第一章 行列式

第一章行列式第一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.1

二階與三階行列式

二元線性方程組與二階行列式

用消元法解二元線性方程組(1)為消去未知數(shù)x2,以a22與a12分別乘上列兩方程的兩端，然后兩個(gè)方程相減，得類似的，消去x1,得當(dāng)時(shí)。求得方程組(1)的解為，(2)第二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.1

二階與三階行列式(2)式中的分子、分母都是四個(gè)數(shù)分別兩對(duì)相乘再相減而得，其中分母是由方程組(1)的四個(gè)系數(shù)確定的，把這四個(gè)數(shù)按它們?cè)诜匠探M(1)中的位置，排乘二行二列（橫排乘行，豎排稱列）的數(shù)表

a11

a12

a21

a22(3)表達(dá)式稱為數(shù)表(3)所確定的二階行列式，并記作(4)數(shù)aij(i=1,2;j=1,2)稱為行列式(4)的元素,元素aij的第一個(gè)下標(biāo)i

稱為行標(biāo),表明該元素位于第i行，第二個(gè)下標(biāo)j

稱為列標(biāo)，表明該元素位于第j行.第三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.1

二階與三階行列式上述二階行列式的定義，可用對(duì)角線法則來記憶。參看圖1.1，把a(bǔ)11到a22的實(shí)聯(lián)線稱為主對(duì)角線，a12到a21的虛聯(lián)線稱為副對(duì)角線，于是二階行列式便是主對(duì)角線上的兩元素之積減去副對(duì)角線上的兩元素之積所得的差。第四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.1

二階與三階行列式利用二階行列式的概念，(2)式中的x1、x2的分子也可寫成二階行列式，即記那么(2)式可寫成注意這里的分母D是由方程組(1)的系數(shù)所確定的二階行列式(稱系數(shù)行列式)，x1的分子D1是用常數(shù)項(xiàng)b1、b2替換D中x1的系數(shù)a11、a21所得的二階行列式。x2的分子D2是用常數(shù)項(xiàng)b1、b2替換D中x2的系數(shù)a12、a22所得的二階行列式。

第五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四例1求解二元線性方程組解

由于

因此

第六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.1

二階與三階行列式三階行列式

定義設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表

(5)記

(6)(6)式稱為數(shù)表(5)所確定的三階行列式

第七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.1

二階與三階行列式上述定義表明三階行列式含6項(xiàng)，每項(xiàng)均為不同行不同列的三個(gè)元素的乘積再冠以正負(fù)號(hào)，其規(guī)律遵循圖1.2所示的對(duì)角線法則：圖中有三條實(shí)線看作是平行于主對(duì)角線的聯(lián)線，三條虛線看作是平行于負(fù)對(duì)角線的聯(lián)線，實(shí)線上三元素的乘積冠正號(hào)，虛線上三元素的乘積冠負(fù)號(hào)。第八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四例2計(jì)算三階行列式解

按對(duì)角線法則，有例3求解方程解

方程左端的三階行列式由解得x=2或x=3

第九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.1

二階與三階行列式

二階、三階行列式這種規(guī)定稱為對(duì)角線法則。二階、三階行列式是一個(gè)數(shù)，即是取遍不同行不同列元素乘積的代數(shù)和，反過來一個(gè)數(shù)也可表示成某個(gè)行列式。對(duì)角線法則只適用于二階、三階行列式。比如：四階行列式

這四個(gè)數(shù)也位于不同行不同列，但對(duì)角法則不適用。第十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.2全排列，逆序數(shù)，對(duì)換

對(duì)角線法則只適用于二階、三階行列式，為研究四階或更高階行列式，下面先介紹有關(guān)全排列的知識(shí)，然后引出n階行列式的概念。1．

全排列

把n個(gè)不同的元素排成一列，叫做這n個(gè)元素的全排列（也稱作排列）①一個(gè)元素排隊(duì)，隊(duì)列只一種，

注意：1！=1②二個(gè)元素排隊(duì)，隊(duì)列有二種，注意：2！=2③n個(gè)元素排隊(duì)，采用編號(hào)（用自然數(shù)表示）

所以n個(gè)元素排隊(duì)，變成n個(gè)數(shù)排隊(duì)。第十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.2全排列，逆序數(shù)，對(duì)換

④3個(gè)數(shù)排隊(duì)，（1，2，3代表3個(gè)不同的元素）排出的隊(duì)列

共有6種。注意：3!=6

n個(gè)數(shù)的所有排列的種數(shù)，通常用Pn表示，可知這樣繼續(xù)下去，第十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.2全排列，逆序數(shù)，對(duì)換

2．逆序數(shù)設(shè)P1、P2、……Pn

為這n個(gè)自然數(shù)的一個(gè)排列，考慮元素Pi(i=1,2,……n),如果比Pi大的且排在Pi前面的元素有ti個(gè)，就說Pi這個(gè)元素的逆序數(shù)是ti。全體元素的逆序數(shù)之總和

即是這個(gè)排列的逆序數(shù)。

第十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四例4求排列32514的逆序數(shù)解在排列32514種，3排在首位，逆序數(shù)為0；2的前面比2大的數(shù)有一個(gè)（3），故逆序數(shù)為1；5是最大數(shù)，逆序數(shù)為0；1的前面比1大的數(shù)有三個(gè)（3、2、5），故逆序數(shù)為3；4的前面比4大的數(shù)有一個(gè)（5），故逆序數(shù)為1，于是這個(gè)排列得逆序數(shù)為第十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.2全排列，逆序數(shù)，對(duì)換

逆序數(shù)為奇數(shù)的排列為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列。再來看

第十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.2全排列，逆序數(shù)，對(duì)換

3．對(duì)換在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換，將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換。定理1一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性證:先證相鄰對(duì)換的情形設(shè)排列為，對(duì)換a和b,變成。顯然，；這些元素的逆序數(shù)經(jīng)過對(duì)換并不改變，而a，b兩元素的逆序數(shù)改變?yōu)椋寒?dāng)a<b時(shí)，經(jīng)對(duì)換后a的逆序數(shù)增加1而b的逆序數(shù)不變，當(dāng)a>b時(shí)，經(jīng)對(duì)換后a的逆序數(shù)不變而b的逆序數(shù)減少1。所以排列與排列的奇偶性不同。

第十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.2全排列，逆序數(shù)，對(duì)換

再證一般對(duì)換的情形設(shè)排列為，把它作m次相鄰對(duì)換，調(diào)成，再作m+1次相鄰對(duì)換，調(diào)成，總之，經(jīng)2m+1次相鄰對(duì)換，排列調(diào)成排列，所以這兩個(gè)排列的奇偶性相反。推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)。

證

由定理1知對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列（逆序數(shù)為0），因此知推論成立。

證畢。

第十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.3n階行列式的定義為了作出n階行列式的定義，先來研究三階行列式的結(jié)構(gòu)，三階行列式定義為：(6)容易看出：

（?。?6)式右邊的每一項(xiàng)都恰是三個(gè)元素的乘積，這三個(gè)元素位于不同的行、不同的列。因此,(6)式右端的任一項(xiàng)除正負(fù)號(hào)外可以寫成。這里第一個(gè)下標(biāo)（行標(biāo)）排成標(biāo)準(zhǔn)次序123，而第二個(gè)下標(biāo)（列標(biāo)）排成，它是1、2、3三個(gè)數(shù)的某個(gè)排列，這樣的排列共有6種，對(duì)應(yīng)(6)式右端共含6項(xiàng)。第十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.3n階行列式的定義（ⅱ）各項(xiàng)的正負(fù)號(hào)與列標(biāo)的排列對(duì)照：帶正號(hào)的三項(xiàng)列標(biāo)排列是：123，231，132；帶負(fù)號(hào)的三項(xiàng)列標(biāo)排列是：132，213，321；經(jīng)計(jì)算可知前三個(gè)排列都是偶排列，而后三個(gè)排列都是奇排列，因此各項(xiàng)所帶的正負(fù)號(hào)可以表示為,其中t為列標(biāo)排列的逆序數(shù)?？傊?，三階行列式可以寫成

其中t為排列的逆序數(shù)，∑表示對(duì)1、2、3三個(gè)數(shù)的所有排列取和。

第十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.3n階行列式的定義仿此，可以把行列式推廣到一般情形定義設(shè)有n2個(gè)數(shù)，排成n行n列的數(shù)表作出表中不同行不同列的n個(gè)數(shù)的乘積，并冠以符號(hào)，得到形如（7）的項(xiàng)，其中為自然數(shù)的一個(gè)排列，t為這個(gè)排列的逆序數(shù)。由于這樣的排列共有n!個(gè)，因此形如（7）式的項(xiàng)共有n!項(xiàng)。

第二十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.3n階行列式的定義所有這n!項(xiàng)的代數(shù)和

稱為n階行列式，記作簡(jiǎn)記作det(aij)。數(shù)aij稱為行列式det(aij)的元素

按此定義的二階、三階行列時(shí)，與§1中對(duì)角線法則定義的二階、三階行列時(shí)，顯然是一致的。當(dāng)n=1時(shí)，一階行列式，注意不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆。

第二十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四例5證明對(duì)角行列式（其中對(duì)角線上的元素是，未寫出的元素都是0）證第一式是顯然的，下面只證第二式。若記，則依行列式定義其中t為排列的逆序數(shù)，故

第二十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四對(duì)角線以下（上）的元素都為0的行列式叫做上（下）三角形行列式，它的值與對(duì)角行列式一樣。例6證明三角形行列式證由于當(dāng)j>i時(shí)，aij=0,故D中可能不為0的元素，其下標(biāo)應(yīng)有即在所有排列中，能滿足上述關(guān)系的排列只有一個(gè)自然排列，所以D中可能不為0的項(xiàng)只有一項(xiàng)。此項(xiàng)的符號(hào),所以第二十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.3n階行列式的定義利用定理1，下面來討論行列式定義的另一種表示法。對(duì)于行列式的任一項(xiàng)其中為自然排列，t為排列的逆序數(shù)，對(duì)換元素與成這時(shí)，這一項(xiàng)的值不變，而行標(biāo)排列與列標(biāo)同時(shí)作了一次相應(yīng)的對(duì)換。設(shè)新的行標(biāo)排列的逆序數(shù)為r,則r為奇數(shù)；設(shè)新的列標(biāo)排列的逆序數(shù)為t1,則故，于是

第二十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.3n階行列式的定義這就表明，對(duì)換乘積中兩元素的次序，從而行標(biāo)排列與列標(biāo)排列同時(shí)作了相應(yīng)的對(duì)換，則行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和并不改變奇偶性。經(jīng)一次對(duì)換是如此，經(jīng)多次對(duì)換當(dāng)然還是如此，于是，經(jīng)過若干次對(duì)換，使：

列標(biāo)排列（逆序數(shù)為t）變?yōu)樽匀慌帕校嫘驍?shù)為0）；行標(biāo)排列則相應(yīng)地從自然排列變?yōu)槟硞€(gè)新的排列，設(shè)此新排列為，其逆序數(shù)為s,則有又，若，則（即）?？梢娕帕杏膳帕兴ㄒ淮_定。第二十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.3n階行列式的定義定理2n階行列式也可定義為

其中t為行標(biāo)排列的逆序數(shù)證按行列式定義有記按上面討論知：對(duì)于D中任一項(xiàng)，總有且僅有D1中的某一項(xiàng)與之對(duì)應(yīng)并相等；反之，對(duì)于D1中的任一項(xiàng)也總有且僅有D中的某一項(xiàng)與之對(duì)應(yīng)并相等，于是D與D1中的項(xiàng)可以一一對(duì)應(yīng)并相等，從而D=D1第二十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.4行列式的性質(zhì)記

行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式。性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。

證把這兩行互換，有D=-D，故D=0。第二十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.4行列式的性質(zhì)性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個(gè)數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式。第i行（列）乘以k,記作推論行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面。第i行（列）提出公因子k,記作性質(zhì)４行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。第二十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.4行列式的性質(zhì)性質(zhì)５若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，例如則Ｄ等于下列兩個(gè)行列式之和：第二十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.4行列式的性質(zhì)性質(zhì)６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個(gè)數(shù)然后加到另一列（行）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變。例如以數(shù)ｋ乘第ｊ列加到第ｉ列上（記作），有

()（以數(shù)ｋ乘第ｊ行加到第ｉ行上，記作）第三十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.4行列式的性質(zhì)上述性質(zhì)５表明，當(dāng)某一行（列）的元素為兩數(shù)之和時(shí)，行列式關(guān)于該行（列）可分解為兩個(gè)行列使，若ｎ階行列式每個(gè)元素都表示成兩數(shù)之和，則它可分解成個(gè)行列式。例如二階行列式性質(zhì)２、３、６介紹了行列式關(guān)于行和關(guān)于列的三種運(yùn)算，即、、和、、，利用這些運(yùn)算可簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算，特別是利用運(yùn)算（）可以把行列式中許多元素化為0，計(jì)算行列式常用的一種方法就是利用運(yùn)算把行列式化為三角形行列式，從而算得行列式的值。第三十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四例7計(jì)算解上述解法中,先用了運(yùn)算,其目的是把a(bǔ)11換成1，從而利用運(yùn)算,即可把a(bǔ)i1(i=2,3,4)變成0，如果不先作，則由于原式中a11=3,需用運(yùn)算把a(bǔ)i1變成0，這樣計(jì)算時(shí)就比較麻煩，第二步把和寫在一起，這是兩次運(yùn)算，并把第一次運(yùn)算結(jié)果的書寫省略了。第三十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四例8計(jì)算解這個(gè)行列式的特點(diǎn)是各列4個(gè)數(shù)之和都是6，今把第2、3、4行同時(shí)加到第1行，提出公因子6，然后各行減去第一行：第三十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四例9計(jì)算解從第4行開始，后行減前行：第三十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.4行列式的性質(zhì)上述諸例中都用到把幾個(gè)運(yùn)算寫在一起的省略寫法，這里要注意各個(gè)運(yùn)算的次序一般不能顛倒，這是由于后一次運(yùn)算是作用于前一次運(yùn)算結(jié)果上的緣故。例如可見兩次運(yùn)算當(dāng)次序不同時(shí)所得結(jié)果不同。忽視后一次運(yùn)算是作用在前一次運(yùn)算的結(jié)果上，就會(huì)出錯(cuò)，例如這樣的運(yùn)算是錯(cuò)誤的，出錯(cuò)的原因在于第二次運(yùn)算找錯(cuò)了對(duì)象。第三十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.4行列式的性質(zhì)此外還要注意運(yùn)算與的區(qū)別，記號(hào)不能寫作（這里不能套用加法的交換律）。上述諸例都是利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，用歸納法不難證明（這里不證）任意n階行列式總能利用運(yùn)算化為上三角行列時(shí)，或化為下三角行列式（這時(shí)要先把化為0），類似的，利用列運(yùn)算也可把行列式化為上三角形行列式或下三角形行列式。第三十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四例10設(shè)證明D=D1D2證對(duì)D1作運(yùn)算，把D1化為下三角形行列，設(shè)為對(duì)D2作運(yùn)算，把D2化為下三角行列式，設(shè)為第三十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四于是，對(duì)D的前k行作運(yùn)算，再對(duì)后n列作運(yùn)算,把D化為下三角形行列式故第三十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.5行列式按行(列)展開一般說來，低階行列式的計(jì)算比高階行列式的計(jì)算要簡(jiǎn)便，于是，我們自然地考慮用低階行列式來表示高階行列式的問題，為此，先引進(jìn)余子式和代數(shù)余子式的概念。在n階行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素aij的余子式，記作Mij

；記叫做元素aij的代數(shù)余子式。第三十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.5行列式按行(列)展開定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素與對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。即；或推論行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零?；虻谒氖摚参迨?，編輯于2023年，星期四§1.5行列式按行(列)展開下面用此法則來計(jì)算例7的保留a33,把第3行其余元素變?yōu)?，然后按第3行展開：第四十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.5行列式按行(列)展開練習(xí)例12證明范德蒙德（Vandermonde）行列式

（8）其中記號(hào)“”表示全體同類因子的乘積第四十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四證用數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)樗援?dāng)n=2時(shí)（8）式成立?，F(xiàn)在假設(shè)（8）式對(duì)于n-1階范德蒙德行列式成立，要證（8）式對(duì)n階范德蒙德行列式也成立。為此，設(shè)法把Dn降階：從第n行開始，后行減去前行的x1

倍，有按第1列展開，并把每列的公因子提出，就有上式右端的行列式是n-1階范德蒙德行列式，按歸納法假設(shè)，它等于所有因子的乘積，其中。故

第四十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.5行列式按行(列)展開綜合定理3及其推論，有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：或其中第四十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.6克拉默法則含有n個(gè)未知數(shù)的n個(gè)線性方程的方程組

（9）與二、三元線性方程組相類似，它的解可以用n階行列式表示，即有第四十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四§1.6克拉默法則克拉默法則如果線性方程組（9）的系數(shù)行列式不等于零，即那么，方程組（9）有唯一解（10）其中是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列時(shí)，即第四十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四例13解線性方程組解§1.6克拉默法則第四十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，