2023學年完整公開課版菱形的判定

復習與回顧：想一想：1.菱形、矩形的定義？2.它們分別比平行四邊形多了哪些性質？3.怎樣判定一個四邊形是矩形？

矩形與菱形

矩形

菱形定義有一角是直角的平行四邊形叫做矩形.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.平行四邊形的性質性質邊角對角線四個角都是直角相等互相垂直且平分每一組對角判定有一角是直角的平行四邊形對角線相等的平行四邊形三個角都是直角的四邊形四條邊都相等菱形的判定想一想

同學們想一想，我們在學習平行四邊形的判定和矩形的判定時，我們首先想到的第一種方法是什么？那么類比著它們，菱形的第一種判定方法是什么？一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.根據(jù)定義得：ABCD還有什么方法嗎?探究一

用一長一短兩根細木條,在它們的中點處固定一個小釘,做成一個可以轉動的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個四邊形.轉動木條,這個四邊形什么時候變成菱形?猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.ABCD已知：在中，AC⊥BDABCDABCD求證：是菱形證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC又∵AC⊥BD;∴BA=BC∴ABCD是菱形O如圖，ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O，AB=5，AC=8，DB=6求證:四邊形ABCD是菱形.ABCDO∴四邊形ABCD是菱形.∴OA=OC=4OB=OD=3證明:∵AB=5∴∴AC⊥BD∴∠AOB=∵四邊形ABCD是平行四邊形（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形應用新知(平行四邊形的對角線互相平分)(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形).先畫兩條等長的線段AB、AD，然后分別以B、D為圓心，AB為半徑畫弧，得到兩弧的交點C，連接BC、CD，就得到了一個四邊形，猜一猜，這是什么四邊形？你根據(jù)什么方法能判定是菱形嗎？有四條邊相等的四邊形是菱形。ABCDO∵在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA∴四邊形ABCD是菱形.探究二歸納菱形常用的判定方法：1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.有四條邊相等的四邊形是菱形.

1.判斷下列說法是否正確？為什么？(1)對角線互相垂直的四邊形是菱形；(2)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；(3)對角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的四邊形是菱形；(4)兩條鄰邊相等，且一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形．√

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做一做2.□ABCD的對角線AC與BD相交于點O，

（1）若AB=AD，則□ABCD是

形；

（2）若AC=BD，則□ABCD是

形；

（3）若∠ABC是直角，則□ABCD是

形；

（4）若∠BAO=∠DAO，則□ABCD是

形。ABCDO菱矩矩菱做一做3.下列命題中正確的是（）A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形B.三條邊相等的四邊形是菱形C.四條邊相等的四邊形是菱形D.四個角相等的四邊形是菱形C4.對角線互相垂直且平分的四邊形是（）A.矩形B.一般的平行四邊形C.菱形D.以上都不對C5.下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A.AC⊥BD,AC與BD互相平分B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BDD.AB=CD,AD=BC,AC⊥BDC做一做請你動腦筋把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，你能判斷重疊部分ABCD的形狀嗎？ACDB思考:DCBA一組鄰邊相等對角線互相垂直四條邊相等五種判定方法四邊形平行四邊形菱形菱形的判定方法：小結：1.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點E,DF∥AB交AC于點F.試問四邊形AEDF是菱形嗎？說明你的理由。習題鞏固：ABCDEF123四邊形AEDF是菱形理由：∵DE∥ACDF∥AB∴四邊形AEDF是平行四邊形∵DE∥AC∴∠2=∠3∵AD是△ABC的角平分線∴∠1=∠2∴AE=DE∴□AEDF是菱形已知如圖，AD是的角平分線，DE∥AC，DF∥AB.

證明：四邊形AEDF是菱形。

對于這道，小林是這樣證明的。

證明：∵AD平分，∴∠1＝∠2,∵DE∥AC，∴∠2＝∠3∵DF∥AB，∴∠1＝∠4又有AD=AD,∴△AED≌△AFD.∴AE＝AF,DE=DF.∴四邊形AEDF是菱形.

老師說小林的解題過程有錯誤，你能看出來嗎？

⑴請你幫小林指出他的錯誤是什么？（先在解答過程中劃出來，再說明他錯誤的原因）

⑵請你幫小林做出正確的解答。ABCDOE2.如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC,CE∥BD.求證：四邊形OCED是菱形3.如圖，△ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點D，交AC于點O，CE∥AB交MN于點E，連接AE、CD.求證：四邊形ADCE是菱形BCADOEMN如圖，Rt△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于E，又點F在DE的延長線上，且AF=CE，求證：四邊形ACEF是菱形。ABCDEF如下圖在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于C，EF⊥BC于F，四邊形AEFG是菱形嗎?2.如圖，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直線AB上，且AE=AB=BF，證明:CE⊥DF.ABFNDMEC習題鞏固：邊：角：對角線：四邊相等對角線平分一組對角對角線互相垂直平分菱形的性質有：1.兩條對角線互相平分2.四條邊都相等3.每條對角線平分一組對角判定定理1：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形∵ABCDAB=BC∴四邊形ABCD是菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形∵ABCDAC⊥BD∴四邊形ABCD是菱形ABCDO判定定理3：四條邊都相等的四邊形是菱形∵AB=BC=CD=AD∴四邊形ABCD是菱形判定定理4：每條對角線平分一組對角的四邊形是菱形∵AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC∴四邊形ABCD是菱形問：如何證明判定定理2和判定定理3呢？已知ABCD中，對角線AC、BD互相垂直，求證：四邊形ABCD是菱形．證明：在中，OA＝OC（①）．又∵AC⊥BD，∴BD所在直線是線段AC的垂直平分線，∴AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形（②）．ABCD例已知:矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點E、F，求證:四邊形AFCE是菱形證明 ∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥FC（①）∴∠1＝∠2．（②）∵EF平分AC，∴AO＝OC．又∵∠AOE＝∠COF＝90°，∴△AOE≌△COF（③），∴EO＝FO，∴四邊形AFCE是平行四邊形（④）又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形（⑤）已知：AB=BC=CD=DA求證：四邊形ABCD是菱形ABCD∵AB=CD,BC=AD∴四邊形ABCD是平行四邊形∵AB=CD∴四邊形ABCD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）拓展由菱形的性質：“每條對角線平分一組對角”，我們還可以得到判定菱形的方法：每條對角線平分一組對角的四邊形是菱形．對此感興趣的同學，可以試著用邏輯推理的方法進行證明．菱形的證明方法判定定理1：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定定理3：四條邊都相等的四邊形是菱形判定定理4：每條對角線平分一組對角的四邊形是菱形P116練習1．證明：四條邊都相等的四邊形是菱形．2．將一張矩形的紙對折再對折，然后沿著圖中的虛線剪下，打開，你發(fā)現(xiàn)這是一個什么樣的圖形呢？說說你的理由.見前面解：是菱形，因為這個四邊形的對角線相互垂直平分行。練習1、下列說法正確的是（）A、鄰角相等的四邊形是菱形B、有一組鄰邊相等的四邊形是菱形C、對角線互相垂直的四邊形是菱形D、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形D2、如圖，在四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O，且AO=3，BO=4，AB=5。求證：四邊形ABCD是菱形。ABCDO證明：∵AO=3，BO=4，AB=5∴AB2=AO2+BO2∴△OAB是直角三角形∴AC⊥BD又∵四邊形ABCD是平行四邊形∴四邊形ABCD是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)3.判斷對錯：（1）對角線互相垂直的四邊形是菱形。（）（2）對角線垂直且平分的四邊形是菱形。（）（3）對角線垂直的矩形是菱形。（）（4）對角線垂直且相等的四邊形是菱形。（）（5）有一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形。（）ABCDP116習題20.31．如圖，AD是△ABC的一條角平分線，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F.求證四邊形AEDF是菱形.證明：∵DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F∴四邊形AEDF是平行四邊形且∠EDA=∠DAF∵AD是△ABC的一條角平分線∴∠EAD=∠DAF∴∠EDA=∠EAD∴EA=ED（等角對等邊）∴四邊形AEDF是菱形.(有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）2．如圖，△ABC中，AB＝AC，點D是BC的中點，DE⊥AC于E，DG⊥AB于G，EK⊥AB于K，GH⊥AC于H，EK和GH相交于點F．求證：四邊形DEFG是菱形．證明：∵DE⊥AC于E，GH⊥AC于H∴DE∥GH∵DG⊥AB于G,EK⊥AB于K∴DG∥EK∴四邊形DEFG是平行四邊形∵AB＝AC∴∠B=∠C∵點D是BC的中點∴