第8章 立體幾何與空間向量 第3節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

第八章立體幾何與空間向量第3節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系考試要求1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義；2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層訓(xùn)練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1知識(shí)梳理(1)公理1：如果一條直線上的______在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).(2)公理2：過________________上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有______公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.1.平面的基本性質(zhì)兩點(diǎn)不在同一條直線一個(gè)2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語言

符號(hào)語言a，b是異面直線a?α

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線__________.等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角____________.3.平行公理(公理4)和等角定理互相平行相等或互補(bǔ)(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的_____________叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：_____________.4.異面直線所成的角銳角(或直角)常用結(jié)論1.公理2的三個(gè)推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；

推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；

推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.2.異面直線的判定：經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線.3.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.×診斷自測(1)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線.(

)(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面.(

)(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.(

)(4)若直線a不平行于平面α，且a?α，則α內(nèi)的所有直線與a異面.(

)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)√××解析(1)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，故錯(cuò)誤.(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面相交或重合，故錯(cuò)誤.(4)由于a不平行于平面α，且a?α，則a與平面α相交，故平面α內(nèi)有與a相交的直線，故錯(cuò)誤.CA.30° B.45°C.60° D.90°2.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成角的大小為(

)解析

連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C或其補(bǔ)角為所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.DA.相交或平行

B.相交或異面C.平行或異面 D.相交、平行或異面3.已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是(

)解析

依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面.A.點(diǎn)A B.點(diǎn)BC.點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D.點(diǎn)C和點(diǎn)M4.如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(

)D解析∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上.同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上.A.l與l1，l2都不相交B.l與l1，l2都相交C.l至多與l1，l2中的一條相交D.l至少與l1，l2中的一條相交5.(2021·日照調(diào)研)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(

)D解析

由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交.若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2是異面直線矛盾.故l至少與l1，l2中的一條相交.(1)當(dāng)AC，BD滿足條件_____________________時(shí)，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿足條件_____________________時(shí)，四邊形EFGH為正方形.6.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD解析

(1)∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，(2)∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；例1

如圖所示，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：證明

∵EF是△D1B1C1的中位線，∴EF∥B1D1.在正方體AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD確定一個(gè)平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.證明

在正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1為α，平面BDEF為β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，則Q是α與β的公共點(diǎn)，同理，P是α與β的公共點(diǎn)，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，則R∈PQ，故P，Q，R三點(diǎn)共線.(2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線.共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi).(2)證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上.(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).感悟提升求證：EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點(diǎn).訓(xùn)練1

如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點(diǎn)，G，H分別是CD和AD上的點(diǎn).若EH與FG相交于點(diǎn)K.證明

因?yàn)镵∈EH，EH?平面ABD，所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，因此K∈BD，所以EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點(diǎn).考點(diǎn)二空間兩直線的位置關(guān)系①AP與CM是異面直線；②AP，CM，DD1相交于一點(diǎn)；③MN∥BD1；④MN∥平面BB1D1D.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是(

)A.①④ B.②④C.①③④ D.②③④例2

(1)(2022·全國名校聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點(diǎn)，有下列四個(gè)結(jié)論：B解析

連接MP，AC(圖略)，因?yàn)镸P∥AC，MP≠AC，所以AP與CM是相交直線，又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一點(diǎn)，則①不正確，②正確.③令A(yù)C∩BD＝O，連接OD1，ON.因?yàn)镸，N分別是C1D1，BC的中點(diǎn)，則四邊形MNOD1為平行四邊形，所以MN∥OD1，因?yàn)镸N?平面BD1D，OD1?平面BD1D，所以MN∥平面BD1D，③不正確，④正確.綜上所述，②④正確.A.BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B.BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C.BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D.BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線(2)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則(

)B解析

取CD的中點(diǎn)O，連接ON，EO，因?yàn)椤鱁CD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，EO?平面ECD，所以EO⊥平面ABCD.所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.過M作CD的垂線，交CD于點(diǎn)P，連接BP，所以BM≠EN.連接BD，BE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以N為BD的中點(diǎn)，即EN，MB均在平面BDE內(nèi)，所以直線BM，EN是相交直線，故選B.空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面，平行和垂直的判定.異面直線的判定可采用直接法或反證法；平行直線的判定可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；垂直關(guān)系的判定往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決.感悟提升A.m與n異面B.m與n相交C.m與n平行D.m與n平行、相交、異面均有可能訓(xùn)練2

(1)已知空間三條直線l，m，n，若l與m垂直，l與n垂直，則(

)D解析

因?yàn)閙⊥l，n⊥l，結(jié)合長方體模型可知m與n可以相交，也可以異面，還可以平行.解析

如圖所示，取PB的中點(diǎn)H，連接MH，HC，由題意知，四邊形MHCN為平行四邊形，且MN∥HC，又HC?平面PBC，MN?平面PBC，所以MN∥平面PBC，設(shè)四邊形MHCN確定平面α，又D∈α，故M，N，D共面，但P?平面α，D?MN，(2)(2021·宜賓質(zhì)檢)四棱錐P－ABCD的所有棱長都相等，M，N分別為PA，CD的中點(diǎn)，下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.MN與PD是異面直線

B.MN∥平面PBCC.MN∥AC D.MN⊥PBC因此MN與PD是異面直線；故A，B說法均正確.若MN∥AC，由于CH∥MN，則CH∥AC，事實(shí)上AC∩CH＝C，C說法不正確；因?yàn)镻C＝BC，H為PB的中點(diǎn)，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D說法正確.考點(diǎn)三異面直線所成的角C解析法一如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角或其補(bǔ)角.法二以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.D解析如圖，過點(diǎn)S作SF∥OE，交AB于點(diǎn)F，連接CF，則∠CSF(或其補(bǔ)角)為異面直線SC與OE所成的角.1.綜合法求異面直線所成角的步驟：(1)作：通過作平行線得到相交直線.(2)證：證明所作角為異面直線所成的角(或其補(bǔ)角).(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.2.向量法：利用向量的內(nèi)積求所成角的余弦值.感悟提升解析如圖，連接C1P，因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點(diǎn)，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1?平面B1BP，所以C1P⊥平面B1BP.訓(xùn)練3

(1)(2021·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為(

)D又BP?平面B1BP，所以有C1P⊥BP.連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角.設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，解析如圖，取B1C1的中點(diǎn)D1，連接A1D1，則AD∥A1D1，∠CA1D1(或其補(bǔ)角)就是異面直線A1C與AD所成的角.連接D1C.∵A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1，又A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1，∴A1D1⊥平面BCC1B1，∵D1C?平面BCC1B1，∴A1D1⊥D1C，C截線、截面問題微點(diǎn)突破

利用平面的性質(zhì)確定截面的形狀是解決問題的關(guān)鍵.(1)作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.(2)作交線的方法有如下兩種：①利用公理3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.A.三角形 B.四邊形

C.五邊形 D.六邊形一、截面問題C解析先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點(diǎn)，再確定截面與幾何體的棱的交點(diǎn).設(shè)直線C1M，CD相交于點(diǎn)P，直線C1N，CB相交于點(diǎn)Q，連接PQ交直線AD于點(diǎn)E，交直線AB于點(diǎn)F，則五邊形C1MEFN為所求截面圖形.A解析如圖，依題意，平面α與棱BA，BC，BB1所在直線所成角都相等，容易得到平面AB1C符合題意，進(jìn)而所有平行于平面AB1C的平面均符合題意.由對稱性，知過正方體ABCD－A1B1C1D1中心的截面面積應(yīng)取最大值，此時(shí)截面為正六邊形EFGHIJ.二、截線問題解析如圖，設(shè)B1C1的中點(diǎn)為E，球面與棱BB1，CC1的交點(diǎn)分別為P，Q，連接DB，D1B1，D1P，D1Q，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD為等邊三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1為等邊三角形，解析如圖所示，連接EF，A1B，連接A1C1，B1D1交于點(diǎn)M，連接B1E，BC1交于點(diǎn)N，由EF∥B1D1，即E，F(xiàn)，B1，D1共面，由P是線段A1B上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P重合于A1或B時(shí)，C1A1，C1B與平面D1EF的交點(diǎn)分別為M，N，即Q的軌跡為MN，F(xiàn)ENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A級(jí)基礎(chǔ)鞏固解析顯然命題①正確.由于三棱柱的三條平行棱不共面，②錯(cuò).命題③中，兩個(gè)平面重合或相交，③錯(cuò).三條直線兩兩相交，可確定1個(gè)或3個(gè)平面，則命題④正確.1.給出下列說法：①梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共面；②三條平行直線共面；③有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；④三條直線兩兩相交，可以確定1個(gè)或3個(gè)平面.其中正確的序號(hào)是(

) A.① B.①④ C.②③ D.③④B解析如圖，連接BE，因?yàn)锳B∥CD，所以異面直線AE與CD所成的角等于相交直線AE與AB所成的角，即為∠EAB.不妨設(shè)正方體的棱長為2，則CE＝1，BC＝2，2.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為(

)C解析

若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確.3.a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個(gè)命題中，真命題是(

)A.若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B.若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C.若a∥b，則a，b與c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，則a∥cCA.A，M，O三點(diǎn)共線B.A，M，O，A1不共面C.A，M，C，O不共面D.B，B1，O，M共面4.如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是(

)A解析

連接A1C1，AC(圖略)，則A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四點(diǎn)共面，∴A1C?平面ACC1A1，∵M(jìn)∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上.∴A，M，O三點(diǎn)共線.A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④5.下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有(

)C解析

圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，N?GH，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，G?MN，因此GH與MN異面.所以在圖②④中，GH與MN異面.解析設(shè)四面體ABCD的棱長為2，取CD的中點(diǎn)N，連接MN，BN，∵M(jìn)是棱AD的中點(diǎn)，∴MN∥AC，∴∠BMN(或其補(bǔ)角)是異面直線BM與AC所成的角.6.在各棱長均相等的四面體ABCD中，已知M是棱AD的中點(diǎn)，則異面直線BM與AC所成角的余弦值為(

)C解析因?yàn)锳B∥CD，由圖可以看出EF平行于正方體左右兩個(gè)側(cè)面，與另外四個(gè)側(cè)面相交.7.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________.4解析取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角.因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D⊥圓柱下底面，8.如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________.所以C1D⊥AD，因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形，解析如圖，過點(diǎn)B作BM∥C1E交B1C1于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作BD的平行線，交C1D1于點(diǎn)N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面α，由圖可知M，N分別為B1C1，C1D1的中點(diǎn)，9.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，平面α經(jīng)過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為________.(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面.又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？(1)求異面直線AC與A1D所成角的大小；11.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，解如圖，連接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成的角就是異面直線AC與A1D所成的角.在△AB1C中，AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.故異面直線A1D與AC所成的角為60°.解連接BD，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C