初中數(shù)學(xué)滬科版八年級下冊四邊形19．3矩形菱形正方形1正方形八年級數(shù)學(xué)下冊同步備課

19.3矩形、菱形、正方形第5課時正方形第19章四邊形滬科版八年級下學(xué)期課件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索并證明正方形的性質(zhì)，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；(重點、難點)2．探索并證明正方形的判定，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；(重點、難點)3．會運用正方形的性質(zhì)及判定條件進行有關(guān)的論證和計算.(難點)導(dǎo)入新課觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.情景引入你還能舉出其他的例子嗎？講授新課

矩形〃〃問題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發(fā)現(xiàn)？問題引入正方形的性質(zhì)一正方形問題2菱形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發(fā)現(xiàn)？正方形鄰邊相等矩形〃〃正方形〃〃

菱形一個角是直角正方形∟正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形.歸納總結(jié)取一張長方形紙片,對折兩次,并沿圖(3)中的斜線剪開,把剪下的1這部分展開,平鋪在桌面上.(1)(2)(3)問剪出的這個圖形是哪一種四邊形?45°（情景引入2.把一個長方形紙片如圖那樣折一下，就可以裁出是什么四邊形紙片？ABCD正方形就在身邊勾股定理1．正方形的定義由正方形的定義可知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角為直角的菱形.如圖(1).有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.活動1：探究正方形的性質(zhì)合作探究

正方形性質(zhì):

邊

對邊平行四邊相等

角：四個角都是直角對角線相等互相垂直平分每條對角線平分一組對角

ABDCO

正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.正方形的性質(zhì)=菱形性質(zhì)矩形性質(zhì)正方形是中心對稱圖形,對稱中心為點O.它也是軸對稱圖形,有4條對稱軸.(1)它具有平行四邊形的一切性質(zhì)兩組對邊分別平行且相等，兩組對角相等，對角線互相平分(2)具有矩形的一切性質(zhì)四個角都是直角，對角線相等(3)具有菱形的一切性質(zhì)四條邊相等；對角線互相垂直，每條對角線平分一組對角OABCD(A)(B)(C)(D)知識要點2.特征1.對稱軸正方形是一個完美的圖形從圖中可看出，⑴在正方形中產(chǎn)生了哪些特殊圖形？⑵產(chǎn)生了哪些特殊角？DOABC4504504504504504504504504個全等的小等腰直角三角形和4個全等的大等腰直角三角形.900和450正方形圖形“廬山真面目”例1（1）已知：正方形ABCD對角線AC、BD相交于點O，且AB＝2cm,如右圖.則AC=_______cm,面積S=________cm2.4(2)正方形ABCD的面積是9cm2.則AB=_______,AC=___________.3cmABDCO例2如圖在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，則PE和PC的長度之和最小可達到_____________.ABCDEFGP提示由于正方形是軸對稱圖形，對角線BD是它的對稱軸，點A與點C是對稱點，因此AE的長就是PE和PC長度和的最小值.怎樣判定一個矩形是正方形？怎樣判定一個菱形是正方形？怎樣判定一個平行四邊形是正方形？

活動2：探究正方形的判定

1.定義法：2.矩形法：4.對角線法：你能總結(jié)出正方形有哪些判定方法嗎？一鄰邊相等一個直角++平行四邊形=正方形3.菱形法：一鄰邊相等+矩形=正方形一個直角+菱形=正方形互相平分+互相垂直相等+=正方形例3

滿足下列條件的四邊形是不是正方形？為什么？（1）對角線互相垂直且相等的平行四邊形；（2）對角線互相垂直的矩形；（3）對角線相等的菱形；（4）對角線互相垂直平分且相等的四邊形.解：(1)是正方形，根據(jù)平行四邊形判定法；(2)是正方形，根據(jù)矩形判定法.(3)是正方形,根據(jù)菱形判定法.(4)是正方形，根據(jù)上述其中一個判定方法皆可.7777例4

下列三個圖形都是正方形,你相信嗎?55555555

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.

既是菱形又是矩形的四邊形是正方形.

兩條對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.例5

已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求證：四邊形CFDE是正方形．提示即用矩形法.即先證四邊形CFDE是矩形；再證DF=DE.例5

已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求證：四邊形CFDE是正方形．證明：∵∠C=90°，DE⊥BC于E，

DF⊥AC于F∴四邊形CEDF有三個直角，它是矩形又∵CD平分∠ACB根據(jù)角平分線上的點都兩邊的距離相等，可知DE=DF，所以矩形CEDF有一組鄰邊相等根據(jù)正方形的判定方法，知四邊形CEDF是正方形想一想：你能用另外一種方法完成證明嗎？思考：正方形與平行四邊形、矩形、菱形之間的關(guān)系有怎樣的包含關(guān)系？請?zhí)钊胂聢D中.菱形正方形矩形正方形判定的幾條途徑：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件(二選一)菱形條件(二選一)一個直角，一組鄰邊相等，總結(jié)歸納對角線相等對角線垂直平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠DAB=∠BCDC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC練一練CABCDO例4在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個角是直角即可.在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,

AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，

∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB

，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四邊形ADFC是矩形.過點D作DG⊥AB，垂足為G.∵AD是∠CAB的平分線DE⊥AC，DG⊥AB，∴DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴四邊形ADFC是正方形.例5如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D.DE⊥AC，DF⊥AB.求證:四邊形CEDF為正方形.ABCDEFG例6如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,BACDOEHGF∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO+GO=FO+HO

,即EG=HF,∴四邊形EFGH為正方形.BACBOEHGF例7

如圖，正方形ABCD，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．（1）求證：BF=DE；（2）當(dāng)點E運動到AC中點時(其他條件都保持不變)，問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說明理由．（1）證明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠DAE＝∠BAF，AE＝AF

,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE.（2）解：當(dāng)點E運動到AC的中點時四邊形AFBE是正方形.理由：∵點E運動到AC的中點，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=AC，∵AF=AE，∴BE=AF=AE.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴四邊形AFBE為平行四邊形AFBE，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四邊形AFBE是正方形．思考前面學(xué)菱形時我們探究了順次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形.順次連接矩形各邊中點能得到菱形，那么順次連接正方形各邊中點能得到怎樣的特殊平行四邊形？ABCDABCDA