第四章李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

第四章李雅普諾夫穩(wěn)定性理論1第一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五1.正確理解穩(wěn)定性基本概念和李雅普諾夫意義穩(wěn)定性概念。2.熟練掌握李氏第一法,李氏第二法。3.掌握線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性分析和離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性分析方法。重點內(nèi)容：

李雅普諾夫第一、第二法的主要定義與定理，李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造。線性定常系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定理與判別李雅普諾夫方程，漸近穩(wěn)定性的分析與判別。教學(xué)要求：2第二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五研究的目的和意義:穩(wěn)定性是自動控制系統(tǒng)正常工作的必要條件，是一個重要特征。要求：在受到外界擾動后，雖然其原平衡狀態(tài)被打破，但在擾動消失后，仍然能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，或者趨于另一平衡狀態(tài)繼續(xù)工作。穩(wěn)定性：系統(tǒng)在受到小的外界擾動后，系統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性，而與輸入作用無關(guān)。3第三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五經(jīng)典控制理論穩(wěn)定性判別方法：代數(shù)判據(jù)，奈魁斯特判據(jù)，對數(shù)判據(jù)，根軌跡判據(jù)非線性系統(tǒng)：相平面法(適用于一，二階非線性系統(tǒng))4第四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五1892年，俄國學(xué)者李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性定理采用了狀態(tài)向量來描述，適用于單變量，線性，非線性，定常，時變，多變量等系統(tǒng)。應(yīng)用：自適應(yīng)控制，最優(yōu)控制，非線性控制等。5第五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五主要內(nèi)容：李氏第一法（間接法）：求解特征方程的特征值李氏第二法（直接法）：利用經(jīng)驗和技巧來構(gòu)造李氏函數(shù)6第六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五4.1穩(wěn)定性基本概念

1.自治系統(tǒng)：輸入為0的系統(tǒng)=Ax+Bu(u=0)

2.初態(tài)

=f(x,t)的解為初態(tài)

3.平衡狀態(tài)：系統(tǒng)的平衡狀態(tài)

a.線性系統(tǒng)

A非奇異：

A奇異：有無窮多個7第七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五b.非線性系統(tǒng)可能有多個例4-1:

令

8第八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五孤立的平衡狀態(tài)：在某一平衡狀態(tài)的充分小的鄰域內(nèi)不存在別的平衡狀態(tài)。對于孤立的平衡狀態(tài)，總可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，把它變換到狀態(tài)空間的原點。9第九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五4.2李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義

1.李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定如果對每個實數(shù)都對應(yīng)存在另一個實數(shù)滿足的任意初始態(tài)出發(fā)的運動軌跡，在都滿足：10第十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五則稱是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。時變：與有關(guān)定常系統(tǒng)：與無關(guān)，是一致穩(wěn)定的。注意：－向量范數(shù)(表示空間距離)歐幾里得范數(shù)。11第十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五2.漸近穩(wěn)定1）是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定2）一致漸近穩(wěn)定3.大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定性對都有12第十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五初始條件擴展到整個空間，且是漸近穩(wěn)定性。線性系統(tǒng)(嚴(yán)格)：如果它是漸近穩(wěn)定的，必是有大范圍漸近穩(wěn)定性(線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件的大小無關(guān))。非線性系統(tǒng)：只能在小范圍一致穩(wěn)定，由狀態(tài)空間出發(fā)的軌跡都收斂或其附近。13第十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)與無關(guān)大范圍一致漸近穩(wěn)定。必要條件：在整個狀態(tài)空間中只有一個平衡狀態(tài)不穩(wěn)定性：不管，有多小，只要內(nèi)由出發(fā)的軌跡超出以外，則稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。14第十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五

線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定表征系統(tǒng)不穩(wěn)定。

非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定只說明軌跡離開了S(），這說明平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。然而卻不能說明軌跡將趨于無窮遠(yuǎn)處，這是因為軌跡還可能趨于在S(）外的某個極限環(huán),若存在極限環(huán)，則系統(tǒng)仍是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。15第十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五圖4.1 （a）穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡（b）漸近穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡（c）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡16第十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五4.3李雅普諾夫第一法（間接法）

利用狀態(tài)方程解的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)：1）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定的充要條件：

2）漸近穩(wěn)定的充要條件：3）不穩(wěn)定的充要條件：17第十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

假定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近可展開成臺勞級數(shù)，可用線性化系統(tǒng)的特征值判據(jù)判斷非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程：在平衡狀態(tài)附近存在各階偏導(dǎo)數(shù)，于是：

--非線性函數(shù)18第十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五其中：--級數(shù)展開式中二階以上各項之和19第十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五上式為向量函數(shù)的雅可比矩陣。令

則線性化系統(tǒng)方程為：

20第二十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五結(jié)論：若，則非線性系統(tǒng)在處是漸近穩(wěn)定的，與無關(guān)。若,則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。若，穩(wěn)定性與有關(guān)，

則是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。

21第二十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五例4-2：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試分析系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。解：令22第二十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五23第二十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五可見非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe1處不穩(wěn)定。不能確定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe2處穩(wěn)定性。24第二十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五4.4李雅普諾夫第二法(直接法)4.4.1預(yù)備知識25第二十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五

26第二十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五

27第二十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五

5.V(x)不定:v(x)>0或V(x)<0則V(x)是不定的。如：28第二十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五29第二十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五2.如果P是奇異矩陣，且它的所有主子行列式均非負(fù)，則是正半定的。3.如果矩陣P的奇數(shù)階主子行列式為負(fù)值，偶數(shù)階主子行列式為正值，則是負(fù)定的。

即:30第三十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五31第三十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五4.4.2幾個穩(wěn)定性定理設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程：其平衡狀態(tài)滿足，假定狀態(tài)空間原點作為平衡狀態(tài)()，并設(shè)在原點鄰域存在對x的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。32第三十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五定理1：若(1)正定；(2)負(fù)定；

則原點是漸近穩(wěn)定的。說明：負(fù)定能量隨時間連續(xù)單調(diào)衰減。定理2：若(1)正定；(2)負(fù)半定；(3)在非零狀態(tài)不恒為零，則原點是漸近穩(wěn)定的。33第三十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五說明：不存在，經(jīng)歷能量等于恒定，但不維持在該狀態(tài)。

定理3：若(1)正定；(2)負(fù)半定；(3)在非零狀態(tài)恒為零；則原點是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。34第三十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五說明：系統(tǒng)維持等能量水平運動，使維持在非零狀態(tài)而不運行至原點。定理4：若(1)正定；(2)正定

則原點是不穩(wěn)定的。說明：正定能量函數(shù)隨時間增大，在處發(fā)散。35第三十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五推論1：當(dāng)正定，正半定，且在非零狀態(tài)不恒為零時,則原點不穩(wěn)定。推論2：正定，負(fù)半定，若，，則原點是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定(同定理3)。36第三十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五幾點說明：選取不唯一，但沒有通用辦法，選取不當(dāng)，會導(dǎo)致不定的結(jié)果。這僅僅是充分條件。--單調(diào)衰減(實際上是衰減振蕩)37第三十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五選取李雅普諾夫函數(shù)的方法:構(gòu)造一個二次型函數(shù)；求，并代入狀態(tài)方程；判斷的定號性；判斷非零情況下，是否為零。漸近穩(wěn)定李氏穩(wěn)定不穩(wěn)定38第三十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五令若成立李氏意義下穩(wěn)定

若僅成立漸近穩(wěn)定

若負(fù)半定39第三十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五例4-3：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試用李雅普諾夫第二法判斷其穩(wěn)定性。解：令原點是唯一平衡點40第四十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五

設(shè)則負(fù)定原點是漸近穩(wěn)定的；只有一個平衡狀態(tài)，該系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定；由于V(x)與t無關(guān)，又是大范圍一致漸近穩(wěn)定。定理141第四十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五幾何意義：等能量軌跡(整個平面)表示狀態(tài)x到狀態(tài)空間原點距離的一種度量。

如果原點與瞬時狀態(tài)x(t)之間的距離隨t的增加而連續(xù)地減?。矗瑒t最終

。。

42第四十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五例4-4：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試用李雅普諾夫第二法判斷其穩(wěn)定性。解：令原點是唯一平衡點43第四十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五

設(shè)則負(fù)半定反設(shè)只有平衡狀態(tài)滿足44第四十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五這個結(jié)果是相矛盾的。所以這種情況不會發(fā)生在狀態(tài)方程的解運動軌跡上。綜合以上分析可知,系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe=0處是大范圍漸近穩(wěn)定的。45第四十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五例4-5：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：1)

令即原點是平衡狀態(tài)。設(shè)46第四十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五則：其它負(fù)半定令只有全零解非零狀態(tài)時原點是漸近穩(wěn)定，且是大范圍一致漸近穩(wěn)定。定理247第四十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五例4-6：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：設(shè)

則故系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。

原點是平衡狀態(tài)定理348第四十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五例4-7：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解:即設(shè)則可見與無關(guān)，故非零狀態(tài)(如)有，而對其余任意狀態(tài)有49第四十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五

故正半定。令即非零狀態(tài)時，不恒為零，則原點不穩(wěn)定即系統(tǒng)不穩(wěn)定。推論150第五十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五4.5線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別法設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：為唯一平衡狀態(tài)。設(shè)選取如下的正定二次型函數(shù)為李氏函數(shù)則：--非奇異矩陣將代入：線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別51第五十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五

令由漸近穩(wěn)定性定理1，只要Q正定(即負(fù)定)，則系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定。定理：系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件為:

給定一正定實對稱矩陣Q，存在唯一的正定實對稱矩陣P使成立，則為系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。52第五十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五方法1：給定正定QP的定號性Q單位陣P的定號性方法2：Q取正半定(定理2)允許單位矩陣主對角線上部分元素為零。53第五十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五例4-8：解：選取54第五十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五55第五十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五P正定

是大范圍一致漸近穩(wěn)定李雅普諾夫函數(shù)為:且56第五十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五例4-9:試用李雅普諾夫方程確定下圖所示系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的K值范圍。57第五十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五[解]容易推得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:在確定K的穩(wěn)定范圍時，假設(shè)輸入u為零。于是上式可寫為:由式(4.1）到（4.3）可知，原點是平衡狀態(tài)。假設(shè)取正半定的實對稱矩陣Q為:58第五十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五由于除原點外不恒等于零，因此可選上式的Q。為了證實這一點，注意取于是只在原點處才恒等于零。

為負(fù)半定。因此可選擇正半定Q用于Lyapunov方程。59第五十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五現(xiàn)在求解如下Lyapunov方程:

對P的各元素求解，可得:60第六十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五為使P成為正定矩陣，其充要條件為:和即系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。也就是說，原點是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。

61第六十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程：其中-非奇異陣，是平衡狀態(tài)。設(shè)62第六十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五令李氏代數(shù)方程63第六十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五定理：系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件為：給定任一正定實對稱矩陣Q，存在一個正定實對稱矩陣P，使式