2022屆高考文科數(shù)學(xué)考案指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

§2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)真題探究考綱解讀知識(shí)盤點(diǎn)典例精析例題備選命題預(yù)測基礎(chǔ)拾遺技巧歸納考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選

考點(diǎn)考綱解讀1指數(shù)概念的擴(kuò)充,有理指

數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念,

掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性

質(zhì).2指數(shù)函數(shù)掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖

象和性質(zhì).

對指數(shù)函數(shù)的考查,大多是以基本性質(zhì)為主,結(jié)合運(yùn)算,考查圖象、性質(zhì)等內(nèi)容,以方程、解不等式、比較大小等問題為載體,多為客

觀題中的中檔題.考查形式為選擇題、填空題與解答題,解答題中常

結(jié)合導(dǎo)數(shù).高考中將以基礎(chǔ)知識(shí)為主,結(jié)合其他初等函數(shù)(特別是二次

函數(shù))對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行考查,一般為中檔題.考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選1.根式的概念和性質(zhì)(1)根式的概念n次方根:如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中a∈R,n>1,且n∈N*.0

的任何次方根都為0,記作

=0(n∈N*).(2)兩個(gè)重要公式

=

(

)n=a(n>1且n∈N*).考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選2.指數(shù)的概念和性質(zhì)(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的表示正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:

=

(a>0,m,n∈N*);負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:

=

=

(a>0,m,n∈N*);0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義.(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).3.指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)y=axa>10<a<1圖象

考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選y=axa>10<a<1性質(zhì)定義域:R值域:(0,+∞)奇偶性:非奇非偶函數(shù)過定點(diǎn)(0,1)當(dāng)x>0時(shí),y>1;當(dāng)x<0時(shí),0<y<1當(dāng)x>0時(shí),0<y<1;當(dāng)x<0時(shí),y>1在(-∞,+∞)上是增函數(shù)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)(續(xù)表)考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選1.(2011年深圳市第二次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=

-

的定義域是R,則f(x)的值域是

.【解析】∵f(x)=

-

,∴f(x)+

=

,∵2x+1=

>1,∴0<f(x)+

<1,∴-

<f(x)<

.∴f(x)的值域?yàn)?-

,

).【答案】(-

,

).考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選2.設(shè)a=(

)0.3,b=(

)0.3,c=2-0.2,則

(

)(A)a<b<c.

(B)a<c<b.(C)c<a<b.

(D)b<a<c.【解析】函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù),a=(

)0.3=2-0.3,∵-0.3<-0.2,∴2-0.3<2-0.2,∴a<c.y=x0.3在(0,+∞)上是增函數(shù),(

)0.3<(

)0.3,∴b<a.綜上可得b<a<c.【答案】D考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選3.(2011年濟(jì)寧一模)已知a是函數(shù)f(x)=2x-lo

x的零點(diǎn),若0<x0<a,則f(x0)的值滿足

(

)(A)f(x0)=0.

(B)f(x0)<0.(C)f(x0)>0.

(D)f(x0)的符號不確定.【解析】∵a是函數(shù)f(x)=2x-lo

x的零點(diǎn),∴2a-lo

a=0,∵0<x0<a,∴

<2a,lo

x0>lo

a,∴-lo

x0<-lo

a,

-lo

x0<2a-lo

a,f(x0)<f(a)=0.故選B.【答案】B考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選4.(2011年南昌一中、十中聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=3|x|(x∈[a,b])的值域?yàn)閇1,

9],則a2+b2-2a的取值范圍是

(

)(A)[8,12].

(B)[2

,2

].(C)[4,12].

(D)[2,2

].【解析】f(x)=

∴f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù);f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù).∵f(0)=1,f(-2)=9,f(2)=9,

或

∴4≤a2+b2-2a≤12,故選C.【答案】C

考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選題型1指數(shù)函數(shù)的圖象

例1

(1)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大

,則a的值為

.(2)函數(shù)y=ax+2012+|x-2|(a>0,且a≠1)的圖象過定點(diǎn)

.(3)已知f(x)為指數(shù)函數(shù),若f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位后的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)=

.考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選【分析】(1)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)在R上為單調(diào)函數(shù),故最值在端點(diǎn)

處取得.(2)函數(shù)過定點(diǎn),則函數(shù)值跟a的值無關(guān),只有x+2012=0.(3)如圖所示的圖象過點(diǎn)(2,2).所以f(x)的圖象過點(diǎn)(1,2),由f(x)為指數(shù)

函數(shù),可設(shè)y=ax(a>0,且a≠1),故f(x)可求.【解析】(1)∵函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)在R上為單調(diào)函數(shù),且在[1,2]上

的最大值比最小值大

,∴|a2-a|=

(a>0,且a≠1),∴|a-1|=

,∴a=

或a=

.考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)當(dāng)x=-2012時(shí),y=a0+|-2012-2|=2015,函數(shù)圖象過定點(diǎn)(-2012,2015).(3)∵f(x)為指數(shù)函數(shù),設(shè)y=ax(a>0,且a≠1),點(diǎn)(1,2)向右平移一個(gè)單位

為點(diǎn)(2,2),所以f(x)的圖象過點(diǎn)(1,2),∴2=a1,∴a=2,∴f(x)=2x.【答案】(1)

或

(2)(-2012,2015)

(3)2x

【點(diǎn)評】(1)考查了利用函數(shù)的單調(diào)性分析函數(shù)的最值在什么地方

取到,也可以分0<a<1,a>1兩種情況確定最大值與最小值求a.(2)考查函數(shù)過定點(diǎn),即與a的值無關(guān).(3)考查結(jié)合函數(shù)的圖象求指數(shù)函數(shù)的解析式.考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選變式訓(xùn)練1

(1)函數(shù)f(x)=a2x+1(a>0,且a≠1)在[

,1]的最大值比最小值大a,則a=

.(2)函數(shù)f(x)=2011·ax-2+x2(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)

.(3)已知函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的圖象如下面右圖所示,則函數(shù)

g(x)=ax+b的圖象是

(

)

考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選【解析】(1)函數(shù)f(x)=a2x+1(a>0,且a≠1)在[

,1]上是單調(diào)函數(shù),由題意可得|(a2+1)-(a+1)|=|a2-a|=a,|a-1|=1,∵a>0且a≠1,∴a=2.(2)當(dāng)x-2=0時(shí),函數(shù)值與a的值無關(guān),f(2)=2011+22=2015,∴函數(shù)f(x)過定點(diǎn)(2,2015).(3)由函數(shù)f(x)的圖象可知0<a<1,b<-1,不難發(fā)現(xiàn)只有A滿足要求.【答案】(1)2

(2)(2,2015)

(3)A考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選題型2指數(shù)函數(shù)中的參數(shù)問題

例2已知函數(shù)f(x)=2x-

.(1)若f(x)=2,求x的值;(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【分析】(1)首先去掉絕對值把f(x)寫成分段函數(shù)的形式,再解f(x)=2

就不難了;(2)含參不等式恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為求最值問題,再進(jìn)行求解.【解析】當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2x-

;當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=2x-

=2x-2x=0;考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(1)由條件可知2x-

=2,即22x-2·2x-1=0,解得2x=1±

.∵2x>0,∴2x=1+

,即x=log2(1+

).(2)當(dāng)t∈[1,2]時(shí),2t(22t-

)+m(2t-

)≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1).∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5].故m的取值范圍是[-5,+∞).∴f(x)=

【點(diǎn)評】把函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式,函數(shù)更直觀、形象;利用分離

變量的方法使所求的量直接展現(xiàn)出來,有利于解決問題,本題還涉及

轉(zhuǎn)化恒成立.考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選變式訓(xùn)練2已知對任意x∈R,不等式

>(

恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】

=(

,∴(

>(

恒成立,∴x2-(m+1)x+m+4>0對x∈R恒成立.∴Δ=(m+1)2-4(m+4)<0.∴m2-2m-15<0.∴-3<m<5.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-3,5).考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選題型3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

例3已知f(x)=

(ax-a-x)(a>0,且a≠1).(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;(2)分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(3)不等式f(x)≥b在[-1,1]上恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【分析】(1)分析函數(shù)的奇偶性,一般是辨析f(-x)與f(x)的關(guān)系,也可以

利用圖象分析;(2)分析函數(shù)的單調(diào)性常用導(dǎo)數(shù)工具,因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)性與底數(shù)a的

取值范圍有關(guān),故要討論a的取值范圍;(3)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,確定b的取值范圍.考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)(法一)f‘(x)=

(axlna+a-xlna)=

(ax+a-x),當(dāng)0<a<1時(shí),lna<0,a2-1<0,f‘(x)=

(ax+a-x)>0;當(dāng)a>1時(shí),lna>0,a2-1>0,f‘(x)=

(ax+a-x)>0;∴f(x)在R上是增函數(shù).(法二)在R上任取x1,x2,且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=

(

-

)-

(

-

)【解析】(1)f(-x)=

(a-x-ax)=-

(ax-a-x)=-f(x),∴f(x)在R上是奇函數(shù).考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選=

[(

-

)+

]=

·

(

+1),當(dāng)a>1時(shí),x1<x2,∴

<

,∴

-

<0,

>0,

+1>0,f(x1)-f(x2)<0,當(dāng)0<a<1時(shí),x1<x2,∴

>

,∴

-

>0,

<0,

+1>0,f(x1)-f(x2)<0.考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選綜上可知,x1<x2時(shí),f(x1)<f(x2),∴f(x)在R上是增函數(shù).(3)∵f(x)在R上是增函數(shù),不等式f(x)≥b在[-1,1]上恒成立,∴f(-1)≥b恒成立,f(-1)=

(a-1-a1)=

·

=-1,∴b≤-1,∴b的取值范圍為(-∞,-1].【點(diǎn)評】此題涉及討論a的取值范圍,和對恒成立的轉(zhuǎn)化,(2)也可以

直接分析x遞增時(shí),函數(shù)f(x)是遞增還是遞減,從而分析函數(shù)的單調(diào)性.

容易出錯(cuò)的地方是在討論a的取值范圍時(shí),忘記分析a2-1的正負(fù).考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=(

.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)f(x)的值域.【解析】(1)令g(x)=x2-2x,則f(x)=(

)g(x),顯然f(x)與g(x)的單調(diào)性相反.g'(x)=2x-2,x>1時(shí),g'(x)>0,x<1時(shí),g'(x)<0,考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1);f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).∴g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1).(2)∵f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1);f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).∴0<f(x)≤f(1),f(1)=(

)1-2=3,∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0,3].考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選

1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化,通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的運(yùn)

算,同時(shí)公式變形時(shí),應(yīng)注意公式的成立條件,以減少運(yùn)算的失誤.2.指數(shù)函數(shù)y=ax的單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān),注意對底數(shù)的討論.3.比較兩個(gè)指數(shù)冪的大小時(shí),盡量化成同底或同指.當(dāng)?shù)讛?shù)相同且指數(shù)不同時(shí),構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù),然后比較大小;當(dāng)指數(shù)相同且底數(shù)不同

時(shí),構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù)利用圖象比較大小,或利用冪函數(shù)比較大小.考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選4.解簡單的指數(shù)不等式時(shí),當(dāng)?shù)讛?shù)含參時(shí),注意對底數(shù)進(jìn)行討論.5.指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域,單調(diào)區(qū)間的求法.(1)求值域要先確定內(nèi)層函數(shù)的值域,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域和單調(diào)

性,可求出外層函數(shù)的值域.(2)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟:①求復(fù)合函數(shù)的定義域;②分層逐一求解內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,通過運(yùn)用“同增異減”的原則,可求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選1.(2011年湖南卷)已知函數(shù)f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),則b

的取值范圍為

(

)(A)[2-

,2+

].

(B)(2-

,2+

).(C)[1,3].

(D)(1,3).【解析】由題可知f(x)=ex-1>-1,g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1≤1,若有f(a)=g

(b),則g(b)∈(-1,1],即-b2+4b-3>-1,解得2-

<b<2+

.【答案】B考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選2.(2011年湖北卷)放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成

其他元素,其含量不斷減少,這種現(xiàn)象成為衰變,假設(shè)在放射性同位素

銫137的衰變過程中,其含量M(單位:太貝克)與時(shí)間t(單位:年)滿足函

數(shù)關(guān)系:M(t)=M0

,其中M0為t=0時(shí)銫137的含量,已知t=30時(shí),銫137的含量的變化率是-10ln2(太貝克/年),則M(60)等于

(

)(A)5太貝克.

(B)75ln2太貝克.(C)150ln2太貝克.

(D)150太貝克.【解析】因?yàn)镸'(t)=-

ln2×M0

,則M'(30)=-

ln2×M0

=-10ln2,解得M0=600,所以M(t)=600×

,那么M(60)=600×

=600×

=150(太貝克),所以選D.【答案】D考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選

例1設(shè)f(x)=

(a,b為實(shí)常數(shù)).(1)當(dāng)a=b=1時(shí),證明:f(x)不是奇函數(shù);(2)設(shè)f(x)是奇函數(shù),求a與b的值;(3)當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí),研究是否存在這樣的實(shí)數(shù)集的子集D,對任何

屬于D的x、c,都有f(x)<c2-3c+3成立?若存在,試找出所有這樣的D;若

不存在,請說明理由.【解析】(1)舉出反例即可.f(x)=

,f(1)=

=-

,f(-1)=

=

,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函數(shù).考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)f(x)是奇函數(shù)時(shí),f(-x)=-f(x),即

=-

對定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x成立.化簡整理得(2a-b)·22x+(2ab-4)·2x+(2a-b)=0,這是關(guān)于x的恒等式,所以

所以

或

經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意.(3)當(dāng)

時(shí),f(x)=

=-

+

,因?yàn)?x>0,所以2x+1>1,0<

<1.考綱解讀命題預(yù)測知識(shí)盤點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選從而-

<f(x)<

.而c2-3c+3=(c-

)2+

≥

對任何實(shí)數(shù)c成立,所以可取D=R對任何x、c屬于D,都有f(x)<c2-3c+3成立.當(dāng)

時(shí),f(x)=

=-

+

(x≠0),所以當(dāng)x>0時(shí),f(x)<-

;當(dāng)x<0時(shí),f(x)>

.①因此取