遼寧省沈陽(yáng)市第12024屆數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

遼寧省沈陽(yáng)市第12024屆數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下圖稱為弦圖，是我國(guó)古代三國(guó)時(shí)期趙爽為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)為證明勾股定理所繪制，我們新教材中利用該圖作為“（）”的幾何解釋A.如果，，那么B.如果，那么C.對(duì)任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立D.如果，那么2．如圖，已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為a，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，依此方法一直繼續(xù)下去，則所有這些正方體的體積之和將趨近于（）A. B.C. D.3．若等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，，則（）A.10 B.12C.14 D.164．對(duì)于兩個(gè)平面、，“內(nèi)有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．某海關(guān)緝私艇在執(zhí)行巡邏任務(wù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)其所在位置正西方向20nmile處有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏東30°的方向逃竄，若緝私艇突然發(fā)生機(jī)械故障，20min后才以的速度開(kāi)始追趕，則在走私船只不改變航向和速度的情況下，緝私艇追上走私船只的最短時(shí)間為（）A.1h B.C. D.6．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且，則（）A.12 B.4C.6 D.87．已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有成立，則不等式的解集是（）A. B.C. D.8．直線平分圓的周長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（）A.5 B.C.3 D.9．一部影片在4個(gè)單位輪流放映，每個(gè)單位放映一場(chǎng)，不同的放映次序有（）A.種 B.4種C.種 D.種10．設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)總能作圓的切線，則的最大值為（）A. B.1C. D.11．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A.（） B.（）C.（） D.（）12．已知向量，則（）A.5 B.6C.7 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫(xiě)出直線一個(gè)方向向量______14．已知球的表面積為,則該球的體積為_(kāi)_____.15．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），_________16．若直線與直線平行，且原點(diǎn)到直線的距離為，則直線的方程為_(kāi)___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，C是以為直徑的圓上異于的點(diǎn)，平面平面分別是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角的正切值為2，求銳二面角的余弦值.18．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且圓C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線與圓C交于A，B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O）兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，試問(wèn)直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)且（為原點(diǎn)），求直線的斜率20．（12分）設(shè)數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為（1）若，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（2）若，，成等差數(shù)列，求q的值并證明：存在互不相同的正整數(shù)m，n，p，使得，，成等差數(shù)列；（3）若存在正整數(shù)，使得數(shù)列，，…，在刪去以后按原來(lái)的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列，求所有數(shù)對(duì)所構(gòu)成的集合，21．（12分）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且.(1)分別求直線，的方程；(2)設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，求外接圓的方程.22．（10分）已知函數(shù)（1）求在點(diǎn)處的切線方程（2）求直線與曲線圍成的封閉圖形的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】設(shè)圖中直角三角形邊長(zhǎng)分別為a，b，則斜邊為，則可表示出陰影面積和正方形面積，根據(jù)圖象關(guān)系，可得即可得答案.【題目詳解】設(shè)圖中全等的直角三角形的邊長(zhǎng)分別為a，b，則斜邊為，如圖所示：則四個(gè)直角三角形的面積為，正方形的面積為，由圖象可得，四個(gè)直角三角形面積之和小于等于正方形的面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C2、D【解題分析】由已知可判斷出所有這些正方體的體積構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，然后求和可得答案.【題目詳解】最底層上面第一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為，其體積為，上面第二個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為，其體積為，上面第三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為，其體積為，所有這些正方體的體積構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，當(dāng)，，所以所有這些正方體的體積之和將趨近于.故選：D.3、B【解題分析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)計(jì)算即可.【題目詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得成等差數(shù)列，，即，得.故選：B.4、B【解題分析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【題目詳解】充分性：若內(nèi)有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)到的距離相等，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個(gè)點(diǎn)到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.5、A【解題分析】設(shè)小時(shí)后，相遇地點(diǎn)為，在三角形中根據(jù)題目條件得出，再在三角形中，由勾股定理即可求出.【題目詳解】以緝私艇為原點(diǎn)，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系.圖中走私船所在位置為，設(shè)緝私艇追上走私船的最短時(shí)間為，相遇地點(diǎn)為.則，走私船以的速度向北偏東30°的方向逃竄，60°.因?yàn)?0min后緝私艇才以的速度開(kāi)始追趕走私船，所以20min走私船行走了，到達(dá).在三角形中，由余弦定理知：，則，所以.在三角形中，，，有：，化簡(jiǎn)得：，則.緝私艇追上走私船只的最短時(shí)間為1h.故選：A.點(diǎn)睛】6、B【解題分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求出公差.【題目詳解】，所以.故選：B7、A【解題分析】構(gòu)造函數(shù)，分析該函數(shù)的定義域與奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上為增函數(shù)，從而可知該函數(shù)在上為減函數(shù)，綜合可得出原不等式的解集.【題目詳解】令，則函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，由等價(jià)于或：當(dāng)時(shí)，由可得；當(dāng)時(shí)，由可得.綜上所述，不等式的解集為.故選：A.8、B【解題分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【題目詳解】由，所以該圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€平分圓的周長(zhǎng)，所以圓心在直線上，故，因此，，所以有，所以，故選：B9、C【解題分析】根據(jù)題意得到一部影片在4個(gè)單位輪流放映，相當(dāng)于四個(gè)單位進(jìn)行全排列，即可得到答案.【題目詳解】一部影片在4個(gè)單位輪流放映，相當(dāng)于四個(gè)單位進(jìn)行全排列，所以不同的放映次序有種，故選：C10、D【解題分析】根據(jù)題意，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得的最大值.【題目詳解】因?yàn)檫^(guò)過(guò)總能作圓的切線，故點(diǎn)在圓外或圓上，也即直線與圓相離或相切，則，即，解得，故的最大值為.故選：D.11、A【解題分析】根據(jù)題意，求得的外心，再根據(jù)外心的性質(zhì)，以及重心的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，即可求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，故的斜率，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故的垂直平分線的方程為，即，故△的外心坐標(biāo)即為與的交點(diǎn)，即，不妨設(shè)點(diǎn)，則，即；又△的重心的坐標(biāo)為，其滿足，即，也即，將其代入，可得，，解得或，對(duì)應(yīng)或，即或，因?yàn)榕c點(diǎn)重合，故舍去.故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.12、A【解題分析】利用空間向量的模公式求解.【題目詳解】因向量，所以，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】本題可先將直線的一般式化為斜截式，然后根據(jù)斜率即可得到直線的一個(gè)方向向量.【題目詳解】由題意可知，直線可以化為，所以直線的斜率為，直線的一個(gè)方向向量可以寫(xiě)為.故答案為：.14、【解題分析】設(shè)球半徑為，由球表面積求出，然后可得球的體積【題目詳解】設(shè)球半徑為，∵球的表面積為，∴，∴，∴該球的體積為故答案為【題目點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時(shí)由條件求得球的半徑后可得所求結(jié)果15、3【解題分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式，所以.故答案為：3.16、【解題分析】可設(shè)直線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得，即可得解.【題目詳解】可設(shè)直線的方程為，即，則原點(diǎn)到直線的距離為，解得，所以直線的方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】（1）由分別是的中點(diǎn)，得到，在由是圓的直徑，所以，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，證得面，即可證得面；（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，過(guò)C垂直于面直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：在，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槭菆A的直徑，所以，又由平面平面，平面平面，且平面，所以面，因?yàn)椋悦?【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知面，所以直線與平面所成角為，由題意知，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，過(guò)C垂直于面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，，設(shè)面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)面的法向量為，則，取，可得，所以，則，所以銳二面角的余弦值為.18、（1）（2）過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為【解題分析】（1）設(shè)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意列出方程從而可得答案.（2）設(shè)，，將直線的方程與圓C的方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由條件可得，從而得出答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意可得解得，，.故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，.聯(lián)立整理的，則，，故.因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以，即則，化簡(jiǎn)得.當(dāng)時(shí)，直線，直線l過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)不滿足以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).所以，則，則直線過(guò)定點(diǎn).19、（1）（2）或【解題分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓方程.（2）設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)求得直線的斜率.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，．所以，橢圓的方程為小問(wèn)2詳解】由題意，設(shè)．設(shè)直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立整理得，可得，代入得，進(jìn)而直線的斜率．在中，令，得，所以直線的斜率為由，得，化簡(jiǎn)得，從而所以，直線的斜率為或20、（1）（2）,證明見(jiàn)解析.（3）不存在，【解題分析】（1）數(shù)列為首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得出結(jié)果；（2），，成等差數(shù)列，則+=2，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計(jì)算可解得，進(jìn)而計(jì)算可得，即可判斷結(jié)果；（3）由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來(lái)的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列,則，解方程組可得無(wú)解，則所有數(shù)對(duì)所構(gòu)成的集合為.【小問(wèn)1詳解】，，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，，數(shù)列為，數(shù)列為首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問(wèn)2詳解】，，成等差數(shù)列，+=2，當(dāng)時(shí),+=,2,不符題意舍去，當(dāng)時(shí)，.,即，，，（舍）或即，存在互不相同的正整數(shù)，使得，，成等差數(shù)列，，，.【小問(wèn)3詳解】由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來(lái)的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列,則，,即，解得：方程組無(wú)解.即符合條件的不存在，所有數(shù)對(duì)所構(gòu)成的集合為.21、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)式即可求出直線l1的方程，根據(jù)直線垂直的關(guān)系即可求l2的方程；（2）先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)三角形的長(zhǎng)度關(guān)系知道三角形是以AC為斜邊長(zhǎng)的直角三角形，故AC的中點(diǎn)即為外心，AC即為直徑.解析：(1)∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴，設(shè)直線的方程為，∴，∴.(2)，即：，∴，的中點(diǎn)為，∴的外接圓的圓心為，半徑為，∴外接圓的方程為：.點(diǎn)睛：這