第二課時 向量的坐標(biāo)表示

第二課時向量的坐標(biāo)表示第一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四1．平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面向量基本定理

定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個

的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，

一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝

.

其中，

叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．不共線有且只有λ1e1＋λ2e2不共線的向量e1、e2(2)平面向量的正交分解一個平面向量用一組基底e1、e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我們稱它為向量a的

．當(dāng)e1，e2所在直線互相垂直時，這種分解也稱為向量a的

．(3)平面向量的坐標(biāo)表示對于向量a，當(dāng)它的起點移至原點O時，其終點坐標(biāo)(x，y)稱為向量a的

，記作a＝

．分解正交分解坐標(biāo)(x，y)第二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四2．平面向量的坐標(biāo)運算 (1)加法、減法、數(shù)乘運算向量aba＋ba－bλa坐標(biāo)(x1，y1)(x2，y2)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)第三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四(2)向量坐標(biāo)的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

＝(x2－x1，y2－y1)，即一個向量的坐標(biāo)等于該向量

的坐標(biāo)減去

的坐標(biāo)．(3)向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a與b共線?a＝

?

.終點始點x1y2－x2y1＝0λb第四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四1．(2010·南京市第九中學(xué)高三調(diào)研測試)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若(λa＋b)⊥(a－b)，則λ＝________.解析：(λa＋b)·(a－b)＝(λ＋2,2λ＋3)·(－1，－1)＝0.－λ－2－2λ－3＝0，λ＝答案：

第五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四2.已知點A（2，3），B（-1，5），且則點C，D的坐標(biāo)分別是________，________.解析：

∵

＝(－3,2)，設(shè)C(x，y)，則由

得：(x－2，y－3)＝(－3,2)，

∴x＝1，y＝，∴C(1，)．同理得D(－7,9)．答案：(1，)(－7,9)第六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四1．由平面向量基本定理知，平面內(nèi)的任一向量都可以用一組基底表示， 基底不同，表示的方法也不同．2．利用基底表示向量，主要是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行 向量的線性運算．第七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四【例1】如右圖，

在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，

已知

試用c，d表示

思路點撥：直接用c，d表示

有難度，可換一個角度，

由表示，進(jìn)而求解：解法一：設(shè)

則 ，①b＝

，②將②代入①得a＝

，代入②得b＝c＋第八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四解法二：設(shè)

.因M，N分別為CD，BC中點，所以

，因而?

即

第九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四1．向量的坐標(biāo)運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進(jìn)行，若已知 有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意 方程思想的運用．2．利用向量的坐標(biāo)運算解題．主要是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一 原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解．3．利用坐標(biāo)運算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示 向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出線性系數(shù)．4．向量的坐標(biāo)運算，使得向量的線性運算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實現(xiàn) 了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，就可以使很多幾 何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算．第十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四【例2】已知A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且

， 求點M、N及

的坐標(biāo)． 思路點撥：由A、B、C三點的坐標(biāo)易求得

的坐標(biāo)， 再根據(jù)向量坐標(biāo)的定義就可求出M、N的坐標(biāo)．第十一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四解：∵A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，∴

＝(1,8)，

＝(6,3)，∴

設(shè)M(x，y)，則有

＝(x＋3，y＋4)，∴∴M點的坐標(biāo)為(0,20)．同理可求得N(9,2)，因此

＝(9，－18)，故所求點M、N的坐標(biāo)分別為(0,20)、(9,2)，

的坐標(biāo)為(9，－18)．第十二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四1．平面向量a與b(b≠0)共線的充要條件是a＝λb，用坐標(biāo)表示為： a∥b?x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且b≠0)．2．向量共線的坐標(biāo)表示提供了通過代數(shù)運算來解決向量共線的方法，也為 點共線、線平行問題的處理提供了容易操作的方法．解題時要注意共線向 量定理的坐標(biāo)表示本身具有公式特征，應(yīng)學(xué)會利用這一點來構(gòu)造函數(shù)和方 程，以便用函數(shù)與方程的思想解題．第十三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四【例3】向量

＝(k,12)，

＝(4,5)，

＝(10，k)，當(dāng)k為何值時，A、B、C三點共線．思路點撥：根據(jù)向量共線的充要條件，若A、B、C三點共線， 只要 滿足

(或

)，就可以列方程求出k的值或利用向量平行的充要條件求出k的值．解：解法一：∵

＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，

＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．∵A、B、C三點共線，∴

，即(4－k，－7)＝λ(6，k－5)＝(6λ，(k－5)λ)．∴ 解得k＝11或－2.解法二：接解法一，∵A、B、C三點共線，∴(4－k)(k－5)＝6×(－7)，解得k＝11或－2.第十四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四1．向量平行的充要條件是建立向量的坐標(biāo)及其運算的理論依據(jù)；平面向量的基 本定理是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．2．利用平面向量的基本定理，可將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，其具體過程大致為： (1)適當(dāng)選擇基底(兩個彼此不共線向量)； (2)用基底顯示幾何問題的條件和結(jié)論； (3)利用共線向量的充要條件、向量垂直的充要條件，通過向量的運算解決平行、 垂直、成角和距離的證明和計算等問題．【規(guī)律方法總結(jié)】第十五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四【例4】已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，k，t為正實數(shù)，

x＝a＋(t2＋1)b，y＝ (1)若x⊥y，求k的最大值； (2)是否存在k，t，使x∥y？若存在，求出k的取值范圍；

若不存在，請說明理由.

第十六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四本題最易出錯的是向量的坐標(biāo)運算，如計算向量x，y時，對數(shù)與向量的乘積只乘向量的一個坐標(biāo)；以坐標(biāo)形式的向量加減運算時，漏掉其中的某個坐標(biāo)；當(dāng)向量x，y垂直時數(shù)量積的運算錯誤，向量x，y平行時，向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系用錯等．如把x∥y的條件是兩個向量坐標(biāo)交叉相乘之差等于零寫成交叉之積的和等于零，即： ，其結(jié)果是k＝ 這樣只要給正數(shù)t一個大于的值，就得到一個正數(shù)k，其結(jié)果就是存在的．

【錯因分析】第十七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四解：x＝(1,2)＋(t2＋1)(－2,1)＝(－2t2－1，t2＋3)，y＝(1)若x⊥y，則x·y＝0，即

整理得，k＝ ，當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝1時取等號，∴kmax＝(2)假設(shè)存在正實數(shù)k，t，使x∥y，則化簡得＝0，即t3＋t＋k＝0.(2)因為k、t為正實數(shù)，故不存在正數(shù)k使上式成立，從而不存在k、t，使x∥y.,【答題模板】第十八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四向量的模與數(shù)量積．向量的模與數(shù)量積之間有關(guān)系式|a|2＝a2＝a·a，這是一個簡單而重要但又容易用錯的地方，由這個關(guān)系還可以得到如|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2，|a＋b＋c|＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2c·a等公式，是用向量的數(shù)量積解決向量模的重要關(guān)系式．在解決與向量模有關(guān)的問題時要仔細(xì)辨別題目的已知條件，用好向量的模與數(shù)量積之間的關(guān)系.

【狀元筆記】第十九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四1．如圖，在平行四邊形ABCD中，A(1,1)，

＝(6,0)，點M是線段AB的中點，線段CM與BD交于點P.(1)若=(3,5)，求點C的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時，求點P的軌跡方程．

分析：(1)可根據(jù)兩個向量相等，對應(yīng)的坐標(biāo)相等求出C的坐標(biāo)；(2)設(shè)出點P的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示兩個對角線所表示的向量，根據(jù)菱形的對角線互相垂直，求出P的軌跡方程．第二十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四解：(1)設(shè)點C的坐標(biāo)為(x0，y0)．∵ =(9,5)，∴(x0-1，y0-1)=(9,5)，∵x0=10，y0=6，即點C的坐標(biāo)為(10,6)．(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，則 =(