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文檔簡(jiǎn)介

理論力學(xué)非慣性參考系第一頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期一動(dòng)坐標(biāo)系:A=Ax

i

+

Ayj

+Az

k

固定坐標(biāo):dA/dt=dAx/dt

i

+

dAy/dt

j

+dAz/dt

k

+

Axdi/dt

+Aydj

/dt

+Azdk

/dt討論(1)僅有轉(zhuǎn)動(dòng)(角速度ω相對(duì)固定坐標(biāo)系)∵dr/dt=ω×

r

∴di

/dt

=ω×

i

,

dj

/dt

=ω×

j

,

dk

/dt

=ω×

k

.記δA/dt=dAx/dt

i

+

dAy/dt

j

+dAz/dt

k則有:

dA/dt=δA

/δt+ω×A

轉(zhuǎn)動(dòng)參考系算符變換:d/dt=δ/δt+ω×

第二頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期一例:質(zhì)點(diǎn)的位置矢量r

,求v

,a

。解:v=dr/dt=δr/δt+ω×r=v相+v牽

a=d2r/dt2=d(δr/δt+ω×r)/dt=δ(δr/δt+ω×r)/δt+ω×(δr/δt+ω×r)

=δ2r/δt2+δ(ω×r)/δt+ω×(δr/δt)+

ω×(ω×r

)=δ2r/δt2+(δω/δt)×r+ω×(ω×r

)

+

2ω×(δr/δt)=a相+a牽+a科

a相=δ2r/δt2a牽=(δω/δt)×r+ω×(ω×r

)a科=2ω×(δr/δt)第三頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期一dA/dt=δA/δt+ω×A

運(yùn)算公式:A×B×C=B(A·C)–(A·B)

Cω×(ω×r

)=

ω(ω·r

)-ω2

r

=ω2

(OB-OP)=-ω2

R對(duì)于角速度ω,角加速度為β

β

=dω/dt=δω/δt+ω×ω

=δω/δt說(shuō)明角加速度與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)。RrωBPO第四頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期一例:一等腰直角三角形OAB在其自身平面內(nèi)以勻角速ω繞O轉(zhuǎn)動(dòng)。P點(diǎn)以勻相對(duì)速度沿AB邊運(yùn)動(dòng),當(dāng)三角形轉(zhuǎn)一周時(shí),P點(diǎn)走過(guò)AB,如AB=b,試求P點(diǎn)在A時(shí)的絕對(duì)速度與絕對(duì)加速度。PAByzxOω第五頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期一第六頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期一(2)平動(dòng)+轉(zhuǎn)動(dòng)固定坐標(biāo)系中位矢rI

與動(dòng)坐標(biāo)系r

之間關(guān)系:

rI

=

R

+

rd2rI/dt2=d2R/dt2+

d2r/dt2=d2R/dt2+

δ2r/δt2+(δω/δt)×r

+ω×(ω×r

)+2ω×(δr/δt)或a=a平

+a相+β×r-ω2

R+2ω×v相若等角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)β=0,無(wú)平動(dòng)加速度a平

=0,則:a=a’-ω2

R+2ω×v’第七頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期一§5.2非慣性系中的動(dòng)力學(xué)方程慣性力慣性系中:md2rI

/dt2=F非慣性系:m2r/t2=F

-m[d2R/dt2+βr+ω(ωr)+2ωv’]=Feff

1、平移力

-md2R/dt2←動(dòng)系平動(dòng)加速2、方位力

-mβ

r←動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)加速3、慣性離心力

-m[ω

r

)←動(dòng)系相對(duì)固定系轉(zhuǎn)動(dòng)4、科里奧利力

-2mω

v’

←質(zhì)點(diǎn)相對(duì)動(dòng)系運(yùn)動(dòng)第八頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期一例:在光滑水平直管中有一質(zhì)量為m的小球。此管以勻角速ω繞通過(guò)其一端的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開(kāi)始時(shí),球距轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為a,球相對(duì)管的速率為零,而的總長(zhǎng)為2a。oxyzmgNzNyFcmω2xvvzvxω求:(1)球剛離開(kāi)管口時(shí)的相對(duì)速度與絕對(duì)速度;

(2)球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到離開(kāi)管口時(shí)所需時(shí)間。第九頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期一(1)球剛離開(kāi)管口時(shí)的相對(duì)速度與絕對(duì)速度;第十頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期一

(2)球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到離開(kāi)管口時(shí)所需時(shí)間第十一頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期一可證明,引入非慣性力

,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理和動(dòng)能定理的形式都保持不變。例:角動(dòng)量定理:

L’/t=(r’

mv’)

/t=(r’)/tmv’+r’

mv’/t=r’

(F+F慣性)動(dòng)能定理:∵mv’/t=

F+F慣性→

mv’

·

r/t=(F+F慣性)·

r→mv’

·v’=(F+F慣性)·

r→(mv’2/2)=(F+F慣性)·

r即:

T=(F+F慣性)·

r第十二頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期一拉格朗日方程導(dǎo)出慣性力第十三頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期一第十四頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期一§5.3拉格朗日函數(shù)的不確定性

非慣性系中的拉格朗日函數(shù)1、若兩個(gè)拉格朗日函數(shù)L1和L2只相差一函數(shù)f(q,t)的全微商df/dt,則L1和L2是等價(jià)的。證明:設(shè)L2=L1+df(q,t)/dt,只要證明由L1和L2所得出的運(yùn)動(dòng)方程相同即可??紤]體系只有一個(gè)廣義坐標(biāo)。第十五頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期一2、非慣性系中的拉格朗日函數(shù)設(shè)有三個(gè)參考系:S為慣性系,S1為相對(duì)S以vo(t)作平動(dòng),S’與S1有共同原點(diǎn),但相對(duì)

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