積分求導(dǎo)順序可換

積分求導(dǎo)順序可換第一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一本節(jié)研究形如的含參變量廣義積分的連續(xù)性、可微性與可積性。下面只對無窮限積分討論，無界函數(shù)的情況可類似處理。第二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一設(shè)是定義在無界區(qū)域上,若對每一個固定的,反常積分都收斂,則它的值是在區(qū)間上取值的函數(shù),表為稱為定義在上的含參量的無窮限反常積分,或簡稱為含參量反常積分.第三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一對于含參量反常積分和函數(shù)則稱含參量反常積分在上一致收斂于.第四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一

一致收斂的柯西準則:含參量反常積分在上一致收斂的充要第五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一

一致收斂的充要條件;含參量反常積分在上一致收斂的充要條件是:對任一趨于的遞增數(shù)列(其中),函數(shù)項級數(shù)在一致收斂.第六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一

魏爾斯特拉斯M判別法:設(shè)有函數(shù),使得第七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一魏爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法若一致收斂。證明因為收斂，所以由廣義積分一致收斂的柯西準則，有且收斂，則關(guān)于第八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一從而所以關(guān)于一致收斂。第九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一魏爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法若一致收斂。證明因為收斂，所以由廣義積分一致收斂的柯西準則，有且收斂，則關(guān)于第十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一從而所以關(guān)于一致收斂。第十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例1在內(nèi)一致收斂解因為而積分收斂，所以在內(nèi)一致收斂第十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一

狄利克雷判別法;第十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一

阿貝耳判別法:第十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一二、一致收斂積分的性質(zhì)1.連續(xù)性定理因為在內(nèi)一致收斂，所以證明因此，當時，設(shè)在上連續(xù)，關(guān)于在上一致收斂，則一元函數(shù)在上連續(xù)。第十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一又在上連續(xù)，所以作為的函數(shù)在連續(xù)，于是從而，當時，有定理證畢。第十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一2.積分順序交換定理設(shè)在上連續(xù)，關(guān)于在上一致收斂，則在可積，并且第十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一3.積分號下求導(dǎo)的定理設(shè)在上連續(xù)，收斂，關(guān)于在上一致收斂，則在可導(dǎo)，且第十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一證明因為在連續(xù)，由連續(xù)性定理在連續(xù)，

沿區(qū)間積分，由積分順序交換定理，得到在上式兩端對求導(dǎo)，得定理證畢。第十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一

連續(xù)性即:第二十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一

可微性可微性定理表明在定理條件下,求導(dǎo)運算和積分運算可以交換.即第二十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一

可積性第二十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一含參量反常積分在上一致收斂.證明反常積分在上一致收斂.第二十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一證明含參量反常積分在上一致收斂.在上一致收斂.第二十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一證明含參量反常積分在上一致收斂.含參量反常積分在上一致收斂.第二十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例4證明證（1）用分段處理的方法.

第二十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一因為

第二十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一第二十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例4計算積分

解

第二十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例5利用積分號下求導(dǎo)求積分

解因為

因為

故

第三十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一由數(shù)學(xué)歸納法易證于是

第三十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例6計算積分

解

令

第三十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一在第二項積分中令

得故

第三十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一(2),含參量反常積分一致收斂的定義;(1),含參量反常積分的定義;(3),含參量反常積分一致收斂的判別;