上海西郊民辦高級(jí)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

上海西郊民辦高級(jí)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表廣告費(fèi)用x（萬(wàn)元）4235銷售額y（萬(wàn)元）49263954根據(jù)上表可得回歸方程=x+的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為（）A．63.6萬(wàn)元 B．65.5萬(wàn)元 C．67.7萬(wàn)元 D．72.0萬(wàn)元參考答案：B【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】首先求出所給數(shù)據(jù)的平均數(shù)，得到樣本中心點(diǎn)，根據(jù)線性回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，求出方程中的一個(gè)系數(shù)，得到線性回歸方程，把自變量為6代入，預(yù)報(bào)出結(jié)果．【解答】解：∵=3.5，=42，∵數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，回歸方程中的為9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴線性回歸方程是y=9.4x+9.1，∴廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為9.4×6+9.1=65.5，故選：B．2.某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下：加工零件x（個(gè)）1020304050加工時(shí)間y（分鐘）6469758290經(jīng)檢驗(yàn)，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，那么對(duì)于加工零件的個(gè)數(shù)x與加工時(shí)間y這兩個(gè)變量，下列判斷正確的是（）A．成正相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（30，75）B．成正相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（30，76）C．成負(fù)相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（30，76）D．成負(fù)相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（30，75）參考答案：B【考點(diǎn)】線性回歸方程．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)，得到兩變量為正相關(guān)，求出橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，得到樣本中心點(diǎn)，進(jìn)而得到結(jié)論．【解答】解：由表格數(shù)據(jù)知，加工時(shí)間隨加工零件的個(gè)數(shù)的增加而增加，故兩變量為正相關(guān)，又由=30，=（64+69+75+82+90）=76，故回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)（30，76），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性相關(guān)及回歸方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得到樣本中心點(diǎn)，為基礎(chǔ)題．3.設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=A. B.C. D.參考答案：D【分析】先把x<0，轉(zhuǎn)化為-x>0,代入可得，結(jié)合奇偶性可得.【詳解】是奇函數(shù)，時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，，得．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性和解析式，滲透了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取代換法，利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想解題．4.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（a，），則（

）A.1 B. C.2 D.3參考答案：A由題意得為純虛數(shù)，所以，故。所以。選A。5.甲、乙兩人在相同條件下進(jìn)行射擊，甲射中目標(biāo)的概率為,乙射中目標(biāo)的概率為，兩人各射擊1次，那么甲、乙同時(shí)射中目標(biāo)的概率為

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B6.在三角形中，，，，則(

)

A．

B．或

C．或3

D．參考答案：B7.函數(shù)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．參考答案：C8.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n＝k＋1時(shí)的情況，只需展開(kāi)()A．(k＋3)3

B．(k＋2)3

C．(k＋1)3

D．(k＋1)3＋(k＋2)3參考答案：A

9.已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則等于

A．-6

B

-4

C

-8

D

-10參考答案：A10.某公司新招聘進(jìn)8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個(gè)部門，其中兩名英語(yǔ)翻譯人員不能分給同一個(gè)部門，另三名電腦編程人員也不能分給同一個(gè)部門，則不同的分配方案種數(shù)是（）A．18 B．24 C．36 D．72參考答案：C【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【分析】分類討論：①甲部門要2個(gè)2電腦編程人員和一個(gè)翻譯人員；②甲部門要1個(gè)電腦編程人員和1個(gè)翻譯人員．分別求得這2個(gè)方案的方法數(shù)，再利用分類計(jì)數(shù)原理，可得結(jié)論．【解答】解：由題意可得，有2種分配方案：①甲部門要2個(gè)電腦編程人員，則有3種情況；翻譯人員的分配有2種可能；再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)人中選一人，有3種方法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有3×2×3=18種分配方案．②甲部門要1個(gè)電腦編程人員，則方法有3種；翻譯人員的分配方法有2種；再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)人種選2個(gè)人，方法有3種，共3×2×3=18種分配方案．由分類計(jì)數(shù)原理，可得不同的分配方案共有18+18=36種，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)（－3，－1）和（4，－6）在直線3x－2y＋a=0的異側(cè)，則a的取值范圍為

。參考答案：12.橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓相交于點(diǎn)、，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，的面積是

***

．參考答案：3略13.已知，，則函數(shù)在上為增函數(shù)的概率是

.參考答案：21/2514.設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為，則

.參考答案：4

略15.曲線在處的切線方程為_(kāi)▲_．參考答案：16.已知函數(shù)f(x)＝2ax2－bx＋1，若a是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù)，則此函數(shù)在[1，＋∞)遞增的概率為_(kāi)_______．參考答案：略17.不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），則不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是．參考答案：（﹣，﹣）【考點(diǎn)】一元二次不等式的應(yīng)用．【分析】根據(jù)不等式x2﹣ax﹣b＜0的解為2＜x＜3，得到一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根為x1=2，x2=3，利用根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得a=5，b=﹣6，因此不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0，解之即得﹣＜x＜﹣，所示解集為（﹣，﹣）．【解答】解：∵不等式x2﹣ax﹣b＜0的解為2＜x＜3，∴一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根為x1=2，x2=3，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，所以a=5，b=﹣6；不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0，整理，得6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解之得﹣＜x＜﹣∴不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是（﹣，﹣）故答案為：（﹣，﹣）【點(diǎn)評(píng)】本題給出含有字母參數(shù)的一元二次不等式的解集，求參數(shù)的值并解另一個(gè)一元二次不等式的解集，著重考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，PA⊥平面AC，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).（1）求證:AF∥平面PCE;（2）若二面角P—CD—B為45°,AD=2,CD=3,求點(diǎn)F到平面PCE的距離;（3）在（2）的條件下,求PC與底面所成角的余弦值。參考答案：解法一:(1)證明:取PC中點(diǎn)M,連結(jié)ME、MF,則MF∥CD,MF=CD．又AE∥CD,AE=CD,

∴AE∥MF且AE=MF.∴四邊形AFME是平行四邊形.∴AF∥EM.∵AF平面PCE,

∴AF∥平面PCE.

(2)解:∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,∴CD⊥PD．

∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角,即∠PDA=45°.∴△PAD是等腰直角三角形.∴AF⊥PD．又AF⊥CD,∴AF⊥平面PCD,而EM∥AF,∴EM⊥平面PCD．

又EM平面PEC,∴面PEC⊥面PCD．在平面PCD內(nèi)過(guò)F作FH⊥PC于H,則FH就是點(diǎn)F到平面PCE的距離.由已知,PD=2,PF=,PC=,△PFH∽△PCD,∴=.

∴FH=.

(3)解:∵PA⊥平面ABCD,∴AC是PC在底面上的射影.

∴∠PCA就是PC與底面所成的角.由(2)知PA=2,PC=,

∴sin∠PCA==,即PC與底面所成的角余弦值cos∠PCA==,

解法二：(1)證明:取PC中點(diǎn)M,連結(jié)EM,∵=+=+=+(+)=++=++=,∴AF∥EM.又EM平面PEC,AF平面PEC,∴AF∥平面PEC．

(2)解:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、、所在直線為x、y、z軸建立坐標(biāo)系.∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,

∴CD⊥PD．∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角,即∠PDA=45°.∴A(0,0,0)、P(0,0,2)、D(0,2,0)、F(0,1,1)、E(,0,0)、C(3,2,0).設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z),則n⊥,n⊥,而=(－,0,2),=(,2,0),∴－x+2z=0,且x+2y=0.

解得y=－x

,z=x.取x=4,得n=(4,－3,3).

又=(0,1,－1),故點(diǎn)F到平面PCE的距離為d===.

(3)解:

∵PA⊥平面ABCD,

∴AC是PC在底面上的射影.∴∠PCA就是PC與底面所成的角.=(－3,－2,0),=(－3,－2,2).∴cos∠PCA==,

即PC與底面所成的角的余弦值是.

略19.（本題滿分12分）某班從6名班干部（其中男生4人，女生2人）中選3人參加學(xué)校學(xué)生會(huì)的干部競(jìng)選．（1）設(shè)所選3人中女生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率．參考答案：解：（1）的所有可能取值為0，1，2．依題意，得，

，

．∴的分布列為012∴。

…7分（2）設(shè)“男生甲被選中”為事件，“女生乙被選中”為事件，則，，

∴．故在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為．

…………12分20.設(shè)函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若