湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)、衡陽(yáng)八中等十三校重點(diǎn)中學(xué)2024年高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)、衡陽(yáng)八中等十三校重點(diǎn)中學(xué)2024年高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知、，直線(xiàn)，，且，則的最小值為（）A. B.C. D.2．已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C：相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的斜率分別為，，則（）A. B.C. D.3．在中國(guó)古代，人們用圭表測(cè)量日影長(zhǎng)度來(lái)確定節(jié)氣，一年之中日影最長(zhǎng)一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長(zhǎng)之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長(zhǎng)之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺4．過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，則經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線(xiàn)方程是A. B.C. D.5．已知命題：，；命題：，.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.6．過(guò)點(diǎn)且平行于直線(xiàn)的直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.7．已知命題：，使；命題：，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A.命題“”是真命題： B.命題“”是假命題：C.命題“”是假命題： D.命題“”是假命題8．雙曲線(xiàn)：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，，，則的離心率為（）A. B.2C. D.9．已知分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的左支上，點(diǎn)Q為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.7C. D.510．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為A. B.C. D.11．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡(jiǎn)稱(chēng)黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線(xiàn)稱(chēng)為黃金雙曲線(xiàn)．若雙曲線(xiàn)是黃金雙曲線(xiàn)，則（）A. B.C. D.12．如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，點(diǎn)E為中點(diǎn)，若直線(xiàn)與所成的角為，則三棱錐的體積等于（）A. B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將連續(xù)的正整數(shù)填入n行n列的方陣中，使得每行、每列、每條對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)之和相等，可得到n階幻方.記n階幻方每條對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)之和為，如圖：，那么的值為_(kāi)__________.14．某工廠的某種型號(hào)的機(jī)器的使用年限和所支出的維修費(fèi)用（萬(wàn)元）有下表的統(tǒng)計(jì)資料：23456223.85.56.57.0根據(jù)上表可得回歸直線(xiàn)方程，則=_____.15．已知橢圓，為其右焦點(diǎn)，過(guò)垂直于軸的直線(xiàn)與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為，則橢圓的方程為_(kāi)_______.16．歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線(xiàn)的是梅納庫(kù)莫斯（公元前375年—325年），大約100年后，阿波羅尼奧更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線(xiàn)，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)，比如：從拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)或聲波在經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸：反之，平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的光線(xiàn)，經(jīng)拋物線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).已知拋物線(xiàn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)一束平行于C對(duì)稱(chēng)軸的光線(xiàn)，經(jīng)C上點(diǎn)P反射后交C于點(diǎn)Q，則PQ的長(zhǎng)度為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）若是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn).（1）若雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于10，求點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)距離；（2）如圖若是雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn)，且，求的面積.18．（12分）已知橢圓的離心率，過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)截橢圓所得到的線(xiàn)段的長(zhǎng)度為1（1）求橢圓C的方程；（2）直線(xiàn)交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若y軸上存在點(diǎn)P，使得是以AB為斜邊的等腰直角三角形，求的面積的取值范圍19．（12分）已知圓C：x2+y2+2ax﹣3＝0，且圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)3x﹣2y﹣3＝0對(duì)稱(chēng).（1）求圓C的半徑r；（2）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A（2，），且與圓C交于MN，兩點(diǎn)，|MN|＝2，求直線(xiàn)l的方程.20．（12分）某省食品藥品監(jiān)管局對(duì)15個(gè)大學(xué)食堂“進(jìn)貨渠道合格性”和“食品安全”進(jìn)行量化評(píng)估，滿(mǎn)分為10分，大部分大學(xué)食堂的評(píng)分在7~10分之間，以下表格記錄了它們的評(píng)分情況：分?jǐn)?shù)段食堂個(gè)數(shù)1383（1）現(xiàn)從15個(gè)大學(xué)食堂中隨機(jī)抽取3個(gè)，求至多有1個(gè)大學(xué)食堂的評(píng)分不低于9分的概率；（2）以這15個(gè)大學(xué)食堂的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)評(píng)估全國(guó)的大學(xué)食堂的評(píng)分情況，若從全國(guó)的大學(xué)食堂中任選3個(gè)，記X表示抽到評(píng)分不低于9分的食堂個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求點(diǎn)B到平面PCD的距離；（2）求二面角的平面角的余弦值.22．（10分）已知數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】先由，可得，變形得，所以，化簡(jiǎn)后利用基本不等式求解即可【題目詳解】因?yàn)?、，直線(xiàn)，，且，所以，即，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為，故選：D2、C【解題分析】設(shè)，，由消得：，又，由韋達(dá)定理代入計(jì)算即可得答案.【題目詳解】設(shè)，，由消得：，所以，故.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，直線(xiàn)的斜率公式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.3、A【解題分析】由題意可知，十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，設(shè)冬至日的日影長(zhǎng)為尺，公差為尺，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出，即可求出，從而得到答案【題目詳解】設(shè)從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長(zhǎng)為尺，設(shè)公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A4、A【解題分析】過(guò)圓外一點(diǎn)，引圓的兩條切線(xiàn)，則經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，故選5、C【解題分析】利用基本不等式判斷命題的真假，由不等式性質(zhì)判斷命題的真假，進(jìn)而確定它們所構(gòu)成的復(fù)合命題的真假即可.【題目詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故不存在使，所以命題為假命題，而命題為真命題，則為真，為假，故為假，為假，為真，為假.故選：C6、B【解題分析】根據(jù)平行設(shè)直線(xiàn)方程，代入點(diǎn)計(jì)算得到答案.【題目詳解】設(shè)直線(xiàn)方程為，將點(diǎn)代入直線(xiàn)方程得到，解得.故直線(xiàn)方程為：.故選：B.7、B【解題分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷命題為假命題，由判斷命題為真命題，從而得出答案.【題目詳解】因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以命題為假命題因?yàn)?，所以命題為真命題則命題“”是假命題，命題“”是假命題，命題“”是真命題，命題“”是真命題故選：B8、C【解題分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)定義、余弦定理，結(jié)合題意，求得關(guān)系，即可求得離心率.【題目詳解】根據(jù)題意，作圖如下：不妨設(shè)，則，，①；在△中，由余弦定理可得：，代值得：，②；聯(lián)立①②兩式可得：；在△和△中，由，可得：，整理得：，③；聯(lián)立②③可得：，又，故可得：，則，則，故離心率為.故選：C.9、A【解題分析】由雙曲線(xiàn)的定義及三角形的幾何性質(zhì)可求解.【題目詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為1，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值為，而，所以故選：A10、A【解題分析】每個(gè)同學(xué)參加的情形都有3種，故兩個(gè)同學(xué)參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A11、A【解題分析】根據(jù)黃金雙曲線(xiàn)的定義直接列方程求解【題目詳解】雙曲線(xiàn)中的，所以離心率，因?yàn)殡p曲線(xiàn)是黃金雙曲線(xiàn)，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A12、D【解題分析】由題意可證平面，取BD的中點(diǎn)F，連接EF，則為直線(xiàn)與所成的角，利用余弦定理求出，根據(jù)三棱錐體積公式即可求得體積【題目詳解】如圖，∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∵，，兩兩垂直，，∴平面，取BD的中點(diǎn)F，連接EF，∴為直線(xiàn)與所成的角，且，由題意可知，，設(shè)，連接AF，則，在中，由余弦定理，得，即，解得，即∴三棱錐的體積故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、34【解題分析】根據(jù)每行數(shù)字之和相等，四行數(shù)字之和剛好等于1到16之和可得.【題目詳解】4階幻方中，4行數(shù)字之和，得.故答案為：3414、08##【解題分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出，將點(diǎn)代入回歸直線(xiàn)求出即可.【題目詳解】由表格可得，，由于回歸直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，故，解得，故答案為：0.08.15、##【解題分析】將代入橢圓的方程，可得出，可得出關(guān)于的等式，求出的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出橢圓的方程.【題目詳解】將代入橢圓的方程可得，可得，由已知可得，整理可得，，解得，所以，，因此，橢圓的方程為.故答案為：.16、####【解題分析】根據(jù)題意，求得點(diǎn)以及拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得所在直線(xiàn)方程，聯(lián)立其與拋物線(xiàn)方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得.【題目詳解】因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)一束平行于C對(duì)稱(chēng)軸的光線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，故對(duì)，令，則可得，也即的坐標(biāo)為，又拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，故可得直線(xiàn)方程為，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程可得：，，解得或，將代入，可得，即的坐標(biāo)為，則.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）利用雙曲線(xiàn)定義，根據(jù)點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離求點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離即可；（2）先根據(jù)定義得到，兩邊平方求得，即證，，再計(jì)算直角三角形面積即可.【小問(wèn)1詳解】是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，則，點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于10，設(shè)點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則由雙曲線(xiàn)定義可知，，解得或（舍去）即點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為；【小問(wèn)2詳解】P是雙曲線(xiàn)左支上的點(diǎn)，則，則，而，所以，即，所以為直角三角形，，所以.18、（1）（2）【解題分析】（1）由條件可得，解出即可；（2）設(shè)，，取AB的中點(diǎn)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程消元，算出，，然后可算出，然后由可得，然后表示出的面積可得答案.小問(wèn)1詳解】令，得，所以，解得，，所以橢圓C的方程：【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，取AB的中點(diǎn)，因?yàn)闉橐訟B為斜邊的等腰直角三角形，所以且，聯(lián)立得，則∴又∵，∴，且，，∴，由得，∴∴19、（1）r＝2（2）x﹣2＝0或x+﹣3＝0【解題分析】（1）由已知根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知直線(xiàn)m過(guò)圓心C.代入后可求a，進(jìn)而可求半徑；（2）先求出圓心到直線(xiàn)l的距離，然后結(jié)合直線(xiàn)與圓相交的弦長(zhǎng)公式可求.【小問(wèn)1詳解】解：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為.因?yàn)閳AC關(guān)于直線(xiàn)m對(duì)稱(chēng)，所以直線(xiàn)m過(guò)圓心C.將代入，解得.此時(shí)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半徑r＝2.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)圓心到直線(xiàn)距離為d，則d＝＝＝1，①當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程l為x＝2，符合條件.②當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l方程為y﹣＝k（x﹣2），即x﹣y﹣2k+＝0，所以圓心C到直線(xiàn)l的距離d＝＝1，解得，k＝﹣，直線(xiàn)l的方程為x+﹣3＝0，綜上所述，直線(xiàn)l的方程為x﹣2＝0或x+﹣3＝0.20、（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解題分析】（1）利用古典概型的概率公式可求概率.（2）由題設(shè)可得，故利用二項(xiàng)分布可求的分布列，利用公式可求其期望.【小問(wèn)1詳解】設(shè)至多有1個(gè)大學(xué)食堂的評(píng)分不低于9分為事件，則.所以至多有1個(gè)大學(xué)食堂的評(píng)分不低于9分的概率為.【小問(wèn)2詳解】任意一個(gè)大學(xué)食堂，其評(píng)分不低于9分的概率為，故，所以，，，，的分布列為：0123.21、（1）（2）【解題分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)到面的距離公式即可算出答案；（2）先求出兩個(gè)面的法向量，然后用二面角公式即可.【小問(wèn)1詳解】∵平面平面∴PB⊥AB,PB⊥BC,又兩兩互相垂直,所以，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，D(3,6,0),A(0,6,0)設(shè)平