第二節(jié)量子力學(xué)基本原理

第二節(jié)量子力學(xué)基本原理第一頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四復(fù)指數(shù)函數(shù)：將代入上式得在三維空間內(nèi)，則有德布羅意波函數(shù)第二頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四2、波函數(shù)的物理意義—德布羅意波的統(tǒng)計(jì)解釋稱為幾率密度，它就是通常所說(shuō)的電子云；dτ為空間某點(diǎn)附近體積元dτ中電子出現(xiàn)的幾率。由于空間某點(diǎn)波的強(qiáng)度與波函數(shù)絕對(duì)值的平方成正比,所以在該點(diǎn)附近找到粒子的幾率正比于，用波函數(shù)描述的波為幾率波。量子力學(xué)的基本假定之一第三頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四（1）合格波函數(shù)的條件a、Ψ必須是連續(xù)的；b、Ψ必須是單值的；c、Ψ必須是有限的。3、波函數(shù)的性質(zhì)◆一般為復(fù)數(shù)形式：＝f＋ig，f和g均為坐標(biāo)的實(shí)函數(shù)。的共軛復(fù)數(shù)*＝f－ig，*＝f2＋g2，因此*是實(shí)函數(shù)，且為正值。為書寫方便，常用2代替*。第四頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四（2）C和描寫同一狀態(tài)（C為常數(shù)）（3）波函數(shù)的歸一化對(duì)于未歸一化的波函數(shù)，粒子出現(xiàn)在d內(nèi)的幾率與*d成正比，粒子出現(xiàn)在空間某點(diǎn)的幾率密度與*成正比；若是歸一化的定態(tài)波函數(shù)，*d表示粒子出現(xiàn)在d內(nèi)的幾率，*是粒子出現(xiàn)在空間某點(diǎn)的幾率密度。通常用歸一化的波函數(shù)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。即在整個(gè)空間找到粒子的幾率是100%.第五頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四如果波函數(shù)未歸一化，可乘上一個(gè)合適的系數(shù)c使它歸一化。歸一=c未歸一化（C為歸一化系數(shù)）第六頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第七頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、實(shí)物微粒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律—Schr?dinger方程1、定態(tài)Schr?dinger方程對(duì)三維空間內(nèi)任意方向上運(yùn)動(dòng)的粒子，則：上式兩側(cè)對(duì)x,y,z兩次求偏導(dǎo)，得：第八頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第九頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四將三式相加，并乘以1/2m,得：量子力學(xué)證明，對(duì)受力場(chǎng)V作用的粒子可得：（拉普拉斯算符）第十頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四

這就是著名的定態(tài)Schr?dinger方程，用它來(lái)描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定態(tài)上式兩側(cè)各加上V(x,y,z)，粒子總能量的平均值對(duì)定態(tài)而言，粒子的總能量必定是守恒的，為一與位置無(wú)關(guān)的常數(shù)。第十一頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四?Schr?dinger方程的物理意義：2、含時(shí)Schr?dinger方程

對(duì)于一個(gè)質(zhì)量為m，在勢(shì)能為V的場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的微粒來(lái)說(shuō)，其每一個(gè)定態(tài)可用滿足這個(gè)方程的合理解的波函數(shù)來(lái)描述，與每一個(gè)相應(yīng)的常數(shù)E就是微粒處在該定態(tài)時(shí)的總能量。量子力學(xué)的基本假定之二第十二頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四三、定態(tài)Schr?dinger方程的算符表達(dá)式力學(xué)量：力學(xué)中能用實(shí)驗(yàn)儀器觀察得到的物理量，如：E、P、M，它們都是坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)。1、算符和力學(xué)量的算符表示算符：指對(duì)一個(gè)函數(shù)施行某種運(yùn)算（或動(dòng)作）的符號(hào)，如：+、-、×、÷、√。第十三頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四線性算符：?(1＋2)＝?1＋?2，?為線性算符。厄米算符：∫1*?1d＝∫1(?1)*d或∫1*?2d＝∫2(?1)*d∫exp[-ix](id/dx)exp[ix]dx＝∫exp[-ix](-exp[ix])dx＝-x.∫exp[ix](id/dx)exp[ix]*dx＝∫exp[ix](-exp[ix])*dx＝-x.∫1*?1d＝∫1(?1)*d?是厄米算符例:?＝id/dx，1＝exp[ix]，1*＝exp[-ix]，?是厄米算符嗎？第十四頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四量子力學(xué)中，微觀體系的每個(gè)力學(xué)量都對(duì)應(yīng)著一個(gè)線性厄米算符量子力學(xué)的基本假定之三第十五頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四力學(xué)量算符力學(xué)量算符位置x勢(shì)能V動(dòng)量的x軸分量px動(dòng)能T=p2/2m角動(dòng)量的z軸分量Mz＝xpy－ypx總能量E=T+V力學(xué)量與算符的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：第十六頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四2、能量算符的本征方程、本征值和本征函數(shù)

若上式中f2等于一個(gè)常數(shù)a乘以f1本身，那么稱f1為本征函數(shù)，常數(shù)稱為與f1對(duì)應(yīng)的本征值，而把方程稱為本征方程。一個(gè)算符?作用于一個(gè)函數(shù)f1,得到的將是另一個(gè)函數(shù)f2，本征函數(shù)本征值量子力學(xué)的基本假定之四第十七頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四(a)eimx(b)sinx(c)x2+y2(d)(a-x)e-x例.下列函數(shù),那些是的本征函數(shù)?并求出相應(yīng)的本征值.解:(a)和(b)是的本征函數(shù)

eimx=-m2eimx,其相應(yīng)的本征值為-m2

sinx=-sinx,其相應(yīng)的本征值為-1第十八頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四（定態(tài)Schr?dinger方程的算符表達(dá)式）第十九頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四四、量子力學(xué)態(tài)的疊加原理假設(shè)：若1，2…n為某一微觀體系的可能狀態(tài)，由它們線性組合所得的也是該體系可能的狀態(tài)。如果已歸一化，組合系數(shù)ci的大小反映i貢獻(xiàn)的多少。為適應(yīng)原子周圍勢(shì)場(chǎng)的變化，原子軌道通過(guò)線性組合，所得的雜化軌道（sp，sp2，sp3等）也是該原子中電子可能存在的狀態(tài)。量子力學(xué)的基本假定之五第二十頁(yè)，共二十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四若狀態(tài)函數(shù)不是力學(xué)量A的算符?的本征態(tài),當(dāng)體系處于這個(gè)狀態(tài)時(shí),?a,但這時(shí)可用積分計(jì)算力學(xué)量的平均值：〈a〉＝∫*?d設(shè)與1，2…n對(duì)應(yīng)的本征值分別為a1，a2，…，an，當(dāng)體系處于狀態(tài)并且已歸一化時(shí)，可由下式計(jì)算力學(xué)量的平均值〈a〉（對(duì)應(yīng)于力學(xué)量A的實(shí)驗(yàn)測(cè)定值）：□本征態(tài)的力學(xué)量的平均值□非本征態(tài)的力學(xué)量的平均值例如，氫原子基態(tài)波函數(shù)為1s，其半徑和勢(shì)