2022-2023學年北京市某中學九年級上學期數學期中考試卷含詳解

2022-2023學年度第一學期初三年級期中測驗

數學試卷

考生須知

1.本試卷共8頁，共28道小題，滿分100分.考試時間120分鐘.

2.在試卷和答題卡上準確填寫班級、姓名和學號.

3.答案一律填寫在答題紙上，在試卷上作答無效.

4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（）.

2.拋物線丫=（%+2＞一1的頂點坐標是（）.

A.（-1,2）B.C.（-2,-1）D.（-1,-2）

3.如圖，。。是△ABC的外接圓，NBOC=100°,則NA的大小為（）

4.下列方程中，有兩個相等的實數根的方程是（）.

A.f+3%=oB.x2+2x-l=0

C.X2+2X+1=0D.x2-x+3=0

5.若將拋物線y=5f先向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到新拋物線的表達式為（）

Ay=5（x-2p+lB.y=5（x+2p+lC.y=5（x-2）2-lD.y=5（x+2p-l

6.如圖，△Q4B繞點。逆時針旋轉75°,得到AOC。，若NAOB=40°,則ZAOD等于

D

C.40°D.35°

7.如圖，。。的半徑是1,點P是直線y=-x+2上一動點，過點尸作的切線，切點為A,連接。4,

B.1C.72D.6

8.單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺.運動員起跳后的飛行路線可

以看作是拋物線的一部分.從起跳到著陸的過程中，運動員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距離X

（單位：m）近似滿足函數關系y=a（x-獷+左（。<0）.如圖記錄了某運動員起跳后的*與y的三組數據,

根據上述函數模型和數據，可推斷出該運動員起跳后飛行到最高點時，水平距離為（）.

y/m

22.75

21.40-一1

20.00

A.4mB.7mC.8mD.10m

514x/m

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.已知某個二次函數的最小值為-1,請你寫出一個符合，上述條件的二次函數的表達式為.10.半

徑為2,圓心角為120。的扇形弧長為.

11.A（T,y），B（2,%）在二次函數y=——+2x+l的圖象上，則,與%的大小關系為.（用“>”，

“V”，“=”連接.）

12.若拋物線丁=/+4》+m與x軸沒有公共點，則m的取值范圍是.

13.如圖，在平面直角坐標系中，點A,B,C都在格點上，過A,B,C三點作一圓弧，則圓心的坐標是

，A,B為切點，若NAMB=60°,AB=百,

小明利用信息技術開了一家網絡商店，將

家鄉(xiāng)的土特產銷往全國.今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均

增長率.設6月份到8月份盈利的月平均增長率為x,根據題意，可列方程為.

16.已知二次函數y=a^+fex+c（a>0）的對稱軸為直線x=—1,它的圖象經過點A（l,y）,B（-2,%）,

C（-4,0）.對于下列四個結論:

①y<%；

②c=-8a；

③方程ox2+fex+c=0的解為再=-4，々=2；

④對于任意實數f,總有《產+9）+從+CW0.

其中正確的結論是.（填寫序號）.

三、解答題（本題共68分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.解下列方程:

（1）X2-5X=0；

⑵2X2-X-1=0.

18.下面是“過圓外一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：。。和。。外一點P.

求作：過點P的。。的切線.

作法：如圖，

?①連接0P；

P

②分別以點。和點P為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點;

2

③作直線MN,交0P于點C；

④以點。為圓心，CO的長為半徑作圓，交于A8兩點；

⑤作直線PA,PB.

直線24，PB即為所求作的切線.

(1)請根據上述作法完成尺規(guī)作圖;

(2)連接。4,OB,可證NQ4P=NQBP=90°,理由是.

(3)直線小,是。。的切線，依據是

19.已知二次函數C：y=-/+2x+3

（1）將y=-/+2x+3化成y=+%的形式；

（2）在圖中畫出二次函數。的圖象；

（3）當—iwxw2時，利用圖象直接寫出y的取值范圍.

20.如圖，在平面直角坐標系中，B（-4,2）,C（-3,3）.

（1）將AASC先向右平移5個單位長度，再向下

平移2個單位長度，得到△4dG，請在圖中畫出△A4G；

（2）將MBC繞點A順時針旋轉90。得到AAB2G，請在圖中畫出AAB2c2；

（3）連接AC2,線段4c2長等于

21.已知關于x的方程kx~+{jk—2）x—2=0（4X0）.

（1）求證：此方程總有實數根；（2）若々為整數，且此方程有兩個不相等的整數根，求A的值.

22.如圖，在。O中，AB是直徑，CO是弦，且AB_LCZ）于點E,C￡>=8,BE=2.求。。的半徑.

有一農戶要建一個矩形菜地，菜地的一邊利用長為12m的墻（ADW12m），

另外三邊用26m長的籬笆圍成.求當矩形的邊長8C為多少m時，菜地面積為80m2?

AD

24.如圖，A3是。。的直徑，點。為。。上一點，CD平分/ACB,交A3于

點、E,交。。于點。，延長到點P,使得PE=PC.

c

B(1)求證：PC與0。相切:

(2)若的半徑5,AC=6,求8的長.

25.已知函數y=f+瓜+c(x22)的圖象過點A(2,l),8(5,4).

x2+hx+c(x>2)的解析式;

-+2尤+l(x<2)

(2)如圖，請補全分段函數y2圖象(不要求列表).

x+bx+c(x>2)

并回答以下問題：

①寫出此分段函數的一條性質：；

②若此分段函數的圖象與直線丁=加有三個公共點，請結合函數圖象直接寫出實數加的取值范圍：

(3)橫、縱坐標都是整數的點叫做整點，記(2)中函數的圖象與直線y=1圍成的封閉區(qū)域(不含

邊界)為“W區(qū)域”，請直接寫出區(qū)域內所有整點的坐標.

26己知，拋物線G：yn-f+bx+c經過點4(2,1),3(0,1).

(1)求拋物線G的對稱軸；

(2)平移拋物線G：y=-x2+bx+c,使其頂點在直線y=-2x+l上，設平移后的拋物線G的頂點的

橫坐標為〃?.求拋物線C?與y軸交點的縱坐標的最大值.

(3)在(2)的條件下，拋物線G與y軸交于點加，將其向左平移2個單位得到點N,若拋物線。2與

線段8N只有1個公共點，直接寫出機的取值范圍.

27.如圖，在正方形ABCQ中，點E在線段CB的延長線上，連接AE,并將線段AE繞點E順時針旋轉

90°,得到線段莊，連接A/，BD，CF,線段■與線段BD相交于點

(1)依據題意完成作圖，請寫出NEC尸的度數,并給出證明;

(2)求證：點”是線段人尸的中點;

(3)直接寫出線段。/，8M和的數量關系.

28.在平面直角坐標系xOy中，已知點A和8,對于點P定義如下：以點A為對稱中心作點P的對稱點,

再將對稱點繞點8逆時針旋轉90。，得到點。，稱點。為點P的反轉點.已知。。的半徑為

(1)如圖，點A(2,l),B(3,2),點P在°。上，點。為點P的反轉點.

①當點尸的坐標為(-1,0)時，在圖中畫出點Q；

②當點尸在O。上運動時，求線段AQ長的最大值;

(2)已知點A是。。上一點，點8和P是。。外兩個點，點。為點P的反轉點.若點P在第一象限內,

點8在第四象限內，當點A在。。上運動時，直接寫出線段P。長的最大值和最小值的差.

2022-2023學年度第一學期初三年級期中測驗

數學試卷

考生須知

1.本試卷共8頁，共28道小題，滿分100分.考試時間120分鐘.

2.在試卷和答題卡上準確填寫班級、姓名和學號.

3.答案一律填寫在答題紙上，在試卷上作答無效.

4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.

一、選擇題(本題共16分，每小題2分)第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是().

【答案】B

【解析】

【分析】據軸中心對稱圖形的概念即可一一判定

【詳解】解：圖形A是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意；

圖形B是中心對稱圖形，故該選項符合題意；

圖形C不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意；

圖形D是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意；

故選：B

【點睛】本題考查了中心對稱圖形的識別：把一個圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來

的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心.

2.拋物線丁=(1+2)2-1的頂點坐標是().

A.(-1,2)B.(—2,1)C.(-2,-1)D.(-1,-2)

【答案】C

【解析】

【分析】根據二次函數的頂點式即可求得

【詳解】解：拋物線y=(x+2p—1的頂點坐標是(-2,—1),

故選：C.【點睛】本題考查了根據二次函數的頂點式求頂點坐標，熟練掌握和運用根據二次函數的頂點式

求頂點坐標是解決本題的關健.

3.如圖，。。是△ABC的外接圓，N30C=100°，則NA的大小為（)

B.50°C.80°D.1000

【答案】B

【解析】

【分析】根據圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角

的一半，得/BOC=2NA,進而可得答案.

【詳解】解：；。。是AABC的外接圓，NBOC=100。，

/A=gNBOC=50。.

故選B.

【點睛】本題考查了圓周角定理，解題的關鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都

等于這條弧所對的圓心角的一半.

4.下列方程中，有兩個相等的實數根的方程是（）.

A.x2+3%=0B.X2+2%-1=0

C.%2+2x+l=0D.f-x+3=o

【答案】C

【解析】

【分析】利用根的判別式逐一分析各選項即可得到答案.

【詳解】解：???￡+3X=0，

A=〃_4ac=9—4xlx0=5>0,故A不符合題意；

V%2+2X-1=0.

AA=Z?2-4?c=4-4x1x（-1）=8>0,故B不符合題意；?.?丁+2犬+1=0,

A=〃_4〃C=22-4x1x1=0,故C符合題意；

'"7+3=0,

2

/.A=（-1）-4x1x3=-1KO,故D不符合題意；

故選C.

【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握“當△〉（）,一元二次方程有兩個不相等的實根，當

△=0,一元二次方程有兩個相等的實根，當A<0,一元二次方程沒有實數根”是解本題的關鍵.

5.若將拋物線y=5x2先向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的新拋物線的表達式為（）

A.y=5（x-2）2+lB.y=5（x+2p+lC.^=5（x-2）2-lD.y=5（x+2『-l

【答案】A

【解析】

【分析】根據函數平移的法則：上加下減，左加右減進行求解.

【詳解】解：?：拋物線y=5f先向右平移2個單位，再向上平移1個單位

二平移后解析式為：y=5（x-2）2+l

故選：A

【點睛】本題考查了二次函數的平移，熟練掌握函數平移的法則是解答此題的關鍵.

6.如圖，△Q43繞點。逆時針旋轉75。，得到AOCD,若NAO3=40°,則NAOD等于（）.

【答案】D

【解析】

【分析】首先根據旋轉的性質可知ZBOD=75。，而NAQB=40°,然后根據圖形即可求出Z4OD

【詳解】解：???△。鉆繞點。逆時針旋轉75°,得到AOCD,

\?BOD75?,??-ZAOB=40°,

.?.40￡>=/3?！?gt;一403=75°-40°=35°故選：D.

【點睛】此題主要考查了旋轉的性質，解題的關鍵是理解旋轉前后對應邊、對應角相等.

7.如圖，O。的半徑是1,點P是直線>=—x+2上一動點，過點P作。。的切線，切點為A,連接

OP,則小的最小值為（）.

A.V2-1C.y/2D.Q

2

X

【答案】B

【解析】

【分析】根據題意設尸3,-。+2),則OP=J/+(—a+2)2,根據。。的半徑是1得0A=1,根據AP

是。。的切線得NQ4P=90°,即可得△Q4P是直角三角形，在心△OAP中，根據勾股定理得

AP-=OP2-O/^＞即可得4尸=2(a—l)2+l,根據二次函數的性質得當“一1=0時，/爐有最小值，

即可得.

【詳解】解：???點尸是直線y=-x+2上

/.設P(a,—a+2),

0尸=亞+(—4+2)2,

V。。的半徑是1,

0A=1,

,/AP是。。的切線，

NQ4P=90°,

△O4P是直角三角形，

在RfZXQAP中，根據勾股定理得，AP2=OP--O^

Ap2=/+(2—。)2—14尸2=/+4—4a+/—14尸2=2/一4a+3Ap2=2(。一1)2+1當a—1=0時,

AP有最小值，

即AP2=O+I=I.

AP=l,

故選：B.

【點睛】本題考查了切線的性質，勾股定理，二次函數的性質，解題的關鍵是掌握并靈活運用這些知識

點.

8.單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺.運動員起跳后的飛行路線可

以看作是拋物線的一部分.從起跳到著陸的過程中，運動員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距離X

（單位：m）近似滿足函數關系y=。（x—獷+%（。＜0）.如圖記錄了某運動員起跳后的x與y的三組數據,

根據上述函數模型和數據，可推斷出該運動員起跳后飛行到最高點時，水平距離為（）.

U/m

22.75

21.40

20.00

A.4mB.7mC.8mD.10m

O

【答案】c

【解析】

【分析】將點（0,20）,（5,22.75）,（14,21.40）分別代入函數解析式，求得系數的值；然后由拋物線的對稱

軸公式可以得到答案.【詳解】解：根據題意知，拋物線丁=??+b:+。經過點

(0,20),(5,22.75),(14,21.40),

c=20

則-25a+5b+c-22.75,

196a+14/?+c=21.40

1

a-------

20

4

解得：=-

c=20

.?.拋物線為y=—而1_,?+^4丫+20,

4

所以x=-----廣F=8（m），該運動員起跳后飛行到最高點.

即該運動員起跳后飛行到最高點時，水平距離為8m.

故選：C.

【點睛】此題考查了二次函數的應用，根據題意建立二次函數的模型再利用二次函數的性質解決問題是解

本題的關鍵.

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.已知某個二次函數的最小值為T,請你寫出一個符合，上述條件的二次函數的表達式為.

【答案】y=x2-1

【解析】

【分析】由二次函數的最小值為一1,可令a=l,b=O,c=-l,從而可得二次函數的解析式.

【詳解】解：?.?某個二次函數的最小值為-1,

，這個二次函數可以為：y=x2-\.

故答案為：y=x2-1.（答案不唯一）

【點睛】本題考查的是二次函數的定義，二次函數的性質，熟練的利用二次函數的最值構建二次函數是解

本題的關鍵.

47r

10.半徑為2,圓心角為120。的扇形弧長為.【答案】—

【解析】

【分析】把已知數據代入弧長公式計算，得到答案.

1207rx24

【詳解】解：扇形的弧長=--------=~71

1803

故選：B.

Hjrr

【點睛】本題考查的是弧長的計算，掌握弧長公式：1=——是解題的關鍵.

180

11.A（—l,y）,8（2,%）在二次函數0=一管+2*+1的圖象上,則%與必的大小關系為.（用，'，

”=，，連接.）

【答案】

【解析】

【分析】根據二次函數的性質即可解答.

【詳解】解：二次函數y=—Y+2x+l=—（x-iy+2,

對稱軸為直線x=l,

=一1<0,

該拋物線的開口向下，在對稱軸的右側y隨X的增大而減小,

???拋物線上點A（-l,y）與點（3,%）關于對稱軸對稱，

；?%=%，

?/3>2,

?1?，

，，

故答案為：

【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握和運用二次函數的性質是解決本題的關鍵.

12.若拋物線y=/+4x+加與x軸沒有公共點，則優(yōu)的取值范圍是.

【答案】m>4##4<m

【解析】

【分析】由拋物線y=/+4x+m與x軸沒有公共點，可得A=42-4xlxm<0,再解不等式可得答

案.【詳解】解：?.?拋物線y=f+4x+機與x軸沒有公共點，

A=42-4xlxm<0,

解得：m>4,

故答案為：加>4.

【點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，掌握“當△=〃—4〃cV0時，拋物線與x軸沒有交點”

是解本題的關鍵.

13.如圖，在平面直角坐標系中，點A,B,C都在格點上，過A,B,C三點作一圓弧，則圓心的坐標是

【答案】（2,1)

【分析】根據垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓

心.

【詳解】根據垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心,

可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心.

如圖所不,則圓心是(2,1).

【點睛】本題考查垂徑定理的應用，解答此題的關鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于

弦的直徑平分弦

14.如圖，MA,MB是。。的兩條切線，A,B為切點,若川仍=60°,AB=6則的半徑等于

【答案】1

【解析】

【分析】根據題意得NQ4〃=90°,可得NQM4=3()。，根據。4=得OM是45的垂直平分線,

得NACM=NACO=90。，即可得AC=?，根據角之間的關系得NQ4C=30°,設OC=x,則

2

AO=2x,在m△/笫中，根據勾股定理得，AC2+OC2=AO2,進行計算得尤=,，即可得.

2

【詳解】解：MA,MB是0。的兩條切線，

AM=BM，NO4A1=90°,

???Z/VWB=60°,

NOMA=-ZAMB=30°,

2

OA-OB,

.??ON是AB的垂直平分線，

ZACM=ZACO=90°,

AB=6，

：.AC=-AB=—,

22

，ZCAM=180。一ZACM-ZAMC=180。一90°-30°=60°,

ZOAC=ZOAM-ZCAM=90°-60°=30°,

設OC=x,則AO=2x,

在戊中，根據勾股定理得，

22222222

AC+OC=AO(-y-)+x=(2x)1+x=4xx,=1,x2(舍)，

則AO=2XL1,

2

故答案為：1.

【點睛】本題考查了切線的性質，垂經定理，勾股定理，直角三角形的性質，解題的關鍵是掌握并靈活運

用這些知識點.

15.為響應國家號召打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，小明利用信息技術開了一家網絡商店，將家鄉(xiāng)的土特產銷往全國.今

年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增長率.設6月份到8月份

盈利的月平均增長率為x,根據題意，可列方程為.

【答案】12000(1+%)'=27000

【解析】

【分析】根據題意即可列出一元二次方程，即可解答.

【詳解】解：設6月份到8月份盈利的月平均增長率為尤，

根據題意得：12000(1+%)2=27000,

故答案為：12000(1+%)2=27000.

【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應用，理解題意，列出方程是解決本題的關鍵.

16.已知二次函數y=ox2+Zzx+c(a>0)的對稱軸為直線x=-l,它的圖象經過點4(l,y),B(-2,%)，

C(T,0).對于下列四個結論：

①X<%；

②c=-8a；

③方程or?+樂+0=0的解為須=—4,12=2；

④對于任意實數f,總有a（『+9）+初+c?0.

其中正確的結論是.（填寫序號）.

【答案】②③##③②

【解析】

［分析］根據二次函數的開口向上,距離對稱軸越遠的點的函數值越大可判斷①；由對稱軸為％=-2=-1,

2a

可得6=2。，它的圖象經過點C（＜0）,16a—4b+c=0,從而可判斷②；由二次函數

丁=以2+版+?。＞0）的對稱軸為直線戶一1,它的圖象經過點c（y,0）,可得拋物線與x軸的另一個交

點的坐標為：（2,0）,從而可判斷③；當x=—l時，函數取得最小值丁=。一人+。=。-2。-8。=—9。，從而

可判斷④.

【詳解】解：?.?二次函數＞=加+桁+c（a＞0）的對稱軸為直線4一1,

函數圖象的開口向上，距離對稱軸越遠的點的函數值越大，對稱軸為直線1=-2=-1,

2a

?..它的圖象經過點A（l,y）,B（-2,y2）,

而1-（-1）=2,-1-（-2）=-1+2=1,

2VX，故①不符合題意；

由對稱軸為x=-----1,可得。=2a,

2a

???它的圖象經過點C（-4,0）,

/.\6a-4b+c=0,

：.。=-16。+4〃=-16。+8。=-8氏故②符合題意；

?.?二次函數＞=辦2+加+c（a＞0）的對稱軸為直線％=-1,它的圖象經過點c（yo）,

...拋物線與X軸的另一個交點的坐標為：（2,0）,

方程由？+Zzx+c=0的解為％=,蒼=2;故③符合題意；

當x=-l時，函數取得最小值丁=a-b+c=a-2a—8a=-9a,

，對于任意實數，有+初+c2—9a,即。(/+9)+初+cNO,故④不符合題意；

故答案為：②③

【點睛】本題考查的是二次函數的性質，二次函數與一元二次方程的關系，熟練的利用二次函數的性質

“判斷代數式的符號，判斷方程的根，代數式的最值”是解本題的關鍵.

三、解答題(本題共68分)解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.解下列方程：

(1)X2-5X=0：

(2)2x2—%—1=0-L答案1(1)玉=0,z=5.

(2)X1———-,—1■

【解析】

【分析】(1)先把方程的左邊分解因式，再化為兩個一次方程，再解一次方程即可；

(2)先把方程左邊分解因式，再化為兩個一次方程，再解一次方程即可；

【小問1詳解】

解：-5x=0，

/.x(x-5)=0,

工=0或*-5=0,

解得：％=0,X?=5.

【小問2詳解】

???-1=0，

(2x+l)(x-1)=0,

?*.2x+l=0或x-1=0,

解得：=~~>X2=,

【點睛】本題考查的是因式分解法解一元二次方程，掌握“利用因式分解把原方程化為兩個一次方程”是

解本題的關鍵.

18.下面是“過圓外一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：。。和。。外一點P.

的長為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點；

③作直線MN,交0P于點C；

④以點。為圓心，CO的長為半徑作圓，交。。于AB兩點;

⑤作直線PA,PB.

直線24，PB即為所求作。。的切線.

（1）請根據上述作法完成尺規(guī)作圖；

（2）連接。4,0B,可證NQ4尸=NQ3P=90°,理由是_

（3）直線R4,P3是0。的切線，依據是

【答案】（1）畫圖見解析

（2）直徑所對的圓周角是直角

（3）過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

【解析】

【分析】（1）根據題干提示語句畫圖即可；

（2）由NOAP,NO8P是直徑所對的圓周角，從而可得答案;

（3）由切線的判定定理直接可得答案.

【小問1詳解】

解：如圖，根據語句作圖如下：

連接。4,OB,可證NQ4尸=NOBP=90°,理由是直徑所對的圓周角是直角;

故答案為：直徑所對的圓周角是直角

【小問3詳解】

直線孫，/歸是。。的切線，依據是過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.【點睛】本題考

查的是復雜的尺規(guī)作圖，作線段的垂直平分線，作圓的切線，圓周角定理的應用，切線的判定定理的應

用，熟練尺規(guī)作圖的方法是解本題的關鍵.

-x?+2x+3化成y=a(x—+k的形式;

(3)當—時，利用圖象直接寫出)'的取值范圍.

【答案】(1)y=—(x—1了+4.

(2)畫圖見解析(3)0<y<4.

【解析】

【分析】(1)利用配方法把拋物線的一般式化為頂點式即可；

(2)先列表，再描點，再用平滑的曲線連接即可；

(3)先確定函數的最大值，再結合函數的圖象求解當x=-l,x=2時的函數值，從而可得答案.

【小問1詳解】

解：y——X2+2x+3

=-(矛2_2X+1)+4=-(X-1)2+4,小問2詳解］

列表：

X???-i0123???

y???03430???

描點并連線

當x=-l時，y=-l-2+3=0,

當x=2時，y=-4+4+3=3,

當—14XW2時，0<y<4.

【點睛】本題考查的是把拋物線的一般式化為頂點式，畫二次函數的圖象，利用二次函數的圖象確定函數

的最值，熟練的畫二次函數的圖象是解本題的關鍵.

20.如圖，在平面直角坐標系xOy中，A(-l,l),B(Y,2),C(-3,3).

-7-

（1）將AASC先向右平移5個單位長度，再向下

平移2個單位長度，得到△4dG，請在圖中畫出△A4G；

（2）將MBC繞點A順時針旋轉90。得到AAB2G，請在圖中畫出AAB2c2；

（3）連接4。2,線段4G的長等于.

【答案】（1）見解析（2）見解析

（3）5

【解析】

【分析】（1）利用平移變換的性質分別作出A,B,C的對應點4，B],q即可:

⑵利用旋轉變換的性質分別作出B,C的對應點B2,C2即可；

（3）利用勾股定理求解即可.

【小問1詳解】

解：作圖如下：4G即為所求；

【小問2詳解】

解：作圖如下:

解】

解：如圖：連接斗。2,

【點睛】本題考查作圖-平移變換與旋轉變換，勾股定理等知識，解題關鍵是掌握平移變換、旋轉變換的

性質.

21.已知關于x的方程收+（攵-2"一2=0（左工0）.

（1）求證：此方程總有實數根；

（2）若攵為整數，且此方程有兩個不相等的整數根，求上的值.【答案】（1）證明見解析

（2）氏=士1或%=2.

【解析】

【分析】（1）分兩種情況討論：當&=0時，方程為一元一次方程，當當時.，方程為一元二次方程,

再證明A?0,從而可得答案;

222

（2）先利用因式分解的方法解一元二次方程可得與=—,/=-1，結合一為整數，k為整數,-^-1,從

kKK

而可得答案.

【小問1詳解】

解：對于小+（%-2）%一2=0（女00）,

當左=0時，方程為一2》一2=0,

解得：》=-1,方程有實數根,

當&H0時，

△=(左一2)一一44x(-2)-k2-4k+4+Sk-k2+4k+4=(^+2)->0,

/.△>0.

...此時方程有兩個實數根，

綜上:小+化-2)x-2=0(Zw0)總有實數根.

【小問2詳解】

?.?日2+(左一2)x-2=0(Zw0)有兩個不相等的整數根,

(Ax-2)(x+l)=0,且ZHO,

Ax—2=0或x+l=0,

,2

解得：=—,x=-1,

k2

22

?..一為整數，k為整數，-*-1,

KK

.?.無=±1或攵=2.【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式的應用，利用因式分解的方法解一元二

次方程，清晰的分類討論是解本題的關鍵.

22.如圖，在。。中，AB是直徑，CO是弦，且48LCD于點E,CO=8,BE=2.求。。的半徑.

【答案】。。的半徑為5.

【解析】

【分析】連接0C,根據垂徑定理求出CE,根據勾股定理得出方程，求出方程的解即可.

【詳解】解：連接OC,

?.?直徑弦C。,

/.CE=-CD=4,

2

在RtZ\OEC中，由勾股定理可得f=(x-2)2+42,

解得x—5,

.??。0的半徑為5.

【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能根據垂徑定理求出CE是解此題的關鍵.

23.如圖，有一農戶要建一個矩形菜地，菜地的一邊利用長為12m的墻(A￡>?12m),另外三邊用26m長

的籬笆圍成.求當矩形的邊長8c為多少m時，菜地面積為80m2?

AD

【答案】10【解析】

26—x(1)

【分析】設矩形的邊長BC為xm,則4)=m，AB=一5一=13-m,根據矩形的面積公式，列

出方程，即可求解.

26-x(1、

【詳解】解：設矩形的邊長8c為則4)=jon,=13--xm,根據題意得：

x(13—gx)=80,

解得：％=10,々=16,

?/AD<12m?

x=10,

答：當矩形的邊長為10m時，菜地面積為80m2.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，矩形的性質，明確題意，準確列出方程是解題的關鍵.

24.如圖，A8是。。的直徑，點。為O。上一點，CO平分NAC3,交于點E，交。。于點￡),延

長陰到點P，使得PE=PC.

15(1)求證：PC與O。相切;

(2)若O0的半徑5,AC=6,求CD的長.

【答案】（1）見解析（2）7夜

【解析】

【分析】（1）連接。C,0D,可證得NOCZ>NO￡）C,根據圓周角定理可得44cB=90。，再根據CD

平分/AC3,可得NA8=N3C￡>=45°,48=2/48=90。，NOED+NODE=90°,再根據

等腰三角形的性質即可證得NPCE=NOED,ZPCE+NOCD=90°,據此即可證得；

（2）首先根據勾股定理可求得3。的長，PC2+25=（24+5）2,再由APC4sdBC,可得P4=30—4AE,

即可求得AE,最后由△CAESACDB,即可求得.

【小問1詳解】證明：如圖：連接OC,QD,

15?：OC=OD,

ZOCD=ZODC45是O。的直徑，

.-.ZACB=90°,

?.?8平分N4C3,

ZACD^ZBCD=45°,

:.ZAOD^2ZACD=9Q°,

NOEO+NODE=90°,

?;PE=PC,

:.APCE=Z.PEC,

\-ZPEC=ZOED,

:.NPCE=NOED,

.?.NPCE+NOCD=90。，

.?.PC與。。相切；

【小問2詳解】

解：Q?AOD?BOD90?,

BD=yjOB2+OD2=V52+52=5及，

AB是QO的直徑，

/.ZACB=90°,

BC=VAB2-AC2=V102-62=8,

?.?NPCO=90°,PC=PE,

PC2+OC2=PO2，

.-.(PA+A￡)2+25=(PA+5)2,2PAAE+AE2=iOPA,

4CPA=4BPC,ZPCA=ZPBC,:APACSDCB,

PCACPA+AE6

■,7B-CB'PA+W"8'

得Q4=30-4AE,

2(30-4A￡)-AE+AE2=10(30-4AE),

得7A5一I。。A￡+300=0，

解得AE=—或4E=10(舍去),

7

?:/CAE=/CDB,ZACE=NDCB,

:.ACAES^CDB,

30

CAAE

6T

而一而=

CD5及

CD=772.

【點睛】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義，等腰三角形的性質，切線的判定定理及性質，勾股定

理，相似三角形的判定與性質，作出輔助線是解決本題的關鍵.

25.已知函數y=f+法+c(xN2)的圖象過點4(2,1),3(5,4).

+Zzr+c(xN2)的解析式;

—x~+2x+l(x<2)

(2)如圖，請補全分段函數y={2的圖象(不要求列表).

并回答以下問題：

①寫出此分段函數的一條性質：：②若此分段函數的圖象與直線丁=加有三個公

共點，請結合函數圖象直接寫出實數m的取值范圍；

(3)橫、縱坐標都是整數的點叫做整點，記(2)中函數的圖象與直線y=1圍成的封閉區(qū)域(不含

邊界)為“W區(qū)域”，請直接寫出區(qū)域內所有整點的坐標.

【答案】⑴拋物線的解析式為y=f—6x+9(xN2)；

(2)①當x23時，函數值)，隨著x的增大而增大；②當0<“<2時，此分段函數的圖象與直線丁=加有三

個公共點；

(3)區(qū)域內所有整點的坐標為(0,0),(1,0),(1,1).

【解析】

【分析】(1)利用待定系數法求解即可；

(2)①結合圖象即可求解；

②分別兩個拋物線的頂點坐標，觀察圖象即可求解；

(3)畫出圖象，觀察圖象即可求解.

【小問1詳解】

解：?.,函數y=3+為c+c(x22)的圖象過點4(2,1),3(5,4).

j4+2/?+c=1

25+5〃+c=4'

[b=-6

解得《八，

c=9

拋物線的解析式為y=/—6x+9(xN2)；

【小問2詳解】

—x+2x+l(x<2)

解：補全分段函數y2的圖象如圖所示,

x+bx+c(x>2)

x

①此分段函數的一條性質：當x23時，函數值y隨著X的增大而增大;

②函數y=+2》+1=+2,頂點坐標為(1,2),

函數y=X2—6x+9=(X—3)2,頂點坐標為(3,0),

.?.當0<m<2時，此分段函數的圖象與直線y=”有三個公共點;

【小問3詳解】

解：如圖，

觀察圖象，區(qū)域內所有整點的坐標為(0,0),(1,0),(14).

■>

X

【點睛】本題考查二次函數圖象及性質；能夠準確畫出函數的圖象，通過觀察圖象獲取性質是解題的關

鍵.

26.已知，拋物線Cj丫=一/+云+0經過點4(2,1),3(0,1).

(1)求拋物線C的對稱軸;

(2)平移拋物線G：y=-x2+hx+c,使其頂點在直線y=—2x+l上，設平移后的拋物線的頂點的

橫坐標為m.求拋物線與>軸交點的縱坐標的最大值.

（3）在（2）的條件下，拋物線G與）'軸交于點”，將其向左平移2個單位得到點N,若拋物線G與

線段8N只有1個公共點，直接寫出機的取值范圍.

【答案】（1）直線x=l.

（2）拋物線G與曠軸交點的縱坐標的最大值為2.

（3）當拋物線與線段只有一個交點時，〃2的范圍為：m=-：或一54加〈一1.

【解析】

【分析】（1）把點A（2,l）,3（0,1）代入拋物線的解析式了=一/+法+。，再利用待定系數法求解二次函

數的解析式，再求解對稱軸方程即可；

（2）設平移后的拋物線的頂點為：（加,—2加+1）,平移后的拋物線的解析式為：y=-（x-m）2-2/?+1,再

令x=0,建立二次函數的關系式，從而可得答案；

（3）由平移先秋季N（—2,2）,由平移后的拋物線G的解析式為：y=—（x—mF—2/〃+1,分兩種情況討

論：當拋物線的頂點在上時，此時拋物線與線段3N只有一個交點，當拋物線丁=一（％-機）2-2m+1

過點N（—2,2）時，可得：町=-1,/^=—5,結合（2）可得答案.

【小問1詳解】

解：?.?拋物線G：丁=-k+麻+c經過點A（2,l）,8（0,1）,

c=l[b=2

受）c,一解得：「

-4+2b+c=l[c=1

，拋物線為：y=-x2+2x4-1,

2?

???拋物線對稱軸為直線x=-西引=L

【小問2詳解】

y=-f+2x+l=—（x-l『+2,拋物線的頂點坐標為：（1,2）,

2

?.?平移拋物線C1：y^_x+bx+C,使其頂點在直線y=—2x+l上，

.?.設平移后的拋物線的頂點為：（加2加+1）,...平移后的拋物線G的解析式為:

y=-^x-m)'_2〃z+l,

當x=0時，y=—m2—2m+l=—(/n+l)~+2,

拋物線G與》軸交點的縱坐標的最大