2023屆天一大聯(lián)考皖豫聯(lián)盟第一次考試數(shù)學(xué)試題+答案

絕密★啟用前

“天一大聯(lián)考?皖豫名校聯(lián)盟”2023屆高中畢業(yè)班第一次考試

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘

貼在答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

.i￡~-'-3

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的，

1.已知集合U=\x\x>0|,A=\x\y=Jx-2|，則C.4=

A.|xIO<x^2(B.\x\x^2\C.|%10<x<21D.\x\x<2\

2.命題p：Vme[0,1],m-2zn這0,則rp為

A.使得m2-2mWOB.Vme[0,1],/-2m>0

C.mme[0,1],使得m2-2m>0D.mme[0,1],使得m?-2?n三0

3.已知函數(shù)_/U)的導(dǎo)函數(shù)為/'(*)/(-2)=-2,則lim』(一2一4-)-/(-2)=

Ax-4)A%

A.-8B.-2C.2D.8

4.函數(shù)/(4)=典史的部分圖象大致為

e

數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)(共4頁(yè))

5.已知定義域?yàn)?0,+oo)的函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)為尸(工)，且函數(shù)g(%)=(log3x-1)?f'(x)

的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是

A./(%)有極小值f(6),極大值/(1),

BJ(x)有極小值/(6),極大值/(10)I/\

仁/(工)有極小值/(1)，極大值/(3)和/(10)OH/6^1\T

立/(%)有極小值/(1),極大值/(10)IU

6.經(jīng)過政府加大投入，一座老城被改建為一座朝氣蓬勃的新城市.2021年該市人口約為20萬

人,2022年該市人口約為30萬人,假設(shè)今后該市人口每年以從2021年到2022年人口數(shù)的

增長(zhǎng)率進(jìn)行增長(zhǎng).若從2021年開始n(neN-)年后該市人口首次超過200萬人，則幾=

參考數(shù)據(jù):1g2=0.30,1g3=0.48

A.5B.6C.7..J.D.8

7.已知a=2-In2,6=Ve-y,c=e-1，則

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

8.已知函數(shù)/(x)=a(lnx-l)-x(aeR)在區(qū)間(e,+8)內(nèi)有最值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(e,+oo)B.y,+?jC.(-8,e]D.(-oo,-e)

9.若函數(shù)/(x)=(，-?-2)/”有兩個(gè)極值點(diǎn)且這兩個(gè)極值點(diǎn)互為相反數(shù)，則/(4)的極小

值為

2

A.-6e3B.-2e3C.-4eD.--

e

10,已知m,neR,貝『'm+n>8”是“(zn-4)3+5-4)3+m+n>8”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

11已知函數(shù)/(%)若直線y=/n與/(久)的圖象有四個(gè)交點(diǎn),且從左

llln(4-x)l,2<x<4,

到右四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為xi/2盧3，%4,則?工2+444+4(航+/)=

A.12B.16C.18D.32

12.已知函數(shù)〃工)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的定義域均為R,且/(x)為偶函數(shù)，唱卜乜

3/（%）cosx+//（x）sin%>0,則不等式小+,cos%>0的解集為

A?（告+8）B.（-空,+8）C.（T片）D.仔,+8）

數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共4頁(yè))

二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.設(shè)集合4=|xeZlx=2sin仇,則集合4的真子集個(gè)數(shù)為?

14.請(qǐng)寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②③的函數(shù)/(工)=.

0X(0)=0;②對(duì)任意//2/R,當(dāng)/<劭時(shí)/(町)</(,2)；額工)<1-

15.已知函數(shù)/(x),g(x)是定義在R上的偶函數(shù),g(3)=2,若對(duì)任意xeR,都有/(4+6)=/(%)+

/(3),對(duì)任意血,幾eR且m+n=4,都有g(shù)(m)=g(n)，則/(99)+g(99)=.-----------

16.已知函數(shù)/(x)=l4'-al+2l2'-al的最小值為4,則實(shí)數(shù)a=.

三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(10分)

已知集合M=|xly=>/2+x-x2|=|xIlx-2aI11.

(I)若時(shí)0%=[1,2]，求MUN；

(口)若XGM是xeN的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍?

18.(12分)

已知函數(shù)/(工)=(”+%；：；+~1(awR)為奇函數(shù).

(I)證明J(x)在R上為增函數(shù)；

(II)解關(guān)于4的不等式/(#+4工)+/(12-24)<0.

19.(12分)

已知函數(shù)/(x)=log2x-log2(4-x),g(x)=log2(x+a).

(I)求/(工)的定義域,并證明/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱；

(口)若關(guān)于x的方程/(x)=gG)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍?

數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)(共4頁(yè))

20.(12分)

已知函數(shù)/(*)=(x-a)e，(aeR)的圖象在點(diǎn)(1,/(1))處的切線與直線x-ey+1=0

垂直?

(I)求實(shí)數(shù)a的值；

(II)若不等式/(*)+3e*Nm(l+2)+2對(duì)任意％wR恒成立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

21.(12分)

已知函數(shù)/(x)=(1-a)lnx+x+--2(aeR).

X

(I)試討論/(4)的單調(diào)區(qū)間；

(n)若a?2,討論/(x)在區(qū)間(0通2］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?

22.(12分)

已知函數(shù)/(4)=e*-3x-6.

(I)若函數(shù)g(%)=以%)，求g(x)的極值；

(口)證明：不等式/(工)+2sinx+5N0恒成立.

數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))

“天一大聯(lián)考?皖豫名校聯(lián)盟”2023屆高中畢業(yè)班第一次考試

數(shù)學(xué)?答案

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分.

1.答案C

命題意圖本題考查集合的運(yùn)算.

解析由題可知,4={41%/2]，所以(:4=卜10<冤<2|.

2.答案C

命題意圖本題考查全稱量詞命題與存在最詞命題的否定.

解析由題可知,rP：mmW[0,1],使得/-2m>0.

3.答案D

命題意圖本題考杳號(hào)數(shù)的定義.

解析1"(-2_唬)_/(-2)=_4Hm/(24”2一4-2)=q(_2)=8.

M-0AX-4AI-4Ax

4.答案A

命題意圖本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別.

解析因?yàn)?(-x)=工空且#±/(#),所以/(*)為非奇非偶函數(shù)，排除C；當(dāng)“e(O,l)時(shí),/(*)<0,排除B；當(dāng)

e

X>1時(shí),/(*)>0,且當(dāng)XT+8時(shí)J(X)TO,排除D.故選A.

5.答案D

命題意圖本題考查函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

解析由題圖可知，當(dāng)0<*<l0^,log3x-l<0,/'(*)<0；當(dāng)1<工<3時(shí)，Iog3*-1<0,/'(*)>0；當(dāng)3<“<6

時(shí)，log/一1>0J'(x)>0;當(dāng)6<%<10時(shí)，Io%*-I>0,f'(x')>0；當(dāng)*>10時(shí)，log/一1>0,/'(工)<0.故/(￡)

有極小值/(1)，極大值/(10)，故選D.

6.答案B

命題意圖本題考查指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用.

解析由題意知，該市人口每年的增長(zhǎng)率為嚙”=+.設(shè)從2021年開始經(jīng)過￡年后的人口為)，萬人，則由題

意可得y=20x(I+3)、=20x(令20x(、),>200,即(")'>10,兩邊取對(duì)數(shù)得*lg看>1,即經(jīng)

-■==?」1尸5.56,因此》=6.

i?A坨3-1g2

g2

7.答案A

命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

解析令/(支)=/-忒彳>0),則/'(N)=e'-1>0,所以函數(shù)/(,)=e*-支在(0,+8)上單調(diào)遞增.因?yàn)椤?

1

2-In2=e'"2-In2,6=e5且1>In2>In百=?，所以/(1)>/(In2)即Oa>6,故選A.

8.答案A

命題意圖本題考查函數(shù)最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

解析函數(shù)/⑴的定義域?yàn)?0,+8),且廣⑴=堂-|=號(hào).當(dāng)awO時(shí)/⑴<0恒成立，函數(shù)/(,)在

(e,+8)上單調(diào)遞減,不存在最值；當(dāng)。>0時(shí)，令/'(*)>0,得0<*<a,令/'(*)<0,得#所以函數(shù)/(#)在

(0.Q)上單調(diào)遞增，在+8)上單調(diào)遞減.當(dāng)函數(shù)/(工)在區(qū)間(e,+8)內(nèi)有最值時(shí),”>e,所以實(shí)數(shù)。的取值

范圍為(e,+8).

9.答案B

命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值.

解析/'(#)=[/+(2-a)%-(a+2)]e'"/(#)的極值點(diǎn)即方程/+(2-a)*-(a+2)=0的兩個(gè)實(shí)根，兩

實(shí)根互為相反數(shù)，則。-2=0,得“=2,所以/(動(dòng)=(/-2#-2)e'+'/(")=(r-4)e"',分析單調(diào)性可知，

一工)的極小值為為2)=-2e3.

10.答案C

命題意圖本題考查充分條件與必要條件.

解析易知函數(shù)/⑴=/+工在(-8,+8)上單調(diào)遞憎,同時(shí)由/(-“)=-(『+X)=-/(*),知/(X)為奇

函數(shù).當(dāng)，"+n>8時(shí),m-4>4-n,則/(m-4)>/(4-n)=-/(“-4),即f(m-4)+f(n-4)>0,所以(m-

4尸+(ni-4)+(鹿一4尸+(n-4)>0,G|l(/n-4)3+(zi-4)3+"7+〃>8,所以“〃?+〃>8"是"(6一4尸+(〃一

4)'+m+屋>8”的充分條件.當(dāng)(m-4)，+(〃-4)，+"2+〃>8時(shí)，(《1—4尸+(zn-4)+(zi—4)3+(n—4)>

0,即/(帆一4)+/(〃.一4)>0,所以/(m—4)>一/(〃-4)=/(4一九)，所以加一4〉4一%即m+〃>8,所以“機(jī)+

〃>8”是“(加一4尸+"-4)3+〃?+〃>8”的必要條件.

11.答案C

命題意圖本題考查分段函數(shù)的圖象.

解析作出函數(shù)/(4)的圖象，如圖所示，易知/(?)的圖象關(guān)于直線4=2對(duì)稱.由圖可知陽(yáng)+x4=%2+Xy=4,

且0</<1<比2<2<的<3<%<4,所以1<4一“3<2,0<4-％4VL由IIn占I=IIn與?,可得一卜陽(yáng)=Inx2,

所以x)x2=1.由lln盯?=lln孫?,可得一(4-x3)=-In(4-x4)，所以(4-%3)(4-x4)=1,所以x3x4=4(x3+

x4)-15,于是與42++3”4+4(%[+%2)=1+4(43+欠4)一15+4(航++2)=4(X)++4)+4(出+?3)-14=4X

4+4x4-14=18.

12.答案B

命題意圖本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性解不等式.

—2—

解析令g(%)=/(%)sin，,則g'(%)=3/(x)sin2xcosx+-解析in'=sin2%[3/(x)cosx+/'(%)sin%]NO,所以

g(*)在R上單調(diào)遞增.又因?yàn)?(工)為偶函數(shù)，所以-I)=/("=-2,所以g(-/)=(-3?

./(-*)=_//(*)=+,g卜+學(xué))=/卜+辛卜方卜+辛)=/卜+胃卜小￡,所以不等式/("+屈.

cos'x>0等價(jià)于/卜+學(xué)卜04>},所以g[+年)>g(-*)，則x+a>-*，解得%>-半，所以

不等式4*+學(xué)卜OS’X>0的解集為(-亨，+8)

二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.答案31

命題意圖本題考杳集合的真子集個(gè)數(shù).

解析4=|xeZI"=2sin凡9wR[={-2,-1,0,1,21,故集合4的真子集個(gè)數(shù)為2,-1=31.

14.答案1-(5『(答案不唯一)

命題意圖本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì).

解析根據(jù)題意可知/(x)的圖象過原點(diǎn)，且在R上單調(diào)遞增，又/(x)<1,考慮圖象有,'漸近線”的指數(shù)函數(shù),

如/(￡)=1-(十).

15.答案2

命題意圖本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性.

解析由/(*+6)=/(*)+/(3),知/(-3+6)=/(-3)+/(3),則/(-3)=0,又因?yàn)?(工)為偶函數(shù)，所以

/(3)=/(-3)=0,則/(”+6)=/(欠)，故/(%)的一個(gè)周期為6.由m+n=4,g(zn)=g(zi),得g(m)=g(4-

m),因?yàn)間(%)為偶函數(shù)，所以g(4-m)=g(m-4),即g(m)=g(m-4),所以g(第)的一個(gè)周期為4,所以

/(99)+g(99)=/(6xl6+3)+g(4x24+3)=/(3)+g(3)=2.

16.答案4

命題意圖本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

解析令2、=￡。>0),則函數(shù)/(?)化為y=1/-°|+2l￡-al.若。<0,則y+2f-3a(2>0)單調(diào)遞增，沒

3a—r—2f,0<，Wa,

有最小值.若a=1,則當(dāng)￡=1時(shí),y=0,不符合題意.若0<Q<1,則a<石，則y，2/---a,a</<一,當(dāng)"a

L2+2-3a/NG,

3(t—1~

2

t-2t+ay^/a<t<a,當(dāng)％時(shí),〉取最

1t~+2z-3a,23a,

小值2a-2石，令2a-2而=4,解得a=4.

三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.命題意圖本題考杳集合的運(yùn)算、充分條件與必要條件.

—3—

解析由題可知M=Jx12+.￥-x2^0\=ixl(x+1)(%-2)=|#1一1,(1分)

N={#I-1-2QW1；={32。-1這%W2a+1;...........................(3分)

r2a-1=1,

(I)因?yàn)镸nw=[l,2],所以解得a=I.........................................(4分)

12a+15=2,

所以N=|%I1W4W3},所以WUN={娟.......................................(6分)

(U)因?yàn)榫肊M是％丘/V的必要不充分條件，所以A與時(shí)....................................(8分)

r2<z-1>-1,1

由《解得0。這三，

12a+1^2,2

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為[o,/]........................................................(10分)

18.命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.

解析(I)因?yàn)?(工)為奇函數(shù)，所以/(0)=0,即=O,a=L..........................(2分)

所以/(彳)=-+11；3'jxT?+1一/■..............................................(3分)

3+13+1

所以/，(*)=1.............................................................(5分)

則r⑷>。恒成立，

所以/(4)在R上為增函數(shù)..............................................................(6分)

(U)因?yàn)?(工)為R上的奇函數(shù)且為增函數(shù)，

所以由/(/+4：E)+/(12-1U)<0,得/(爐+4，)<-/(12-1U)=/(llx-12),.................(9分)

貝1]爐+4%<11工一12,即％2—7、+12<0,解得3<工<4,

故不等式f(已+4%)+/(12-11%)<0的解集為(3,4)......................................(12分)

19.命題意圖本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍.

產(chǎn)>0,

解析(I)由可得0<%<4,即/(%)的定義域?yàn)?0,4)...............................(1分)

l4-x>0

令MN)=/(%+2)=log2(%+2)-log2(2-x),

r2+x>0,

由解得-2(欠<2,即/“”)的定義域?yàn)?-2,2).....................................(3分)

[2-x>0

因?yàn)??(-x)=Iog2(2-x)-log2(2+x)=-h(x),

所以以4)為奇函數(shù)，所以/(%+2)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，

故/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱........................................................(5分)

(0)關(guān)于#的方程/(4)=g(x),xe(0,4),

即1暇%-logj(4-x)=log,(a+x),xe(0,4),

故關(guān)于力的方程/(%)=8(%)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,轉(zhuǎn)化為，，=￡+(4-%)-5/￡(0,4)有兩個(gè)解，即)=。

—4—

與y=3+(4_*)_5,￡e(0,4)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)......................................(7分)

4-x

設(shè)1=4-*”(0,4),則》=寧4+，-5,%(0,4),

作出函數(shù)>葉+，-5,,￡(0,4)的大致圖象如圖所示：

.......................................................................................(9分)

4

可知當(dāng)-1<Q<0時(shí),y=。與y=:-5/e(0,4)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

即關(guān)于"的方程/(")二g(工)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-1,0)........................................................(12分)

20.命題意圖本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)的范圍.

解析(I)由/(%)=(靠-a)e',得/"(%)=/+(%-a)/=(力-。+1)，，.......................(2分)

所以/(久)的圖象在點(diǎn)(1/(1))處的切線斜率為/'(1)=(2-a)e..............................(3分)

因?yàn)榍芯€與直線4-Q+1=0垂直，所以(2-a)e=-e,解得a=3............................(5分)

(D)由(I)知/(#)=(—3)e',則/(4)+3e'Bm(l+±)+2等價(jià)于I+^)+2,

所以由題意知mW片豐對(duì)任意￡wR恒成立............................................(6分)

e+1

r2x2TvTTv

人/\:Ee"-2em,，/、(2xe+e'-2e)(e+1)-(-2e')ee(e*+2)(xe+e'-1)

令g⑴二一■ex；+1-一網(wǎng)6g⑺二-------------13-+一17)T32---------------="......-(eA—+1m)2-------

.......................................................................................(7分)

令h(x)=xex+e*-1，易知

當(dāng)"￡(-8,0)時(shí)//<0,所以心動(dòng)<0,g'⑴<0出(%)在(-8,0)上單調(diào)遞減,

當(dāng)“￡(0,+8)時(shí),%e*>0,/-1>0,所以6(4)>0,g'(#)>0,g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,.....(10分)

所以g(4)*=g(0)=-1,所以mW-1,

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(...................................................(12分)

21.命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、探究零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解析(I)由題可知/(工)的定義域?yàn)?0,+8)/(*)=」+1-3二必將^..........(2分)

XXX

當(dāng)awo時(shí)了(")>0恒成立，所以/(功在(0,+8)上單調(diào)遞增；.............................(3分)

當(dāng)?！?時(shí)，由/'(比)>0,得力>0,由/(%)<0,得

所以/(4)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增......................................(4分)

—5—

綜上所述，當(dāng)“WO時(shí),/(工)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)。>0時(shí)J(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為

(0,。)，單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+8)........................................................(5分)

(n)Eh(I)可知當(dāng)aWO時(shí)/⑷>0在(0,內(nèi)上恒成立，所以/(%)在(0/］上單調(diào)遞增.........(6分)

因?yàn)?(1)=a-1<0/(e2)=e2%-2)>(),

所以由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)/(*)在(0,e，上有1個(gè)零點(diǎn)..................................(7分)

當(dāng)0<aW2時(shí)，若xe(0,a),則/'⑺<0,若￡w(a,e?］,則廣⑷>0,

所以/(*)在區(qū)間((),“)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(“,e?］上單調(diào)遞增，

可得/(x)mb,=/(a)=(1-a)lna+a-1=(a-1)(1-Ina)..................................(8分)

①當(dāng)a=l時(shí)J(x)而“=0,此時(shí)/(%)在區(qū)間(0,e，上有1個(gè)零點(diǎn)................................(9分)

②當(dāng)0<a<l時(shí)/⑴“加<0.

因?yàn)楫?dāng)X-0時(shí)/(x)—+8J(e2)=e2+“(%-2)>0,

所以此時(shí)/(")在區(qū)間(0,e2］上有2個(gè)零點(diǎn)...................................................(10分)

③當(dāng)1<aW2時(shí)J(x)而“>0,此時(shí)/(￡)在區(qū)間(0,￡］上無零點(diǎn)................................(11分)

綜上可知，當(dāng)或。=1時(shí)JG)在區(qū)間(01］上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<“<1時(shí)J(x)在區(qū)間(01］上有2個(gè)零

點(diǎn)；當(dāng)1<“W2時(shí)J(x)在區(qū)間((he,］上無零點(diǎn)...............................................(12分)

22.命題意圖本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值及不等式證明問題