2023魯教版七年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)練習(xí)-第2課時(shí)HL定理

第十章三角形的有關(guān)證明

第2課時(shí)HL定理

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練

知識(shí)點(diǎn)4“斜邊、直角邊”（或“HL”）

1.（2022湖北荊州江陵期末）如圖,已知點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上,N8=N

￡=90。,若添加一個(gè)條件后，能用“HL”判定RtA4BC之則添加的條

件可以是

A.BC=EFB.ZBCA=ZF

CAB//DED.AD=CF

2.【易錯(cuò)題】（2022山東荷澤單縣期末）如圖，已知A3=DC]EJ_A。于點(diǎn)E.CFVAD

于點(diǎn)E添加下列條件中的一個(gè)，就可以判定RtAABE^RtADCF的是（）

①NB=NC；（2）AB//CD；③BE=CF@AF=DE.

FD

A.①②B.①②③

C.①③④D.①②③④

3.（2022吉林長(zhǎng)春綠園期末）如圖所示,已知在“3C中,/。=90。/。=47,?！?，48交

3c于點(diǎn)E,連接A￡,若N8=28。,貝！JNAEO

A.28°B.59°C.60°D.62°

4.如圖，銳角"BC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)。，且CE=8D,若NC8D=20。,貝"NA

的度數(shù)為()

A.20°B.40°C.60°

5.【易錯(cuò)題】（2022上海徐匯校級(jí)期末）如圖,AABC中,AB=AC,8D，AC于D.CEL

AB于旦BD和CE交于點(diǎn)O,AO的延長(zhǎng)線交8C于點(diǎn)￡則圖中全等的直角三角形

有對(duì).

6.如圖,A8=A0NA3C=NAOC=9O°,EF過(guò)點(diǎn)C.BELEF于E.DFLEF于F,BE=DF.

求證:ABCE之△OCR

7.（2022廣東陽(yáng)江期末）如圖，點(diǎn)C、E、B、尸在一條直線上,A3J_C/于BQE_LC/

于E,AC=DF,AB=DE.求證:CE=BF.

A

能力提升全練

8.（2022山東濰坊壽光期中,7,檢）如圖,為了求出位于池塘兩岸的點(diǎn)A與點(diǎn)B間的

距離，小亮在點(diǎn)C處立一標(biāo)桿，使NA8C是直角，測(cè)得AC的長(zhǎng)為85m,3c的長(zhǎng)為75

m,則點(diǎn)A與點(diǎn)8間的距離是()

A.20mB.40mC.30mD.50m

9.（2022浙江金華中考,7,倘）城市某區(qū)域的示意圖如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系

后,學(xué)校和體育場(chǎng)的坐標(biāo)分別是（3,1）,（4,-2）,下列各地點(diǎn)中，離原點(diǎn)最近的是（）

A.超市B.醫(yī)院

10.【方程思想】（2021湖北襄陽(yáng)中考,9,俄）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記

載了一個(gè)問(wèn)題:“今有池方一丈，葭（jid）生其中，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問(wèn)水

深兒何?”（丈、尺是長(zhǎng)度單位/丈=10尺）其大意為:如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊

長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉

向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水的深度是多少？則水深為

()

A.10尺B.11尺C.12尺D.13尺

11.（2022山東淄博桓臺(tái)期末,8,線）如圖，在四邊形ABCO中,AO〃3G尸為8邊上

的一點(diǎn)，且ND4尸=10°,NCB尸=80。,尸4=3,尸3=4,則AB的長(zhǎng)為()

A.5B.6C.7D.8

12.（2022山東濟(jì)寧鄒城月考,14,檢）如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人為了

避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，踩傷了花草，則他們僅僅少走了

步.（假設(shè)2步為1米）

13.（2022浙江湖州中考，12,檢）命題“如果\a\=\h\,那么a=b；’的逆命題

是

14.（2022陜西咸陽(yáng)興平期中,24;蛭）在四邊形ABCD中,NA8C=NAZ）C=90。乃

AC于點(diǎn)E.DFLAC于點(diǎn)尸求證:R3ABE也R3COE

15.1學(xué)科素養(yǎng)?應(yīng)用意識(shí)】（2022山東濟(jì)南長(zhǎng)清期末,25,線）長(zhǎng)清的園博園廣場(chǎng)視

野開(kāi)闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場(chǎng)所，某校七年級(jí)⑴班的小明和小

亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)量風(fēng)箏的垂直高度他們進(jìn)行了如下操作:①

測(cè)得水平距離BD的長(zhǎng)為15米;②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)

為25米;③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米.

⑴求風(fēng)箏的垂直高度C￡

⑵如果小明想讓風(fēng)箏沿CD方向下降12米，那么他應(yīng)該往回收線多少米？

素養(yǎng)探究全練

16.【推理能力】在△ABC中,A3=ACQE是過(guò)點(diǎn)A的直線,ADJ_DE于點(diǎn)D.CEA.DE

于點(diǎn)E.

⑴若B、C在的同側(cè)（如圖①所示），且AD=C￡,求證:AB_LAC；

⑵若B、C在DE的兩側(cè)（如圖②所示），其他條件不變,A3與AC垂直嗎?若垂直，請(qǐng)

給出證明;若不垂直,請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練

1.D?.?/3=/￡=90。/3=。￡.?.當(dāng)添加AC=DF或AD=CF時(shí)，根據(jù)“HL”可判定

故選D.

2.DBE±AD,CF±AD,：./AEB=/CFD,又,：AB=DC,：.添加①，可利用AAS判

定RSA8E之添加②，可得NA=N?？衫肁AS判定RsABE絲RSDCF；

添加③，可利用HL判定義RQ0CE添加④，可得可利用HL判定

RsABEZRtZkOCF故選D.

3.BZC=90°,AD=AC,DE,LAB,AE=AElARtzxCAE也Rt2\D4E(HL),ZCAE=Z

11

oooo

DAE=^ZCAB,VZB+ZCAB=90,ZB=28°l：.ZCAB=90-28=62,：.NA￡C=90。-：

NCAB=90°-31°=59°.故選B.

4.BBD是AABC的高,「.ZBDC=90°,

又?:/CBD=20。,；.ZBCD=180°-90°-20°=70°

在RQBEC和Rt^CDB中,％一

lee=BD,

：.RtABECRtACDB(HL\：./CBE=/BCD=7U。,：./4=180。-70。-70。=40。.故選

B.

5.答案6

解析'：BDLAC.CELAB,

，ZADB=ZAEC=90°,

'：AC=AB,ZCAE=ZBAD,

：.AAEC^AA￡>5(AAS),CE=BD,

'：AC=AB,：.ZCBE=ZBCD,

ZBEC=ZCDB=900,：.△BCE^ACfiD(AAS),

：.BE=CD,：.AD=AE,

又,：AO=AO,：.RtAAOD^RtAAOE(HL),

,ZZDOC=ZEOB,ZODC=ZOEB,CD=BE,

...△CO。之△BOE(AAS),，OB=OC,

,

：AB=ACI

：.CF=BF,AFLBC,5L'：OF=OF,AF=AF,

：.△ACf'gAABF(SSS),ACOF^ABOF(SSS).

綜上所述，共有6對(duì)全等的直角三角形.

6.證明如圖，連接8。

'：AB=AD,

：.ZABD=ZADB,

ZABC=ZADC=90°,

：.ZCBD=ZCDB,

：.BC=DC.

,

：BEA.EF,DF±EFI

：.ZE=ZF=90°.

在RtABCE和RtADCF中腹，=氏

IBE=DF

，RS3CE也R3QC尸(HL).

7.證明'：ABLCF.DEA.CF,

：.ZABC=ZDEF=90°.

Ar—np

在RtAABC和RtADEF中，c優(yōu)—*

1/1/5=DE,

：.RtAAfiC^RtAZ)EF(HL).

，BC=EF.：.BC-BE=EF-BE.：.CE=BF.

能力提升全練

8.B在RtAABC中,AC=85m,8c=75m,：.AB=y/AC2-BC2=V852-752=40(m).

故A、8兩點(diǎn)間的距離為40m.故選B.

9.A如圖所示，

y

一

7_丁T

-IT4I

444

I_4-4

—

I—I

4444

_一

I4I

-4留-

—

—

十4^4

一-

；II

校

了

4-—-

十4+.+

一-

|II

-4—-4

十4

4-十-

|4-4I--I-

++±T

-4一_

本

場(chǎng)

—

二?

I-

—

十-4|-4;

4一_

一

院

固Im4

44

一

-4--一'

-T+

—

，I4

一

4I-一?

-4—-

.

-|工-

一

-L一-

點(diǎn)O到超市的距離為“22+12=V5,

點(diǎn)O到學(xué)校的距離為“32+#=V10,

點(diǎn)O到體育場(chǎng)的距離為“42+22=V20,

點(diǎn)O到醫(yī)院的距離為“12+32=V10,

vVs<710=710<V20,

.??點(diǎn)O到超市的距離最近，故選A.

10.C設(shè)水深為人尺，則蘆葦長(zhǎng)仇+1）尺，

根據(jù)勾股定理，得（入+1）2/2=（10旬2,

解得仁12,：.水深為12尺，故選C.

11.A如圖，過(guò)點(diǎn)尸作PQ〃A。交4B于點(diǎn)Q,

則NAPQ=ND4P=10。，

'：AD//BC.PQ//A.D,

：.PQ//BC,

：.NBPQ=NCBP=80。,

ZAPB=90°,

.\AB=y/PA2+PB2=V32+42=5,

故選A.

12.答案4

解析由勾股定理，得“路”的長(zhǎng)為行不不=5(m),則他們僅僅少走了

(3+4-5)x2=4陟)，故答案為4.

13.答案如果a="那么|。|=|例

14.證明在RtAADC與Rt