直線方程及圓、橢圓、雙曲線、拋物線定義、性質(zhì)及標準方程

PAGEPAGE4直線方程及圓、橢圓、雙曲線、拋物線定義、性質(zhì)及標準方程歸納整理：杜響1.斜率公式（、）.2.直線的五種方程（1）點斜式(直線過點，且斜率為)．（2）斜截式(b為直線在y軸上的截距).（3）兩點式()(、()).(4)截距式(分別為直線的橫、縱截距，)（5）一般式(其中A、B不同時為0).3.兩條直線的平行和垂直(1)若，①;②.(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,①；②；4.夾角公式(1).(，,)(2).(,,).直線時，直線l1與l2的夾角是.5.到的角公式(1).(，,)(2).(,,).直線時，直線l1到l2的角是.6．四種常用直線系方程(1)定點直線系方程：經(jīng)過定點的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù);經(jīng)過定點的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)．(2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線,的交點的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數(shù)．(3)平行直線系方程：直線中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量．(4)垂直直線系方程：與直線(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量．83.點到直線的距離(點,直線：).7.或所表示的平面區(qū)域設直線，則或所表示的平面區(qū)域是：若，當與同號時，表示直線的上方的區(qū)域；當與異號時，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.若，當與同號時，表示直線的右方的區(qū)域；當與異號時，表示直線的左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左.8.或所表示的平面區(qū)域設曲線（），則或所表示的平面區(qū)域是：所表示的平面區(qū)域上下兩部分；所表示的平面區(qū)域上下兩部分.9.圓的四種方程（1）圓的標準方程.（2）圓的一般方程(＞0).（3）圓的參數(shù)方程.（4）圓的直徑式方程(圓的直徑的端點是、).10.圓系方程(1)過點,的圓系方程是,其中是直線的方程,λ是待定的系數(shù)．(2)過直線:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．(3)過圓:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．11.點與圓的位置關系點與圓的位置關系有三種若，則點在圓外;點在圓上;點在圓內(nèi).12.直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系有三種:;雙曲線的定義、方程和性質(zhì)定義（1）第一定義：平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之差的絕對值等于定長2a（小于|F1F2|）的點的軌跡叫雙曲線。說明：①|(zhì)|PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）是雙曲線；若2a=|F1F2|，軌跡是以F1、F2為端點的射線；2a>|F1F2|時無軌跡。②設M是雙曲線上任意一點，若M點在雙曲線右邊一支上，則|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在雙曲線的左支上，則|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，這是與橢圓不同的地方。（2）第二定義：平面內(nèi)動點到定點F的距離與到定直線L的距離之比是常數(shù)e（e>1）的點的軌跡叫雙曲線，定點叫焦點，定直線L叫相應的準線。雙曲線的方程及幾何性質(zhì)標準方程圖形焦點F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c）頂點A1（a，0），A2（-a，0）A1（0，a），A2（0，-a）對稱軸實軸2a，虛軸2b，實軸在x軸上，c2=a2+b2實軸2a，虛軸2b，實軸在y軸上，c2=a2+b2離心率準線方程準線間距離為準線間距離為漸近線方程幾個概念等軸雙曲線：實、虛軸相等的雙曲線。等軸雙曲線的漸近線為y=±x，離心率為。共軸雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸雙曲線，例：的共軸雙曲線是。雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。但有共同的漸近線的兩雙曲線，不一定是共軸雙曲線；②雙曲線和它的共軸雙曲線的四個焦點在同一個圓周上。拋物線標準方程與幾何性質(zhì)一、拋物線定義的理解平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點為拋物線的焦點，定直線為拋物線的準線。注：=1\*GB3①定義可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點設為；一定點（即焦點）；一定直線（即準線）；一定值1（即動點到定點的距離與它到定直線的距離之比1）=2\*GB3②定義中的隱含條件：焦點不在準線上。若在上，拋物線退化為過且垂直于的一條直線=3\*GB3③圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點和定直線的距離之比為常數(shù)的點的軌跡，當時，表示橢圓；當時，表示雙曲線；當時，表示拋物線。=4\*GB3④拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準線三者之間的距離關系，在解題中常將拋物線上的動點到焦點距離（稱焦半徑）與動點到準線距離互化，與拋物線的定義聯(lián)系起來，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化。二、拋物線標準方程1．拋物線標準方程建系特點：以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為一條坐標軸建立直角坐標系，這樣使標準方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數(shù)項，形式更為簡單，便于應用。2．四種標準方程的聯(lián)系與區(qū)別：由于選取坐標系時，該坐標軸有四種不同的方向，因此拋物線的標準方程有四種不同的形式。拋物線標準方程的四種形式為：，，其中：=1\*GB3①參數(shù)的幾何意義：焦參數(shù)是焦點到準線的距離，所以恒為正值；值越大，張口越大；等于焦點到拋物線頂點的距離。=2\*GB3②標準方程的特點：方程的左邊是某變量的平方項，右邊是另一變量的一次項，方程右邊一次項的變量與焦點所在坐標軸的名稱相同，一次項系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向，即對稱軸為軸時，方程中的一次項變量就是，若的一次項前符號為正，則開口向右，若的一次項前符號為負，則開口向左；若對稱軸為軸時，方程中的一次項變量就是，當?shù)囊淮雾椙胺枮檎?，則開口向上，若的一次項前符號為負，則開口向下。三、求拋物線標準方程求拋物線方程時，要依據(jù)題設條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標準方程.=1\*GB3①待定系數(shù)法：因拋物線標準方程有四種形式，若能確定拋物線的形式，需一個條件就能解出待定系數(shù)，因此要做到“先定位，再定值”。注：當求頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線時，若不知開口方向，可設為或，這樣可避免討論。=2\*GB3②拋物線軌跡法：若由已知得拋物線是標準形式，可直接設其標準式；若不確定是否是標準式，由已知條件可知曲線的動點的規(guī)律，一般用軌跡法求之。四、拋物線的簡單幾何性質(zhì)方程設拋物線性質(zhì)焦點范圍對稱性頂點離心率準線通徑關于軸對稱原點注：=1\*GB3①焦點的非零坐標是一次項系數(shù)的；=2\*GB3②對于不同形式的拋物線，位置不同，其性質(zhì)也有所不同，應弄清它們的異同點，數(shù)形結(jié)合，掌握方程與有關特征量，有關性質(zhì)間的對應關系，從整體上認識拋物線及其性質(zhì)。五、直線與拋物線有關問題1．直線與拋物線的位置關系的判斷：直線與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去或化得形如（*）的式子：=1\*GB3①當時，（*）式方程只有一解，即直線與拋物線只有一個交點，此時直線與拋物線不是相切，而是與拋物線對稱軸平行或重合；=2\*GB3②當時，若△＞0（*）式方程有兩組不同的實數(shù)解直線與拋物線相交；若△=0（*）式方程有兩組相同的實數(shù)解直線與拋物線相切；若△＜0（*）式方程無實數(shù)解直線與拋物線相離.

2．直線與拋物線相交的弦長問題=1\*GB3①弦長公式：設直線交拋物線于，則或.=2\*GB3②若直線與拋物線相交所得弦為焦點弦時,借助于焦半徑公式處理：拋物線上一點的焦半徑長是，拋物線上一點的焦半徑長是六、拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論設為過拋物線焦點的弦，設，直線的傾斜角為，則①；②；③以為直徑的圓與準線相切；④弦兩端點與頂點所成三角形的面積；⑤；=6\*GB3⑥焦點對、在準線上射影的張角為900；