車車標(biāo),故又稱為奔馳定
理.現(xiàn)有以下命題:
①若P是的重心,則有巨才+兩+團(tuán)=6;
②若汨+b兩+c咒=6成立,則P是△ABC的內(nèi)心;
③若行=^AB+《而,則S^BP-.S皿=2:5;
DO
④若P是△ABC的外心,A=與,"=TH屈+n圮,則M+71e[―四,1).
4
則正確的命題有.
12.(2023-全國?高一專題練習(xí))設(shè)P為A4BC所在平面上一點(diǎn),且滿足3PA+1PC=mAB(m>0).若
l^ABP的面積為8,則AABC的面積為.
13.(2023春?河南讀相?南一統(tǒng)考期中)P是A4BC所在平面上的一點(diǎn),滿足PA+PB+PC=2座,若
S"AB=4,則A4BC的面積為.
14.(2023-湖北?高三元春)已知P是AABC所在平面上一點(diǎn),滿足PA+PB+2PC=3而.則A4BP
與A4BC的面積之比為.
15.(2023?全國?高三競春)設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),滿足同+兩+用=3荏,若△PAC的
面積為1,則APAR的面積為.
16.(2023-全國?高三專題練習(xí))已知點(diǎn)P為XABC內(nèi)一點(diǎn),2同+3屈+5PC=6,則△APB,zV!PC
,LBPC的面積之比為.
17.(2023?上海?商三專題練習(xí))已知A45C的面積為360,點(diǎn)P是三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn),且赤=
\AB+[而,則APAB的面積為.
四、解答題
18.(2023春?山東濟(jì)南?高一統(tǒng)考期末)在△4日?中,點(diǎn)尸為內(nèi)一點(diǎn).
⑴若點(diǎn)P為八46。的重心,用而,衣表示存;
(2)記APBC,^PAC,^PAB的面積分別為SA,SB,S0,求證:SAPA+SaPB+ScPC=0;
(3)若點(diǎn)P為A4BC的垂心,且兩+2PB+3PC=(),求cosZAPB.
19.(2023春?河北保定?高二河北省西用縣第一高級中學(xué)??茧A段練習(xí))已知點(diǎn)P為A4BC內(nèi)一點(diǎn)
2PA+3PB+5PC=。,若尸為4c中點(diǎn),G為3C中點(diǎn),空空=.AXPB
\PG\
,△APCABPC的面積之比為
妙用奔馳定理解決三角形面積比問題
【num3】
題型一:直接使用奔馳定理
題型二:三角形面積比問題
【方法技巧與總結(jié)】
奔馳定理——解決面積比例問題
重心定理:三角形三條中線的交點(diǎn).
已知△力6C的頂點(diǎn)4(%,劭),B(①2,y),C(g,陰),則△48。的重心坐標(biāo)為
l+g+g幼+紡+%\
GV3,一卜
注意:(1)在△43C中,若O為重心,則0N+而+。己=工
(2)三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1,且分的三個三角形面積相等.
重心的向量表示:.
奔馳定理:5八?+SB+Sc?小方=0,則△力03、△力OC、ABO。的面積之比等于用:蒞:4
奔馳定理證明:如圖,令4科=見"2麗=函,4歷=困,即滿足<54+而1+近1=0
SAAOB1S^AOC1S^BOC1LZ.r,cr>_1r1
~Q——一]],W~~~T1>~Q———】】,故.1":一?。盒。?k
D△月Q場/“3QABQG4243
(3)P為bABC內(nèi)一點(diǎn),axPA+bxPB+cxPC=6,則S^PBC:S^pAC-SAPAB=a:b:c.
帝垂_2士人.SM,BC_aS.AC_bSXPAB_c
""'SAABCa+b+c'S&ABCa+b+c'SAABCa+b+c'
結(jié)論1:對于AABC內(nèi)的任意一點(diǎn)P,若APB。、APCA、APAB的面積分別為SA.S“、Sc,則:
SA-PA+SB-PB+Sc-PC=().
即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零,權(quán)系數(shù)分別為向量所對的三角形的面積.
結(jié)論2:對于l^ABC平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P,若點(diǎn)P在AABC的外部,并且在/BAC的內(nèi)部或其對頂
角的內(nèi)部所在區(qū)域時,則有一S"BC?PA+SAPAC?PB+SPAB-Pc=o.
結(jié)論3:對于\ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)P,若AXPA+A.,PB+^PC=O,則kPBC、bPCA、l^PAB的面積
之比為A:不:用.
即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零,則各向量所對的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.
結(jié)論1:對于XABC所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)P,用AX+A.PB4-A.PC=6,則APBC、
APCA、AP4B的面積分別為周:同:同.
即若三角形平面內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零,則各向量所對應(yīng)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)的絕
對值之比.各向量所對應(yīng)的三角形是指另外兩個向量所在的三角形.
【■■MW
題型一:直接使用奔馳定理
例1.(2023卷?河南安陽?方一統(tǒng)考期末)已知。是△46。內(nèi)的一點(diǎn),若ABOCAAOCAAOB的面積
分別記為Si,S2,S3,WiJS1-OA+S2-OB+S3-OC=3.這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很
相似,故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖,已知。是的垂心,且。X+2而+3尻=不,則
ta.nZ.BAC:tanZABC:tanZTlCB=()
A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6
【答案】A
【解析】。是△ASC的垂心,延長。0,80,40分別交邊AB,A。,SC于點(diǎn)P,M,N,如圖,
則CPA.AB.BMX_AC.AN±BC、LBOP=ABAC,LAOP=4ABC,
因"且=BP_=OPtan/BOP=tan/氏4。門且=tan/BAC
周'豆一次—OPtanZAOF~tanZABC'網(wǎng)正瓦一tanN/CB'
于是得tan/BAC:tanZABC:tanZACB=Sl:S2:S3,
又01+2而+3而=6,即無=一43?-4麗,由"奔馳定理”有$「51
4-S2-OB+S3-OC=0,
則OC=一微~'OA―色?OB,而。4與OB不共線,有合~=,冬=?",即Si:S?:S3=1:2:3,
所以tan/RAC:tanZXBC:tanZ/lCB=1:2:3.
故選:A
例2.(多選題)(2023-需一單元測試)如圖,P為&4BC內(nèi)任意一點(diǎn),角A8C的對邊分別為a,b,c,則總
有優(yōu)美等式S“BC?兩+SMAC?兩+S"AB?方=。成立,此結(jié)論稱為三角形中的奔馳定理.由此
判斷以下命題中,正確的有()
A.若P是△ABC的重心,則有兩+兩+方=6
B.若+b?聞+c?我=6,則P是△ABC的內(nèi)心
C.若存=《荏+1■彩,則Sy,BC:S?AC:S^PAB=2:2:1
DD
D.若P是△ABC的外心,且力=?則司+sinZAPC-兩+sin(萼一ZAPC)-PC=0
【答案】ABD
【解析】對于-A,P是△43。的重心,則S"BC=S"AC=SgAB,
代入S^PBC-PA+SaAC?PB+S江AB?用=6就得到兩+兩+用=3,正確;
對于B,設(shè)點(diǎn)P到邊BC,AC,4B的距離分別為加,甌/%,
由S^PBC-PA+S"AC-PB+S"AB'PC=()彳導(dǎo),-^ah\-PA+4bh?-PB+-yc/i:s-PC=0,即a"?PA+bh,
?PB+chi-PC=6,與已知條件a?PA+b-PB+c?PC=6比較知,"=h>=h.:i,則P是AABC的內(nèi)心,
正確;
對于。,屁=(方+看左=看(聞_網(wǎng)+看百日_網(wǎng),即2同+兩+2用=6,
與SNBC'PA+S4PAe?PB+S州AB,PC=。比較得到,S"BC:S^PAC'-S^PABC=2:1:2,錯誤;
對于。,。是A4BO的外心,且/A=g■,則乙BPC=等設(shè)三角形外接圓半徑為R,
所以S^BC=/點(diǎn),SMAC=畀專展也(弩-ZAPC),
代入奔馳定理即可得到PA+sin/人0。?配+sin(等一AAPC)-PC=^,正確,
故選:ABD.
例3.(多選題)(2023*-河南洛用?高一宜相縣第一南級中學(xué)校考階段練習(xí))點(diǎn)P是ZvlBC所在平面內(nèi)
一點(diǎn),且存=/南+?/,下列說法正確的是()
A.若工=夕=方,則點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)
B.若點(diǎn)。是邊BC靠近13點(diǎn)的三等分點(diǎn),則工=卷夕=”
C.若點(diǎn)P在邊的中線上且上+y=g,則點(diǎn)P是ZVIBC的重心
D.若①+y=2,則△PBC與△4BC的面積相等
【答案】AD
【解析】A若工=?=4,取=右說+4方方Q取一荏=/一取=毋=定,即點(diǎn)P是邊8C的中
點(diǎn),故正確;
B當(dāng)立==?時,汨5=春陽+4■態(tài)o而一通=2(怒一^5)o前=2戶方,點(diǎn)尸是邊BC靠
近。點(diǎn)的三等分點(diǎn),故錯誤;
。點(diǎn)尸在BC邊的中線上且2+y=t■,點(diǎn)P為B。邊的中線的中點(diǎn),故不是重心;
D設(shè)直法=2岳,麗=2/,則而=£■疝+卷福,卷+3=1,故點(diǎn)P在直線MTV上,點(diǎn)P與點(diǎn)A
到BC邊的距離相等,故△PBC與AABC的面積相等.
故選:AD
例4.(多選題)(2023?全國?商三專題練習(xí))“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論,因?yàn)檫@個定
理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車,(Mercedesmnz)的log。很相似,故形象地稱其為“奔馳定理”,奔馳定
理:已知。是AABC內(nèi)一點(diǎn),△B。。,△40。,△AOB的面積分別為SA,SB,S。,且SA?+SB?
OB+Sc-OC=^.設(shè)。是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn),£BAC,Z.ABC,乙4cB分別是的&4BC三個內(nèi)
角,以下命題正確的有()
A.若。1+2無+3或?=。,則SA-SR;S(:=1:2:3
B.^\OA\=\OB\=2,N4OB=居,2示+3加+4云=6,則殳板=£
C.若。為△ABC的內(nèi)心,3±才+4加+5芯=。,則zc=y
D.若。為△ABC的垂心,304+4OB+5OC=百,則cosNAOB=一項(xiàng)
6
【答案】AC。
【解析】對A,由奔馳定理可得,無5+2詬+3定=S,「6?+Sb?赤+Sc?定=6,又01、赤、正不
共線,故S4:5J:SC=1:2:3,A對;
對B,Sc=4-X2X2XsmZ.AOB=1,由2示+3OB+4OC=0得S*:S”:S0=2:3:4,故&ABC=ySc
Z4
--->---?---?-?
對。,若。為A4BC的內(nèi)心,3OA+4OB+50。=0,則SA:SB:SC=3:4:5,又SB:SC=yar:y6r:
ycr=a:6:c(r為內(nèi)切圓半徑),三邊滿足勾股定律,故/。=],C對;
對D,若O為△ABC的垂心,則NBOC+^A=K,OB-OC=\OB\-\OC\COS^BOC^-\OB\-
|OC|cosZA,
又麗.於=礪?(文—冏)=0。麗.正=加.(51旬加上05/力=|(X^cos/C,
同理\OC\cosZ.B—|O/?|cosZC,\OA\cosZ.B—\OB\COSZ.A,\OA\:\OB\:\OC\—cosZA:cosZB:
cosZC,
4-1OB+5OC=(5,5!'lSA:Sn:S(=3:1:5,i
且SA:SB:SC=同網(wǎng)函'inZBOC:十|可|函sinNAOC:*明|函sin/4O8屋\
—(()sZj?c()sZCsinZ/l:cosZ/lcosZCsinZB:cosZ/lcosZBsinZG/
_sinN/1.sin/B.sin/。|
cosZXcosZBcosZCBDC
=tanZX:tanZB:tanZC
如圖,D、E、F分別為垂足,
2
設(shè)AF=mitan/4=3t(t>0),則FC=37nt,BF=4~mfAB--^-m,AC=V9^+1-rn,
44
又AE:EC=5:3,故4£=自4。,8后=3八4后=粵4。,
tanZX'tanZCoo
由AB?尸。=AOBE=二m-=粵(9/+1)力?,解得t=艱,
4o3
由tan2ZC=j——1=5=>cosZC=,故cos/AO3=—cos/C=—。對故選:ACD
cos~Zc7oo
例5.(多選題)(2023秋?河南洛相?高一宜陽縣第一方級中學(xué)??茧A段練習(xí))已知點(diǎn)O為△AB。所在平
面內(nèi)一點(diǎn),且"H+37+4。方=6則下列選項(xiàng)正確的有()
A.AO=+-^-A,CB.直線AO過邊的中點(diǎn)
O-7
若|市|=|而|=|而|=則司?荏=一
C.S^AOB:S^BOC=2:1D.1,4
【答案】48
【解析】204+3(3?+AB)+4(04+AC)=904+3AB+4AC=6,則
AO--yAB+/AC,A正確;
若阮=2刀,屈=39,赤=4五,則/+1+前=6,/
所以。是△DEF的重心,/
直線40過E尸中點(diǎn),而EF與8。不平行,
所以直線力。不過BC邊的中點(diǎn),8錯誤;
又S^DOE~SgOF=S^DOF,而S^DOE—65^.06,S^EOF—12s△J3OC',
所以S^AQB:Swoc=2:1,C正確;
\OA\=\OB\=|OC|=16OC2=(204+3OB)2=4OA2+1204-OB+9南,
,>","i
所以04?06=^,
4
而正?費(fèi)=-j(2O4+SOB)-(04-OB)=;(2刀?+OA-OB-^OB-)=一4,D正確.
故選:ACD
例6.(多選題)(2023春?湖南永州?高一永州市第一中學(xué)??计谥校┮阎c(diǎn)O為△4BC所在平面內(nèi)一
點(diǎn),2。^+3OB+4OC=0,則下列選項(xiàng)正確的是()
A.AO=^-AB+^AC
oy
B.直線49必過邊的中點(diǎn)
c.S^ABC-S^AOC=3:1
D.若|而1=1而1=1或1=1,則cos<dXd^>=]
【答案】ACD
【解析】由題意,點(diǎn)。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),204+305+40^=0,
可得2己1+iOB+iOC=2OA+3(OB-OA)+l(OC-OA)+7OA=(1,
即904+3AB+4AC=1即9而=-3AB+4AC,可得而=^-AB+^-AC,
jy
所以其正確,B錯誤;
如圖所示,分別延長。408,OC于點(diǎn)DE,P,使得歷=2工],加=3OB,OF=4OC,
因?yàn)?。1+3方+4五=百,可得/+9+前=人所以。為△DEF的重心,
設(shè)ADEF的面積為S,
可得S^AOC=S^ODF=1X-^S最)EF=S^AOB—卷SAODE=4x—S/^EF=tS
SABOC=己S^OEF=X寺SMEF=S,
i.J_
所以SAABC=(擊+表+奈)S,可得登婦=~~Y——=3,
looOQ^AOC.
24
所以。正確;
若|礪|=|而|=|引|=1,可得|用|=2,|配|=3,|前|=4,
因?yàn)?。+。E+0尸=0,可得0。+0石=-0f,所以|OD+OE|=
國,
可得OD2+OE2+2OD-OE=OF-,即22+32+2OD-OE=OD-OE=^-,
則COS〈5X加>=cos</,就所以。正確.
no.
故選:ACD.
例7.(2023春?江蘇徐州?南一徐州市第三十六中學(xué)(江蘇卿范大學(xué)附屬中學(xué))??茧A段練習(xí))定理:如
圖,已知P為AABC內(nèi)一點(diǎn),則有S&PQPA+SM-PB+S^PAR-PC=(5.
由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似,我們把它稱為“奔馳定理”.這個定理對于利用平
面向量解決平面幾何問題,尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題,有著決定性的基石作
用.
已知點(diǎn)。在內(nèi)部,有以下四個推論:
①若。為△力的重心,則5N+詬+/=6;
②若O為△ABC的外心,則sin2H?3+sin2B-OB+sin2C-OC=6:
③若。為△ABC的內(nèi)心,則a?01+b?詬+c?Od=0;備注:若O為的內(nèi)心,則sinAOl
+sinB?OB+sinC('OC=0也對.
④若。為△ABC的垂心,則tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=(5.
試用“奔馳定理”或其它方法解決下列問題.
⑴點(diǎn)P在&4BC內(nèi)部,滿足同+2屈+3冏=6,求:S△.;的值;
⑵點(diǎn)O為AABC內(nèi)一點(diǎn),若S?OB:Swoc:S&AOC=4:3:2,設(shè)南=而豆+〃/,求實(shí)數(shù)/i和〃的
值;
(3)用''奔馳定理”證明推論②.
【解析】⑴因?yàn)閮?2而+3附=6,根據(jù)奔馳定理可得S4^c:Sj”:SAMB=1:2:3,
因此,S^ABC:S^APC=6:2=3:1.
⑵根據(jù)奔馳定理,得MH+25S+4正=6,即335+2(35+%§)+4(51+態(tài))=6,
整理可得AO—看AB+等4C,
因?yàn)榍芭c前不共線,所以由平面向量基本定理得久=看,〃=卷.
⑶證明:若。為△ABC的外心,則可設(shè)△4BC的外接圓半徑為R,
4BOC=2A,NAO。=28,NAO8=2C,
故SAPOC=■用sin27l,同理SA4QC=~^_/?2sin26,S^QB=~^R2sin2C,
根據(jù)奔馳定理,S△成)c?PA-\-SMQC*PB+S^AOB,PC—3.
即皆展皿力?OA+y/?2sin2B-OB+^-R2sin2C-OC=t).
所以sin2j4?OA+sin2B,OB+sin2C-OC=0.
題型二:三角形面積比問題
例8.(多選題)(2023?商一課時練習(xí))若點(diǎn)。為所在平面內(nèi)一點(diǎn),AO=\AB+^AC,則下列選
oy
項(xiàng)正確的是()
A,直線49必過邊的中點(diǎn)
B.S^oc:=1.3
C.若△ABC的面積為9,則△4OB的面積是4
D.2OA+3OB+4OC=0
【答案】BCD
【解析】對D,A.O—^A.B+'^-AC則AO-g(OB-%)+得(℃—OA)——'^rOA.+-^013+-^r-OC,
OtzOJ/JDJ
化簡得25m+31+45方=6,故。正確;
對人若直線40過BC邊的中點(diǎn)則%5=/lZ萬=4xg而+而)=]而+抑運(yùn)與題設(shè)矛盾,故力
錯誤;
對B,由奔馳定理可得S^jjoc■。4+S&40c,OB+SMOB'OC=6,
故S^BOC:S^oc:S^AOB=2:3:4,故S^AOC:=3:(2+3+4)=1:3,故6正確;
對。,由S^BQC-S&40c;SM()B=2:3:4可得S&4BC:S^AOB=9:4,故。正確;
故選:BCD
例9.(多選題)(2023春?江蘇南京?高二會*中學(xué)校考階段練習(xí))已知點(diǎn)。為△45。所在平面內(nèi)一點(diǎn),
且與5+2宿+3楨?=6,則下列選項(xiàng)正確的是()
A.AO^^AB+^AC
B.直線4。必過BC邊的中點(diǎn)
C.S^AOB:S4AOC=3:2
D.若|赤|=|五1=1,且瓦,則|CM|=V13
【答案】ACD
【解析】如圖所示,點(diǎn)。為&ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且而5+2OB+iOC=0,
可得彩+2赤一2引+3正一3a+5(51=6,即AO=2(OB-OA)+3(OC-OA),
即乙40=248+347,所以力0=卷43+―47,所以人是正確的;
2.4
在△ABC中,設(shè)2為3。的中點(diǎn),
由苑5+2。5+3正=6,可得(益+沆?)+2(無+花)=6,
所以正=一2億足+限)=一4團(tuán),所以直線AO不過BC邊的中點(diǎn),所以B不正確;
由其守=-400,可得|彩|=4|OD|且AC〃OD,
所以。E=3EC,可得EC=告BC,所以
/ILT:注■/\X
_3n
一五
a4-J4DxBEsm/-AEBDJ71
舲2_____________________bH
1斤以GMqOB_-1-「=I?,所以c正確;
因?yàn)閨怎|=|兄|=1,且。5J_正,
可得|O4|2=\2OB+3函2=4OB2+1205-OC+9OC2=13,
所以|O4|=V13,所以。是正確的.
故選:ACD.
例10.(2023?江蘇泰州?高三階盤練習(xí))已知點(diǎn)。為△43。內(nèi)一點(diǎn),且(51+2OB+3OC=0,則△4OB
,△力OCOC的面積之比等于
【答案】3:2:1
【解析】由03+2礪+3況=0可作圖如下,3?、兩不共線,兩=2而,以
04,OM為邊構(gòu)成平行四邊形MOAP,PO=3OC,
則由三甭形面積公式易得
S&4O8__2S^AOM>
S&AOC-gS^OP—gS^OM,
SABOC=至S^BOP=-g-S/MOP=卷.爹SUMOAP=看S^om,
故SAAOB:SMOG:SABOC=3:2:1,
故答案為:3:2:1
例11.(2023我?江蘇泰州?高三階段練習(xí))已知點(diǎn)。為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且。才+2(5芯+3。忑=6,則
△408,△AOC,ABOC的面積之比等于
【答案】3:2:1
【解析】3?+2加+39=6=>—芯=451+4說,令一定=南
oJ
則南=1-OA+^05,得3OC'=04+2OB,即布=2礪,所以。'為
JO
AB三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)8),如圖,所以SMOC=S故g,S^BOG=S^oc、
Ss=2s帖”,,S4AOB—SAAOC,+Sg()c,即,£\AOC,△8℃的面積之比等于3sAj℃,:2sAs“?。?/p>
=
S&BOC,3:2:1.
故答案為:3:2:1
例12.(2023?河南南相?統(tǒng)考?三模)已知。為△HBC內(nèi)一點(diǎn),且ON+2而+3。方=6,則ZVIOB,
△40。,△B。。的面積之比為.
【答案】3:2:1
【解析】A
延長OB到E,使得了=2。夙分別以。及OE為鄰邊做平行四邊形OAFE,
???咒+27+3正=6,且5X+
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